Variabili aleatorie discrete. Probabilità e Statistica I - a.a. 04/05-1

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1 Varabl aleatore dscrete Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 -

2 Defnzone Una varable aleatora è una funzone che assoca ad ogn esto dello spazo campone d un espermento casuale un numero. L nseme de possbl valor assunt da una varable aleatora s dce range della varable aleatora. S ( spazo campone) ω ω R ω n R S : Notazone: varable aleatora l valore msurato della varable aleatora I dat numerc sono valor msurat d una varable aleatora ottenut medante replche d un espermento casuale. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 -

3 Varabl aleatore dscrete Il range è un nseme fnto (o numerable) d numer: es: numero d prove, dfett su una superfce, dfett trovat su un tot d campon testat... Per una varable aleatora con possbl valor,, K, massa d probabltà è f ( ) P( ),,,..., n. Defnzone n, la funzone Propretà: ) f ) ( n ) 0, f ( ),,... n Eserczo: S lanc una moneta equa 3 volte. Sa la varable aleatora che conta l numero d teste ottenute. Determnare la massa d probabltà. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-3

4 Dstrbuzone d probabltà La successone delle coppe (, f ( )), P( s chama dstrbuzone d probabltà assocata alla varable aleatora ( )) per,,..., n. Rappresentazone tabellare P f ( ) f ( ) L L f n ( n ) Eserczo: In un processo d produzone d semconduttor, vengono testat due wafer da un lotto. Ogn wafer vene classfcato n base all aver superato o meno l test. S assuma che la probabltà che un wafer pass l test è 0.8 e che ognuno d ess super test ndpendentemente l uno dall altro. Descrvere la varable aleatora che conta l numero d wafer che passa l test. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-4

5 Funzone d rpartzone La funzone con F ( ), è dstrbuz Defnzon e one cumulatva d una varable F ( ) P( ) f ( ) aleatora dscreta, denotata Propretà : Per una varable aleatora (a) F( ) P( ) f ( ) (b) 0 F( ) (c) se y allora F( ) F( y) dscreta, F( ) soddsfa le seguent propretà : Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-5

6 Eserczo: Sa la varable aleatora con funzone d dstrbuzone cumulatva: 0 < 0. < 0 F( ) < Calcolare la funzone massa d probabltà. Eserczo: In un azenda, n un gorno, vengono prodott 850 part d cu 50 non sono conform alle rcheste d un certo clente. Due part vengono selezonate a caso, senza rmpazzamento dal lotto. Sa l numero d part non conform. Calcolare la funzone d dstrbuzone. Eserczo: Data la seguente funzone massa d probabltà, calcolare: 0 3 pk 0 c c c 3c c c 7c + c (a) l valore d c; (b) P ( 5), P( < 5 ); se P( K) > qual è l mnmo valore d K? Probabltà e Statstca I - a.a. 04/

7 Valore medo µ E() f ( ). Propretà : E[ a + by] INDICI ae[ ] + be[ Y] Varanza σ Propretà:) V ( a ) a Devazone standard V ( ) E( µ ) ( µ ) V ( ) ) SeV ( ) 0 σ P( a) [ ] V ( ) /. f ( ) v.a.degenere Momento secondo µ E( ) f ( ). N. B.: Pochè Var l' operatore [ ] [ ] E µ + µ [ ] E ( µ ) E E è un operatore lneare, [ ] [ ] [ ] E µ + µ E µ allora Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-7

8 Dstrbuzone d Bernoull 0 P p p 0 a nsuccesso a successo Espermento casuale con solo due est E[ ] p Var[ ] p( p) Esemp: lanco d una moneta, trasmssone d un bt, nascta, teora degl error... Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-8

9 Dstrbuzone Unforme Dscreta Una varable aleatora è una varable aleatora unforme dscreta se la funzone massa d probabltà è par a : f ( ) / n,,,..., n. Se è una : varable aleatora S { a, a +, a + unforme,..., b } dscreta per a b, tale che allora µ E( ) b + a, σ ( b a + ) Eserczo: In un sstema d comuncazone a voce, c sono 48 lnee esterne. Sa l numero d lnee esterne occupate tra le 48 dsponbl. S assuma che abba una dstrbuzone unforme dscreta. Calcolare meda e varanza. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-9

