p. 1/2 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 27/01 14:30 P50 29/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 03/02 14:30 P50 05/02 14:30 P50
|
|
- Edmondo Repetto
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 p. 1/2 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 27/01 14:30 P50 29/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 03/02 14:30 P50 05/02 14:30 P50
2 p. 1/2 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 27/01 14:30 P50 29/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 03/02 14:30 P50 05/02 14:30 P50 Raccolta adesioni e moduli per l utilizzo dell aula informatica presso il Dp. di Astronomia. Compilare e restituire al più presto.
3 p. 2/2 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno.
4 p. 2/2 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno. Come fare per arrivare a m ± m?
5 p. 2/2 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno. Come fare per arrivare a m ± m? Il problema della misura in presenza di errori accidentali va impostato in termini statistico-probabilistici.
6 p. 2/2 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno. Come fare per arrivare a m ± m? Il problema della misura in presenza di errori accidentali va impostato in termini statistico-probabilistici. La teoria della probabilità si occupa della costruzione di modelli probabilistici (matematici) che descrivano i fenomeni aleatori/casuali. ( Es. funzione di densità di probabilità di un dado).
7 p. 2/2 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno. Come fare per arrivare a m ± m? Il problema della misura in presenza di errori accidentali va impostato in termini statistico-probabilistici. La teoria della probabilità si occupa della costruzione di modelli probabilistici (matematici) che descrivano i fenomeni aleatori/casuali. ( Es. funzione di densità di probabilità di un dado). La statistica si occupa di verificare l aderenza di un modello rispetto ai dati sperimentali. (Es. dato un certo dado, stabilire se è conforme alle previsioni probabilistiche o se è truccato).
8 p. 3/2 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo.
9 p. 3/2 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto.
10 p. 3/2 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto. Spazio dei risultati S: insieme di tutte le possibili realizzazioni/modalità di un fenomeno.
11 p. 3/2 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto. Spazio dei risultati S: insieme di tutte le possibili realizzazioni/modalità di un fenomeno. Evento casuale: una o più modalità del fenomeno.
12 p. 3/2 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto. Spazio dei risultati S: insieme di tutte le possibili realizzazioni/modalità di un fenomeno. Evento casuale: una o più modalità del fenomeno. Spazio degli eventi: insieme tutti i possibili sottoinsiemi di S, compresi tra 0 (evento impossibile) e S (evento certo).
13 p. 3/2 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto. Spazio dei risultati S: insieme di tutte le possibili realizzazioni/modalità di un fenomeno. Evento casuale: una o più modalità del fenomeno. Spazio degli eventi: insieme tutti i possibili sottoinsiemi di S, compresi tra 0 (evento impossibile) e S (evento certo). Variabile casuale: variabile che associa in modo univoco un numero ad ogni realizzazione di un fenomeno casuale.
14 p. 4/2 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado
15 p. 4/2 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi
16 p. 4/2 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.}
17 p. 4/2 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.} Evento casuale: uscita di un numero dispari
18 p. 4/2 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.} Evento casuale: uscita di un numero dispari Variabile casuale: 1 se esce numero dispari, 0 se esce numero pari.
19 p. 4/2 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.} Evento casuale: uscita di un numero dispari Variabile casuale: 1 se esce numero dispari, 0 se esce numero pari. A causa delgi errori accidentali la misura di una grandezza fisica è un evento casuale.
20 p. 4/2 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.} Evento casuale: uscita di un numero dispari Variabile casuale: 1 se esce numero dispari, 0 se esce numero pari. A causa delgi errori accidentali la misura di una grandezza fisica è un evento casuale. Il risultato numerico di tale misura è una variabile casuale.
21 p. 5/2 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E.
22 p. 5/2 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro.
23 p. 5/2 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro. indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilità dell altro.
24 p. 5/2 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro. indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilità dell altro. dipendenti: il verificarsi di uno condiziona la probabilità dell altro.
25 p. 5/2 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro. indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilità dell altro. dipendenti: il verificarsi di uno condiziona la probabilità dell altro. Eventi incompatibili: il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro.
26 p. 5/2 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro. indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilità dell altro. dipendenti: il verificarsi di uno condiziona la probabilità dell altro. Eventi incompatibili: il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro. Evento complesso: verificarsi di due o più eventi simultaneamente (eventi compatibili) o verificarsi di uno solo dei possibili eventi elementari (eventi incompatibili).
27 p. 6/2 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi:
28 p. 6/2 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari"
29 p. 6/2 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari" 2. B = "la somma dei punti sia dispari"
30 p. 6/2 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari" 2. B = "la somma dei punti sia dispari" 3. C = "la somma dei punti sia divisibile per tre".
31 p. 6/2 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari" 2. B = "la somma dei punti sia dispari" 3. C = "la somma dei punti sia divisibile per tre". Gli eventi A e B sono incompatibili.
32 p. 6/2 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari" 2. B = "la somma dei punti sia dispari" 3. C = "la somma dei punti sia divisibile per tre". Gli eventi A e B sono incompatibili. Gli eventi A e C e gli eventi B e C sono compatibili.
33 p. 7/2 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili:
34 p. 7/2 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili: 1. A = La prima pallina estratta sia bianca
35 p. 7/2 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili: 1. A = La prima pallina estratta sia bianca 2. B = La seconda pallina estratta sia bianca
36 p. 7/2 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili: 1. A = La prima pallina estratta sia bianca 2. B = La seconda pallina estratta sia bianca Se la prima pallina bianca viene rimessa nell urna dopo l estrazione gli eventi A e B sono compatibili independenti.
37 p. 7/2 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili: 1. A = La prima pallina estratta sia bianca 2. B = La seconda pallina estratta sia bianca Se la prima pallina bianca viene rimessa nell urna dopo l estrazione gli eventi A e B sono compatibili independenti. Se la prima pallina bianca non viene rimessa nell urna dopo l estrazione gli eventi A e B sono compatibili dipendenti.
38 p. 8/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori.
39 p. 8/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili.
40 p. 8/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che:
41 p. 8/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1.
42 p. 8/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1. p(e) = 0 per eventi impossibili.
43 p. 8/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1. p(e) = 0 per eventi impossibili. p(e) = 1 per eventi certi.
44 p. 8/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1. p(e) = 0 per eventi impossibili. p(e) = 1 per eventi certi. Osservazioni Utile per calcolare probabilità nei casi di eventi semplici con un numero finito di casi possibili (es. dadi, carte, ecc.) Contiene in sè una tautologia nell implicita definizione di equiprobabilità. È possibile stimare la probabilità di un evento a partire dalla simmetria del problema.
