Algoritmo ricorsivo per il calcolo di π partendo da poligoni regolari

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1 CISTIANO TEODOO Algoitmo icosivo e il calcolo di π atendo da oligoni egolai Sommaio: viene illustato un algoitmo e il calcolo aossimato di π, con il quale, atendo da un oligono egolae si considea la successione di oligoni egolai dello stesso tio, ognuno dei quali esenta un numeo doio di lati isetto al ecedente aossimando seme di iù il loo eimeto alle ciconfeenze dei due cechi concentici, uno inscitto nel oligono eso in consideazione e l alto cicoscitto al suddetto oligono. I oligoni di atenza esi in consideazione sono il tiangolo equilateo, il quadato, il entagono e l esagono egolai Si considei un oligono egolae avente un eimeto di lunghezza uguale a. Chiamati con ed i aggi isettivamente del cechio inscitto nel oligono e del cechio che lo cicoscive è evidente che il eimeto del oligono isulta maggioe di π e minoe di π Si ha etanto π < < π da cui isolando π si ottiene : < π < Si endano in esame oa quatto tii di oligoni egolai: indicando con L il valoe del lato si ha L = x dove con x si indica il numeo dei lati. Pe ognuno dei quatto tii di oligoni valgono le seguenti condizioni iniziali: Pe il TIANGOLO EQILATEO chiamati 0 il aggio del cechio inscitto ed 0 il aggio del cechio che lo cicoscive, tenendo esente che il valoe del suo lato è L = valgono i seguenti valoi: 9 x si icava tamite facili consideazioni di geometia elementae che isulta evidente che atendo da tale oligono il secondo oligono della successione isulta essee l esagono egolae e il quale se si ate da esso vale quanto iù sotto esosto. Pe il QUADATO, chiamati 0 il aggio del cechio inscitto nell esagono egolae ed 0 il aggio del cechio che lo cicoscive, tenendo esente che il valoe del suo lato è L = elementae che valgono i seguenti valoi: 0 4 ; 4 x 9 () si icava tamite facili consideazioni di geometia o () Pe il PENTAGONO EGOLAE, chiamati 0 il aggio del cechio inscitto nel entagono egolae ed 0 il aggio del cechio che lo cicoscive, tenendo esente che il valoe del suo lato è L = elementae AUEA φ = Nota, tenendo esente che il valoe del suo lato è L =, si icava che valgono i seguenti valoi : 0 ; φ () tamite ootune consideazioni di geometia e endendo in consideazione la SEZIONE

2 Pe l ESAGONO EGOLAE, chiamati 0 il aggio del cechio inscitto nell esagono egolae ed 0 il aggio del cechio che lo cicoscive, tenendo esente che il valoe del suo lato è elementae che valgono i seguenti valoi: 6 si icava anche qui tamite facili consideazioni di geometia Consideando e ognuno dei 4 tii di oligoni egolai suddetti la successione dei oligoni aventi un numeo di lati doio isetto al oligono che lo ecede, con una lunghezza del eimeto seme uguale a, e iniziando detta successione dalle fomule indicate in () e il tiangolo equilateo, in () e il quadato, in () e il entagono e in (4) e l esagono, si uò dimostae (vedi [(En] che valgono e tutti i suddetti tii di oligoni le seguenti elazioni: 6 (4) :aggio del cechio inscitto nell (n+)-esimo oligono: n = n n () aggio del cechio cicoscitto all (n+) - esimo oligono : n n n (6) e n = 0,,,, dove i valoi di 0 e di 0 sono quelli iotati in (), in ( ) e in () Ossevando che nella elazione (6) comae il temine n si ossono alloa eseguie in modo icosivo, atendo da n = 0 e oseguendo oi con n =,,..: (vale a die con un loo), le due elazioni (4) e () elative ai aggi inscitti e cicoscitti dei oligoni egolai aventi il oligono (n+) - esimo un numeo di lati doi isetto al oligono n-esimo Si ossevi che i coisondenti oligoni successivi aossimano seme di iù il loo eimeto alle ciconfeenze dei due cechi concentici, uno inscitto nel oligono eso in consideazione e l alto cicoscitto al suddetto oligono. Si è etanto ealizzato un ootuno ogamma (nel esente caso in linguaggio Qbasic) e ogni tio di oligono atto a deteminae il valoe di π con un adeguato seu limitato numeo di cife decimali doo la vigola. Si fa esente che nel listato del ogamma l istuzione iguadante la fomula () deve seme ecedee nella esecuzione l istuzione elativa alla fomula (6). I valoi iniziali saanno oi quelli illustati in () e il tiangolo equilateo, in () e il quadato, in () e il entagono egolae e in (4) e l esagono egolae. Si iota qui il nucleo del ogamma dove nella ima iga dovanno essee inseiti e x il numeo dei lati, e i e i valoi iniziali del cechio inscitto e cicoscitto elativi al oligono in esame x =. : i =. c = n = DO: n = n + x=*x i = ( + i) / : = SQ( * i) c = / : valoe e difetto di i geco i = / i : valoe e eccesso di i geco PINT; x; "lati",c, i LOOP UNTIL n = 8 Nota - nei valoi iniziali in geneale non dovebbeo comaie fomule imlicanti lo stesso π come si avebbe utilizzando elazioni tigonometiche elative agli angoli sottesi a L dove L è il lato del oligono. Si otteebbe in effetti un loo uso imoio con un evidente calcolo non coetto dei valoi tovati nelle iteazioni e conseguente isultato finale eato. Pe quanto iguada ad esemio le fomule del aggio inscitto e cicoscitto del entagono egolae, come ima istanza saebbe facile utilizzae la tigonometia, onendo molto semlicemente i seguenti valoi iniziali : 0 e L sen( ) cos( ) L sen( ) con i quali eò, effettuando il calcolo iteativo si otteebbe un isultato non coetto di π a meno che e valoi del seno e del coseno di non venisse utilizzato oio il valoe di π che si vuole invece cecae.

