Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1"

Transcript

1 Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare y + 3z = 3 x y + z = 0 x + y = = = = = Il di partenza è quindi equivalente a x y + z = 0 y + 3z = 3 7z = 7. Dall ultima equazione ricaviamo quindi, che sostituito nella seconda dà y = 0; questi valori sostituiti nella prima equazione danno x = 1. Esercizio Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare x + y = 1 x y + z = 0 x + z = = = { x + y = 1 Il di partenza è quindi equivalente a y +. Dall ultima equazione possiamo ricavare y in funzione di z e, sostituendo nella prima, anche x in funzione di z: y = z 1 x = z 1 L insieme delle soluzioni del è quindi dato da x = t 1 y = t 1 z = t (t R) 1

2 Esercizio 3 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare x + y z = x + y = 3 x + y = = { x + y z = Il di partenza è quindi equivalente a. L ultima equazione dà il valore di z e dalla prima equazione possiamo ricavare x in funzione di y: x = 3 y L insieme delle soluzioni del è quindi dato da x = 3 t y = t (t R) Esercizio 4 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare x + y z = x y z = 0 x = 0 0 = La matrice incompleta ha quindi rango mentre quella completa ha rango 3. Il non ha quindi soluzioni. NB: Il rango (o caratteristica) di una matrice A risulta uguale al numero di righe non nulle di una qualsiasi forma ridotta di A. Si dimostra che tutte le forme ridotte di una matrice hanno lo stesso numero di righe non nulle. Esercizio 5 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x +z = 0 λx +λy + x λy +z = 3

3 : 1) sottrarre dalla seconda riga la prima moltiplicata per λ, ) sommare alla terza riga la prima moltiplicata per, 3) sommare alla terza riga la seconda moltiplicata per Eseguendo nell ordine queste operazioni otteniamo la matrice 0 λ λ λ 5 Per λ / {0, 5 }, matrice completa ed incompleta hanno rango 3 ed il ha quindi un unica soluzione della forma x = 5 5 λ, y = 3 5 λ, z = 5 (5 λ) Per λ = 0, otteniamo la matrice che è equivalente a (0 λ 5 ) Matrice completa ed incompleta hanno dunque rango, mentre il numero delle incognite x = 1 è 3. Il ha quindi infinite soluzioni y = t. z = Per λ = 5 otteniamo la matrice La matrice completa ha rango 3, mentre quella incompleta ha rango e quindi il non ha soluzioni. Esercizio 6 Trovare le soluzioni del lineare λx + y + z = 3 λ x = λ + 1 λx + (1 λ)y z = λ + La matrice completa è equivalente alla matrice λ λ λ λ λ 0.. Per λ / {0, }, matrice completa ed incompleta hanno rango 3 ed il ha quindi un unica soluzione della forma x = λ 1, y = λ + 1, z = 0 (λ / {0, }). λ λ Per λ =, abbiamo la matrice completa Matrice completa ed incompleta hanno rango e il ha infinite soluzioni x = 3 4, y = 3 t, z = t (t R) 3

4 Per λ = 0, abbiamo la matrice completa equivalente a La matrice completa ha rango 3, mentre quella incompleta ha rango e quindi il non ha soluzioni. Esercizio 7 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x + x λy +( + λ) x λy + La matrice completa è equivalente alla matrice λ λ λ 3. Per λ / {0, 3}, matrice completa ed incompleta hanno rango 3 ed il ha quindi un unica soluzione della forma x = λ 6 λ, y = 3 6 λ, z = 3 6 λ (0 λ 3). Per λ = 0, matrice completa ed incompleta hanno rango, il ha infinite soluzioni x = 0 y = t. Per λ = 3, la matrice completa ha rango 3, mentre quella incompleta ha rango e quindi il non ha soluzioni. Esercizio 8 Trovare le soluzioni del lineare { λx + λy + λz = λ + 1 λ x y + (1 λ )z = λ ( ) λ λ λ λ + 1 La matrice completa è equivalente alla matrice 0 λ 1 1 λ. Per λ 0, matrice completa ed incompleta hanno rango ed il ha quindi infinite soluzioni. Per λ { 1, 1} le infinite soluzioni hanno la forma forma x = λ λ 1 + t( λ 3 + λ) λ(λ 1), y = λ t, z = t (λ / {0, 1, 1}, t R) λ 1 Per λ = 1 e λ = 1, le infinite soluzioni del sono rispettivamente x = 1 (t + 1) x = 1 (1 t) y = t (t R) y = t (t R) 4.

