ASSIOMI DELLA PROBABILITA

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1 ASSIOMI DELLA PROBABILITA L assegazioe di ua misura di robabilità, qualuque sia la sua defiizioe, defiisce ua fuzioe, che ad ogi eveto associa u umero reale comreso tra 0 e. : E (E), co 0 (E) E ifatti evidete che : il umero dei casi favorevoli è comuque miore o uguale al umero di tutti i casi ossibili il umero di successi i ua serie di eserimeti è comuque miore o uguale al umero degli eserimeti essuo è disosto a agare iù di ua lira er avere i cambio ua lira el caso i cui l eveto si verifichi Sazio degli eveti : isieme delle arti di u isieme uiverso U dei casi elemetari Eveti icomatibili : se il verificarsi dell uo esclude che ossa verificarsi ache l altro, cioè A B = Ø La fuzioe co cui associamo ad u eveto E dello sazio degli eveti u umero reale aarteete all itervallo [0,] è ua fuzioe di robabilità se er essa valgoo i segueti assiomi. Per ogi eveto E aarteete allo sazio degli eveti si ha (E) 0. L uiverso U, isieme di tutti i casi ossibili, rareseta l eveto certo e si ha (U) = 3. Dati eveti E, E,..., E, tutti aarteeti a e a due a due icomatibili, si ha (E E...E ) = (E ) + (E ) (E ) Teorema della robabilità cotraria ( E ) = - (E) eveti icomatibili Teorema della robabilità totale (AB) = (A) + (B) (ABC) = (A) + (B) + (C) gli eveti E, E,..., E, tra loro a due a due icomatibili si dicoo comlemetari se uo di essi deve ecessariamete verificarsi se E, E,..., E, soo icomatibili e comlemetari la loro uioe costituisce u eveto certo e quidi si ha (E E...E ) = (E ) + (E ) (E ) = eveti comatibili (AB) = (A) + (B) - (AB) (ABC) = (A) + (B) + (C) - (AB) - (AC) - (BC) + (ABC) ag di

2 Probabilità codizioata di u eveto B risetto ad u eveto A o imossibile, la robabilità di B ell iotesi che A si sia già verificato; si scrive (B A). Si dice ache robabilità di B subordiata ad A Eveti stocasticamete idiedeti se risulta (B A) = (B A ) o ache (B A) = (B), cioè se le coosceze che si hao su A o alterao la robabilità che viee attribuita a B Teorema della robabilità comosta eveti stocasticamete idiedeti (AB) = (A) (B) (ABC) = (A) (B) (C) eveti stocasticamete diedeti (AB) = (A) (B A) = (B) (A B) (*) (ABC) = (A) (B A) (C AB) Dalla (*) si ricava (B A) = (AB) / (A) che ermette di calcolare la robabilità che l eveto B si verifichi i reseza dell eveto A Formula di Bayes Cosideriamo u eveto E e suoiamo che esso ossa essere origiato dalla causa H oure dalla causa H, essedo H e H tra loro icomatibili. Ciò osto si vuol risolvere il seguete roblema: ammesso che sia verificato E, qual è la robabilità che esso sia stato origiato dalla causa H? Vale la formula di Bayes (H) (E H) (H E) = (H) (E H) + (H) (E H) dove (H E) idica la robabilità cercata, cioè la robabilità che, essedosi resetato l eveto E, esso sia stato geerato dalla causa H (H) è la robabilità che agisca la causa H (H) è la robabilità che agisca la causa H (E H) è la robabilità che l eveto E si verifichi i diedeza della causa H (E H) è la robabilità che l eveto E si verifichi i diedeza della causa H (H) (E H) è la robabilità che agisca la causa H e che, subordiatamete a tale fatto si verifichi E (H) (E H) è la robabilità che agisca la causa H e che, subordiatamete a tale fatto si verifichi E Pertato il deomiatore esrime la robabilità che E si verifichi, o imorta er quale causa. Se l eveto E fosse rodotto da tre cause fra loro icomatibili allora : (H E) = (H) (E H) ag di

