Relazione Finale Sull attività Di Tirocinio

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1 SSIS PUGLIA Scuol Regionle Interteneo di Specilizzzione per l Formzione degli Insegnnti dell Scuol Secondri Relzione Finle Sull ttività Di Tirocinio Indirizzo: Fisico-Informtico-Mtemtico Clsse di bilitzione: A047 (Mtemtic) Supervisore: Prof. Lucio Vernich Tutor: Prof. ess Giuseppin Fiorino Specilizznd: Mri Spgnulo Anno Accdemico 006/07

2 Indice Indice Unni iit ttàà ddi iiddt ttt tti iic ddi ii Mt tte emmt tti iic: :: Lee Eqquuzzi iionni ddi ii sse seconnddo o ggr rddo o 4 SUDDIVISIONE MACROSCOPICA...6 SUDDIVISIONE DETTAGLIATA DEI CONTENUTI...8 CONTENUTO A:... 8 Introduzione lle Equzioni di secondo grdo... 8 INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO...8 CONTENUTO B:... L Risoluzione di un equzione di secondo grdo incomplet... RISSOOLLUUZZI IOONNEE DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO INNCCOOMMPPLLEETTAA I PPUURRAA... RISSOOLLUUZZI IOONNEE DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO INNCCOOMMPPLLEETTAA I SSPPUURRI IAA...3 RISSOOLLUUZZI IOONNEE DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO INNCCOOMMPPLLEETTAA I MMOONNOOMMI IAA...5 CONTENUTO C:... 6 L Risoluzione di un equzione di secondo grdo complet... 6 RISSOOLLUUZZI IOONNEE DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO CCOOMMPPLLEETTAA...6 ILL I DDI ISSCCRRI IMMI INNAANNTTEE EE LLEE SSOOLLUUZZI IOONNI I...9 SSCCHHEEMMAATTI IZZZZAAZZI IOONNEE: :...0 CONTENUTO D:... CONTENUTO D:... Relzioni tr coefficienti e soluzioni e scomposizione di un trinomio di secondo grdo... LLAA RREELLAAZZI IOONNEE FFRRAA LLEE RRAADDI ICCI I EE I CCOOEEFFFFI ICCI IEENNTTI I DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO... SSCCOOMMPPOOSSI IZZI IOONNEE DDI I UUNN TTRRI INNOOMMI IOO DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO...3 LLAABBOORRAATTOORRI IOO DD INNFFOORRMMAATTI ICCAA: : UUTTI ILLI IZZZZOO DDEELL FFOOGGLLI IOO DDI I EEXXCCEELL...4 CONTENUTO E: Verific... 5 VEE RRI IFFI ICCAA FFOORRMMAATTI IVVAA/ /SSOOMMMMAATTI IVVAA...5 ATTTTI IVVI ITTÀÀ DDI I RREECCUUPPEERROO...6 RISSUULLTTAATTI I DDEELLLLAA PPRROOVVAA DDI I VVEERRI IFFI ICCAA...7 Bibliogrfi 9 Dott. ess Mri Spgnulo

3 Unità didtticc dii Mteemt ticc: : Lee Equzionii dii sseeccondo grrdo INTRODUZIONE Con l presente unità didttic si vuole delinere un percorso che consent llo studente di comprendere il concetto di Equzione di secondo grdo e distinguerne i vri csi. All inizio di ogni lezione ho rissunto gli rgomenti dell lezione precedente trmite un rpido scmbio di bttute con il gruppo clsse e trmite l utilizzo di schemtizzzioni, così come l termine di ogni lezione ho trccito un breve rissunto evidenzindo le prti più significtive degli rgomenti trttti. Ho esplicitto le conoscenze e le competenze richieste per ogni porzione di contenuto. Al termine del percorso ho proposto un prov con scopo di verific formtiv/sommtiv sul rggiungimento degli obiettivi dichirti. Il compito, corretto e vlutto, è stto riconsegnto in clsse con un correzione collettiv e un commento individulizzto per ogni lunno. COLLOCAZIONE NEL CURRICOLO L rgomento v inserito nel secondo qudrimestre di un II Istituto Professionle. TEMPO RICHIESTO: 8 ORE PREREQUISITI Sper eseguire operzioni di ddizione, sottrzione, moltipliczione, divisione con numeri nturli, rzionli e interi. Sper clcolre MCD e mcm. Sper eseguire operzioni in cui compiono potenze bse rzionle ed esponente intero. Conoscere e sper utilizzre le proprietà delle potenze bse rzionle ed esponente intero. Sper eseguire operzioni di ddizione, sottrzione, moltipliczione e divisione tr monomi e polinomi. Sper operre con le potenze intere di monomi e polinomi. Sper fre rccoglimenti totli e przili. Sper riconoscere e sviluppre prodotti notevoli Sper scomporre un polinomio in fttori primi. Sper clcolre MCD e mcm di monomi e polinomi. Conoscere e sper pplicre l legge di nnullmento del prodotto. Spere qul è il significto di un equzione in un incognit. 4