5 ( Per λ = 0, otteniamo la matrice quella completa ha rango. Il non ha quindi soluzioni. Esercizio 9 Trovare le soluzioni del lineare x + y = λx y = 0 x λy = 1 ). La matrice incompleta ha rango 1 e 1 1 La matrice completa è equivalente alla matrice 0 1 λ λ. Per λ λ { 1, 1 }, la matrice completa ha rango 3 mentre quella incompleta ha rango ; il non ha quindi soluzioni. Per λ = 1, la matrice completa diventa equivalente a (aggiungere alla terza riga la seconda moltiplicata per 3 ). Matrice complete e incompleta hanno rispettivamente rango e 1 e quindi il non ha soluzioni. 1 1 Per λ = 1, otteniamo la matrice Matrice completa ed incompleta hanno { rango, uguale al numero delle incognite, e quindi il ha l unica soluzione x = 4 3. y = 3 Esercizio 10 Trovare le soluzioni del lineare x + λy + z = λ x + y = 1 λx + y + (λ + 1)z = λ Esercizio 11 Trovare le soluzioni del lineare x + λy + z = 0 x + λy + (λ + 1) λx + (λ 1)z = 1 5

6 Esercizio 1 Trovare le soluzioni del lineare x + λy + z = λ x + y = 1 λx + y + (λ + 1)z = λ Esercizio 13 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x + x λy +( + λ) x λy + Esercizio 14 Trovare le soluzioni del lineare x + y z + t = 1 (λ 1)y + z t = 1 x + λy + (λ + 1)z + ( λ 1)t = Esercizio 15 Trovare le soluzioni del lineare x + 3y λx + 4λy + ( λ)z = + λ x + (λ + 3)y + λz = 3 Esercizio 16 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x + (λ )z = λ 1 x + λy = 3 x + λy + (λ 1)z = 3 + λ Esercizio 17 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x + (λ 1)y + z = λ 1 x + (λ 1)y + z = 3λ x + (λ 1)y + λ z = 3λ 6

7 Esercizio 18 Determinare l insieme delle soluzioni del lineare { λx + λy + (λ ) λ x + 4y + (4 λ)z = Esercizio 19 Determinare l insieme delle soluzioni del lineare x + (λ 1)y = 3λ + λ 3 (λ 1)y = λ 1 x + λy = λ 1 Esercizio 0 Determinare l insieme delle soluzioni del lineare (λ 1)x + λy = + λ (λ 1)x + λy + λz = λy λz = λ Esercizio 1 Determinare l insieme delle soluzioni del lineare λx + (λ 1)y = 5 λx + λz = 3 + λ (λ 1)y + λz = + λ Esercizio Trovare le soluzioni del lineare x + λy + z = 0 x + λy + (λ + 1) λx + (λ 1)z = 1 7

Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno.

Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. Sistemi lineari Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. La discussione di un sistema si imposta in questo modo: 1 studiare il rango della matrice

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3 SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni

Dettagli

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire

Dettagli

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione

Dettagli

Esercitazione 6 - Soluzione

Esercitazione 6 - Soluzione Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione

Dettagli

ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,

ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri, ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore

Dettagli

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A. Languasco - Esercizi Matematica B - 1. Sistemi lineari e Matrici 1 A: Sistemi lineari: eliminazione gaussiana Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Determinare, con il

Dettagli

ha come obiettivo quello di costruire a partire da A una matrice U, m n, che abbia il

ha come obiettivo quello di costruire a partire da A una matrice U, m n, che abbia il Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, G.Parmeggiani LEZIONE 6 Eliminazione di Gauss con scambi di righe Sia A O una matrice m n. Abbiamo illustrato nella Lezione 5 un algoritmo che ha come

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti

Dettagli

2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A =

2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A = Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus):

Dettagli

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3 LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.

Dettagli

Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 5.5 esercizi 9 Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la parte espropriata del primo terreno è x/00, la parte espropriata del secondo è y/00 e in totale sono stati espropriati 000 m, quindi

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale) Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0

Dettagli

Argomento 13 Sistemi lineari

Argomento 13 Sistemi lineari Sistemi lineari: definizioni Argomento 3 Sistemi lineari I Un equazione nelle n incognite x,,x n della forma c x + + c n x n = b ove c,,c n sono numeri reali (detti coefficienti) eb è un numero reale (detto

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari I sistemi di equazioni si incontrano in natura in molti problemi di vita reale. Per esempio, prendiamo in considerazione una bevanda a base di uova, latte e succo d arancia.