3 Vengono iotati i listati in Qbasic dei ogammi eosti al calcolo icosivo e il valoe di π. iguadanti i seguenti oligoni di atenza: tiangolo equilateo, quadato, entagono egolae ed esagono egolae. CLS : DEFDBL A-Z PINT "CALCOLO DI PI GECO PATO DAL TIANGOLO EQUILATEO i = SQ() / 9 : c = * SQ() / 9: n = : 'condizioni iniziali c = / c: i = / i: x = : PINT : PINT PINT : PINT ; ")"; " lati ", c, " ", i DO: n = n + x = * x i = (c + i) / c = SQ(c * i) c = / c i = / i IF c = i THEN PINT n; ")"; x; " lati ", c, i DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" POGAMMA DEL CALCOLO DI PI GECO PATO DAL TIANGOLO EQUILATEO = aggio sel cechio inscitto nell'esagono = aggio del cechio cicoscitto all esagono LUNGHEZZA DEL PEIMETO = NUMEO DI LATI : CONDIZIONI INIZIALI: i = SQ() / 9: c =* SQ() / 9: x = : n = I valoi numeici ottenibili in aitmetica a doia ecisione con il suddetto ogamma sono quelli elencati qui di seguito oligono di valoe e difetto valoe e eccesso n lati i geco di i geco ) lati ) 6 lati ) lati ) 4 lati ) 48 lati ) 96 lati ) 9 lati ) 84 lati ) 768 lati ) 6 lati ) 07 lati ) 644 lati ) 88 lati ) 476 lati ) 49 lati ) 9804 lati ) lati ) 96 lati ) 7864 lati ) 7864 lati ) 478 lati ) 6946 lati ) 89 lati ) 684 lati ) 0648 lati ) lati ) 069 lati

4 CLS : DEFDBL A-Z PINT "CALCOLO DI PI GECO PATO DAL QUADATO i = /4 : c = SQ() / : n = : 'condizioni iniziali c = / c: i = / i: x = : PINT : PINT PINT : PINT ; ")"; 4" lati ", c, " ", i DO: n = n + x = * x i = (c + i) / c = SQ(c * i) c = / c i = / i PINT n; ")"; x; " lati ", c, i IF c = i GOTO ausa ausa : DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" 4 POGAMMA DEL CALCOLO DI PI GECO PATO DAL QUADATO I valoi numeici ottenibili in aitmetica a doia ecisione con il suddetto ogamma sono quelli elencati qui di seguito = aggio sel cechio inscitto ne lquadayto = aggio del cechio cicoscitto all esagono LUNGHEZZA DEL PEIMETO = NUMEO DI LATI : 4 CONDIZIONI INIZIALI: i = /4 c = SQ() / : x = : n = I valoi numeici ottenibili in aitmetica a doia ecisione con il suddetto ogamma sono quelli elencati qui di seguito oligono di c = valoe e difetto i = valoe e eccesso ^ n lati di i geco di i geco ) 4 lati ) 8 lati ) 6 lati ) lati ) 64 lati ) 8 lati ) 6 lati ) lati ) 04 lati ) 048 lati ) 4096 lati ) 89 lati ) 684 lati ) 768 lati ) 66 lati ) 07 lati ) 644 lati ) 488 lati ) lati ) 097 lati ) lati ) lati ) lati ) 44 lati ) lati ) 4778 lati ) lati

