È bene attribuire lo stesso verso (orario o antiorario) a tutte le correnti fittizie. E 1 = 6V ; E 4 = 4V ; I o = 2mA. R 1 = R 5 = 2kΩ ; R 4 = 1kΩ

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Leone Clemente
7 anni fa
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1 MTODO DLL CONT CCLCH O D MAXWLL TNSON TA DU PUNT D UNA T. LGG D OHM GNALZZATA MTODO DL POTNZAL A NOD TASFOMAZON STLLA-TANGOLO TANGOLO-STLLA prinipi di Kirhhoff onsentono di risolvere un qulunque rete linere, srivendo r equzioni linermente indipendenti (i nodi indipendenti e lle mglie indipendenti), qunte sono le orrenti inognite ( r numero dei rmi). Al fine di ridurre il numero di equzioni del sistem d risolvere, si sono sviluppti ltri metodi equivlenti he onsiderno un numero ridotto di equzioni. MTODO DLL CONT CCLCH O D MAXWLL l metodo delle orrenti ilihe (o di Mxwell) onsider solmente le equzioni lle mglie indipendenti ontigue [m r (n )], on m orrenti inognite fittizie, in funzione delle quli si rivno, poi, le r orrenti inognite reli. Si proede nel seguente modo:. si onsiderno le m mglie indipendenti ontigue e si ttriuise d ogni mgli diente un orrente ili fittizi di mgli il ui verso oinide on quello di perorrenz selto. Si hnno osì tnte orrenti fittizie inognite qunte sono le mglie indipendenti. Si espliitno le orrenti nei rmi in funzione delle orrenti ilihe.. si srivono le equzioni lle mglie in funzione delle suddette orrenti fittizie. Se nell mgli è presente un genertore di orrente è inutile srivere l equzione tle mgli in qunto l orrente ili oinide on l orrente del genertore di orrente.. si risolve il sistem e si rivno le m orrenti fittizie inognite.. si lol l orrente rele in ogni rmo lolndo l somm lgeri delle orrenti fittizie su quel rmo si sommno se hnno lo stesso verso, si sottrggono se hnno verso opposto). È ene ttriuire lo stesso verso (orrio o ntiorrio) tutte le orrenti fittizie. Ad esempio, si risolve il iruito di figur. ; ; o ma kω ; kω kω i sono nodi e rmi; le mglie indipendenti sono m. le mglie ontigue sono individute dlle lettere,,, d.

2 . Si ttriuise isun mgli diente un orrente ili fittizi in senso orrio:,,, d. si espliitno le orrenti nei rmi (,,, ) in funzione delle orrenti ilihe. d o Poihé nell mgli d è presente un genertore di orrente, si h: d - o ma. estno, dunque, tre inognite:,,.. Si srivono le equzioni lle mglie,,. mgli mgli mgli o o o. Si sostituisono i vlori noti e si risolve il sistem. Dll prim non semplifit si sottre l terz moltiplit per. Si sostituise nell seond e si riv e poi.

3 ,ma,,77ma Sostituendo nell prim si lol.,,77,,ma Le orrenti reli nei rmi sono:,ma ;,,77,7mA,77,,mA ;,ma o,77,77ma l verso effettivo dell orrente è opposto quello selto.

4 TNSON TA DU PUNT D UNA T. LGG D OHM GNALZZATA. L tensione tr due punti A e B di un rete linere si lol sommndo lgerimente tutte le tensioni inontrte lungo un perorso ritrrio he onnette A on B. Supposto il potenzile di A mggiore di quello di B ( AB > ),nell somm si prendono on segno positivo le tensioni he presentno il segno positivo verso A, on segno negtivo quelle he presentno il segno positivo verso B (nel so di dute di tensione su resistenze, tle dut di tensione si prende on segno positivo se l orrente v d A verso B, negtiv se v d B verso A). Ad esempio, si lol l tensione AB del iruito di figur seguendo vri perorsi. Perorso B : AB Perorso B : AB Perorso ADB : AB 88 Se il trtto di iruito tr A e B è un rmo ontenente un resistenz e un genertore, l relzione he esprime l tensione AB prende il nome di Legge di Ohm generlizzt, e si hnno i seguenti quttro si (si suppone AB > ): o AB AB AB < AB AB > o AB AB < AB AB AB <