Dettagli

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)

Dettagli

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la

Dettagli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = 2 0 0 2 D = ( 0 ) E = ( ) 4 4 2 C = 2 0 5 F = 4 2 6 2. Data la matrice A = 0

Dettagli

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro

Dettagli

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti

Dettagli

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: t x + (t 1)y + z = 1 (t 1)y + t z = 1 2 x + z = 5 Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è t t 1

Dettagli

Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango)

Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) CAPITOLO 5 Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) Esercizio 5.1. Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Esercizio 5.2. Stabilire se i vettori

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n

1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n 2 Trapani Dispensa di Geometria, Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n Un sottospazio affine Σ di R n e il traslato di un sottospazio vettoriale. Cioe esiste un sottospazio vettoriale

Dettagli

Il teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un

Dettagli

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1

Dettagli

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Anno Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Introduzione In questa lezione impareremo alcuni metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Al termine di questa lezione

Dettagli

Per equazione lineare nelle incognite x, y intendo un equazione del tipo. ax = b,

Per equazione lineare nelle incognite x, y intendo un equazione del tipo. ax = b, Matematica II 161110 1 Equazioni lineari in una incognita Per equazione lineare nell incognita x intendo un equazione del tipo ax = b dove a b sono due costanti reali a e il coefficiente e b e il termine

Dettagli

6 2 k ricaviamo det(a) = 7(k + 8). Per k 8, il Teorema di Cramer fornisce anche le soluzioni del sistema, cioè: 8 2 k

6 2 k ricaviamo det(a) = 7(k + 8). Per k 8, il Teorema di Cramer fornisce anche le soluzioni del sistema, cioè: 8 2 k ) Discutere e risolvere il sistema 6x + y + kz 8 x + y z x y z al variare del parametro k R Per k 8, determinare gli autovalori ed autovettori della matrice incompleta oluzione Il sistema in esame ha tre

Dettagli

Esercizi Applicazioni Lineari

Esercizi Applicazioni Lineari Esercizi Applicazioni Lineari (1) Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita dalla legge f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z + t). (a) Determinare il nucleo di f, l immagine di f, una loro base e le

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA SRCIZI DI ALGBRA LINAR COMPLMNTI DI GOMTRIA Foglio 3 sercizio 1. Determinare la decomposizione LU della matrice reale simmetrica A = 1 2 1 2 5 3 1 3 4 sercizio 2. Determinare la decomposizione LU della

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

Teoria della Programmazione Lineare. Teoria della Programmazione Lineare p. 1/8

Teoria della Programmazione Lineare. Teoria della Programmazione Lineare p. 1/8 Teoria della Programmazione Lineare Teoria della Programmazione Lineare p. 1/8 I problemi di PL in forma canonica In forma scalare: max n j=1 c jx j n j=1 a ijx j b i x j 0 i = 1,...,m j = 1,...,n Teoria

Dettagli

Equazioni di primo grado ad un incognita

Equazioni di primo grado ad un incognita Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2 = 2 è un identità =3 2 3=2 3

Dettagli

Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09

Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09 Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09 F.Pugliese January 25, 2009 Abstract In queste note svolgerò alcuni esercizi sulla parte del corso che mi riguarda; si tenga presente che si tratta solo

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari

Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari 4 maggio Nota: gli esercizi più impegnativi sono contrassegnati dal simbolo ( ) Esercizio Siano 3 6 8 6 4 3 3 ) determinare

Dettagli

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano 1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione

Dettagli

Sistemi di 1 grado in due incognite

Sistemi di 1 grado in due incognite Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con

Dettagli

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica.

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica. 5 luglio 010 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Esercizi di Algebra lineare

Esercizi di Algebra lineare Esercizi di Algebra lineare G. Romani December, 006 1. Esercizi sulle n-ple 1) Eseguire i seguenti calcoli. (, 1) + (1 3); 4(, ) + 3(4, ); 3(1,, 3) + ( )(,, 1) (3, 3, 3) + (4,, 1) + ( )(1, 4, ); (1, 4,

Dettagli

Esercizi sulle affinità - aprile 2009

Esercizi sulle affinità - aprile 2009 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente

Dettagli

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori Esercizio 1 Corso di Matematica II Anno Accademico 29 21. Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori May 7, 21 Commenti e correzioni sono benvenuti. Mi scuso se ci fosse qualche

Dettagli

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Algebra Lineare Semestre Estivo 2006 Metodo dei minimi quadrati

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13. Sistemi di equazioni lineari. 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo

Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13. Sistemi di equazioni lineari. 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13 Sistemi di equazioni lineari 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo ax = b, dove a e b sono numeri reali dati; a e il coefficiente

Dettagli

( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1

( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1 . Scimone a.s 1997 98 pag 1 TEORI DELLE MTRICI Dato un campo K, definiamo matrice ad elementi in K di tipo (m, n) un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne in una tabella rettangolare del tipo

Dettagli

Studio generale di una conica

Studio generale di una conica Studio generale di una conica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce conica C un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

SISTEMI LINEARI. Prof.ssa R. Schettino Classe II a.s. 10/ 10/ 1111

SISTEMI LINEARI. Prof.ssa R. Schettino Classe II a.s. 10/ 10/ 1111 SISTEMI LINEARI Prof.ssa R. Schettino Classe II a.s. 10/ 10/ 1111 EQUAZIONE LINEARE IN DUE INCOGNITE 3x+7y=21-12x+6y-36=0 x-y+2=0 9y-21x+9=0 Con x e y si indicano le incognite delle equazioni Quali sono

Dettagli

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara) Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di

Dettagli

Dipendenza e indipendenza lineare

Dipendenza e indipendenza lineare Dipendenza e indipendenza lineare Luciano Battaia Questi appunti () ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia campus

Dettagli

Estremi vincolati, Teorema del Dini.

