Due variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha. P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b}

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1 Due variabili aleatorie X ed Y si dicono indipendenti se comunque dati due numeri reali a e b si ha P {X = a, Y = b} = P {X = a}p {Y = b}

2 Una variabile aleatoria χ che assume i soli valori 1, 2,..., n è detta binomiale con parametri (n, p) se p(i) = P {X = i} = ( n i ) p i (1 p) n i. Il valore atteso di una tale variabile binomiale è np; la varianza è np(p 1).

3 La variabile aleatoria X i che vale 1 se l i-esima prova ha successo e 0 altrimenti, è una variabile di Bernoulli. Chiaramente X = X X n è una somma di variabili indipendenti. Ebbene si ha np = E[X] = n i=1 E[X i ] = n i=1 p = np.

4 Analogamente per la varianza np(1 p) = V ar(x) = n i=1 V ar(x i ).

5 Una variabile aleatoria χ che assume i soli valori 1, 2,... è detta di Poisson con parametro λ se p(i) = P {X = i} = e λλi, i = 0, 1, 2,... i! La variabile di Poisson ha valore atteso e varianza uguali a λ.

6 Se X 1 e X 2 sono due variabili di Poisson indipendenti con parametri λ 1 e λ 2, allora X 1 + X 2 è una variabile di Poisson con parametro λ 1 + λ 2

7 In generale la somma di due variabili aleatorie X ed Y ha media uguale alla somma delle medie. Affinchè la medesima cosa capiti per la varianza è necessario che le variabili in questione siano indipendenti. Se questo non capita, interviene un fattore di correzione che dipende da una quantità detta covarianza delle due variabili: V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ).

8 Sia F un fenomeno per il quale: 1. La probabilità che F si verifichi esattamente una volta in un intervallo di tempo pari ad h sia uguale a λh + o(h). 2. La probabilità che F si verifichi due o più volte in un intervallo di tempo pari ad h sia uguale a o(h).

9 3. Siano n e j 1,..., j n numeri naturali. Dati n intervalli di tempo disgiunti, indichiamo con E i l evento nel i-esimo intervallo di tempo F si è verificato j i volte. Ebbene gli eventi E 1,..., E n sono indipendenti. Diremo allora che F è un processo di Poisson.

10 Il numero di volte N(t) che F si verifica in un intervallo di tempo t è una variabile aleatoria di Poisson con parametro λt. La costante λ, che indica il numero di volte che F si verifica nell unità di tempo, deve essere verificata empiricamente.

11 In California si è valutato empiricamente che si verificano due terremoti al mese. Supponiamo che il verificarsi di un terremoto soddisfi le proprietà di un processo di Poisson. Determinare la probabilità che vi siano almeno quattro terremoti nei prossimi tre mesi e che ve ne sia almeno uno nella prossima settimana.

12 Diciamo geometrica ogni variabile aleatoria alla quale corrisponde una densità discreta del tipo p(n) = (1 p) n 1 p. Corrisponde alla ripetizione di una prova, che ha probabilità p di successo, sino a quando non si ottiene un successo. Determinare il valore atteso di una variabile aleatoria geometrica.

13 Diciamo ipergeometrica ogni variabile aleatoria alla quale corrisponde una densità discreta del tipo p(i) = ( m i ) ( N m n i ( ) N n per fissati N, n, m. Corrisponde alla estrazione di n palline da un urna contenente N palline, di cui m bianche e le altre nere, e la variabile aleatoria conta il numero di palline bianche selezionate. )

14 Diciamo continua una variabile aleatoria X per la quale esiste una funzione non negativa f : R R con la proprietà che per ogni sottoinsieme misurabile B di R P {X B} = B f(x)dx La funzione f è detta densità continua di X.

15 Il numero di ore che un computer funziona prima di rompersi è una variabile aleatoria continua con densità continua del tipo f(x) = { λe x 100 x 0 0 x < 0 Determinare il parametro λ e quindi determinare la probabilità che il computer funzioni tra 50 e 150 ore prima di rompersi, e che funzioni per meno di 100 ore.

16 Il valore atteso di una variabile continua con densità continua f è E[X] = xf(x)dx. Se g : R R è una funzione e X una variabile aleatoria continua, allora E[g(X)] = g(x)f(x)dx

17 Calcolare il valore atteso di e X con X variabile aleatoria continua con densità continua { 2x 0 x 1 f(x) = 0 altrimenti

18 La varianza di una variabile aleatoria continua X è V ar(x) = E[(X µ) 2 ]. Continua a valere la formula V ar(x) = E[X 2 ] (E[X]) 2.

19 Calcolare il valore atteso e la varianza della variabile aleatoria continua X con densità continua f(x) = { 2x 0 x 1 0 altrimenti

20 Valgono ancora le formule V ar(ax+b) = a 2 V ar(x), E[aX+b] = ae[x]+b.

21 La somma di due variabili aleatorie continue X ed Y ha media uguale alla somma delle medie. Affinchè la medesima cosa capiti per la varianza è necessario che le variabili in questione siano indipendenti. Se questo non capita, interviene un fattore di correzione che dipende da una quantità detta covarianza delle due variabili: V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2Cov(X, Y ).