10 Dstrbuzone Bnomale TIPI DI ESPERIMENTI CASUALI Lanco d una moneta 0 volte. numero d teste ottenuto. Una macchna logora produce % d part dfettose. numero d part dfettose n 5 prodotte. Ogn campone d ara ha una percentuale del 0% d contenere una molecola d un certo gas raro. Sa numero d campon d ara che contengono la molecola n 8 analzzat D tutt bts trasmess attraverso un canale d trasmssone dgtale l 0% vene rcevuto errato. Sa numero d bt errat trasmess nella trasmssone de successv 5 bts. Nelle prossme 0 nascte n ospedale, numero d femmne nate Un test contene 0 domanda, cascuna con 4 rsposte a scelta, d cu una sola è esatta. Sa l numero d domande rsposte correttamente. UNA SERIE DI PROVE RIPETUTE Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-0

11 (a) le prove sono ndpenden t; (c) la probablt à d successo è detto esperment o casuale d tpo bnomale. La varable uguale al numero d prove che fornscono un successo è detta varable bnomale La funzone con parametr massa d p (probabltà probablt à f ( ) Defnzon e Un esperment o casuale che consste d n prove rpetute (b) ogn prova ha solo due est "successo" e "nsuccesso"; p n ogn prova è data n p ( d successo) e n (numero d da : p) resta n, costante; 0,,..., n tale che : aleatora che è prove aleatora total). Eserczo: Sa l numero d bt errat trasmess attraverso un canale dgtale su una sequenza d 4 bt e sa 0% la probabltà che venga trasmesso un bt errato. Determnare la funzone d dstrbuzone. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 -

12 Teorema: Se è una varable aleatora d tpo bnomale d parametr n e p allora: con n varabl aleatore d Bernoull d parametro p. Applcazon: n [ ] p ( p) 0 np n j o n j! ( n )! ( n j + ) n p! nalogamente s dmostra chevar j n! n! ( n ) p! ( p) n n j+ ( p) np( p + p) np n ( ( n )! )! ( n ) p! [ ] E[ ] E[ ] np( p) (per eserczo) Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - n np ( p)

13 Grafc relatv a B(n,p) Dstrbuzone d probabltà 0,3 0,5 0, n 0, p ,5 Massa 0, 0, n 0, p 0. 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 Dstrbuzone d probabltà Mas sa Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-3

14 Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-4 Dstrbuzone Multnomale Generalzzazone della v.a. bnomale al caso n cu ogn prova fornsce m possbl est: m m m m p p p n P L K K,,, ),,, ( Eserczo: S consder un'urna con 5 pallne rosse, 5 pallne nere e 5 pallne banche. S effettuano 0 estrazon con rpetzone. Quanto vale la probabltà che nelle 0 estrazon sano state ottenute 3 pallne rosse, nere e 5 banche?

15 Dstrbuzone Geometrca Defnzone In una successone d prove rpetute ndpendent, con probabltà d successo costante p, sa la varable aleatora che conta l numero d prove necessare per avere l prmo successo. La varable aleatora ha dstrbuzone geometrca con parametro p e funzone massa d pro - babltà f ( ) ( p) p,,,... Eserczo: Tre mpegat vanno a prendere l caffè e decdono d sceglere a caso ch paga al seguente modo: ognuno d loro lanca una moneta contemporaneamente agl altr, a ch esce una facca dversa dalle altre tocca pagare l conto. Se tutte e tre le monete resttuscono la stessa facca, s lancano d nuovo n ara. Qual è la probabltà che tre mpegat rescano a bere l caffè dopo due prove? Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-5

16 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, Dstrbuzone d probabltà geometrca p0. 0,8 0,6 0,4 0, p0.9 Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-6

17 Se è una varable aleatora geometrca d parametro p, rsulta E[ ] µ V[ ] σ p ( p) p NB: n genere s dce che la v.a. geometrca perde memora, nel senso che, poché le prove sono ndpendent, l conto del numero d prove necessare per avere un successo può nzare da una qualsas delle prove, senza varare la dstrbuzone d probabltà. P ( n + m n ) P ( m ) serczo: Nella trasmssone d un bt lungo un canale dgtale vale 0. la probabtà che l bt venga modfcato da 0 a o vceversa. Se sono stat trasmess 00 bts, ual è la probabltà che l prmo errore, dopo 00 bts, occorra sul 06-esmo bt? Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-7

