Liberamente tratto da Prima Legge di Ohm

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1 Liberamente tratto da Prima Legge di Ohm Agli estremi di due componenti elettrici di un circuito (che si possono chiamare conduttore X ed Y) è applicata una differenza di potenziale ΔV variabile da 100 a 1000 V. Nella tabella riportata (detta caratteristica volt-amperometrica del dispositivo elettrico) sono riportati i valori misurati delle correnti elettriche I X e I Y che circolano nei due dispositivi in funzione della tensione applicata. Cosa si può osservare dall'analisi dalla tabella e del grafico corrispondente? ΔV I x I y 100 0,07 0, ,13 0, ,20 0, ,27 0, ,33 0, ,40 0, ,47 0, ,53 0, ,60 0, ,67 1,15 Come si può osservare dalla tabella ed in modo più evidente dal grafico, solo per uno dei due dispositivi c'è una relazione di proporzionalità diretta tra differenza di potenziale e corrente elettrica del conduttore. Si afferma che un conduttore è di tipo ohmico se per esso vale la Prima Legge di Ohm: la corrente che scorre in un conduttore ohmico è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata ai suoi estremi. Questo equivale a dire che in un conduttore ohmico il valore della resistenza elettrica è indipendente dalla corrente che si genera in esso a causa della differenza di potenziale ad esso applicata. Fra i due dispositivi esaminati, il dispositivo X è un conduttore di tipo ohmico (il valore della resistenza elettrica R x si mantiene costante all aumentare della differenza di potenziale); mentre Y non è un conduttore di tipo ohmico (il valore della resistenza elettrica R y diminuisce all aumentare della differenza di potenziale). Sono in genere di tipo ohmico i conduttori solidi e liquidi, mentre non lo sono i quelli gassosi e alcuni dispositivi elettronici come i diodi. Quanto vale la resistenza R x del dispositivo X? R x = 100 Ω R x = 150 Ω R x = 1000 Ω R x = 1500 Ω Con le caratteristiche volt-amperometriche si può ricavare il valore della resistenza dalla pendenza della retta caratteristica. Poiché nel grafico la corrente è sull'asse Y e la tensione è sull'asse X, l'inverso della pendenza fornisce il valore di R.

2 I normali fili elettrici (in genere fili di rame) sono conduttori ohmici a bassissima resistenza, in genere trascurabile rispetto alle resistenze di altri dispositivi presenti nel circuito. Se colleghiamo i due poli di un generatore solamente con un filo elettrico, senza altri dispositivi in serie, si ha, a causa della resistenza elettrica molto piccola e praticamente nulla, una corrente molto intensa che provoca un rapido aumento di temperatura (il filo conduttore diventa rapidamente incandescente); in questo caso si parla di corto circuito. Gli apparecchi elettrici come le lampadine, i tostapane, gli asciugacapelli, mettono in gioco delle resistenze molto maggiori. Componenti comuni di tutti i circuiti elettronici sono delle piccole resistenze di ceramica il cui valore è segnalato da un codice dei colori.

3 Elementi di un circuito Un circuito elettrico deve essere necessariamente costituito almeno da un generatore, che fornisce la differenza di potenziale, elettricamente connesso a mezzo di conduttori ad uno o più utilizzatori di energia elettrica. Per avere circolazione di corrente il circuito deve essere elettricamente chiuso. Nella seguente figura è illustrato un circuito costituito da un generatore, da conduttori e da tre resistori elettricamente connessi. La simbologia adottata per il generatore fem (forza elettromotrice) indica un dispositivo che stabilisce e mantiene una differenza di potenziale tra il suo polo positivo ed il suo polo negativo e quindi tra la posizione F ed A del circuito. In un circuito si definisce nodo un punto dove convergono più di due conduttori. Quali sono i nodi nel circuito illustrato? nessuno i punti A e F i punti B e E i punti C e D In un circuito si definisce ramo un qualsiasi collegamento elettrico che unisce due nodi. Quanti rami ci sono nel circuito? Uno Due Tre In un circuito si definisce maglia un qualsiasi percorso chiuso individuabile nel circuito. Quante maglie ci sono nel circuito? Una Due Tre