Estremi vincolati, Teorema del Dini. Estremi vincolati, Teorema del Dini. 1. Da un cartone di 1m si deve ricavare una scatola rettangolare senza coperchio. Trovare il massimo volume possibile della scatola.. Trovare gli estremi assoluti di

Dettagli

1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici

1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici Matrici R. Notari 1 1. Proprietà della somma di matrici 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque siano le matrici A, B, C Mat(m, n; K). 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici A, B Mat(m, n; K). 3. Sia

Dettagli

LEZIONE 8. Figura 8.1.1

LEZIONE 8. Figura 8.1.1 LEZIONE 8 8.1. Equazioni parametriche di rette. In questo paragrafo iniziamo ad applicare quanto spiegato sui vettori geometrici per dare una descrizione delle rette nel piano e nello spazio. Sia r S 3

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

Geometria della programmazione lineare

Geometria della programmazione lineare Geometria della programmazione lineare poliedri punti estremi, vertici, soluzioni di base esistenza di punti estremi rif. Fi 3.1; BT 2.1, 2.2, 2.5 Iperpiani, semispazi Definizione Sia a un vettore non

Dettagli

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti

Dettagli

I sistemi di equazioni di primo grado

I sistemi di equazioni di primo grado I sistemi di equazioni di primo grado RIPASSIAMO INSIEME SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un sistema di equazioni di primo grado in due (o più) incognite è l insieme di due (o più) equazioni di primo

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due

Dettagli

Equazioni lineari con due o più incognite

Equazioni lineari con due o più incognite Equazioni lineari con due o più incognite Siano date le uguaglianze: k 0; x + y = 6; 3a + b c = 8. La prima ha un termine incognito rappresentato dal simbolo letterale k; la seconda ha due termini incogniti

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare omogeneo. Geometria Lingotto. LeLing1: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata. Concetto di soluzione. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare

Dettagli

ESERCIZI SULLE MATRICI

ESERCIZI SULLE MATRICI ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a

Dettagli

Equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado può sempre essere ridotta nella forma: a + bx + c 0 forma normale con a 0. Le lettere a, b, c sono rappresentano i coefficienti. Solo b e c possono

Dettagli

Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI

Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore

Dettagli

Esercitazioni di Algebra e Geometria

Esercitazioni di Algebra e Geometria Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 2011 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail elisa.peli@libero.it Esercitazioni: lunedì 14.30 16.30 venerdì 14.30 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.30

Dettagli

Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Politecnico di Torino. Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Sottospazi. Generatori. Confrontando sottospazi: intersezione.

Dettagli

CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente.

CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. CAPITOLO 4 Quadriche Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice

Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-14 Esercizio 1. (14 punti) Data la funzione = log(1 + x y) i) determinare il dominio e studiare l esistenza del ite (x,y) (,) x x ii)

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni

Dettagli

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3. Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

Esercizi su massimi e minimi assoluti e moltiplicatori di Lagrange. 1. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione

Esercizi su massimi e minimi assoluti e moltiplicatori di Lagrange. 1. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione Esercizi su massimi e minimi assoluti e moltiplicatori di Lagrange 1. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione f(x,y) = x 2 +y 2 xy +x+y A := {(x,y) R 2, x 0,y 0,x+y 3} 2. Determinare

Dettagli

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x

Dettagli

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Soluzioni Appello del 17 GIUGNO Compito A

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Soluzioni Appello del 17 GIUGNO Compito A Soluzioni Appello del 17 GIUGNO 2010 - Compito A a) Se h = 7 il sistema ha infinite soluzioni (1 variabile libera), mentre se h 7 la soluzione è unica. b) Se h = 7 allora Sol(A b) = {( 7z, 5z + 5, z),

Dettagli

Sistemi lineari a due Equazioni

Sistemi lineari a due Equazioni Sistemi lineari a due Equazioni Significato Grafico Posizioni reciproche Tecniche Risolutive: I Metodo Metodo del Confronto diretto (Transitivo) II Metodo Metodo di Sostituzione III Metodo Metodo di Riduzione

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1 APPLICAZIONI LINEARI Applicazioni lineari tra spazi R n spazi di matrici spazi di polinomi e matrice associata rispetto ad una coppia di basi Endomorismi e matrice associata rispetto

Dettagli

Studio generale di una quadrica

Studio generale di una quadrica Studio generale di una quadrica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce quadrica Q un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice

Dettagli