18 Dstrbuzone d Posson S consder un canale d trasmssone dgtale. Sa l numero d bt errat trasmess su una successone d n. S assuma par a p la probabltà che un bt venga trasmesso errato: tale valore resta costante durante la trasmssone. Le trasmsson sono ndpendent. S supponga che n aument e che l valore p dmnusca n modo che np rest costantemente par a un certo valore numerco. Come vene modfcata la dstrbuzone d probabltà d? P( ) n p ( p) n n λ n λ n, lm n P ( ) e λ! λ Camp d d Applcazone - Numero d partcelle contamnate nella produzone d un semconduttore; - numero d telefonate ad un centralno telefonco; - numero d partcelle emesse durante un procedmento d decadmento radoattvo; - numero d dfett nella produzone d un tessuto Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-8

19 Defnzone Dato un ntervallodell'asse reale,s assuma che gl est s verfchno casualmente lungo tale ntervallo.se l'ntervallopuò essere rpartto n sottontervall d lunghezza suffcentemente pccola, tal che () la probabltà che s verfch pù d un esto n un sottontervallo è nulla; () la probabltà d occorrenza d un esto n un sottontervalloè la stessa per tutt sottontervall ed è proporzonale alla lunghezza del sottontervallo; (3) l verfcars d un esto n un sottontervallo è ndpendente da quan - to avvene negl altr sottontervall allora l'espermento casuale prende l nome d processo d Posson. Se l numero medo d occorrenzed un esto nell'ntervalloè λ > varable aleatora che conta l numero d est che s verfcano nell' ntervallo ha una dstrbuzone d Posson d parametroλ e con fun - zone massa d probabltà par a : e f ( ) λ λ!, 0,,,... 0, la Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-9

20 Dstrbuzone d probabltà 0,8 0,6 0,4 0, Mass a 0, λ Dstrbuzone d probabltà Dstrbuzone d probabltà.0 λ 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Mas 0, 0,5 0, 0,05 Mass a 5.0 λ Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-0

21 Eserczo: S assuma che l numero d dfett n un sottle tessuto d cotone segua una dstrbuzone d Posson con meda.3 dfett per mllmetro-quadro. (A) S calcol la probabltà che c sano dfett n un mllmetro-quadro. (B) S calcol la probabltà che c sano 0 dfett n 5 mllmetr-quadro. (C) S calcol la probabltà che c sa almeno un dfetto n mllmetr-quadro d stoffa. E( ) µ λ e V ( ) σ λ Eserczo: S supponga che l numero delle chamate che arrvano ogn secondo ad un centralno telefonco sa una varable casuale d Posson con meda 5. (A) Determnare la probabltà che n un determnato secondo non arrv nessuna chamata. (B) Supponendo che l centralno sa n grado d soddsfare non pù d 0 chamate al secondo, calcolare la probabltà d trovarlo occupato. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 -

22 Dstrbuzone Ipergeometrca Eserczo: In un azenda, n un gorno, vengono prodott 850 part d cu 50 non sono conform alle rcheste d un certo clente. Due part vengono selezonate a caso, senza remssone dal lotto. Sa l numero d part non conform. Calcolare la funzone d dstrbuzone. Defnzone Un nseme d N oggett contene K < N oggett classfcat come successo e N K oggett classfcat come nsuccesso. Un campone d n < N oggett vene selezonato a caso senza remmssone.sa la varable aleatora che ndca l numero d success nel campone d tagla n. La varable aleatora ha dstrbuzone pergeometrca e massa d probabltà : K N K n f ( ), ma{ 0, n + K N},..., mn{ K, n} N n Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 -

23 Se è una varable aleatora con dstrbuzone pergeometrca E K N ( ) µ n σ V ( ) In partcolare l fattore è noto come N n N fattore d correzone d una n K N K N N N popolazon e n. fnta. allora Camponare con remmssone EQUIVALE popolazone nfnta Il fattore d correzone della d correzone a una varanza d tpo bnomale. Tale correzone vene apportata pochè s effettua un camponamento senza da una Se n < metrca popolazone fnta N, allora una è approssmata varable aleatora da ha d popolazone fnta una dstrbuzone bnomale. tagla N. con dstrbuzone pergeo - varable aleatora camponare da rappresenta remmssone bnomale. una un fattore Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-3 a

24 ONTROLLO STATISTICO DELLA QUALITA In corso d produzone D accettazone o scopo del controllo d accettazone è d fornre de crter per gudare se un certo lotto è conforme o meno medante l osservazone d un ottonseme d untà, n genere pccolo, che lo compongono. n numerostà del campone da estrarre a numero massmo d untà dfettose ammssbl sempo: Sa dato un lotto costtuto da 800 pezz. Il pano d camponamento prevede 50 e a. Determnare qual è la probabltà che un lotto contenente l 5% d undfettose, venga accettato. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05-4