4 Conoscere e sper pplicre i "principi di equivlenz" delle equzioni. Sper risolvere equzioni di primo grdo numeriche, intere coefficienti interi e rzionli. Sper clcolre espressioni contenenti i rdicli. Spere rzionlizzre un denomintore contenente rdicli. OBIETTIVI COGNITIVI Definire un equzione di secondo grdo in form normle e stbilire qundo è complet o incomplet; Sper riconoscere un'equzione di secondo grdo; Sper scrivere in form normle un'equzione di II grdo; Sper riconoscere i coefficienti di un'equzione di secondo grdo; Sper clssificre le equzioni di secondo grdo in pure, spurie, monomie e complete; Sper riconoscere le relzioni tr i coefficienti di un equzione di secondo grdo e le sue soluzioni; Conoscere i vri metodi di risoluzione OBIETTIVI OPERATIVI Sper risolvere le equzioni di secondo grdo pure, spurie e monomie; Sper risolvere le equzioni di secondo grdo complete; Sper discutere il numero delle soluzioni in bse l segno del discriminnte; Sper scomporre i trinomi di secondo grdo Sper verificre se un dto vlore è o non è soluzione di un'equzione di secondo grdo; Individure le relzioni tr i coefficienti e le soluzioni di un equzione di secondo grdo pplicndole nell risoluzione di problemi vri; OBIETTIVI FORMATIVI MEZZI Uso di un linguggio pertinente e pproprito Sper scegliere l migliore strtegi per l risoluzione di problemi Sviluppre cpcità intuitive, logiche, nlitiche e sintetiche Acquisire l ttitudine riesminre criticmente ed sistemre logicmente qunto viene vi vi ppreso Acquisire l ttitudine studire ogni questione ttrverso l nlisi di tutti i suoi fttori. 5

5 Libro di testo Lvgn e gesso Fotocopie Lucidi Presentzione con MS-Power Point Lbortorio d Informtic CONTENUTI SUDDIVISIONE MACROSCOPICA: METODOLOGIE Contenuto A: or Introduzione lle equzioni di secondo grdo Definizioni Contenuto B: ore Risoluzione di un equzione di secondo grdo incomplet pur Risoluzione di un equzione di secondo grdo incomplet spuri Risoluzione di un equzione di secondo grdo incomplet monomi Contenuto C: ore Risoluzione di un equzione di secondo grdo complet Il discriminnte e le soluzioni Schemtizzzioni Contenuto D: or L relzione tr le rdici e i coefficienti di un equzione di secondo grdo Scomposizione di un trinomio di secondo grdo Lbortorio d Informtic: Utilizzo del foglio di Ecel Contenuto E: or Verific formtiv/sommtiv Attività di recupero Problem-solving Intergruppo Lezione frontle Lezione in lbortorio d Informtic: utilizzo del foglio Ecel; Esercitzioni guidte. 6

6 Esercizi cs VERIFICA E VALUTAZIONE. Le verifiche srnno di due tipi in itinere e sommtiv, l vlutzione seguirà l grigli di vlutzione del POF. Tipo di verific: orle, scritt (trmite prov semistrutturt). ATTIVITÀ DI RECUPERO Ripetizione dei contenuti fondmentli ttrverso l utilizzo di schemtizzzioni e di lezioni frontli e svolgimento di esercitzioni in clsse e cs.. VERIFICA DI RECUPERO Trmite prov orle e scritt. 7