4 Analisi di un circuito elettrico di tipo ohmico Analizzare un circuito elettrico significa determinare quale corrente elettrica e quale differenza di potenziale interessano ogni singolo elemento del circuito o in altri termini determinare in che modo viene utilizzata nel circuito l energia elettrica fornita dal generatore. Nell analisi per la risoluzione dei circuiti si utilizzano in genere la prima legge di Ohm, la prima legge di Kirchhoff o legge dei nodi e la seconda legge di Kirchhoff o la legge delle maglie. La legge dei nodi esprime la legge di conservazione della carica elettrica: la carica elettrica non si crea né si distrugge e quindi la somma delle correnti che entrano in un nodo deve essere uguale alla somma delle correnti che ne escono. La legge della maglia esprime la legge di conservazione dell'energia elettrica, riferita all unità di carica, in un circuito ed espressa quindi in termini di potenziale elettrico. Legge dei nodi e collegamento di resistori in parallelo Consideriamo il circuito in figura costituito da un generatore e tre resistori con resistenza elettrica di valore R 1, R 2 e R 3 collegati in parallelo. Due o più resistenze si dicono collegate in parallelo se ai loro capi è applicata la stessa differenza di potenziale. Sia ΔV Gen la differenza di potenziale del generatore; ΔV AB la differenza di potenziale tra il punto A e il punto B; V + = V A il potenziale elettrico del polo positivo del generatore e del punto A e V - = V B B il potenziale elettrico del polo negativo del generatore e del punto B. Nel circuito sono presenti due nodi: nel nodo A la corrente principale si divide nei tre rami contenenti rispettivamente i resistori con resistenza R 1, R 2 e R 3 collegati in parallelo; nel nodo B le correnti provenienti dai tre rami con i resistori con resistenza R 1, R 2 e R 3 collegati in parallelo si ricongiungono in un unica corrente. Legge dei nodi (Prima Legge di Kirchhoff): la somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma delle correnti che escono dallo stesso nodo. Indicando con I Gen la corrente dovuta alla differenza di potenziale applicata dal generatore e con I 1, I 2 e I 3 la corrente che interessa tre resistori collegati in parallelo, la Legge dei nodi permette di affermare che: nel nodo A: I Gen (somma corrente entrante) = I 1 +I 2 +I 3 (somma corrente uscente) nel nodo B: I 1 +I 2 +I 3 (somma corrente entrante) = I Gen (somma corrente uscente) Nel nodo A la corrente si divide in modo inversamente proporzionale (per gli effetti della prima Legge di Ohm) alle resistenze elettriche R 1, R 2 e R 3 nei tre rami collegati in parallelo (ovviamente la differenza di potenziale ΔV AB = V A - V B B è la stessa indipendentemente dal ramo di circuito considerato.

5 Dal punto di vista complessivo le tre resistenze collegate in parallelo sono elettricamente equivalenti ad un unico resistore con resistenza R eq equivalente alla media armonica delle tre resistenze R 1, R 2 e R 3 : 1/R eq = 1/R 1 + 1/R 2 + 1/R 3 R eq = (R 1 R 2 R 3 )/(R 1 R 2 +R 2 R 3 +R 1 R 3 ) Da ricordare che: la resistenza equivalente di un parallelo R eq è sempre minore di ognuna delle resistenze collegate in parallelo! Quindi: R eq < R 1 R eq < R 2 R eq < R 3 Riepilogando, per la prima Legge di Ohm e la prima Legge di Kirchhoff o Legge dei Nodi: I Gen = I 1 + I 2 + I 3 ΔV Gen / R eq = ΔV 1 / R 1 + ΔV 2 / R 2 + ΔV 3 / R 3 Poiché il collegamento dei resistori è in parallelo, ad essi è applicata la stessa differenza di potenziale, e quindi: ΔV 1 = ΔV 2 = ΔV 3 = ΔV Gen ΔV Gen / R eq = (1 / R / R / R 3 ) ΔV Gen 1 / R eq = (1 / R / R / R 3 ) R eq = (R 1 R 2 R 3 ) / (R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3 ) La resistenza equivalente di un collegamento in parallelo R eq è la media armonica delle resistenze così collegate e, come già evidenziato, è sempre minore di ognuna delle resistenze collegate in parallelo. Inoltre, avendo: ΔV Gen = R 1 I 1 = R 2 I 2 = R 3 I 3 = costante la corrente che circola in ogni ramo di un collegamento in parallelo è inversamente proporzionale alla resistenza del ramo. Legge delle maglie e collegamento di resistori in serie Consideriamo il circuito in figura costituito da un generatore e tre resistori con resistenza elettrica di valore R 1, R 2 e R 3 collegati in serie. Due o più resistori si dicono collegati in serie se sono attraversati dalla stessa corrente.

