Misura del momento magnetico dell elettrone

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1 FACOLTÀ Università degli Studi di Roma Tre DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Fisica Misura del momento magnetico dell elettrone Candidato: Andrea Sciandra Matricola 4480 Relatore: Prof. Filippo Ceradini Anno Accademico 0-03

2 Introduzione L interpretazione della struttura fine degli spettri atomici e dell e etto Zeeman è stato un lungo cammino conclusosi con l ipotesi dello spin dell elettrone econl evidenzadiunrapportogiromagneticoparia,comeprevistodalla soluzione dell equazione di Dirac nel limite non relativistico. Tuttavia misure molto accurate hanno mostrato che questa previsione si discosta dal valore osservato di una piccola frazione percentuale, di erenza a = g che è detta anomalia del momento magnetico. In QED l anomalia è il contributo di e etti della meccanica quantistica, espresso tramite diagrammi di Feynman, al momento magnetico della particella (Kinoshita e Sapirstein nel 984 hanno e ettuato il calcolo delle correzioni al fattore g dell elettrone sino all ottavo ordine). L evoluzione della strumentazione e dei setup sperimentali ha consentito di e ettuare misure sempre più accurate del momento magnetico dell elettrone (tale misura è in assoluto la più accurata mai fatta): si è raggiunta, per questa grandezza, la precisione sbalorditiva di una parte per trilione 0. Questo risultato è stato possibile grazie alla misura della frequenza di risonanza di singoli elettroni in una trappola di Penning ( geonium atom ), realizzata dal gruppo Gabrielse dell università di Harvard nel 008.

3 Capitolo Motivazioni teoriche. Fattore giromagnetico dell elettrone Lo spin, scoperto durante lo studio dell emissione spettrale dei metalli acalini, fu introdotto nel 94 da Wolfgang Pauli come un grado di libertà quantico a due valori associato con gli elettroni del guscio esterno. Studiando le righe di emissione si è osservato che nelle serie Principal e Di use non si hanno righe singole, queste hanno una struttura fine; in particolare per le transizioni di tipo P! S si osservavano righe doppie e per quelle di tipo D! P si osservavano righe triple. La spiegazione di tale fenomeno è possibile supponendo che stati con momento angolare orbitale ` 6= 0sianosdoppiati. Larispostaatale enigma arrivò nel 95 con la proposta di Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck: l elettrone ha un momento angolare intrinseco e per s = l elettrone potrebbe avere due di erenti stati con proiezioni di spin s z = ±. Facendo nostra quest assunzione, consideriamo l elettrone una particella di spin e momento magnetico ad esso associato (momento magnetico intrinseco o di spin): ~µ = g e m ~ S (.) dove g è detto fattore giromagnetico. In questo modo il sistema ha momento angolare totale: ~J = ~` + ~ S (.) i cui autostati hanno molteplicità j +; per diversi valori di j si hanno energie diverse, ciò è dovuto all energia di interazione tra il momento magnetico dell elettrone e il campo magnetico prodotto dal moto orbitale. Il moto relativo che vi è tra elettrone e nucleo è rappresentato dal momento

4 CAPITOLO. MOTIVAZIONI TEORICHE 3 angolare orbitale ` cui è associata una corrente i = e! = e`. mr L energia d interazione tra momento magnetico intrinseco dell elettrone e campo magnetico prodotto dal moto orbitale (per definizione E LS = ~µ ~B) diventa: E LS = g ( hc)3 (mc ) ~ L ~ S r 3 (.3) dove il fattore è legato al fenomeno della precessione di Thomas. Lo spin dell elettrone, quindi, gioca un ruolo fondamentale nella struttura degli atomi e della tavola periodica degli elementi. Il valore del fattore giromagnetico g =,ricavatodalconfrontotraivalori misurati di E LS e i dati sperimentali, comporta che l elettrone abbia un momento magnetico intrinseco pari a un magnetone di Bohr µ B = e h. m Nel 98 fu Paul Dirac a sviluppare una teoria quantistica relativistica che prevedesse l esistenza dello spin dell elettrone e il valore corretto 3 del suo momento magnetico.. Dirac: teoria dell elettrone e momento magnetico anomalo Definendo la hamiltoniana di particella libera come: H = ( i hr) m (.4) l equazione di Schrödinger non risulta essere invariante per trasformazioni di Lorentz. Definizione data in [3], pg. 30. Il campo magnetico, generato da una carica in moto relativo curvilineo (il nucleo nel sistema dell elettrone) e visto dall elettrone, è più piccolo di circa un fattore rispetto a quello che un elettrone in moto relativo rettilineo e uniforme vedrebbe, in formule: ~B rett = c ~v ~ E ~B curv = c ~v E ~ Si veda in proposito Appendice A. 3 Come vedremo nel seguito della trattazione, il valore sperimentale si discosta (a causa di e etti relativistici e quantistici) dal valore predetto dall approssimazione non relativistica dell equazione di Dirac di un valore esprimibile in termini di potenze della costante di struttura fine ; si veda in proposito 4..

5 CAPITOLO. MOTIVAZIONI TEORICHE 4 Fu Paul Dirac, nel 98, a introdurre un equazione relativisticamente invariante che descrive il moto dei fermioni (e in particolare dell elettrone). L ipotesi prima dell analisi di Dirac è che gli stati dei fermioni devono essere descritti dalla derivata parziale rispetto al ; inoltre, perché l equazione del moto sia invariante, l hamiltoniana deve dipendere linearmente impulso e massa. Si ha quindi l equazione di = H =( X i i p i + m) (.5) dove gli operatori ( i, ) sono quattro operatori hermitiani che non dipendono dalle variabili t e ~r (tempo e posizione). Il quadrato dell energia deve assumere la forma relativistica: E = p c + m c 4 (.6) relazione che l equazione del moto deve soddisfare e che porta alle proprietà degli operatori ( i, ): i k + k i = ik I (.7) i + i =0 (.8) i = = (.9) dove I è la matrice identità. Gli operatori ( i, )sonorappresentabilicomematricihermitiane4 4ela funzione d onda è rappresentabile come un vettore a quattro componenti. Queste matrici, secondo la rappresentazione di Dirac-Pauli, sono: 0 i i = (.0) = i 0 I 0 0 I (.) dove le i sono le matrici di Pauli. In questo caso, definendo opportunamente densità di probabilità e densità di corrente, si ottiene una densità di probabilità definita positiva che soddisfa l equazione di continuità: 4X = + = i > 0 (.) i= j k = + + r ~ ~j =0 (.4)