45 p. 9/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori.
46 p. 9/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove.
47 p. 9/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: p(e) lim N f(e) = lim N n E /N
48 p. 9/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni p(e) lim N f(e) = lim N n E /N
49 p. 9/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni p(e) lim N f(e) = lim N n E /N Le N prove possono essere effettuate sia ripetendo N volte successivamente lo stesso esperimento, sia effettuando simultaneamente N esperimenti identici.
50 p. 9/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni p(e) lim N f(e) = lim N n E /N Le N prove possono essere effettuate sia ripetendo N volte successivamente lo stesso esperimento, sia effettuando simultaneamente N esperimenti identici. La definizione è utilizzabile solo nei casi in cui si disponga di un evento ripetibile o di un gran numero di eventi simili.
51 p. 9/2 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni p(e) lim N f(e) = lim N n E /N Le N prove possono essere effettuate sia ripetendo N volte successivamente lo stesso esperimento, sia effettuando simultaneamente N esperimenti identici. La definizione è utilizzabile solo nei casi in cui si disponga di un evento ripetibile o di un gran numero di eventi simili. La probabilità di un evento risulta essere una caratteristica unitamente dell evento e dell insieme degli N casi considerati, cioè del campione scelto.
52 p. 10/2 TEOREMA DI BERNOULLI LEGGE DEI GRANDI NUMERI Assumendo come definizione di probabilità quella assiomatica, è possibile dimostrare che al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un evento casuale converga verso la probabilità dell evento stesso.
53 p. 10/2 TEOREMA DI BERNOULLI LEGGE DEI GRANDI NUMERI Assumendo come definizione di probabilità quella assiomatica, è possibile dimostrare che al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un evento casuale converga verso la probabilità dell evento stesso. La convergenza va intesa in senso statistico, ossia aumentando il numero di prove diventa sempre meno improbabile che frequenza relativa differisca molto dalla probabilità dell evento.
54 TEOREMA DI BERNOULLI LEGGE DEI GRANDI NUMERI Assumendo come definizione di probabilità quella assiomatica, è possibile dimostrare che al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un evento casuale converga verso la probabilità dell evento stesso. La convergenza va intesa in senso statistico, ossia aumentando il numero di prove diventa sempre meno improbabile che frequenza relativa differisca molto dalla probabilità dell evento. La legge afferma che ǫ piccolo a piacere esiste un intero M tale che per N > M lim N p( f(e) p(e) < ǫ) = 1 p. 10/2
55 p. 11/2 EOREMA DI BERNOULLI: un esempio Supponiamo di lanciare in aria una moneta e di considerare l evento casuale TESTA. Sappiamo che la probabilità assiomatica è p(t) = 0.5.
56 p. 11/2 EOREMA DI BERNOULLI: un esempio Supponiamo di lanciare in aria una moneta e di considerare l evento casuale TESTA. Sappiamo che la probabilità assiomatica è p(t) = 0.5. Passiamo all ambito sperimentale e consideriamo l andamento della frequenza relativa dell evento in funzione del numero di lanci.
57 p. 11/2 EOREMA DI BERNOULLI: un esempio Supponiamo di lanciare in aria una moneta e di considerare l evento casuale TESTA. Sappiamo che la probabilità assiomatica è p(t) = 0.5. Passiamo all ambito sperimentale e consideriamo l andamento della frequenza relativa dell evento in funzione del numero di lanci. Si nota che per N basso la frequenza presenta delle fluttuazioni mentre all aumentare del numero di lanci essa tende a stabilizzarsi attorno ad un valore prossimo a 0.5.
58 p. 12/2 OREMA DI BERNOULLI: considerazio In altri termini, maggiore è il numero di prove e meno frequentemente succede di osservare grandi scarti della frequenza dal valore della probabilità.
59 p. 12/2 OREMA DI BERNOULLI: considerazio In altri termini, maggiore è il numero di prove e meno frequentemente succede di osservare grandi scarti della frequenza dal valore della probabilità. La legge dei grandi numeri stabilisce il comportamento asintotico della frequenza relativa, mentre non dice nulla sulla probabilità di successo della singola prova (che resta sempre p).
60 p. 12/2 OREMA DI BERNOULLI: considerazio In altri termini, maggiore è il numero di prove e meno frequentemente succede di osservare grandi scarti della frequenza dal valore della probabilità. La legge dei grandi numeri stabilisce il comportamento asintotico della frequenza relativa, mentre non dice nulla sulla probabilità di successo della singola prova (che resta sempre p). Questa legge non dice che l osservazione di 10 teste aumenta la probabilità che venga croce all undicesima prova. Fraintendimento comune dei giocatori d azzardo (lotto), che scommettono sull evento che non si verifica da più tempo, convinti che, per questo fatto, esso si debba verificare.
61 p. 13/2 PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ Si possono ricavare a partire da ciascuna delle due definizioni. Utilizziamo qui la definizione empirica.
62 p. 13/2 PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ Si possono ricavare a partire da ciascuna delle due definizioni. Utilizziamo qui la definizione empirica. Probabilità dell evento complementare E Nota p(e), quanto vale p(e)? f(e) = N n N = 1 n N = 1 f(e) Passando al limite per N p(e) = 1 p(e) da cui p(e) + p(e) = 1
63 p. 13/2 PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ Si possono ricavare a partire da ciascuna delle due definizioni. Utilizziamo qui la definizione empirica. Probabilità dell evento complementare E Nota p(e), quanto vale p(e)? f(e) = N n N = 1 n N = 1 f(e) Passando al limite per N p(e) = 1 p(e) da cui p(e) + p(e) = 1 I due eventi E ed E si escludono mutuamente ed esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento.
64 p. 13/2 PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ Si possono ricavare a partire da ciascuna delle due definizioni. Utilizziamo qui la definizione empirica. Probabilità dell evento complementare E Nota p(e), quanto vale p(e)? f(e) = N n N = 1 n N = 1 f(e) Passando al limite per N p(e) = 1 p(e) da cui p(e) + p(e) = 1 I due eventi E ed E si escludono mutuamente ed esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento. In un lancio di un dado qual è la probabilità che non esca il 4? p(4) = 1 p(4) = 1 1/6 = 5/6.