6 Convenzioni: Il verso (convenzionale) della corrente I è quello in cui si muovono o si muoverebbero se presenti le cariche positive (dal polo positivo a potenziale maggiore verso il polo negativo a potenziale minore del generatore) e quindi nel verso indicato dalla freccia nello schema di circuito La differenza di potenziale (fem) di un generatore è positiva se percorsa dal polo negativo a quello positivo, negativa in verso contrario (dal polo positivo al negativo) Se percorrendo una maglia si incontra una resistenza, si ha una caduta di tensione, cioè una differenza di potenziale negativa ai capi della resistenza (una diminuzione di potenziale) se si segue il verso della corrente, si ha una differenza di potenziale positiva (un aumento di potenziale) se si va in verso opposto alla corrente. Legge delle maglie (Seconda Legge di Kirchhoff): la somma algebrica delle differenze di potenziale e delle cadute di tensione in una maglia è uguale a zero. Il circuito rappresentato nello schema ha una sola maglia. Sia ΔV Gen la differenza di potenziale del generatore; ΔV 1 la caduta di tensione nel resistore R 1, ΔV 2 la caduta di tensione nel resistore R 2 e ΔV 3 la caduta di tensione nel resistore R 3. Percorrendo il circuito in verso orario, per la legge delle maglie, si ha: +ΔV Gen - ΔV 1 - ΔV 2 ΔV 3 = 0 Sia ΔV Gen la differenza di potenziale del generatore; ΔV 1 la caduta di tensione nel resistore R 1, ΔV 2 la caduta di tensione nel resistore R 2 e ΔV 3 la caduta di tensione nel resistore R 3. Percorrendo il circuito in verso orario, per la legge delle maglie, si ha: +ΔV Gen - ΔV 1 - ΔV 2 - ΔV 2 = 0 Dal punto di vista complessivo le tre resistenze collegate in serie sono elettricamente equivalenti ad un unico resistore con resistenza equivalente R eq uguale alla somma delle tre resistenze R 1, R 2 e R 3 : R eq = R 1 + R 2 + R 3 Da ricordare che: la resistenza equivalente di una serie R eq è sempre maggiore di ognuna delle resistenze collegate in serie! Quindi: R eq > R 1 R eq > R 2 R eq > R 3 Riepilogando: +ΔV Gen - ΔV 1 - ΔV 2 - ΔV 2 = 0 ΔV Gen - R 1 I 1 - R 2 I 2 - R 3 I 3 = 0 Poiché il collegamento dei resistori è in serie, essi sono percorsi dalla stessa corrente, e quindi: I 1 = I 2 = I 3 = I Gen ΔV Gen = (R 1 + R 2 + R 3 ) I Gen ΔV Gen = R eq I Gen