7 SUDDIVISIONE DETTAGLIATA DEI CONTENUTI CONTENUTO A: Introduzione lle Equzioni di secondo grdo INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Per introdurre i rgzzi lo studio delle equzioni di secondo grdo ho proposto loro un semplice qunto interessnte problem stimolo: Problem stimolo: In un torneo di bech-volley, ogni squdr h giocto con tutte le ltre un sol volt e, complessivmente, si sono svolti 6 incontri. Qunte sono le squdre che hnno prtecipto l torneo? L soluzione del problem proposto può essere individut grficmente per tenttivi : ( squdre; incontro) (3 squdre; 3 incontri) (4 squdre; 6 incontri) Il modello lgebrico del problem, invece, è bsto sul seguente rgionmento: Se indic il numero delle squdre, ogni squdr incontr le rimnenti (-). In tl cso verrebbero svolti (-) incontri nei quli però, ogni incontro è contto due volte (b, b, c, c,.) e quindi: Inftti: ( ) Per squdre il numero degli incontri è: ( ) 6 3 ( 3 ) Per 3 squdre il numero degli incontri è: Per 4 squdre il numero degli incontri è: 4 ( 4 ) 3 6 8

8 D cui: 0 con N L equzione ottenut è di secondo grdo in ( in qunto il mssimo esponente dell incognit è ). Risolvendo tle equzione determineremo il numero delle squdre pervenendo llo stesso risultto già ottenuto grficmente. Osservzione: Con questo semplice ed interessnte problem stimolo ho ottenuto l ttenzione degli studenti ed il loro coinvolgimento ponendoli di fronte d un problem non solo mtemtico. Inoltre ho ftto cpire loro che ci sono molti ltri problemi non purmente mtemtici che per essere risolti hnno bisogno di equzioni di secondo grdo. È pertnto necessrio sper risolvere questi tipi di equzioni. Formlizzzione Definizione : Si definisce equzione di secondo grdo un equzione dove il mssimo vlore dell esponente con cui compre l vribile, generlmente indict con l letter, è due. L form più generle (form normle) di equzione di secondo grdo è: + b + c 0 con 0 (*) Le lettere, b e c rppresentno numeri reli e si chimno primo, secondo e terzo coefficiente dell equzione. In prticolre indic il coefficiente dell, b il coefficiente dell e c è detto termine noto. Esempi:. L equzione: è di secondo grdo in form normle e i tre coefficienti sono: 5 b 3 c -7. L equzione: è di secondo grdo in form normle e i tre coefficienti sono: 4 b -3 c 0 3. L equzione: è di secondo grdo in form normle e i tre coefficienti sono: 8 b 0 c -7 Definizione : Un equzione di secondo grdo, nell incognit, ridott form normle, si dice complet se i coefficienti, b, c sono tutti diversi d zero. Esempio: L equzione: dell esempio precedente è complet. 9

9 Definizione 3: Un equzione di secondo grdo, nell incognit, ridott form normle, si dice incomplet spuri, se mnc il termine noto ( ossi c 0). Ess si present nell form: + b 0 Esempio: L equzione: dell esempio precedente è incomplet spuri. Definizione 4: Un equzione di secondo grdo, nell incognit, ridott form normle, si dice incomplet pur, se mnc il termine in (ossi b 0). Si present nell form: + c 0 Esempio: L equzione: dell esempio 3 precedente è incomplet pur. Definizione 5: Un equzione di secondo grdo, nell incognit, ridott form normle, si dice incomplet monomi, se mnc si il termine in si il termine noto (ossi b c 0). Si present nell form: 0 Esempio: L equzione: 8 0 è incomplet monomi. Risolvere in R un equzione di secondo grdo signific determinre l insieme S dei numeri reli che l verificno. Tli numeri si dicono soluzioni o rdici dell equzione mentre S è l insieme delle soluzioni. Un equzione di secondo grdo è risolubile in R se l insieme delle soluzioni non è vuoto (S ), mentre è impossibile se l insieme delle soluzioni è vuoto (S ). Esempio: L equzione: h per soluzioni i numeri e 3. Inftti, sostituendo il numero, si ottiene: () 5() E, sostituendo il numero 3: (3) 5(3) Pertnto S {, 3} Un soluzione o rdice dell equzione è un vlore che, sostituito ll incognit, rende ver l uguglinz fr i due membri. 0