65 p. 14/2 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE Consideriamo il risultato di un esperimento che comporti il verificarsi di 2 eventi simultanei (detti E, F ). Vogliamo calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di essi a partire dalla probabilità che si verifichi ciascuno di essi. Si hanno 4 possibili risultati: E F si verifica E e si verifica F n 11 freq. ass. E F si verifica E e non si verifica F n 12 E F non si verifica E e si verifica F n 21 E F non si verifica E e non si verifica F n 22
66 p. 14/2 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE Consideriamo il risultato di un esperimento che comporti il verificarsi di 2 eventi simultanei (detti E, F ). Vogliamo calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di essi a partire dalla probabilità che si verifichi ciascuno di essi. Si hanno 4 possibili risultati: E F si verifica E e si verifica F n 11 freq. ass. E F si verifica E e non si verifica F n 12 E F non si verifica E e si verifica F n 21 E F non si verifica E e non si verifica F n 22 n 11 + n 12 + n 21 + n 22 = N numero totale di prove
67 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE Consideriamo il risultato di un esperimento che comporti il verificarsi di 2 eventi simultanei (detti E, F ). Vogliamo calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di essi a partire dalla probabilità che si verifichi ciascuno di essi. Si hanno 4 possibili risultati: E F si verifica E e si verifica F n 11 freq. ass. E F si verifica E e non si verifica F n 12 E F non si verifica E e si verifica F n 21 E F non si verifica E e non si verifica F n 22 n 11 + n 12 + n 21 + n 22 = N numero totale di prove Le frequenze relative sono date da: f(e F) = n 11 /N f(e F) = n 12 /N f(e F) = n 21 /N f(e F) = n 22 /N f(e) = (n 11 + n 12 )/N = f(e F) + f(e F) f(f) = (n 11 + n 21 )/N = f(e F) + f(e F) p. 14/2
68 p. 15/2 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE La frequenza dell evento complesso somma logica E + F verificarsi di E o di F o di entrambi è data da: f(e + F) = (n 11 + n 12 + n 21 )/N = (n 11 + n 12 + n 21 + n 11 n 11 )/N = (n 11 + n 12 )/N + (n 11 + n 21 )/N n 11 /N = f(e) + f(f) f(e F)
69 p. 15/2 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE La frequenza dell evento complesso somma logica E + F verificarsi di E o di F o di entrambi è data da: f(e + F) = (n 11 + n 12 + n 21 )/N = (n 11 + n 12 + n 21 + n 11 n 11 )/N = (n 11 + n 12 )/N + (n 11 + n 21 )/N n 11 /N = f(e) + f(f) f(e F) Utilizzando la definizione di probabilità empirica, passando al limite N p(e + F) = p(e) + p(f) p(e F) la probabilità totale di due eventi E e F, è pari alla somma delle singole probabilità p(e) e p(f) diminuita della probabilità della loro intersezione (verificarsi simultaneamente).
70 p. 15/2 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE La frequenza dell evento complesso somma logica E + F verificarsi di E o di F o di entrambi è data da: f(e + F) = (n 11 + n 12 + n 21 )/N = (n 11 + n 12 + n 21 + n 11 n 11 )/N = (n 11 + n 12 )/N + (n 11 + n 21 )/N n 11 /N = f(e) + f(f) f(e F) Utilizzando la definizione di probabilità empirica, passando al limite N p(e + F) = p(e) + p(f) p(e F) la probabilità totale di due eventi E e F, è pari alla somma delle singole probabilità p(e) e p(f) diminuita della probabilità della loro intersezione (verificarsi simultaneamente). Equivale a calcolare l unione di due insiemi.
71 p. 16/2 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale
72 p. 16/2 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale Equivale al caso di due insiemi disgiunti.
73 p. 16/2 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale Equivale al caso di due insiemi disgiunti. ESEMPI
74 p. 16/2 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale Equivale al caso di due insiemi disgiunti. ESEMPI Ottenere T o C nel lancio di una moneta: p(t oc) = p(t) + p(c) = = 1
75 p. 16/2 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale Equivale al caso di due insiemi disgiunti. ESEMPI Ottenere T o C nel lancio di una moneta: p(t oc) = p(t) + p(c) = = 1 Estrarre da un mazzo di 52 carte un Q o una carta di fiori: p(qo ) = p(q) + p( ) p(q ) = = 4 13
76 p. 17/2 PROBABILITÀ TOTALE Estrarre una sfera bianca o nera da un urna con a sfere bianche, b sfere nere, c sfere di altri colori: p(bianca onera) = p(bianca) + p(nera) = a a + b + c + b a + b + c
77 p. 17/2 PROBABILITÀ TOTALE Estrarre una sfera bianca o nera da un urna con a sfere bianche, b sfere nere, c sfere di altri colori: p(bianca onera) = p(bianca) + p(nera) = a a + b + c + b a + b + c Si lanciano due dadi e si indicano con E l evento "il primo dado dà 6", con F l evento "il secondo dado dà 6". L evento "almeno un dado dà 6" è l unione di due eventi compatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno 6"). La probabilità di ottenere almeno un 6 è quindi: = 11 36
78 p. 18/2 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Nel caso di eventi compatibili dipendenti, è utile definire la probabilità condizionata che si verifichi un evento, essendosi verificato l altro: p(e F) probabilità di E dato F, cioè la probabilità che si verifichi E essendosi verificato F.
79 p. 18/2 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Nel caso di eventi compatibili dipendenti, è utile definire la probabilità condizionata che si verifichi un evento, essendosi verificato l altro: p(e F) probabilità di E dato F, cioè la probabilità che si verifichi E essendosi verificato F. Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti: p(e F) = p(e) p(f E) = p(f)
80 p. 18/2 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Nel caso di eventi compatibili dipendenti, è utile definire la probabilità condizionata che si verifichi un evento, essendosi verificato l altro: p(e F) probabilità di E dato F, cioè la probabilità che si verifichi E essendosi verificato F. Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti: p(e F) = p(e) p(f E) = p(f) Estrarre 2 carte di fiori da un mazzo di 52 carte: p( )ep( ) = p( ) p( ) =
81 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Nel caso di eventi compatibili dipendenti, è utile definire la probabilità condizionata che si verifichi un evento, essendosi verificato l altro: p(e F) probabilità di E dato F, cioè la probabilità che si verifichi E essendosi verificato F. Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti: p(e F) = p(e) p(f E) = p(f) Estrarre 2 carte di fiori da un mazzo di 52 carte: p( )ep( ) = p( ) p( ) = I primi tre estratti al lotto siano 3 numeri assegnati: p(n 1 en 2 en 3 ) = p(n 1 ) p(n 2 n 1 ) p(n 3 n 2 n 1 ) = p. 18/2
82 p. 19/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e e, F).