7 Quesiti: Se si percorre il circuito in verso orario, la differenza di potenziale ai capi del generatore ha il valore: + ΔV Gen - ΔV Gen Se si percorre il circuito in verso orario, la differenza di potenziale ai capi dei tre resistori corrisponde a: un aumento di potenziale una caduta di tensione Se i tre resistori del circuito in esame (collegamento in serie) hanno resistenza uguale a 50 Ω ciascuna e la differenza di potenziale ai capi del generatore vale 300 V, qual è il valore della corrente che attraversa il generatore e le tre resistenze? I 1 = I 2 = I 3 = I Gen = 2 A I 1 = I 2 = I 3 = I Gen = 1 A I 1 = I 2 = I 3 = I Gen = 0,5 A I 1 = I 2 = I 3 = I Gen = 6 A Il circuito rappresentato nel precedente schema, con resistori collegati i parallelo, ha sei maglie; per ognuna di esse può essere applicate la legge delle maglie; delle equazioni sei equazioni così ottenibili solo tre risultano utili: a) 1^maglia +ΔV Gen - ΔV 1 = 0 b) 2^maglia +ΔV Gen - ΔV 2 = 0 c) 3^maglia +ΔV Gen - ΔV 3 = 0 d) 4^maglia +ΔV 1 - ΔV 2 = 0 (equivalente a b) e) 5^maglia +ΔV 2 - ΔV 3 = 0 (equivalente a c) f) 6^maglia +ΔV 1 - ΔV 3 = 0 (equivalente a c) Quesiti: Se i tre resistori del circuito in esame (collegamento in parallelo) hanno resistenza uguale a 300 Ω ciascuna e la differenza di potenziale ai capi del generatore vale 150 V, qual è il valore della corrente che attraversa il generatore e le tre resistenze? I 1 = I 2 = I 3 = 0,5 A I 1 = I 2 = I 3 = 0,5 A I 1 = I 2 = I 3 = 0,167 A I 1 = I 2 = I 3 = 1,5 A I Gen = 1,5 A I Gen = 0,5 A I Gen = 0,5 A I Gen = 1,5 A

8 Analisi di circuiti di tipo ohmico; applicazione delle Leggi di Ohm e delle Leggi di Kirchhoff (Leggi delle maglie e dei nodi) Un circuito è formato da due generatori concordi collegati a due resistori secondo lo schema di circuito rappresentato in figura. A partire dai dati riportati in tabella, si determinino: a) il tipo di collegamento dei componenti b) la resistenza equivalente del circuito c) la differenza di potenziale totale dei due generatori d) la corrente I che circola nella maglia e) la differenza di potenziale ai capi di ogni resistore. f) Si applichi la Legge delle maglie al circuito Dati del problema Quesiti Condizione ΔV Gen1 = 160 V differenza di potenziale Generatore 1 I Gen1 collegamento in serie ΔV Gen2 = 80 V differenza di potenziale Generatore 2 I Gen2 collegamento in serie R 1 = 120 Ω Resistenza del resistore 1 I 1 collegamento in serie R 2 = 180 Ω Resistenza del resistore 2 I 2 collegamento in serie a) Tutti gli elementi del circuito generatori e resistori sono collegati in serie; per definizione sono interessati dalla stessa corrente (I Gen1 = I Gen2 = I 1 = I 2 ) b) Collegamento di resistori in serie: la resistenza equivalente è la somma delle resistenze R e = R 1 + R 2 = = 300 Ω c) Collegamento di generatori in serie: la differenza di potenziale equivalente è la somma delle differenza di potenziale ΔV e = ΔV Gen1 + ΔV Gen2 = = 240 V d) Si applica la Prima Legge di Ohm al circuito elementare: generatore ΔV e = 240 V e resistenza R e = 300 Ω I Gen = ΔV e / R e = 240 / 300 = 0,80 A I Gen1 = I Gen2 = I 1 = I 2 = 0,80 A e) Si applica la Prima Legge di Ohm ai due resistori del circuito ΔV 1 = R 1 I 1 = 120 0,80 = 96 V ΔV 2 = R 2 I 2 = 80 0,80 = 64 V f) Si verifica la Legge delle maglie applicandola alla maglia del circuito +ΔV Gen1 + ΔV Gen2 - ΔV 1 - ΔV 2 = = 0