22 Diciamo che una variabile aleatoria X è uniformemente distribuita su un intervallo [α, β] della retta reale se la sua densità continua f è costante nell intervallo [α, β] e 0 altrove. Necessariamente f deve valere 1/(β α) nell intervallo [α, β].

23 L autobus numero 9 parte dalla stazione ogni 15 minuti a partire dai minuti 00. Se la mattina uno arriva alla fermata in un momento uniformemente distribuito tra le 7 e le 7.30, determinare la probabilità che attenda meno di 5 minuti la partenza dell autobus. E qual è la probabilità che attenda la partenza per più di 10 minuti?

24 Diciamo che X è una variabile aleatoria normale con parametri (µ, σ 2 ) se la sua densità continua è data da f(x) = 1 e (x µ)2 /2σ 2, x R. 2π σ I parametri µ e σ 2 rappresentano il valore atteso e la varianza della variabile normale.

25 Se X è una variabile normale con parametri µ e σ 2, allora dati a, b R, la variabile Y = ax +b è normale con parametri aµ + b e a 2 σ 2. In particolare Z = X µ è una variabile normale con parametri 0 e 1; una tale variabile σ normale è detta avere distribuzione standard.

26 La funzione di distribuzione di una variabile aleatoria normale X con distribuzione standard si indica tradizionalmente con Φ: y 1 Φ(y) = P {X y} = e x2 /2 2π A pag. 203 del libro avete la tabella. Si tenga presente che Φ( x) = 1 Φ(x), pertanto Φ( 2) = 1 Φ(2). Se Y è una variabile normale con parametri µ e σ 2, con funzione di distribuzione F, allora F (a) = P {Y a} = P { Y µ σ a µ σ } = Φ(a µ σ )

27 Sia X una variabile normale con parametri µ = 3 e σ 2 = 9. Determinare P {2 < X < 5}, P {X > 0} e P { X 3 > 6}.

28 Sia X una variabile continua uniformemente distribuita su (0, 1). Si consideri la variabile Y = X n. Determinare la funzione di distribuzione e la densità continua di Y.

29 Diseguaglianza di Markov Se X è una variabile aleatoria che assume solo valori non negativi, allora per ogni a > 0 si ha P {X a} E[X] a

30 Diseguaglianza di Chebyshev Se X è una variabile aleatoria con valore atteso µ e varianza σ 2, allora per ogni k > 0 si ha P { X µ k} σ2 k 2

31 Teorema. (Legge debole dei grandi numeri) Siano X 1,..., X n variabili aleatorie indipendenti con la medesima funzione di distribuzione, ciascuna con media e varianza finite E[X i ] = µ e V ar(x i ) = σ 2. Allora, per ogni ɛ > 0 si ha { } X P X n µ n ɛ 0 n.

32 Teorema del limite centrale Sia X 1, X 2,... una sequenza di variabile aleatorie indipendenti con la medesima funzione di distribuzione, con media µ e varianza σ 2. Allora la funzione di distribuzione di X X n nµ σ n tende alla distribuzione normale standard per n. Pertanto per < a <, si ha che per n P { X X n nµ σ n a } 1 2π a e x2 /2 dx

33 Quando n è grande, una variabile binomiale X con parametri (n, p) può essere approssimata con una variabile normale X N con parametri E[X] = np e V ar(x) = np(1 p).

34 Determinare la probabilità che lanciando 40 volte una moneta si ottenga 20 volte testa.

35 Un astronomo deve misurare in anni luce la distanza di una stella. Il subitaneo cambio di condizioni atmosferiche, normali errori di misurazione etc. fanno si che più che una misura, riesca ad ottenere una stima della reale distanza. Supponendo che diverse misurazioni siano variabile aleatorie tra loro indipendenti, con la medesima distribuzione, aventi media comune d (la distanza reale della stella), e varianza comune pari a 4 anni luce, quante misure è necessario fare per poter essere ragionevolmente sicuri che la distanza stimata abbia un margine di errore inferiore a 0.5 anni luce?

36 Il numero di studenti che fanno il primo compitino di Matematica D in teledidattica è una variabile aleatoria di Poisson con media 90. Decido che se i partecipanti sono almeno 100, ho bisogno di due aule, altrimenti ne basta una sola. Qual è la probabilità che vengano utilizzate davvero due aule?

37 Lanciamo dieci dadi. Determinare la probabilità che la somma sia compresa tra 30 e 40 inclusi.

38 Teorema (Legge dei grandi numeri) Sia X 1, X 2,... una sequenza variabili aleatorie indipendenti, con la medesima distribuzione, tutte aventi media finita µ. Allora con probabilità 1, X X n n µ n.