83 p. 19/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e e, F). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi.
84 p. 19/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e e, F). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi. Calcoliamo la frequenza di E dato F : f(e F) = n 11 /(n 11 + n 21 ) = (n 11 /N) N/(n 11 + n 21 ) = f(e F)/f(F)
85 p. 19/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e e, F). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi. Calcoliamo la frequenza di E dato F : f(e F) = n 11 /(n 11 + n 21 ) = (n 11 /N) N/(n 11 + n 21 ) = f(e F)/f(F) Analogamente, la frequenza di F dato E: f(f E) = n 11 /(n 11 + n 12 ) = (n 11 /N) N/((n 11 + n 12 ) = f(e F)/f(E)
86 p. 19/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e e, F). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi. Calcoliamo la frequenza di E dato F : f(e F) = n 11 /(n 11 + n 21 ) = (n 11 /N) N/(n 11 + n 21 ) = f(e F)/f(F) Analogamente, la frequenza di F dato E: f(f E) = n 11 /(n 11 + n 12 ) = (n 11 /N) N/((n 11 + n 12 ) = f(e F)/f(E) Da cui si ricava: f(e F) = f(f)f(e F) = f(e)f(f E).
87 p. 19/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e e, F). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi. Calcoliamo la frequenza di E dato F : f(e F) = n 11 /(n 11 + n 21 ) = (n 11 /N) N/(n 11 + n 21 ) = f(e F)/f(F) Analogamente, la frequenza di F dato E: f(f E) = n 11 /(n 11 + n 12 ) = (n 11 /N) N/((n 11 + n 12 ) = f(e F)/f(E) Da cui si ricava: f(e F) = f(f)f(e F) = f(e)f(f E). Passando al limite N : p(e F) = p(f)p(e F) = p(e)p(f E)
88 p. 20/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti p(e F) = p(e) p(f) Legge della probabilità composta
89 p. 20/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti p(e F) = p(e) p(f) Legge della probabilità composta Avere in 2 lanci di una moneta entrambi T: p(t et) = p(t) p(t) = In generale in n lanci: p(t et...) = ( ) n 1. 2
90 p. 20/2 PROBABILITÀ COMPOSTA Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti p(e F) = p(e) p(f) Legge della probabilità composta Avere in 2 lanci di una moneta entrambi T: p(t et) = p(t) p(t) = In generale in n lanci: p(t et...) = ( ) n 1. 2 Ottenere 5 in 3 lanci successivi di un dado: p(5e5e5) = p(5) p(5) p(5) = =
91 p. 21/2 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che:
92 p. 21/2 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13
93 p. 21/2 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4
94 p. 21/2 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52
95 p. 21/2 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52 4. Non sia nè un 4 nè un picche p(4 + ) = 1 p(4 + ) = 1 (p(4) + p( ) p(4 )) = 1 (1/13 + 1/4 1/52) = 1 4/13 = 9/13
96 p. 21/2 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52 4. Non sia nè un 4 nè un picche p(4 + ) = 1 p(4 + ) = 1 (p(4) + p( ) p(4 )) = 1 (1/13 + 1/4 1/52) = 1 4/13 = 9/13 Si estraggono due carte, determinare la probabilità che siano entrambe assi se a) la prima è rimessa nel mazzo; b) non è rimessa nel mazzo
97 p. 21/2 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52 4. Non sia nè un 4 nè un picche p(4 + ) = 1 p(4 + ) = 1 (p(4) + p( ) p(4 )) = 1 (1/13 + 1/4 1/52) = 1 4/13 = 9/13 Si estraggono due carte, determinare la probabilità che siano entrambe assi se a) la prima è rimessa nel mazzo; b) non è rimessa nel mazzo a) p(e ef) = p(e) p(f E) = p(e) p(f) = 4/52 4/52 = 1/ %
98 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52 4. Non sia nè un 4 nè un picche p(4 + ) = 1 p(4 + ) = 1 (p(4) + p( ) p(4 )) = 1 (1/13 + 1/4 1/52) = 1 4/13 = 9/13 Si estraggono due carte, determinare la probabilità che siano entrambe assi se a) la prima è rimessa nel mazzo; b) non è rimessa nel mazzo a) p(e ef) = p(e) p(f E) = p(e) p(f) = 4/52 4/52 = 1/ % b) p(e) p(f E) = 4/52 3/51 = 1/ %. p. 21/2
99 p. 22/2 ESERCIZI Determinare la probabilità che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali.
100 p. 22/2 ESERCIZI Determinare la probabilità che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali. p(almeno 2 cifre uguali) = 1 p(tutte cifre diverse) = 1 (10/10 9/10 8/10 7/10) = = 0.496
101 p. 22/2 ESERCIZI Determinare la probabilità che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali. p(almeno 2 cifre uguali) = 1 p(tutte cifre diverse) = 1 (10/10 9/10 8/10 7/10) = = L apertura di una porta è comandata dal segnale congiunto di due fotocelle. Se ciascuna fotocella ha un inefficienza del 3% (probabilità di non rivelare l avvicinarsi di una persona), qual è la probabilità che la porta non si apra quando si avvicina una persona?
102 p. 22/2 ESERCIZI Determinare la probabilità che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali. p(almeno 2 cifre uguali) = 1 p(tutte cifre diverse) = 1 (10/10 9/10 8/10 7/10) = = L apertura di una porta è comandata dal segnale congiunto di due fotocelle. Se ciascuna fotocella ha un inefficienza del 3% (probabilità di non rivelare l avvicinarsi di una persona), qual è la probabilità che la porta non si apra quando si avvicina una persona? p(nonsi apra) = 1 p(si apra) = 1 (p(fc1) p(fc2)) = 1 [(1 0.03) (1 0.03)] = 1 ( ) =
103 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato?
104 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? ( ) ( ) = 20 10
105 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? ( ) ( ) = = 67.3
106 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? ( ) ( ) = = = 96.6
107 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? ( ) ( ) = = = =
108 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? ( ) ( ) = = = = Trovare le dimensioni della costante di gravitazione universale G in funzione delle dimensioni delle grandezze fondamentali nel S.I. Si ricorda che la forza di gravitazione è data da: F = G m 1 m 2 r 2
109 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? ( ) ( ) = = = = Trovare le dimensioni della costante di gravitazione universale G in funzione delle dimensioni delle grandezze fondamentali nel S.I. Si ricorda che la forza di gravitazione è data da: F = G m 1 m 2 r 2 I seguenti valori sono il risultato di calcoli numerici: Si sa che l errore relativo su ogni valore è il 1%. Tenendo conto che l incertezza sull errore è il 30% dell errore, esprimere il valore vero usando l appropriato numero di cifre significative per il miglior valore e l incertezza.