10 CONTENUTO B: L Risoluzione di un equzione di secondo grdo incomplet Risoluzione di un equzione di secondo grdo incomplet pur Risoluzione di un equzione di secondo grdo incomplet spuri Risoluzione di un equzione di secondo grdo incomplet monomi RISSOOLLUUZZI IOONNEE DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO INNCCOOMPPLLEETTAA I PPUURRAA Domnd stimolo: Risolvere l equzione: 3-0 Per risolverl ho indirizzto gli studenti d utilizzre le regole già viste per le equzioni di primo grdo: Per prim cos per il primo principio di equivlenz si trsport il termine noto, ossi il - dll'ltr prte dell'ugule cmbindolo di segno: 3 Poiché mi interess trovre il vlore dell l stess dovrà essere lscit senz ltri termini, quindi pplichimo il secondo principio dividendo entrmbe i termini per 3: 4 3 or siccome cerco l mentre ho per fre in modo che diventi dovrò fre l rdice qudrt d entrmbe i termini: Tuttvi siccome stimo trttndo rdicli lgebrici, in qunto cerchimo tutti i vlori che elevti l qudrto ci dnno il rdicndo dobbimo inserire il simbolo ±, in qunto si che - elevti l qudrto dnno come risultto 4. Osservzione: Qui è stto più difficile fr ccettre i rgzzi questo risultto! Domnd stimolo: Qule srebbe stt l soluzione se invece di 4 vessimo ottenuto 4? Rgionndo in modo nlogo l cso precedente ho portto i rgzzi ricordre che nessun numero rele elevto l qudrto dà come risultto un numero negtivo e pertnto in questo cso l equzione è impossibile, cioè non mmette soluzioni reli.

11 Formlizzzione L'equzione h l form L'equzione si può scrivere nell form: Pertnto + c 0 - c c Il primo membro dell espressione precedente è positivo, poiché è un qudrto, llor deve esserlo nche il secondo membro. Se e c sono concordi il secondo membro è negtivo in qunto l frzione è precedut dl segno meno, di conseguenz non si hnno rdici, reli essendo il primo membro positivo. Se invece e c sono discordi si hnno due rdici reli opposte che si ottengono dll seguente relzione: / ± Osservzione: Se sotto rdice compre un numero negtivo l'equzione non h soluzioni reli. In generle, quindi: Un equzione di secondo grdo del tipo + c 0, con e c discordi, h due soluzioni reli e opposte: c c +. Se e c sono concordi, non h soluzioni reli. Esercizi (svolti in clsse): Risolvere le seguenti equzioni di secondo grdo incomplete pure: c

12 RISSOOLLUUZZI IOONNEE DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO INNCCOOMPPLLEETTAA I SSPPUURRI IAA Domnd stimolo: Risolvere l equzione: 3-0 Per risolverl ho indirizzto gli studenti d utilizzre le già note regole di scomposizione di polinomi rccogliendo fttor comune l prim dell'ugule: (3 - ) 0 ed utilizzndo il principio di nnullmento del prodotto che dice che: un prodotto è zero se e solo se lmeno uno dei suoi fttori e' zero siccome devo trovre i vlori per cui il prodotto è zero, per il principio di nnullmento del prodotto dovrò porre ogni fttore ugule zero, quindi: A questo punto, 0 è già un soluzione dell equzione, mentre 3-0 è un equzione di primo grdo fcilmente risolubile in qunto si è già studito il metodo di risoluzione, d cui si ricv: e pertnto le soluzioni sono: 3 + / Formlizzzione L'equzione h l form: + b 0 Si rccoglie l fttor comune: ( + b ) 0 Si pone ogni fttore ugule zero per l legge dell nnullmento del prodotto: 0 + b 0 Si ottengono due equzioni di primo grdo che dnno come soluzione: 0 b 3

13 In generle, quindi: Un equzione di secondo grdo del tipo + b 0 h sempre due soluzioni reli di cui un è null: 0 L insieme delle soluzioni è pertnto S Esercizi (svolti in clsse): 0 ; b b 4