3 (H) (E H) + (H) (E H) + (H3) (E H3) VARIABILI CASUALI DISCRETE Variabile casuale discreta - Gradezza X variabile i u isieme umerico fiito tale che:. ad ogi sua modalità x k (cioè ad ogi risultato di ua rova aleatoria) è associata la robabilità k che essa si verifichi. 0 k, er ogi k {,,..., } 3. k = (codizioe di ormalizzazioe) Ua variabile casuale è defiita se si coosce l isieme dei valori x k che essa assume e l isieme k delle robabilità corrisodeti I valori x k che la variabile X assume si chiamao valori argometali La robabilità k è talvolta idicata co la otazioe iù eslicita (X= x k ), che evidezia la robabilità che ell uiverso X vega assuta la modalità x k La successioe dei valori k delle robabilità si chiama ache fuzioe di distribuzioe di robabilità X viee solitamete raresetata co ua tabella : X x x x Fuzioe di riartizioe ( o fuzioe cumulativa di robabilità) - Se X è ua variabile casuale che uò assumere i valori x k, disosti i ordie crescete, co distribuzioe di robabilità k, la fuzioe di riartizioe F(x) esrime la robabilità che X assuma u valore o sueriore a x, cioè : F(x) = Pr(Xx) = k i k cioè se x i xx i+ x < x F(x) = 0 x x <x F(x) = x x <x 3 F(x) = + x x F(x) = F(x) è defiita er qualsiasi valore reale di x 0 F(x), essedo F(x) = 0 er x < x (valore iù iccolo che essa assume) F(x) = er x x (valore iù alto che essa assume) F(x) mootoa o decrescete F(x) uò essere raresetata graficamete riortado sull asse x i valori argometali x k e sull asse y i valori F(x) : si ottiee ua fuzioe costate a tratti, cotiua a destra di x k e discotiua a siistra e tale che i ciascu uto di discotiuità x k il salto di F(x) è uguale alla robabilità k di quel valore x k La raresetazioe grafica della F(x) viee di solito assuta come raresetazioe grafica della variabile casuale. I ratica erò la raresetazioe grafica di ua variabile casuale uò ache essere fatta riortado i valori argometali sull asse delle x e le risettive robabilità sull asse delle y. ag 3 di

4 M(X) : valore medio di ua variabile casuale X o seraza matematica - somma dei rodotti dei valori assuti dalla variabile er le risettive robabilità Serve a dare ua idicazioe sitetica dei valori che X uò assumere teuto coto delle robabilità co cui questi valori vegoo assuti, ertato M(X) rareseta la revisioe teorica del risultato che si avrà facedo u grade umero di rove, suosto che le frequeze secodo le quali si maifestao i diversi eveti (vegoo assuti i diversi valori) coicidao co le robabilità degli eveti stessi. X² : quadrato di ua variabile casuale X x x... x x x... x X X ciò sigifica che se si verifica l eveto che fa assumere ad X il valore x i allora la variabile X assume i corrisodeza il valore x i. M(X²) = x ² + x ² x ² Oerazioi su variabili casuali (secodo ovvie defiizioi) X + a somma di ua variabile casuale X e di ua costate a a X rodotto di ua variabile casuale X e di ua costate a a X + b co b costate Teoremi M(X + a) = M(X) + a M(a X) = a M(X) M(a X + b) = a M(X) + b (rorietà di liearità) X - M(X) : variabile casuale scarto (er semlicità idichiamo M(X) co m) x m x m... x X m... var(x) = ²(X) = M[(X-m)²] = (x k -m)² k : variabile casuale scarto al quadrato o variaza - valore medio dello scarto al quadrato Il calcolo della variaza uò essere fatto evitado il calcolo degli scarti e dei quadrati degli scarti, utilizzado la formula var(x) = M(X²) - [M(X)]² La variaza esrime il grado di variabilità della variabile casuale: è zero el caso di variabilità ulla (cioè i valori assuti soo tutti uguali), altrimeti è ositiva e risulta tato iù alta quato iù elevato è il grado di variabilità (cioè quato iù i dati si discostao dalla media) var(a X) = a² var(x) var(x + a) = var(x) var(a X + b) = a² var(x) (X) = var(x ) : scarto quadratico medio o deviazioe stadard Moda : è quel valore argometale al quale corrisode la robabilità iù alta m ag 4 di

