INSEGNANTE: Marco Cerciello FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

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1 Classe V H INSEGNANTE: Marco Cerciello Testo: Matematica a colori vol. 5 ed. Petrini Concetto di unzione di variabile reale FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Rappresentazione analitica di una unzione, esempi Campo di esistenza di una unzione (Ripasso: disequazioni di secondo grado, ratte, irrazionali, con i moduli, goniometriche, logaritmiche, esponenziali). Graico approssimativo di una unzione Graici di unzioni note o deducibili Funzioni monotòne, periodiche, pari e dispari Funzione inversa Funzioni inverse delle unzioni goniometriche Analisi dellininito LIMITI DI UNA FUNZIONE DI VARIABILE REALE Deinizione di limite inito per una unzione in un punto e applicazioni Limite destro e sinistro di una unzione Deinizione di limite ininito per una unzione in un punto Deinizione di limite per una unzione allininito Teoremi ondamentali sui limiti: teorema di unicità del limite (con dimostrazione), teorema della permanenza del segno (senza dimostrazione), teorema del conronto (senza dimostrazione) Operazioni sui limiti: teorema sulla somma o dierenza di limiti (con dimostrazione), teorema sul prodotto o quoziente di limiti (senza dimostrazione), teorema sul limite del modulo di una unzione (senza dimostrazione) Forme indeterminate Deinizione di unzione continua FUNZIONI CONTINUE Continuità di unzioni elementari: unzioni razionali, goniometriche, esponenziali, logaritmiche (con dimostrazioni), unzione potenza e irrazionale (senza dimostrazione) Continuità delle unzioni in un intervallo

2 sen Limiti notevoli: lim, 0 log lim 0 lim e (senza dimostrazione) Punti di discontinuità di una unzione Esercizi sui limiti. Forme di indecisione a Asintoti. Graico approssimativo di una unzione, ln a a lim ln a 0 (con dimostrazioni), DERIVATE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Problemi che conducono al concetto di derivata Deinizione di derivata Teorema: la derivabilità implica la continuità (con dimostrazione) Signiicato geometrico della derivata Esempi Derivate di alcune unzioni elementari: Dk=0, D=, Dsen=cos, Dcos=-sen Dln=/, De =e, Da =a (con dimostrazione), D = - (con dimostrazione) Teoremi sulle derivate: derivata della somma o dierenza di più unzioni, derivata di una costante per una unzione, derivata di un prodotto di due o più unzioni, derivata del quoziente di due unzioni (con dimostrazioni), derivata di una unzione composta, derivata di una unzione inversa (senza dimostrazioni) Derivata di (senza dimostrazione) Derivate di ordine superiore Equazione della tangente ad una curva APPLICAZIONI DELLE DERIVATE Applicazioni legate alla isica: moto rettilineo, intensità della corrente elettrica, orza elettromotrice indotta MASSIMI E MINIMI RELATIVI E ASSOLUTI. STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE Massimi e minimi relativi e assoluti Criterio per lesistenza degli estremi relativi (con dimostrazione)

3 Estremi di una unzione non derivabile in un punto: cuspidi, punti angolosi, lessi a tangente verticale Studio del massimo e del minimo delle unzioni a mezzo delle derivate successive (senza dimostrazione) Problemi di massimo e di minimo Concavità, convessità delle curve piane Flessi a tangente orizzontale e obliqua delle curve piane Studio del graico di una unzione y=(). Esempi ed applicazioni: tutti i tipi di unzione TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO INTEGRALE Teorema di Rolle (con dimostrazione). Esercizi sul teorema di Rolle Teorema di Lagrange (con dimostrazione) Conseguenze del teorema di Lagrange. Esercizi sul teorema di Lagrange Teorema di Cauchy (senza dimostrazione) Regola di De LHospital (senza dimostrazione) Riconducibilità dei vari casi di indeterminazione alla orma 0/0 o / Dierenziale di una unzione Primitive di una unzione. Integrale indeinito INTEGRALI INDEFINITI Teoremi: ogni unzione continua in un intervallo ammette sempre primitive, lintegrale del prodotto di una costante per una unzione continua è uguale al prodotto della costante per lintegrale della unzione, lintegrale di una somma è uguale alla somma degli integrali (senza dimostrazioni) Integrali indeiniti immediati: d c, d c ln Integrali ottenuti per semplici trasormazioni della unzione integranda: d c, - Integrazione per scomposizione Integrazione per sostituzione (con dimostrazione) Integrazione per parti (con dimostrazione) d ln c, gg d Fg c

4 INTEGRALE DEFINITO Problema delle aree Area del trapezoide Deinizione più generale di integrale deinito Proprietà dellintegrale deinito Teorema della media integrale (con dimostrazione) Signiicato geometrico dellintegrale deinito Relazione ra lintegrale indeinito e lintegrale deinito di una unzione: teorema ondamentale del calcolo integrale (teorema di Torricelli) e sue conseguenze (senza dimostrazione) Calcolo di aree Applicazione dellintegrazione al calcolo dei volumi dei solidi di rotazione Signiicato isico di integrale: spazio percorso in un moto rettilineo, lavoro compiuto da una orza Cenno agli integrali impropri EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni dierenziale del primo ordine a coeicienti costanti e modelli matematici di enomeni isici rappresentabili con esse Legge di decadimento radioattivo Circuito RL Equazioni dierenziale del secondo ordine omogenee a coeicienti costanti e modelli matematici di enomeni isici rappresentabili con esse Oscillatore armonico Risoluzione di problemi riguardanti tutto il programma svolto con particolare cura per quelli assegnati agli Esami di Stato. Risoluzione delle simulazioni proposte a ebbraio e a ad aprile proposte dal MIUR. CALCOLO COMBINATORIO E CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Disposizioni semplici e permutazioni. Fattoriale e sue proprietà Combinazioni semplici e coeicienti binomiali. Proprietà dei coeicienti binomiali Probabilità: deinizione di probabilità classica, deinizione requentista. Legge dei grandi numeri. Deinizione assiomatica. Dierenza tra probabilità e requenza. Calcolo della probabilità nel caso di eventi compatibili e incompatibili, di eventi condizionati, di eventi indipendenti e dipendenti. Probabilità composta, Teorema di Bayes.

5 Distribuzione di Bernoulli Distribuzione di Poisson Richiami di geometria dello spazio applicazioni ed esercizi Roma 3/06/206 Gli alunni.. Il docente Marco Cerciello