14 RISSOOLLUUZZI IOONNEE DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO INNCCOOMPPLLEETTAA I MOONNOOMI IAA Domnd stimolo: Risolvere l equzione: 3 0 Per risolverl ho proposto gli studenti due diversi metodi utilizzndo i metodi di risoluzione già visti per le equzioni di secondo grdo incomplete pure e spurie: I METODO: Si isol l dividendo mbo i membri per 3, ottenendo così: 0 d cui, fcendo l rdice qudrt si ottengono due soluzioni nulle: 0 0. II METODO: Si riscrive il monomio nel modo seguente: (3) 0 Per l legge dell nnullmento del prodotto si ottiene: 0 oppure: Si ottengono quindi due soluzioni nulle. Formlizzzione Un equzione di secondo grdo del tipo 0 h sempre due soluzioni reli coincidenti: In tl cso si dice che l soluzione 0 è doppi. 0 Esercizi (svolti in clsse):

15 CONTENUTO C: L Risoluzione di un equzione di secondo grdo complet RISSOOLLUUZZI IOONNEE DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO CCOOMPPLLEETTAA Approccio intuitivo Ho proposto gli studenti di provre risolvere l equzione Ho guidto gli stessi nell risoluzione ricordndo che il qudrto di un binomio ( + b) 0 è ugule l trinomio + b + b 0. Domnd stimolo: Il trinomio può essere un qudrto di binomio? Gli studenti hnno fcilmente risposto che non può essere cus del segno meno del 4. Domnd stimolo: È possibile trsformre il trinomio precedente in un equzione del tipo: ( + A) B, dove A e B rppresentno numeri reli? Ho guidto gli studenti nell rispost questo quesito procedendo nel modo seguente: Si isol il termine noto: Si scrive 0 come doppio prodotto: (5) () e lo si sostituisce nell equzione: + (5) () 4 Si cpisce fcilmente che il secondo termine del binomio cercto è 5. Aggiungimo llor il qudrto di 5 d mbo i membri: + (5) () Il primo membro dell equzione precedente è quindi il qudrto del binomio + 5. Pertnto, possimo scrivere: ( + 5) 49 Osservimo che l A e l B cercte vlgono rispettivmente 5 e 49. A questo punto possimo ricvre, fcendo l rdice qudrt di mbo i membri, due equzioni di primo grdo: ( + 5) Le soluzioni cercte sono pertnto: -. Dott. ess Mri Spgnulo 6

16 Osservzione: Il metodo ppen pplicto prende il nome di Metodo del completmento del qudrto. Formlizzzione Applichimo or il metodo del completmento del qudrto per cercre le soluzioni nel cso generle: + b + c 0 ( 0, b 0, c 0). Portimo secondo membro il termine noto c: + b - c E dividimo tutti i termini per : + b Osservzione: In questo pssggio ho ftto notre gli studenti che bbimo potuto dividere per in qunto è stto supposto 0. Scrivimo il termine b come doppio prodotto: b b c + b c Aggiungimo d mbo i membri il termine b, completndo così il qudrto: + b b + c b + In questo modo il trinomio primo membro è il qudrto del binomio b + ; quindi: b c b b b L espressione l primo membro essendo un qudrto risult essere sempre positiv o null. Pertnto, ffinché l equzione mmett soluzioni reli, nche l frzione l secondo membro deve essere non negtiv. Inoltre, poiché il denomintore dell frzione è sempre positivo, il numertore deve essere non negtivo, cioè deve risultre: b 4c 0. Quindi, se b 4c 0, possimo estrrre l rdice qudrt: b b 4c 4 + ± c b b 4c + 4 Dott. ess Mri Spgnulo 7

17 b b 4c b ± b 4c ± D qui si ottiene quell che viene dett l formul risolutiv dell equzione di secondo grdo: / b ± b Esempio pplictivo: Clcolre le rdici dell equzione: Applicndo l formul risolutiv: 4c / 0 ± (0) 4 () ( 4) () 0 ± ± 96 0 ± Osservzione: Vist l'importnz dell formul ho consiglito i rgzzi di riscriverl ogni volt che l si us, così, senz tropp ftic l si impr memori Dott. ess Mri Spgnulo 8