5 Mediaa : è quel valore er cui risulta F(x i ) ½ e F(x i+ ) > ½ essedo F(X) la fuzioe di riartizioe DISTRIBUZIONE BINOMIALE o di BERNOULLI U roblema di grade imortaza ratica è quello delle rove rietute, tutte elle stesse codizioi: tale roblema orta alla costruzioe della variabile casuale co distribuzioe biomiale Cosideriamo u eveto E rietibile e suoiamo di fare co esso rove, tutte elle stesse codizioi, er cui la robabilità che l eveto si reseti sia uguale i ogi rova e sia q la robabilità che E o si verifichi (ovviamete q = - ). Problema : determiare la robabilità che sulle rove eseguite l eveto E si verifichi k ( ) volte Si dimostra che la robabilità richiesta,k è :,k = k k q -k La variabile casuale co distribuzioe biomiale Co riferimeto al roblema delle rove rietute idichiamo co S il umero dei successi, cioè il umero di volte che l eveto E si reseta elle rove: tale umero S è ua variabile casuale che assume i valori 0... k... co robabilità risettivamete uguali a,0,,...,k..., calcolabili co la formula recedete, cioè S 0 0 q 0... k... q k k 0... q k... q E da otare che la somma delle robabilità è uguale a ( + q), come si ottiee sviluado secodo Newto la oteza -esima di ( + q), e oiché + q =, è verificata la codizioe di ormalizzazioe.tale variabile casuale viee idicata come distribuzioe biomiale erchè le robabilità costituiscoo i termii dello sviluo del biomio ( + q). Per la variabile S si dimostra che M(S) = var(s) = q Lo schema testa - croce Nel caso articolare i cui E e E hao uguale robabilità : si ha = q = / si arla di equirobabilità la robabilità di avere k successi su rove diveta,k = k -k = k = k k (/) ag 5 di

6 Il ome di tale schema si riferisce al fatto che è stato iizialmete studiato i riferimeto al lacio di ua moeta Alicazioi tiiche della distribuzioe biomiale Esame a risosta multila U esame revede 8 domade e a ciascua soo accluse 5 risoste di cui ua sola esatta. Per oter suerare l esame u cadidato deve risodere almeo a 3. Si vuole determiare la robabilità che u cadidato, del tutto imrearato, ha di suerare l esame risodedo a ciascua domada i modo uramete casuale. Ci troviamo i reseza di ua variabile casuale biomiale er la quale: = 8 = /5 q = 4/5 Per suerare l esame bisoga dare almeo 3 risoste esatte, erciò la robabilità di essere romossi è Pr (X 3). Per calcolare tale robabilità coviee ricorrere all eveto cotrario, er cui: Pr (X 3) = - Pr (X < 3) = - ( 8,0 + 8, + 8, ) = 0,0309 Cotrollo statistico di qualità I u azieda è stato accertato che la frequeza media di ezzi difettosi è dello 0,8%; si suoga di effettuare ogi gioro u cotrollo su u camioe di 0 ezzi e si suoga di dover revisioare l itero rocesso roduttivo ogi qualvolta il umero dei ezzi difettosi sia maggiore o uguale a due. Si domada qual è la robabilità di revisioe dell itero rocesso roduttivo. Cosiderado ciascu ezzo cotrollato come ua rova, è evidete che il umero dei ezzi difettosi D è ua variabile casuale biomiale che assume valori 0,,,...0 co robabilità uguale a 0 P 0,k = 0,08 k 0,9 0-k co k 0 k La robabilità richiesta è Pr (D ) = - Pr (D < ) = 0,8788 ag 6 di

7 DISTRIBUZIONE GEOMETRICA Si idichi co E l eveto successo e co E l eveto cotrario (isuccesso) e sia (E) =, ( E ) = - = q (rova di Beroulli). Il umero delle rove ecessarie affiché si verifichi er la rima volta il successo è ua variabile aleatoria X, detta temo di attesa dell eveto. Se X = l eveto si verifica er la rima volta all -esima rova la sua distribuzioe di robabilità, detta distribuzioe geometrica, è forita dalla seguete tabella:... X q q... Si ha cioè la legge di distribuzioe geometrica X q er =,, 3,. i quato l eveto X è dato dall itersezioe dei due eveti idiedeti E elle rime (-) rove si ottegoo 0 successi E all -esima rova si ha u successo er cui X E E E E q. Per la legge geometrica il raorto tra la robabilità dell eveto X = + e dell eveto X = è costate e ari a q: er questa ragioe tale legge si chiama geometrica (ricorda le rogressioi geometriche) Essedo q < le robabilità soo semre decresceti, cioè (X=+) < (X=) Questa variabile aleatoria discreta uò assumere ifiiti valori: ifatti è u qualuque itero ositivo (o c è limite alla sfortua!), ma solo i rimi valori della successioe so sigificativi, i quato essa tede raidamete a zero. q M ( X ) var( X ) DISTRIBUZIONE DI POISSON La distribuzioe di Poisso (o degli eveti rari ) si alica quado il umero delle rove è grade e la robabilità è molto iccola e semre co secifico riferimeto ad u refissato eriodo di temo t (o di sazio). Idicato co N(t) il degli itervalli di temo cosiderati, co la ossibilità di u successo ell uità di temo t, co il di successi (o arrivi) simultaei ell itervallo t, si ha la formula: t ( t) f ( ) N t e, t! I questa formula rareseta il medio di arrivi ell uità di temo e diede esclusivamete dal articolare feomeo reso i esame. Se t =, oedo t =, la formula si scrive: X k e k! Questa distribuzioe si reseta i molti feomei, come il di chiamate telefoiche al miuto di u cetralio, il di errori di stama er agia di u testo volumioso, il di articelle emesse da ua sostaza radioattiva. Teorema - Il limite er Poisso di arametro = Coseguetemete: M(X) = var(x) = k di ua distribuzioe beroulliaa, di arametro, è ua distribuzioe di ag 7 di