9 Analisi di circuiti di tipo ohmico; applicazione delle Leggi di Ohm e delle Leggi di Kirchhoff (Leggi delle maglie e dei nodi) Consideriamo il circuito rappresentato in figura (i due schemi di circuito sono equivalenti) è costituito da un generatore ideale di differenza di potenziale ΔV Gen e da tre resistori con resistenze di valore R 1, R 2 e R 3 collegate in parallelo. Sia ΔV AB la differenza di potenziale tra il punto (nodo) A e il punto (nodo) B. Nel circuito sono presenti due nodi in cui la corrente principale si divide nei tre rami contenenti rispettivamente le resistenze R 1, R 2 e R 3. Si vuole determinare i valori di tutte le correnti che circolano nei diversi rami del circuito a partire dai dati riportati nella seguente tabella. Dati del problema Richieste ΔV Gen = 100 V ddp del generatore I Gen corrente principale nel ramo del generatore R 1 = 1200 Ω (resistenza R 1 ) I 1 corrente nel ramo di R 1 R 2 = 2000 Ω (resistenza R 2 ) I 2 corrente nel ramo di R 2 R 3 = 500 Ω (resistenza R 3 ) I 3 corrente nel ramo di R 3 Nel problema ci sono quattro incognite, quindi occorrono quattro relazioni indipendenti. Per la Legge dei nodi (Prima Legge di Kirchhoff) si ha: I Gen = I 1 + I 2 + I 3 Prima equazione Applicando la Legge delle maglie (Seconda Legge di Kirchhoff) alla maglia che contiene il generatore e una delle resistenze si ha: ΔV Gen - ΔV 1 = ΔV Gen - R 1 I 1 = 0 ΔV Gen - ΔV 2 = ΔV Gen - R 2 I 2 = 0 ΔV Gen - ΔV 3 = ΔV Gen - R 3 I 3 = 0 Seconda equazione Terza equazione Quarta equazione Poiché i resistori sono collegati in parallelo, la differenza di potenziale ovvero la caduta di tensione è la stessa ai capi di tutte e tre le resistenze: ΔV Gen = R 1 I 1 = R 2 I 2 = R 3 I 3 E quindi: Quinta e Sesta equazione I 1 = ΔV Gen / R 1 I 2 = ΔV Gen / R 2 I 3 = ΔV Gen / R 3 Come si può vedere, si hanno a disposizione equazioni in numero sovrabbondante, tra le quali è possibile scegliere di volta in volta quelle matematicamente più semplici (è necessario acquisire un minimo di esperienza svolgendo alcuni esercizi). La corrente che circola in ogni ramo del parallelo è inversamente proporzionale alla resistenza del ramo.

10 Sostituendo i dati in tabella nelle equazioni si ha: I 1 = ΔV Gen / R 1 = 100 / 1200 = 0,083 A I 2 = ΔV Gen / R 2 = 100 / 2000 = 0,050 A I 3 = ΔV Gen / R 3 = 100 / 500 = 0,200 A I Gen = I 1 + I 2 + I 3 = 0, , ,200 = 0,333 A Qual è la resistenza equivalente R eq dei tre resistori collegati in parallelo? Utilizzando le quattro relazioni sulle correnti, si può ottenere: I Gen = I 1 + I 2 + I 3 = ΔV Gen / R 1 + ΔV Gen / R 2 + ΔV Gen / R 3 = = ΔV Gen (1 / R / R / R 3 ) = ΔV Gen / R eq La resistenza equivalente del collegamento in parallelo del circuito in esame è: 1 / R eq = (1 / R / R / R 3 ) = ( 1 / / / 500) R eq = 300 Ω < 500 < 1200 < 2000 La resistenza equivalente ad un parallelo è minore di ognuna delle resistenza del parallelo! Utilizzando la precedente relazione è possibile ottenere in altro modo la corrente I Gen. I Gen = ΔV Gen / R eq =100 / 300 = 0,333 A