18 ILL I DDI ISSCCRRI IMINNAANNTTEE EE LLEE SSOOLLUUZZI IOONNI I Domnde stimolo: Chi mi ssicur l esistenz o meno delle soluzioni di un equzione di secondo grdo? Cos succede d esempio se il termine sotto l rdice qudrt è negtivo oppure nullo? Formlizzzione Per rispondere i quesiti precedenti dobbimo studire l'espressione che st sotto rdice qudrt: b - 4 c Quest espressione prende il nome di discriminnte dell equzione o di delt e solitmente viene indicto con l not letter grec miuscol : Δ. Osservzione: Il termine discriminnte deriv d discriminre che signific distinguere tr cose o persone. Inftti il discriminnte serve per distinguere le equzioni di secondo grdo in bse l tipo di soluzioni che possono presentre. Esminndo il segno del discriminnte, è possibile stbilire priori, ossi senz ricercre le soluzioni con l formul risolutiv, se l equzione ssegnt mmette soluzioni reli oppure no. In prticolre si possono presentre tre csi:. Δ > 0 : l'equzione mmette due soluzioni reli e distinte: b b 4c b + b 4c. Δ 0: l'equzione mmette due soluzioni reli e coincidenti: b 0 b + 0 b, cioè 3. Δ < 0: l'equzione non mmette soluzioni reli. Inftti non è possibile, nel cmpo dei numeri reli, estrrre l rdice qudrt di un numero negtivo. Esercitzione: Risolvere le seguenti equzioni di secondo grdo complete: Dott. ess Mri Spgnulo 9

19 SSCCHHEEMAATTI IZZZZAAZZI IOONNEE: : Ho rissunto i vri csi dell equzioni di secondo grdo complete e incomplete nelle seguenti tbelle l fine di dre llo studente un vlido supporto didttico si in fse di studio che di ripsso: SSOOLLUUZZI IOONNI I DDEELLLLEE EEQQUUAAZZI IOONNI I DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO INNCCOOMMPPLLEETTEE I Tipo di equzione Equzione Soluzioni Esempio Pur (b 0, c 0) Spuri (c 0, b 0) + c b 0 0 c c b Monomi (b c 0) SSOOLLUUZZI IOONNI I DDEELLLLEE EEQQUUAAZZI IOONNI I DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO CCOOMMPPLLEETTEE Segno del discriminnte Soluzioni Esempio Δ > 0 Δ 0 Δ < 0 Due rdici reli e distinte: b b 4c b + Due rdici reli e coincidenti: b Non esistono soluzioni reli b 4c Δ Δ - 5 Dott. ess Mri Spgnulo 0

20 CONTENUTO D: Relzioni tr coefficienti e soluzioni e scomposizione di un trinomio di secondo grdo L relzione tr le rdici e i coefficienti di un equzione di secondo grdo Scomposizione di un trinomio di secondo grdo Lbortorio d Informtic: utilizzo del foglio di Ecel LAA RREELLAAZZI IOONNEE FFRRAA LLEE RRAADDI ICCI I EE I CCOOEEFFFFI ICCI IEENNTTI I DDI I UUNN EEQQUUAAZZI IOONNEE DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO Domnde stimolo: Abbimo potuto osservre, con l risoluzione di vri tipi di equzioni di secondo grdo, che in generle, le soluzioni dell equzione + b + c 0, dipendono di vlori dei coefficienti, b e c. m esistono relzioni prticolrmente significtive tr le soluzioni e i coefficienti? Per rispondere ll domnd precedente considerimo, d esempio, l equzione: Le cui soluzioni, indicte con e, risultno: 3 ; Clcolimo l somm s e il prodotto p delle soluzioni: 3 s p 4 Osservimo questo punto che: b b 8 L somm delle rdici coincide con il rpporto cmbito di segno, ossi: ; 4 c c 3 mentre il prodotto coincide con il rpporto, ossi:. 4 Formlizzzione Qunto visto nell esempio precedente si può estendere qulsisi equzione di secondo grdo Inftti, dte le soluzioni dell equzione di secondo grdo + b + c 0: b b 4c b + b 4c Dott. ess Mri Spgnulo