110 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? ( ) ( ) = = = = Trovare le dimensioni della costante di gravitazione universale G in funzione delle dimensioni delle grandezze fondamentali nel S.I. Si ricorda che la forza di gravitazione è data da: F = G m 1 m 2 r 2 I seguenti valori sono il risultato di calcoli numerici: Si sa che l errore relativo su ogni valore è il 1%. Tenendo conto che l incertezza sull errore è il 30% dell errore, esprimere il valore vero usando l appropriato numero di cifre significative per il miglior valore e l incertezza.
111 p. 23/2 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? ( ) ( ) = = = = Trovare le dimensioni della costante di gravitazione universale G in funzione delle dimensioni delle grandezze fondamentali nel S.I. Si ricorda che la forza di gravitazione è data da: F = G m 1 m 2 r 2 I seguenti valori sono il risultato di calcoli numerici: Si sa che l errore relativo su ogni valore è il 1%. Tenendo conto che l incertezza sull errore è il 30% dell errore, esprimere il valore vero usando l appropriato numero di cifre significative per il miglior valore e l incertezza.
p. 1/24 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 26/01 14:30 P50 28/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 02/02 14:30 P50
p. 1/24 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 26/01 14:30 P50 28/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 02/02 14:30 P50 p. 2/24 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali,
DettagliElementi di Teoria della Probabilità
Elementi di Teoria della Probabilità Alcune definizioni iniziali: Fenomeno casuale: fenomeno ripetibile (almeno in teoria) infinite volte che può manifestarsi in diverse modalità, imprevedibili singolarmente,
Dettagli3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali
Capitolo 3 Elementi di teoria della probabilità Abbiamo già notato come, per la ineliminabile presenza degli errori di misura, quello che otteniamo come risultato della stima del valore di una grandezza
DettagliSperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3
Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 A Garfagnini, M Mazzocco, C Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Teoria della Probabilità L ineliminabile
DettagliCalcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosiddette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello
DettagliLa PROBABILITA è un numero che si associa ad un evento E ed esprime il grado di aspettativa circa il suo verificarsi.
La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ogni volta. La PROBABILITA
Dettagli6.2 La probabilità e gli assiomi della probabilità
6.2 La probabilità e gli assiomi della probabilità L introduzione alla teoria della probabilità può essere vista come un applicazione della teoria degli insiemi. Essa si occupa degli esperimenti il cui
DettagliCalcolo della probabilità
Calcolo della probabilità GLI EVENTI Un evento è un fatto che può accadere o non accadere. Se esso avviene con certezza si dice evento certo, mentre se non può mai accadere si dice evento impossibile.
DettagliLa probabilità matematica
1 La probabilità matematica In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno. DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi
DettagliΨ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE
Ψ PSICOMETRIA Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE CAMPIONE caratteristiche conosciute POPOLAZIONE caratteristiche sconosciute STATISTICA INFERENZIALE STIMA
DettagliLanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4. uscirà il numero 9
Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4 o ancora: uscirà il numero 9 Possiamo dire che le previsione del tuo compagno sono la prima certa, la seconda
DettagliLa probabilità composta
La probabilità composta DEFINIZIONE. Un evento E si dice composto se il suo verificarsi è legato al verificarsi contemporaneo (o in successione) degli eventi E 1, E 2 che lo compongono. Consideriamo il
DettagliCalcolo delle Probabilità
Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello
DettagliEvento Aleatorio. Un evento si dice aleatorio se può o non può verificarsi (Alea in greco vuol dire dado)
ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Evento Aleatorio Un evento si dice aleatorio se può o non può verificarsi (Alea in greco vuol dire dado) Esempi di eventi aleatori 1. Ottenere un certo numero nel
Dettagli1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3.
Corso di Laurea INTERFACOLTÀ - Esercitazione di Statistica n 6 ESERCIZIO 1: 1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3. lancio di
DettagliProbabilità. Spazi di probabilità
Probabilità Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 1 Spazi di probabilità Un esperimento si dice casuale quando esso può essere ripetuto quante volte si vuole, ed il risultato di ogni esecuzione
DettagliLezione 2. La probabilità oggettiva : definizione classica e frequentistica e loro problemi
Lezione 2 La probabilità oggettiva : definizione classica e frequentistica e loro problemi La definizione classica Definizione classica: La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi
DettagliIL CALCOLO DELLE PROBABILITA
IL CALCOLO DELLE PROBABILITA INTRODUZIONE Già 3000 anni fa gli Egizi praticavano un antenato del gioco dei dadi, che si svolgeva lanciando una pietra. Il gioco dei dadi era diffuso anche nell antica Roma,
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/15
MATEMATICA a.a. 2014/15 5. Introduzione alla probabilità: Definizioni di probabilità. Evento, prova, esperimento. Eventi indipendenti e incompatibili. Probabilità condizionata. Teorema di Bayes CONCETTI
DettagliProbabilità esempi. Aiutiamoci con una rappresentazione grafica:
Probabilità esempi Paolo e Francesca giocano a dadi. Paolo scommette che, lanciando due dadi, si otterrà come somma 8 oppure 9. Francesca scommette che si otterrà come somma un numero minore o uguale a
DettagliPROBABILITA. DEFINIZIONE: Ogni singolo risultato di un esperimento casuale si chiama evento elementare
PROBABILITA La teoria della probabilità si applica ad esperimenti aleatori o casuali: ossia, esperimenti il cui risultato non è prevedibile a priori. Ad esempio, lancio di un dado, lancio di una moneta,
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITA
CALCOLO DELLE PROBABILITA Italo Nofroni Statistica medica - Facoltà di Medicina Sapienza - Roma Nella ricerca scientifica, così come nella vita, trionfa l incertezza Chi guiderà il prossimo governo? Quanto
DettagliÈ l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo.