8 Problema: stabilire la robabilità che il di successi, i u isieme di rove rietute, cada etro u itervallo fissato TEOREMA DI CEBICEV Data ua variabile casuale X di valor medio M e variaza e fissato comuque u umero reale ositivo k vale la seguete disuguagliaza: X M k k Sigificato della disuguagliaza La robabilità che ua variabile casuale X assuma u valore estero a u determiato itervallo, cetrato el valore medio di X, o uò suerare la quatità data dal raorto tra la variaza di X e il quadrato della semiamiezza dell itervallo. Pertato miore è la variaza di X, miore è la robabilità che X assuma u valore estero a u itervallo di umeri reali cetrato el valor medio di X; questo fatto o è sorredete erché iccoli valori della variaza di X caratterizzao distribuzioi di robabilità molto cocetrate itoro al valor medio. Per queste distribuzioi la robabilità che X assuma valori che si trovao all itero di u itervallo cetrato i M è grade. Ovviamete tale robabilità diede ache dall amiezza dell itervallo: se l amiezza aumeta, la robabilità di trovare valori di X al di fuori dell itervallo dimiuisce. Tale teorema è cosiderato imortate sorattutto dal uto di vista teorico: cosete ifatti di dimostrare risultati fodametali di teoria della robabilità, come il Teorema di Beroulli ( Legge dei gradi umeri ) Assumedo come valori di k risettivamete (o 3) si ottiee il seguete risultato: la robabilità che ua modalità x i, di ua qualsiasi variabile casuale si discosti dalla media iù di (o 3) è miore o uguale risettivamete a /4 (o /9) La disuguagliaza o è sigificativa er valori di k : ifatti i tal caso dice semlicemete che la robabilità cercata è miore o uguale ad La disuguagliaza di Cebicev uò essere esressa i forma equivalete, utilizzado il cocetto di eveto cotrario: X M k k LEGGE DEI GRANDI NUMERI Si cosideri ua variabile beroulliaa S = X + X + + X tale che ogi X i abbia robabilità di successo, co =M(X i )= e =VAR(X i ). Si uò dimostrare la seguete disuguagliaza (Disuguagliaza di Beroulli) S R 0 Si uò ioltre osservare che se il umero delle rove tede ad ifiito, la disuguagliaza diveta: lim S lim 0 R0 La robabilità che la frequeza dei successi S / differisca dalla robabilità = iù di tede a 0 ag 8 di

9 VARIABILI CASUALI CONTINUE Variabile casuale cotiua è qualsiasi variabile casuale che assume tutti i valori reali comresi i u dato itervallo, limitato o illimitato, (a,b) dell asse umerico reale x. Come a ciascu valore di ua variabile aleatoria discreta, del tio x k corrisode ua determiata robabilità k, così a ciascu itervallo (a,b) aarteete al domiio dei valori di ua variabile aleatoria cotiua, corrisode ua determiata robabilità, che idicheremo co (a < X < b) caratterizzate il fatto che il valore assuto dalla variabile aleatoria cada i questo itervallo Per defiire ua tale robabilità si ostula l esisteza di ua fuzioe f(x), detta desità di robabilità o legge di distribuzioe, che soddisfi le codizioi:. f(x) 0. f ( x) dx I tale iotesi si defiisce a X b f ( x) dx b a La curva raresetativa della fuzioe f(x) è detta curva di distribuzioe delle robabilità o curva di desità Dal uto di vista geometrico, la robabilità che la variabile casuale abbia valori ell itervallo (a,b) è data dall area del traezoide limitato dalla curva di desità, dall asse x e dalle rette x=a e x=b Fuzioe di riartizioe F(x) della variabile X o legge itegrale di distribuzioe delle robabilità Esrime la robabilità che X assuma u valore o sueriore ad x F(x) = (X x) = F(x) è ua fuzioe o decrescete lim F( x) 0 lim F( x) x x (a < x < b) = F(b) F(a) x f ( x) dx Per la raresetazioe grafica di ua variabile casuale cotiua si uò ricorrere, oltre che alla fuzioe di riartizioe ache alla fuzioe di desità : occorre erò cosiderare che metre la fuzioe di riartizioe deve essere mootoa, o decrescete e semre comresa tra 0 e, la fuzioe di desità uò ache assumere valori maggiori di uo, deve semre essere o egativa e il suo itegrale, esteso sull itero camo di defiizioe deve valere. DEFINIZIONI M(X) = valore medio di X = x f ( x) dx ag 9 di