21 Sommndo e si ottiene: + b Δ + b + Δ b Δ b + Δ b b Moltiplicndo e si ottiene: b Δ b + Δ b Δ b b + 4c 4c c Quindi: L somm e il prodotto delle soluzioni e dell equzione di secondo grdo + b + c 0 sono espresse dlle relzioni: + b Queste relzioni permettono in prticolri csi di ricvre le soluzioni di un'equzione di secondo grdo senz pplicre l formul risolutiv. Inftti bst cercre quei numeri le cui somme ed il prodotti corrispondno i numeri ottenuti medinte le relzioni. Occorre notre che tli numeri sono fcilmente ricvbili qundo le soluzioni sono numeri interi. Osservzione: Le dimostrzioni delle relzioni di somm e prodotto vlgono per un qulsisi equzione di secondo grdo, quindi nche nel cso in cui Δ < 0, cioè qundo l equzione non mmette soluzioni reli. Di conseguenz, è sempre possibile determinre l somm e il prodotto delle soluzioni di un equzione di secondo grdo, m non sempre i vlori delle singole soluzioni e, perché, qundo Δ < 0, pprtengono d un insieme numerico non ncor studito. c Dott. ess Mri Spgnulo

22 SSCCOOMPPOOSSI IZZI IOONNEE DDI I UUNN TTRRI INNOOMI IOO DDI I SSEECCOONNDDOO GGRRAADDOO Durnte lo scorso nno si sono studiti i vri procedimenti di fttorizzzione e, in prticolre, quelli reltivi ll scomposizione di un trinomio di secondo grdo. Tuttvi, non sempre risult semplice scomporre un trinomio di secondo grdo con tli metodi. Dimo or un ltro metodo di scomposizione per un trinomio del tipo + b + c, l cui equzione ssocit + b + c 0 h soluzioni e. Rccoglimo fttore comune nel trinomio + b + c e ricordimo le relzioni reltive ll somm e l prodotto delle rdici: Ottenimo: + b c + b + c + + ( + ) b b c + c [ ( + ) + ] D cui, scomponendo in fttori il polinomio in prentesi tonde, risult che: [ ) ( )] ( )( ) ( Quindi: Se un trinomio di secondo grdo scritto in form normle h degli zeri reli, llor esso è scomponibile in un prodotto di tre fttori, di cui uno è il primo coefficiente ( ossi il coefficiente del termine in ) e gli ltri sono le differenze fr l vribile e gli zeri del trinomio: + b + c )( ) ( Se il trinomio h un solo zero rele, cioè l scomposizione è l seguente: + b + c ( )( ) ( ) Se il trinomio non h zeri reli non si può scomporre in fttori, cioè è irriducibile. Esempio: Scomporre in fttori il trinomio Gli zeri del polinomio sono le soluzioni dell equzione: Clcolimo il Δ > 0 l equzione h due rdici reli e distinte. Risolvendo l equzione si trov: 3 e -. L scomposizione del trinomio è quindi: ( 3) ( + ). Le soluzioni e dell equzione + b + c 0 con Δ 0 sono nche dette zeri del trinomio + b + c. Dott. ess Mri Spgnulo 3

23 LLAABBOORRAATTOORRI IOO DD INNFFOORRMAATTI ICCAA: : UUTTI ILLI IZZZZOO DDEELL FFOOGGLLI IOO DDI I EEXXCCEELL Grzie ll utilizzo del foglio di Ecel ho costruito questo semplice progrmm per risolvere le equzioni di secondo grdo: inserendo i vlori dei coefficienti esso clcol il vlore del Δ e se questo è positivo o nullo nche il vlore delle soluzioni (specificndo se si trtt di soluzioni reli e distinte o reli e coincidenti), mentre se il Δ è negtivo specific che l equzione dt non mmette soluzioni reli. EQUAZIONE DI GRADO COMPLETA Un equzione di grdo complet h equzione +b+c0 CALCOLO DELLE SOLUZIONI Inserisci i tre coefficienti dell'equzione +b+c0 nelle pposite cselle: ^+3+0 b 3 c Risult Δ -0,50 -,00 L'equzione mmette due soluzioni reli distinte. I rgzzi si sono interessti molto questo tipo di studio dell mtemtic ed hnno ftto vrie prove di verific del progrmm con diverse equzioni che sono stte svolte prim d loro utilizzndo i metodi visti lezione e poi col foglio di clcolo. Ho ftto notre loro qunto questo foglio risulti comodo nel cso in cui i coefficienti comincino diventre molto grndi. Dott. ess Mri Spgnulo 4