A Ripasso Terminologia DOMADE Spazio campionario Evento Evento certo Evento elementare Evento impossibile Evento unione Evento intersezione Eventi incompatibili Evento contrario RISPOSTE È l insieme di
DettagliNOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ESPERIMENTO CASUALE: un esperimento si dice casuale quando gli esiti (manifestazioni o eventi) non possono essere previsti con certezza. PROVA: le ripetizioni, o occasioni
DettagliEsperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità
Esperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità Università Roma Tre - Dipartimento di Matematica e Fisica 3 novembre 2016 Introduzione La probabilità nel linguaggio comune I E probabile
DettagliTeoria della probabilità
Introduzione alla teoria della probabilità Teoria della probabilità Primi sviluppi nel XVII secolo (Pascal( Pascal, Fermat, Bernoulli); Nasce nell ambito dei giochi d azzardo; d La prima formalizzazione
DettagliIntroduzione al Calcolo delle Probabilità
Introduzione al Calcolo delle Probabilità In tutti quei casi in cui le manifestazioni di un fenomeno (EVENTI) non possono essere determinate a priori in modo univoco, e i risultati possono essere oggetto
DettagliLA PROBABILITAÁ ALGEBRA IL CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ. richiami della teoria
ALGEBRA IL CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ richiami della teoria n un evento E si dice casuale o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso; n un evento si dice certo quando eá possibile
DettagliProbabilità. Introduzione. Esperimento casuale (o aleatorio): Può venir riproposto infinite volte.
Matematica Capitolo 4 Ivan Zivko Introduzione Esperimento casuale (o aleatorio): uò venir riproposto infinite volte. Il risultato (o esito) varia all interno di un certo numero (anche infinito) di casi
DettagliPsicometria II: Laura Picconi.
Psicometria II: Laura Picconi http://www.psicometria.unich.it/ http://www.psicometria.unich.it/ Sezione avvisi E necessario leggere con attenzioni gli avvisi e le comunicazioni che sono pubblicati sul
DettagliCONOSCENZE 1. il significato di evento casuale. 2. il significato di eventi impossibili, complementari;
ARITMETICA ELEMENTIDICALCOLO DELLE PROBABILITAÁ PREREQUISITI l l l conoscere e costruire tabelle a doppia entrata conoscere il significato di frequenza statistica calcolare rapporti e percentuali CONOSCENZE.
DettagliInformazione, Entropia e Probabilità
Informazione, Entropia e Probabilità Alessandro Lenci Università di Pisa, Dipartimento di Linguistica Via Santa Maria, 36, 56100 Pisa, Italy alessandro.lenci@ilc.cnr.it Linguaggio e comunicazione - LO042
DettagliScopo del Corso: Lezione 1. La Probabilità. Organizzazione del Corso e argomenti trattati: Prerequisiti:
Lezione 1 La Probabilità Scopo del Corso: Introduzione alla probabilità e alle procedure di inferenza statistica Introduzione ad alcune importanti tecniche di analisi multivariata dei dati Organizzazione
DettagliProbabilità e Statistica
Corso PON Competenze per lo sviluppo Liceo Scientifico "Bonaventura Rescigno Baronissi Ing. Ivano Coccorullo Prof.ssa Angela D Ambrosio Teoria delle probabilità Si è soliti far risalire la nascita della
Dettagliincompatibili compatibili complementari eventi composti probabilità composta
Un evento si dice casuale, o aleatorio, se il suo verificarsi dipende esclusivamente dal caso. La probabilità matematica p di un evento aleatorio è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e il
DettagliDIPARTIMENTO SCIENZE POLITICHE E SOCIALI ABILITÀ LOGICO-MATEMATICHE A.A. 2018/2019 PROBABILITÀ
1 PROBABILITÀ DI UN EVENTO PROBABILITÀ Si parla di eventi probabili o improbabili quando non si è sicuri se essi si verificheranno. Quando lanciamo in aria una moneta, da cosa dipende se dopo la caduta
DettagliProbabilità delle cause:
Probabilità delle cause: Probabilità condizionata 2 Teorema delle probabilità composte A B) A) B/A) 3 Teorema delle probabilità totali B )! 4 Teorema delle probabilità delle cause n i A! B ) A / B ) B
DettagliStatistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea in Economia e Finanza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 51 Introduzione Il Calcolo delle
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 1 Abbiamo visto: Definizioni di statistica, statistica inferenziale, probabilità (interpretazione
DettagliProbabilità. Qual è la probabilità di ottenere il numero 5?
Lancio un dado Probabilità Qual è la probabilità di ottenere il numero 5? Ho una prova ossia un esperimento = lancio dado Ho il risultato di tale prova = faccia contrassegnata dal numero 5 Il risultato
DettagliProbabilità. Decisioni in condizioni di incertezza:
Probabilità Decisioni in condizioni di incertezza: Casi quotidiani e no Probabile / certo. Incertezza e futuro / incertezza e quantità-qualità delle informazioni. Probabilità come misura del grado di fiducia
DettagliLeggi di distribuzione
Leggi di distribuzione 1 Esercizio 0.1 Una sorgente binaria genera le cifre 0 e 1 in modo casuale, con probabilità 0.4 e 0.6, rispettivamente. Calcolare la probabilità che, in una sequenza a 5 cifre, si
DettagliLo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U 1. 2. 3. U 4. 5. 6
EVENTI ALEATORI E LORO RAPPRESENTAZIONE Lo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U... U.. La definizione classica di probabilità dice che, se gli eventi che si considerano
DettagliProbabilità I. Concetto di probabilità. Definizioni di base: evento
Concetto di probabilità Nozioni di eventi. Probabilità I Calcolo delle probabilità Definizioni di probabilità Calcolo di probabilità notevoli Probabilità condizionate Cos'è una probabilità? Idea di massima:
DettagliUniversità del Piemonte Orientale. Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia. Corso di Statistica Medica
Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia Corso di Statistica Medica Elementi di calcolo delle probabilità CdL Infermieristica Pediatrica ed
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITA' risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento
CALCOLO DELLE PROBABILITA' Esperimento o prova Evento Spazio Campionario (Ω) una qualsiasi operazione il cui risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento insieme
