Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno.

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1 Sistemi lineari Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. La discussione di un sistema si imposta in questo modo: 1 studiare il rango della matrice del sistema e studiare il rango della matrice completa; 2 dedurre la risolubilità attraverso il T. di Rouchè -Capelli (il sistema è compatibile se e solo se i due ranghi sono uguali); 3 se compatibile, dedurre il numero di soluzioni (legato alla dimensione del sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato): n r, dove n è il numero di incognite e r il rango della matrice del sistema; 4 risolverlo, utilizzando un metodo opportuno.

2 Teorema di Rouchè-Capelli Un sistema lineare (in n incognite) è compatibile (=risolubile) se e solo se il rango (r) della matrice dei coefficienti coincide con il rango della matrice completa. In tal caso il numero di soluzioni è n r.

3 Esercizio 1. (T. Rouchè-Capelli) Discutere, al variare del parametro reale k, la risolubilità del seguente sistema: x + kz = 1 3y = 2 6x 2y + 2z = 0

4 Teorema di Cramer (sistemi quadrati) Un sistema di n equazioni in n incognite ammette soluzione unica se e solo la matrice dei coefficienti è non singolare.

5 Esercizio 2. (T. Rouchè-Capelli e Cramer) Risolvere i seguenti sistemi (α R). x + z = 1 a) 3y = 2 6x 2y + 2z = 0 d) c) b) x + y + z = 1 x y = 2 2x + z = 3 x + 2y = 1 2x + 3y = 0 x y = 2 { 2x + 3y + z = 5 x + 4y + z = 7 (risolvere per compito) (discutere la risolubilità per compito)

6 Esercizio 2. (T. Rouchè-Capelli e Cramer) Risolvere i seguenti sistemi (α R). x + z = 1 a) 3y = 2 6x 2y + 2z = 0 d) c) b) x + y + z = 1 x y = 2 2x + z = 3 x + 2y = 1 2x + 3y = 0 x y = 2 { 2x + 3y + z = 5 x + 4y + z = 7 (risolvere per compito) (discutere la risolubilità per compito)

7 Esercizio 2. (T. Rouchè-Capelli e Cramer) Risolvere i seguenti sistemi (α R). x + z = 1 a) 3y = 2 6x 2y + 2z = 0 d) c) b) x + y + z = 1 x y = 2 2x + z = 3 x + 2y = 1 2x + 3y = 0 x y = 2 { 2x + 3y + z = 5 x + 4y + z = 7 (risolvere per compito) (discutere la risolubilità per compito)

8 Esercizio 2. (T. Rouchè-Capelli e Cramer) e) y + αz = 1 α 2x + (α 3)y + 4z = α + 1 x + αy αz = 1 f) 2x + y = 1 3x y + z = 1 x + y + z = 1 x 2y + z = 0, α R

9 Esercizio 2. (T. Rouchè-Capelli e Cramer) e) y + αz = 1 α 2x + (α 3)y + 4z = α + 1 x + αy αz = 1 f) 2x + y = 1 3x y + z = 1 x + y + z = 1 x 2y + z = 0, α R

10 Esercizio 2. (Sistemi omogenei, regola dei minori) Regola dei minori (dispensa p. 60): h) g) { 2x + 3y + 5z = 0 x + 5y 2z = 0 4x 2y + 3z + t = 0 5x + ky + 4z + t = 0 3x y + 2z + t = 0

11 Esercizio 2. (Sistemi omogenei, regola dei minori) Regola dei minori (dispensa p. 60): h) g) { 2x + 3y + 5z = 0 x + 5y 2z = 0 4x 2y + 3z + t = 0 5x + ky + 4z + t = 0 3x y + 2z + t = 0

12 Esercizio 2. (Sistemi omogenei, regola dei minori) Regola dei minori (dispensa p. 60): h) g) { 2x + 3y + 5z = 0 x + 5y 2z = 0 4x 2y + 3z + t = 0 5x + ky + 4z + t = 0 3x y + 2z + t = 0

13 Esercizio 3. Risolvere il sistema A x = b, al variare del parametro reale a, dove a a [ A = 1 a, b = a 1 x, x =. y] 1 2 1

14 Esercizio 4. Considerato il sistema A k x = b k, dove k x A k = 1 1 k, bk = k, x = y, z determinare, al variare di k R: a) il rango di A k ; b) il rango di [A k b k ]; c) i valori di k per i quali il sistema è compatibile e, in tal caso, dire quante sono le soluzioni; d) posto k = 0, determinare l insieme delle soluzioni.

15 Esercizio 5. Discutere, al variare del parametro λ R la risolubilità dei seguenti sistemi: x λy = 1 a) 4x + λy = 0 ; 2x + 3y = 2λ b)compito (λ 1)x + z = 1 (λ + 1)y = λ 3λx λy + 2z = 0.

16 Compito. a) Determinare i valori di k R per i quali il sistema è compatibile e dire quante sono le soluzioni. Successivamente risolverlo per k = 0: 2y + kz = 1 k (k 1)x + (k 1)y + k 2 z = k (2 k)y + kz = 1 k b) Determinare i valori di a R per i quali il sistema è compatibile e dire quante sono le soluzioni. Successivamente risolverlo per a = 1: ax + (a + 1)y = 2a + 1 2x + (a + 1)y = a + 3 (2 a)x = 2 a..

17 Eliminazione di Gauss Consiste nel rendere la matrice a scalini attraverso: scambi di righe (=scambi di equazioni del sistema); sostituzioni di una riga con una c.l. di essa con un altra (=sostituzioni di equazioni con c.l. dell equazione sostituita con un altra) Esercizio 6. In R risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x + y z = 1 a) 2x + y z = 3 x + 2y + z = 0 b) x + 2y z t = 10 2x 2y z = 3 y + t = 6

18 Eliminazione di Gauss Consiste nel rendere la matrice a scalini attraverso: scambi di righe (=scambi di equazioni del sistema); sostituzioni di una riga con una c.l. di essa con un altra (=sostituzioni di equazioni con c.l. dell equazione sostituita con un altra) Esercizio 6. In R risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x + y z = 1 a) 2x + y z = 3 x + 2y + z = 0 b) x + 2y z t = 10 2x 2y z = 3 y + t = 6

19 Eliminazione di Gauss Consiste nel rendere la matrice a scalini attraverso: scambi di righe (=scambi di equazioni del sistema); sostituzioni di una riga con una c.l. di essa con un altra (=sostituzioni di equazioni con c.l. dell equazione sostituita con un altra) Esercizio 6. In R risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x + y z = 1 a) 2x + y z = 3 x + 2y + z = 0 b) x + 2y z t = 10 2x 2y z = 3 y + t = 6

20 Eliminazione di Gauss Consiste nel rendere la matrice a scalini attraverso: scambi di righe (=scambi di equazioni del sistema); sostituzioni di una riga con una c.l. di essa con un altra (=sostituzioni di equazioni con c.l. dell equazione sostituita con un altra) Esercizio 6. In R risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x + y z = 1 a) 2x + y z = 3 x + 2y + z = 0 b) x + 2y z t = 10 2x 2y z = 3 y + t = 6

21 Compito Risolvere il seguente sistema con il metodo di eleminazione di Gauss: 2x + y + z = 2 x + z = 1. 2y + z = 1

22 Esercizio 7. Tema esame del 12 dicembre 2007

23 Compito. Tema esame del 15 giugno 2004