5 MTODO DL POTNZAL A NOD l metodo del potenzile i nodi deriv nh esso d Kirhhoff, m onsider solo le equzioni i nodi. È sto sull impostzione di un sistem ridotto, formto d n equzioni, dove n è il numero dei nodi, le ui inognite sono le tensioni dei vri nodi rispetto d un nodo qulsisi preso ome riferimento. Le orrenti nei rmi vengono poi rivte utilizzndo l legge di Ohm generlizzt. Si proede nel seguente modo:. Si seglie un nodo di riferimento e si ttriuise un vlore inognito di tensione fr isun nodo e il riferimento.. si ttriuise un verso ritrrio lle orrenti in ogni rmo.. si esprimono le orrenti in isun rmo in funzione delle tensioni inognite i pi dello stesso rmo, utilizzndo le espressioni dell legge di Ohm generlizzt.. Si srive il sistem di n equzioni gli n nodi, utilizzndo le espressioni delle orrenti rivte l punto.. Si rivno le tensioni i nodi risolvendo il sistem.. Sostituendo queste tensioni nelle equzioni del punto si rivno le orrenti. Ad esempio, si risolve il iruito di figur. ; ; o ma kω ; kω kω. Si ssume ome riferimento il nodo C; le tensioni inognite sono: e.. Si ttriuisono i versi delle orrenti nei rmi ome in figur.. Si rivno le espressioni delle orrenti: AB. Si impostno le due equzioni i nodi:

6 nodo A : nodo B : o Sostituendo lle orrenti l loro espressione rivt l punto, si h: o. Si sostituisono i vlori e si risolve , 7 7,. Si lolno le orrenti.,9,97,97,ma,7ma,97,,97,,ma,ma,,77ma l verso effettivo di è opposto quello selto.

7 TASFOMAZON STLLA-TANGOLO TANGOLO-STLLA sistono reti di resistenze he non sono somponiili in gruppi serie e prllelo, ome quell di figur. Per potere lolre l resistenz equivlente di tli iruiti si utilizz l trsformzione stelltringolo. Sistem tringolo Sistem stell due sistemi risultno equivlenti se un ugule tern di tensioni,,, pplite tr i punti,,, produono nei orrispondenti onduttori esterni i due sistemi due terne uguli di orrenti,, ; l equivlenz è, periò, riferit lle tensioni e lle orrenti esterne i due sistemi, mentre ll interno di essi le singole resistenze sono soggette tensioni differenti (nel ollegmento stell) e orrenti diverse (nel ollegmento tringolo). Le relzioni di equivlenz si ottengono pplindo i prinipi di Kirhhoff isuno dei due shemi.. Per il sistem stell si ppli il primo prinipio di Kirhhoff l sistem ed il seondo prinipio lle due mglie (A, A, D, C, C) e (B, B, D, C, C). ( ) Sostituendo l espressione di C rivt dll prim equzione nelle ltre due, si h: 7

8 ( ) ( ) ( ) ( ) (). Per il sistem tringolo si ppli il primo prinipio di Kirhhoff l sistem e i due nodi A e B. Per l legge di Ohm pplit lle tre resistenze onnesse tringolo, si h: AB CA Sostituendo nelle ultime due equzioni i nodi (A e B), si h: ( ) ( ) Si risolve rispetto e : ( ) ( ) ( ) ( ) Sostituendo in, si h: 8

9 ( ) ( ) ( ) issumendo ( ) ( ) () Affinhé i sistemi di equzioni () e () ottenuti (reltivi, rispettivmente, lle due onnessioni stell e tringolo) risultino identimente soddisftti, per qulsisi ominzione di orrenti, devono essere ordintmente uguli nei due sistemi i oeffiienti delle due orrenti e. Le ondizioni di equivlenz tr i due sistemi onsiderti sono espresse dlle tre relzioni seguenti: ( ) ( ) () Sottrendo l seond dll prim e dll terz, si h: 9