Dettagli1 Ingredienti base del CDP. 2 Denizioni classica e frequentista. 3 Denizione assiomatica. 4 La σ-algebra F. 5 Esiti equiprobabili
1 Ingredienti base del CDP 2 Denizioni classica e frequentista 3 Denizione assiomatica 4 La σ-algebra F 5 Esiti equiprobabili 6 Esperimento casuale 7 Probabilità condizionata Ingredienti base del CDP eventi
DettagliEsercitazioni di Statistica Dott.ssa Cristina Mollica niroma1.it. Probabilità
Esercitazioni di Statistica Dott.ssa Cristina Mollica cristina.mollica@u niroma1.it Probabilità Esercizio 1. Un esperimento casuale consiste nel lanciare tre volte una moneta. Si determini lo spazio campionario
DettagliProbabilità: valutazione della possibilità che accada (o sia accaduto) r = 1 (c è un asso di cuori nel mazzo)
Probabilità: valutazione della possibilità che accada (o sia accaduto) un evento. Probabilità di un evento P = r/n dove r = frequenza dell evento N = Numero di possibili eventi Esempio: Evento = estrazione
DettagliElementi di Calcolo delle probabilità
Elementi di Calcolo delle probabilità Docente: Francesca Benanti 13 Dicembre 2007 1 Definizioni di Probabilità La teoria della probabilità è quella parte della matematica che, sulla base delle informazioni
DettagliProbabilità I Calcolo delle probabilità
Probabilità I Calcolo delle probabilità Nozioni di eventi. Definizioni di probabilità Calcolo di probabilità notevoli Probabilità condizionate Concetto di probabilità Cos'è una probabilità? Idea di massima:
DettagliPer capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere:
PROBABILITÀ E STATISTICA Per capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere: x = 172, 3 cm Possiamo affermare
DettagliEsercitazione del 31/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità
Esercitazione del 1/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercizio 1 Vengono lanciati due dadi regolari a 6 facce. (a) Calcolare la probabilità che la somma dei valori ottenuti sia 9? (b) Calcolare
DettagliNOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ALCUNE DEFINIZIONI
NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ALCUNE DEFINIZIONI ESPERIMENTO CASUALE: un esperimento si dice casuale quando gli esiti (manifestazioni o eventi) non possono essere previsti con certezza. PROVA: le
DettagliPOPOLAZIONE E CAMPIONI
p. 1/2 POPOLAZIONE E CAMPIONI POPOLAZIONE insieme di tutti quegli elementi che hanno almeno una caratteristica comune (persone, oggetti,misure, osservazioni). Consideriamo il caso di caratteristiche associate
DettagliA B. Si descrivano i seguenti eventi: ESEMPIO: {B1, C1, D1, S1} dove: B1 asso di bastoni, C1 asso di coppe, D1 asso di denari, S1 asso di spade
ESERCIZIO 1 1) Si consideri l'esperimento consistente nell'estrazione di una carta da un mazzo di carte napoletane. Siano: = evento consistente nell'estrazione di un asso B = evento consistente nell'estrazione
DettagliINFORMAZIONI. p. 1/23
p. 1/23 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove Giovedi 11/02 14:30 Laboratorio (via Loredan) Martedi 16/02 14:30 P50 Lunedi 22/02 09:30 P50 Martedi 23/02 14:30 P50 Giovedi 25/02 14:30 Aula informatica
DettagliSTATISTICA e PROBABILITA'
STATISTICA e PROBABILITA' Il problema della misura si pone in termini probabilistici, determinando un intervallo di valori aventi una certa probabilità di essere osservati. E' necessario quindi introdurre
DettagliCostruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini. Lezione 3: Variabili aleatorie discrete notevoli
Costruzione di macchine Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità Marco Beghini Lezione 3: Variabili aleatorie discrete notevoli Esperimenti binari ripetuti o esperimenti bernoulliani (Bernoulli
DettagliProbabilità Condizionale - 1
Probabilità Condizionale - 1 Come varia la probabilità al variare della conoscenza, ovvero delle informazioni in possesso di chi la calcola? ESEMPIO - Calcolare la probabilità che in una estrazione della
DettagliESERCIZI DI PROBABILITA
ESERCIZI DI PROBABILITA Sezione 1. Spazi di Probabilità e Indipendenza. Per convenienza dello studente si danno le risposte di alcuni esercizi. 1) Si consideri lo spazio di probabilità corrispondente alla
Dettagliprima urna seconda urna
Un po di fortuna Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella prima urna ci sono una
DettagliESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
ESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Docente titolare: Irene Crimaldi 26 novembre 2009 Es.1 Supponendo che la probabilità di nascita maschile e femminile sia la stessa, calcolare la probabilità
DettagliProbabilità I. Concetto di probabilità. Definizioni di base: evento
Concetto di probabilità Nozioni di eventi. Probabilità I Calcolo delle probabilità Definizioni di probabilità Calcolo di probabilità notevoli Probabilità condizionate Cos'è una probabilità? Idea di massima:
DettagliLa probabilità. Monia Ranalli. Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 1 / 20
La probabilità Monia Ranalli Ranalli M. Probabilità Settimana # 5 1 / 20 Sommario Concetti base Evento elementare, spazio campionario ed evento complementare Rappresentazioni dello spazio campionario Intersezione
DettagliSTATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8
STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8 Dott. Giuseppe Pandolfo 18 Novembre 2013 CALCOLO DELLE PROBABILITA Elementi del calcolo delle probabilità: 1) Esperimento: fenomeno caratterizzato da incertezza 2) Evento:
DettagliSOLUZIONI DEL 1 0 TEST DI PREPARAZIONE ALLA 1 a PROVA INTERMEDIA
SOLUZIONI DEL 1 0 TEST DI PREPARAZIONE ALLA 1 a PROVA INTERMEDIA 1 Esercizio 0.1 Dato P (A) = 0.5 e P (A B) = 0.6, determinare P (B) nei casi in cui: a] A e B sono incompatibili; b] A e B sono indipendenti;
DettagliIl calcolo della probabilità matematica
Il calcolo della probabilità matematica Il calcolo delle probabilità è quella parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi precise, quanto un evento casuale sia probabile.
DettagliESERCIZI. Gli esercizi di maggiore difficoltà sono contrassegnati con un asterisco. 1. SPAZI DI PROBABILITA.