10 Se X o rede valori che ell itervallo [a,b] allora M(X) = x f ( x) dx b a Tale defiizioe uò essere vista come ua geeralizzazioe della defiizioe data er le variabili cotiue M(X) = x i i i Si uò dimostrare che il valore medio di ua variabile aleatoria è uguale all ascissa del baricetro (detta cetro di distribuzioe o di riartizioe di X) della suerficie delimitata dalla curva di riartizioe e dall asse x. Per tale motivo, el caso i cui la curva di riartizioe sia simmetrica risetto ad ua retta arallela all asse y, il valore medio coicide co l ascissa del uto di itersezioe di questo asse di simmetria co l asse x. Se la curva di distribuzioe è simmetrica risetto all asse y, cioè se f(x) è fuzioe ari, allora M(X) = 0 var(x) = variaza di X = ( x mx ) f ( x) dx = M(X²) - [M(X)]² s(x) = scarto quadratico medio = var(x ) Moda di X : valore al quale corrisode la massima desità di robabilità Va ricercata tra le soluzioi dell equazioe f (x) = 0 Mediaa di X : valore al quale corrisode er la fuzioe di riartizioe il valore Va risolta l equazioe F(X) = DISTRIBUZIONE NORMALE o di GAUSS Lo studio di differeti feomei mostra che umerose variabili casuali, come er esemio l errore accidetale el corso di ua misura, ossiedoo ua desità di robabilità data dalla formula ( xm) f ( x) e (*) dove m e soo costati arbitrarie ositive (legge di distribuzioe ormale) La curva ha il suo massimo i x = m, uti di flesso i x = m ±, tede asitoticamete all asse delle x er x è simmetrica risetto alla retta x = m Si dimostra che, se X è ua variabile casuale distribuita ormalmete, la cui desità di robabilità è data dalla legge recedete, allora M(X) = m var(x) = ² x = m rareseta ache la moda e la mediaa della distribuzioe ormale ² idividua il grado di variabilità delle misurazioi itoro alla media: iù ² è iccolo e iù la disersioe è debole ag 0 di

11 DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA Per ogi variabile aleatoria cotiua X di media m e di scarto quadratico medio è ossibile effettuare ua traslazioe di equazioe X = X m e successivamete ua omotetia di raorto. La corrisodete variabile i forma stadardizzata è X m T Per essa risulta valore medio uguale 0 e variaza uguale a. I tale caso la fuzioe di desità di T si ottiee dalla (*) er m=0 e = f ( t) e Itrodurre la variabile stadardizzata sigifica, evidetemete, assumere come cetro di disersioe l origie degli assi e come uità di misura lo scarto quadratico medio. Questa scelta dell uità di misura è molto oortua erché, come si uò dimostrare, si ottegoo le segueti uguagliaze: (- < X < ) = 68,3% (- < X < ) = 95,4% (-3 < X < 3) = 99,7% Pertato è quasi certo che la variabile aleatoria o si scosterà i valore assoluto dal valore medio iù di 3 t NOTE Per calcolare la robabilità che la X gaussiaa assuma u valore comreso tra x ed x occorre valutare (x < X x ) = F(x ) - F(x ), essedo F(x) la fuzioe di riartizioe. Tale calcolo è molto comlesso, i quato la rimitiva della fuzioe di desità gaussiaa o uò essere esressa mediate fuzioi elemetari ote. Ivece, usado le tavole della gaussiaa stadardizzata si uò calcolare qualsiasi robabilità di ua variabile casuale di media m e variaza, doo averla stadardizzata, Si uò dimostrare che la variabile casuale gaussiaa uò ache essere esata come limite della variabile casuale biomiale er ag di