24 CONTENUTO E: Verific Verific formtiv/sommtiv Attività di recupero Attività in clsse: lvoro individule e di gruppo ttrverso esercizi di richimo finlizzto colmre le lcune. Attività cs: ripsso dei concetti studiti ed esercizi reltivi. VEERRI IFFI ICCAA FFOORRMAATTI IVVAA/ /SSOOMMAATTI IVVAA L verific sommtiv sugli rgomenti trttti è stt svolt trmite un prov scritt contenente un breve vrietà di test ( rispost multipl e di tipo vero-flso), ed esercizi con diversi livelli di difficoltà l fine di vlutre nel miglior modo le fmose 3C (conoscenze, competenze, cpcità). Il punteggio per ogni esercizio è stto esplicitmente scritto ccnto d ognuno di essi. In tl modo ogni studente h potuto scegliere quli esercizi risolvere per rggiungere lmeno l sufficienz.. Un equzione di secondo grdo h soluzioni coincidenti se: Δ > 0 e > 0 Δ < 0 e < 0 Δ 0 0 c 0. Accnto ognun delle seguenti ffermzioni scrivi se è ver o fls. (Punti ) L equzione di secondo grdo è scritt in form normle V F Nell equzione il termine noto è ugule zero. V F Se un equzione di secondo grdo è incomplet, il coefficiente di e il termine noto sono entrmbi nulli. V F - è un soluzione dell equzione V F (Punti ) 3. Risolvi le seguenti equzioni: Dott. ess Mri Spgnulo 5

25 Risolvi le seguenti equzioni: ( 3) ( + ) 4 ( 4) 3( ) ( ) (3 + ) ( + ) ( + 3)( ) ( + 4) 5. Scomponi in fttori i seguenti trinomi di secondo grdo: (Punti 3) (Punti 3) (Punti ) ATTTTI IVVI ITTÀÀ DDI I RREECCUUPPEERROO L ttività di recupero verrà svolt risolvendo in clsse esercizi sugli rgomenti trttti l fine di colmre le lcune e di potenzire le conoscenze già cquisite. L stess srà complett individulmente dgli studenti ttrverso l risoluzione di esercizi d fre cs sull tipologi di quelli svolti in clsse e ttrverso il ripsso degli rgomenti trttti. Dott. ess Mri Spgnulo 6

26 RISSUULLTTAATTI I DDEELLLLAA PPRROOVVAA DDI I VVEERRI IFFI ICCAA Ho riportto nel grfico seguente i risultti dell prov di verific sulle equzioni di secondo grdo, in prticolre sull sse delle sono riportti i risultti ottenuti mentre sull sse delle y il numero di studenti che h ottenuto tli votzioni: lunni 4,5 4 3,5 3,5,5 0,5 0 V< V<3 3 V 3,5 4 - V 4,5 5 - V 5,5 6 - V 6,5 7 - V 7,5 8 - V 8,5 9 - V 9+ 9,5 V 0 voti Ho poi riportto gli stessi risultti su un grfico cinque clssi, per meglio evidenzire l distribuzione dei risultti: lunni V < 3 3 V < 4,5 5 - V 6,5 7 - V 8,5 9 - V 0 voti Dott. ess Mri Spgnulo 7

27 Dll nlisi dei risultti rppresentti nel digrmm cinque clssi si denot qunto l clsse si vriegt. Inftti, le votzioni si sono distribuite secondo l curv di Guss, mettendo in rislto un rmonic distribuzione dei risultti intorno un medi sufficienz. Dott. ess Mri Spgnulo 8

28 Bibliogrfi Bibliogrfi Bergmini Trifone - Zgnoli, Mnule di Algebr, ed. Znichelli N. Dodero P. Brboncini R. Mnfredi, Linementi di Geometri Anlitic e complementi di Algebr, ed. Ghisetti e Corvi Editori P. M. Ginoglio P. Arri G. Rvizz; Mtemtic Attiv: Algebr, ed. Il Cpitello Appunti e dispense fornite di Supervisori Appunti e dispense del corso di Lbortorio di didttic dell Mtemtic, prof. Rizzo Appunti e dispense del corso di Didttic dell Mtemtic II, prof. Rizzo Appunti e dispense del corso di Didttic dell Mtemtic I, prof. Pscli Dispense del corso di Docimologi, prof. Ancon Appunti del corso di Didttic generle, prof. Greco Appunti del corso di Pedgogi generle, prof. Petrelli Sitogrfi: mtemticmente.it znichelli.it Dott. ess Mri Spgnulo 9