ESERCIZI Gli esercizi di maggiore difficoltà sono contrassegnati con un asterisco.. SPAZI DI PROBABILITA.. Si consideri lo spazio di probabilità finito corrispondente alla somma dei risultati di due dadi
DettagliTest di autovalutazione
Test Test di autovalutazione 0 0 0 0 0 0 0 70 80 90 00 n Il mio punteggio, in centesimi, è n Rispondi a ogni quesito segnando una sola delle alternative. n Confronta le tue risposte con le soluzioni. n
Dettaglidi qualche accadimento porta ad un particolare che, a partire da determinate condizioni iniziali, stato delle cose finali
Esperimenti aleatori un esperimento e l osservazione del verificarsi che, a partire da determinate condizioni iniziali, stato delle cose finali di qualche accadimento porta ad un particolare se si ripete
DettagliFoglio di Esercizi 10 con Risoluzione 18 dicembre 2017
Matematica per Farmacia, a.a. 07/8 Foglio di Esercizi 0 con Risoluzione 8 dicembre 07 ATTENZIONE: in alcuni degli esercizi di Probabilità puó essere utile usare il Teorema di Bayes. Esercizio (Vedere il
DettagliPROBABILITÀ. P ( E ) = f n
PROBABILITÀ GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ EVENTI CERTI, IMPOSSIBILI E ALEATORI Ci sono avvenimenti che accadono con certezza, mentre altri sicuramente non possono mai verificarsi. Per esempio, se una scatola
Dettaglip k q n k = p n (k) = n 12 = 1 = 12 1 12 11 10 9 1 0,1208. q = 1 2 e si ha: p 12 (8) = 12 8 4
CAPITOLO QUARTO DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI) Molti degli esempi che abbiamo presentato nei capitoli precedenti possono essere pensati come casi particolari di uno schema generale di prove ripetute,
DettagliIntroduzione al calcolo delle probabilità
Introduzione al calcolo delle probabilità venti certi, impossibili, aleatori Supponiamo di lanciare un dado e consideriamo i seguenti eventi : ={ esce un numero compreso tra e 6 (estremi inclusi) } 2 ={
DettagliEsercizi - Fascicolo III
Esercizi - Fascicolo III Esercizio 1 In una procedura di controllo di produzione, n processori prodotti da un processo industriale vengono sottoposti a controllo. Si assuma che ogni pezzo, indipendentemente
DettagliCenni di probabilità
Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio Corso di Costruzioni Idrauliche A.A. 2004-05 www.dica.unict.it/users/costruzioni Cenni di probabilità Ing. Antonino Cancelliere Dipartimento
DettagliProbabilità. 2) Vengono estratte 5 carte; quale è la probabilità che ci siano esattamente 2 denari? ª 0,278. k fattori. n - k +1 ) k!
Definizione classica = P A Probabilità numero esiti favorevoli numero esiti possibili Esempi 1) Da un mazzo di 40 carte (bastoni, coppe, denari, spade) ne viene estratta una; quale è la probabilità che
DettagliMatematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità
Matematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità Esercizi sulla Probabilità Esercizio 1. In un corso di laurea uno studente deve scegliere un esame fra 8 di matematica e un esame fra 5 di fisica.
Dettagli5 di tutti i possibili risultati relativi a un determinato esperimento si chiama spazio probabilistico
Gli eventi Torniamo ora a occuparci degli eventi. Qualunque sia la concezione utilizzata per determinare la probabilità di un evento, si lavora all'interno di un insieme determinato di casi possibili.
DettagliEsercizi di Calcolo delle Probabilità
Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato
DettagliProbabilità. Fulvio Bisi-Anna Torre
Probabilità Fulvio Bisi-Anna Torre FRATELLI E SORELLE Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La
DettagliEsercizio 2 Si consideri l esperimento avente come risultati possibili i numeri 1, 2, 3, 4, 5 di probabilità rispettivamente 0.2, 0.4, 0.1, 0.1, 0.2.
Esercizio 2 Si consideri l esperimento avente come risultati possibili i numeri 1, 2, 3, 4, 5 di probabilità rispettivamente 0.2, 0.4, 0.1, 0.1, 0.2. a) Determinare l insieme di tutti i possibili sottoinsiemi
DettagliProbabilità. . Probabilità condizionata. Esempi di probabilità condizionata
. Probabilità condizionata Probabilità Dati due eventi A ed BB, compatibili tra loro (cioè AA BB Ø), si dice probabilità condizionata di AArispetto a B la probabilità che AAsi verifichi dopo che BBsi è
DettagliFENOMENI CASUALI. fenomeni casuali
PROBABILITÀ 94 FENOMENI CASUALI La probabilità si occupa di fenomeni casuali fenomeni di cui, a priori, non si sa quale esito si verificherà. Esempio Lancio di una moneta Testa o Croce? 95 DEFINIZIONI
Dettaglif(1, C) = 1; f(2, C) = 1; f(3, C) = 3; f(4, C) = 2; f(5, C) = 5; f(6, C) = V ar(x) = E[X 2 ] (E[X]) 2 =
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULLE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Esercizio. Si lanciano un dado equilibrato a sei facce e una moneta equilibrata. Se esce testa e il valore del dado è pari oppure croce e il
DettagliIntroduzione alla probabilità
Introduzione alla probabilità Osservazione e studio dei fenomeni naturali: a. Caso deterministico: l osservazione fornisce sempre lo stesso risultato. b. Caso stocastico o aleatorio: l osservazione fornisce
DettagliSTATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI
STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI 2 VARIABILI CASUALI. Variabili casuali generiche. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri
DettagliProbabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva
Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.
DettagliIntroduzione al calcolo delle probabilità
Introduzione al calcolo delle probabilità L. Boni Approccio empirico OSSERVAZIONE IPOTESI TEORIA DOMINANTE ESPERIMENTO L esperimento Un esperimento (dal latino ex, da, e perire, tentare, passare attraverso
DettagliCorso di Statistica. Introduzione alla Probabilità. Prof.ssa T. Laureti a.a
Corso di Statistica Introduzione alla Probabilità Prof.ssa T. Laureti a.a. 2012-2013 1 Introduzione al concetto di probabilità nelle strategie aziendali L azienda che vende articoli di abbigliamento per
DettagliF.1 EVENTI E PROBABILITA
F.1 EVENTI E PROBABILITA Breve storia del Calcolo delle probabilità Le origini del (moderno) Calcolo delle probabilità si fanno tradizionalmente risalire alla corrispondenza tra Pascal e Fermat su un problema
DettagliProbabilità e Statistica
Probabilità e Statistica Estrazioni Marco Pietro Longhi C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica a.s. 2018/2019 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat. 1 Estrazioni Supponiamo
Dettagli2. Introduzione alla probabilità
. Introduzione alla probabilità Carla Seatzu, 8 Marzo 008 Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari: è l insieme Ω di tutti i possibili esiti
DettagliISTITUTO D ARTE A.VENTURI PROGRAMMA DI MATEMATICA SVOLTO A.S classe 4^ N grafica professionale
ISTITUTO D ARTE A.VENTURI PROGRAMMA DI MATEMATICA SVOLTO A.S. - classe ^ N grafica professionale Geometria analitica definizione di parabola e di circonferenza come sezione conica; definizione di parabola
Dettagli