5 CLS : DEFDBL A-Z PINT "CALCOLO DI PI GECO PATO DAL PENTAGONO EGOLAE" SA = ( + SQ(#)) / #: PINT SA: ' sa = SEZIONE AUEA c = (# / #) / SQ(# - SA#) : i = c * SA# / # : 'condizioni iniziali c = / c: i = / i: x = : n= : PINT : PINT PINT : PINT ; ")"; ; " lati ", c, ""; ""; i DO: n = n + x = * x i = (c + i) / c = SQ(c * i) c = / c i = / i PINT n; ")"; x; " lati ", c, i IF c = i GOTO ausa ausa: DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" POGAMMA DEL CALCOLO DI PI GECO PATO DAL PENTAGONO = aggio sel cechio inscitto nel PENTAGONO = aggio del cechio cicoscitto al PENTAGONO LUNGHEZZA DEL PEIMETO = NUMEO DI LATI : SA = ( SEZIONE AUEA ) CONDIZIONI INIZIALI: = ( / ) / SQ( SA) : i = c * SA / I valoi numeici ottenibili in aitmetica a doia ecisione con il suddetto ogamma sono quelli elencati qui di seguito lati valoe e difetto valoe e eccesso del POLIGONO di i geco di i geco ) lati ) 0 lati ) 0 lati ) 40 lati ) 80 lati ) 60 lati ) 0 lati ) 640 lati ) 80 lati ) 60 lati ) 0 lati ) 040 lati ) 0480 lati ) lati ) 890 lati ) 6840 lati ) 7680 lati ) 660 lati ) 070 lati ) 6440 lati ) 4880 lati ) lati ) 0970 lati ) lati ) lati ) lati ) 440 lati

6 CLS : DEFDBL A-Z PINT "CALCOLO DI PI GECO PATO DALL'ESAGONO EGOLAE" i = SQ() / 6: c = / : n = : 'condizioni iniziali c = / c: i = / i: x = 6: PINT : PINT PINT : PINT ; ")"; 6 " lati ", c, " ", i DO: n = n + x = * x i = (c + i) / c = SQ(c * i) c = / c i = / i IF c = i THEN PINT n; ")"; x; " lati ", c, i DO: y$ = INKEY$: LOOP WHILE y$ = "" 6 POGAMMA DEL CALCOLO DI PI GECO PATO DALL'ESAGONO = aggio sel cechio inscitto 'ESAGONO = aggio del cechio cicoscitto all esagono LUNGHEZZA DEL PEIMETO = NUMEO DI LATI : x=6 CONDIZIONI INIZIALI : i = SQ() / 6: c = / : n = I valoi numeici ottenibili in aitmetica a doia ecisione con il suddetto ogamma sono quelli elencati qui di seguito oligono di valoe e difetto valoe e eccesso n lati di i geco di i geco ) 6 lati ) lati ) 4 lati ) 48 lati ) 96 lati ) 9 lati ) 84 lati ) 768 lati ) 6 lati ) 644 lati ) 88 lati ) 476 lati ) 49 lati ) 9804 lati ) lati ) 96 lati ) 7864 lati ) 7864 lati ) 478 lati ) 6946 lati ) 89 lati ) 684 lati ) 0648 lati ) lati ) 069 lati Le effettive cife esatte di π e i divesi tii di oligoni isultano essee solo le 4 cife doo la vigola. L ultima cifa è da consideasi di aotondamento del isultato Non ci si deve stuie di avee tovato uno stesso valoe numeico convegente e / e e / i da imutae ciò alla limitazione di calcolo dovuta all uso solo della doia ecisione. IFEIMENTO [En] Athu Engel - mathématique élémentaie d un oint de vue algoithmique, Chaite : Géométie