10 issumendo Tli equzioni sono reltive ll trsformzione tringolo-stell.. L soluzione del prolem inverso si ottiene espliitndo le equzioni dei sistemi ssoiti ll stell e l tringolo in funzione delle orrenti e imponendo l uguglinz dei oeffiienti.. Sistem stell. Dl sistem () si riv dll prim equzione e si sostituise nell seond: Si sostituise nell equzione di :

11 issumendo (). Sistem tringolo. Dl sistem () si espliitno e in funzione di AB e : () Affinhé i sistemi di equzioni () e () ottenuti (reltivi, rispettivmente, lle due onnessioni stell e tringolo) risultino identimente soddisftti, per qulsisi ominzione di tensioni, devono essere ordintmente uguli nei due sistemi i oeffiienti delle due tensioni AB e. Le ondizioni di equivlenz tr i due sistemi onsiderti sono espresse dlle tre relzioni seguenti: Sottrendo l seond dll prim e dll terz, si h:

12 issumendo Tli equzioni sono reltive ll trsformzione stell-tringolo. Se le resistenze onnesse stell sono tutte uguli fr loro ed hnno il vlore, nhe le tre resistenze del tringolo equivlente sono uguli, di vlore e inversmente sempio : Trsformzione tringolo-stell. Del iruito di figur lolre l resistenz equivlente, le tensioni e le orrenti. kω ; kω kω Si trsform il tringolo A in un stell.

13 Le equzioni per l trsformzione tringolo-stell, on,,, sono le seguenti: KΩ KΩ,KΩ Clolo dell resistenz equivlente. ( )( ) (, )( ), Ω eq K,,8mA A,8,8, eq D 8, A,8 8,,8mA, D D 8,,mA CD,8 7, BD,, CB CD BD 7,,, CB,,mA AB AD BD BD,,88

14 ,7 7, CD CD AD,8mA,7 ma,7,88 AB Al fine di ontrollre l esttezz dei risultti, si risolve il iruito ol metodo delle orrenti ilihe di mgli. Si fissno i versi delle orrenti ilihe e di perorrenz delle mglie ome in figur e si srivono le equzioni lle mglie pplindo il seondo prinipio di Kirhhoff. mgli mgli mgli ,7mA 8,mA,7 8 8,8mA,,7

15 ,8mA,8,7,7mA,7mA,,7,7mA,8,,8mA,7,7 CB,7,,mA AB,7,88 CD,8 7, BD,, Stessi vlori di prim. sempio : Trsformzione stell-tringolo. Del iruito di figur lolre l resistenz equivlente, le tensioni e le orrenti. kω ; kω kω Si trsform l stell A in un tringolo e si risolve.

16 Le equzioni per l trsformzione stell-tringolo, on,,, sono le seguenti: Ω Ω Ω k 7k,k Clolo dell resistenz equivlente. Ω k,78,, Ω k, 7 7 Ω k,,,78 Ω k,,, Ω k,, eq

17 ,ma,,, eq,,,8,8,9ma,8,ma AB,78,,,,,,,,mA AB,,,7mA,7mA, 7,,9mA,7,9,9mA,7,7,mA,9,9,9,7,mA,,88,, Al fine di ontrollre l esttezz dei risultti, si risolve il iruito ol metodo delle orrenti ilihe di mgli. Si fissno i versi delle orrenti ilihe e di perorrenz delle mglie ome in figur e si srivono le equzioni lle mglie pplindo il seondo prinipio di Kirhhoff. 7

18 8 mgli mgli mgli ,mA 9 8,mA,,mA,,,mA,mA ma,9,,,9ma,,,ma,ma,,,,,,,9,9,9,9,9,,8, Stessi vlori di prim.

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