11 Analisi di circuito con collegamento di resistori in serie ed in parallelo Un circuito è formato un generatore collegato a tre resistori, come in figura. Si determinino la corrente elettrica che circola in ogni resistore e la differenza di potenziale applicata ad ogni resistore a partire dai dati in tabella. Dati del problema Richieste ΔV Gen = 180 V ddp del generatore I Gen corrente principale nel ramo del generatore R 1 = 1500 Ω (resistenza R 1 ) I 1 corrente nel ramo di R 1 R 2 = 2000 Ω (resistenza R 2 ) I 2 corrente nel ramo di R 2 R 3 = 2000 Ω (resistenza R 3 ) I 3 corrente nel ramo di R 3 ΔV 1 ddp ai capi di R 1 ΔV 2 ddp ai capi di R 2 ΔV 3 ddp ai capi di R 3 Come sono collegati i tre resistori? R 1 è in serie con R 2 e in parallelo con R 3 R 1 è in serie con R 3 e in parallelo con R 2 R 1 è in parallelo alla serie di R 2 e R 3 R 1 è in serie al parallelo di R 2 e R 3 I tre resistori sono collegati in serie I tre resistori sono collegati in parallelo Cosa si può dire sui valori delle tre correnti? Le tre correnti hanno intensità diversa Le tre correnti hanno la stessa intensità La corrente I 1 è uguale alla corrente I 2 La corrente I 1 è uguale alla corrente I 3 La corrente I 2 è uguale alla corrente I 3 Il circuito si può risolvere applicando le leggi dei nodi (Prima Legge di Kirchhoff), delle maglie (Seconda Legge di Kirchhoff) e la Prima Legge di Ohm, oppure calcolando la resistenza equivalente totale del circuito.

12 Per analizzare un circuito è necessario definire il collegamento dei resistori: nel circuito proposto R 1 è collegato in serie con il parallelo di R 2 ed R 3. E opportuno analizzare il comportamento delle correnti: nel circuito la corrente principale I Gen erogata al polo positivo del generatore interessa il resistore R 1 (I 1 = I Gen ), in corrispondenza del nodo A la corrente I 1 si divide nei due rami del parallelo con i resistori R 2 ed R 3 (I 2 ed I 3 risulteranno inversamente proporzionali a R 2 ed R 3 ), nel nodo B le correnti I 2 ed I 3 andranno a ricostituire una corrente uguale a I Gen che rientra al polo negativo del generatore (si tratta alla fine della Legge di conservazione della carica elettrica). E opportuno analizzare anche il comportamento del potenziale elettrico o delle differenze di potenziale: il generatore applica e mantiene la differenza di potenziale ΔV Gen tra il polo positivo ed il polo negativo, nei conduttori il potenziale non varia (nel conduttore ideale R Cond = 0 e quindi ΔV Cond = 0), in corrispondenza del resistore R 1 si ha una caduta di tensione ΔV 1 (ΔV 1 = R 1 I 1 ), tra il nodo A e il nodo B (collegamento in parallelo dei due rami con i resistori R 2 ed R 3 ) si ha una caduta di tensione ΔV BE (ΔV BE = ΔV 2 = R 2 I 2 = ΔV 3 = R 3 I 3 ) e si ritorna al valore del potenziale V - del polo negativo del generatore (si tratta alla fine della Legge di conservazione dell energia potenziale elettrica). Per calcolare la resistenza equivalente totale R Tot si calcola inizialmente la resistenza equivalente del collegamento in parallelo R Par di R 2 e R 3. 1 / R Par = 1 / R / R 3 R Par = 1000 Ω Poiché R 1 è collegato in serie con R Par, la resistenza equivalente totale è R eq = R 1 + R Par = = 2500 Ω La corrente principale che circola nel circuito è allora I Gen = ΔV Gen / R Tot = 180 / 2500 = 0,072 A La corrente I 1 passa nella resistenza R 1 e nel nodo B si divide in modo inversamente proporzionale nei due rami con i resistori R 2 e R 3 ; essendo R 2 = R 3 risulta anche I 2 = I 3. I 2 = I 3 = 0,036 A Applicando la Prima Legge di Ohm, risulta relativamente facile trovare la differenza di potenziale ai capi di ogni resistore: ΔV 1 = R 1 I 1 = ,072 = 108 V ΔV 2 = R 2 I 2 = ΔV 3 = R 3 I 3 = ,036 = 72 V Applicando le leggi dei nodi (Prima Legge di Kirchhoff) Nel nodo B: I 1 = I 2 + I 3 0,072 = 0, ,036 A verificata Nel nodo E: I 2 + I 3 = I Gen 0, ,036 = 0,072 A verificata Applicando le leggi delle maglie (Seconda Legge di Kirchhoff) ΔV Gen - ΔV 1 - ΔV 2 = = 0 V verificata ΔV Gen - ΔV 1 - ΔV 3 = = 0 V verificata

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