UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO. Facoltà di Ingegneria. Istituzioni di Economia Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Lezione Produttività e rendimenti di scala Prof. Gianmaria Martini Produttività marginale Consideriamo la funzione di produzione: y f(,.. i,.. n ) La produttività marginale dell input i è data dall incremento nell output conseguito variando il livello dell input i, tenendo fissi gli altri livelli di input. Cioè: i y i

2 Se, ) / y f ( / la produttività marginale dell input è: y / / e la produttività marginale dell input è: y / /. Tipicamente la produttività marginale di un input dipende dall ammontare utilizzato degli altri inputs. Consideriamo: / / Se 8, Se 7, / / 4 / 8 / / 7 /. 4

3 La produttività marginale dell input i è decrescente se diventa più piccola al crescere dell utilizzo dell input i. In molti casi la produttività marginale è decrescente: a parità degli altri fattori, ogni unità dell input che viene aumentato trova meno unità degli altri fattori con cui collaborare. Per questo motivo le unità addizionali sono meno produttive. 5 / / / / e 5 / / quindi < 0 9 e Se y / / allora: / 4 / < 9 Nel nostro esempio, entrambe le produttività marginali sono decrescenti. 0. 6

4 Saggio tecnico di sostituzione Poniamoci un quesito di notevole rilevanza: secondo quale rapporto è possibile per un azienda sostituire un input con un altro senza modificare il livello di output? Si tratta di un problema analogo a quello visto per i consumatori, che sostituivano i beni mantenendo la stessa utilità 7 La pendenza dell isoquanto è il rapporto al quale l input deve essere sacrificato se il livello dell input viene aumentato (mantenendo invariato l output). La pendenza dell isoquanto è il saggio tecnico di sostituzione. y00 8 4

5 Come si calcola il saggio tecnico di sostituzione? La funzione di produzione è: y f(, ) Un piccolo cambiamento (d, d ) nel vettore di input induce una variazione nel livello di output pari a: dy y d + y d. 9 Ma dy 0 (stiamo sull isoquanto di partenza), quindi le variazioni d e d negli inputs devono soddisfare: y y 0 d + d. risistemando y d y d 0 5

6 ovvero: d d y y / / che è il Saggio Tecnico di Sostituzione (STS), ovvero il rapporto a cui l input deve essere sacrificato se l input aumenta e si voglia mantenere costante il livello di output. Notate che il STS è pari al rapporto tra le produttività marginali, con segno cambiato. Esempio Cobb-Douglas y f ( a b, ) Svolgiamo con a/; b/ 6

7 Le produttività marginali sono: / / e / / Il loro rapporto con segno mutato (STS) è quindi: STS (/ ) ( / ) / / / / (/ ) ( / ) Graficamente, se 8 e 4: STS

8 Ritorni (rendimenti)-di-scala Le produttività marginali descrivono il cambiamento nell output quando cambia un solo livello di input. I ritorni di scala descrivono come cambia l output quando tutti i livelli di input cambiano nella stessa proporzione (e.g. tutti vengono raddoppiati, triplicati ecc.). Presenteremo una trattazione grafica a riguardo del caso irrealistico ma utile didatticamente in cui esiste un solo input 5 Un input, un output Output y y y f() ritorni-di-scala costanti Input 6 8

9 Output y f( ) ritorni-di-scala decrescenti: y > f( ) y f() f( ) y f( ) Input 7 Output ritorni-di-scala crescenti: y < f( ) y f() f( ) f( ) y f( ) Input 8 9

10 Situazione tipica Output ritorni-di-scala crescenti y f() ritorni-di-scala decrescenti Input 9 Esempio Cobb-Douglas La funzione di produzione sia data da: y a a Espandiamo tutti i livelli di input in proporzione di k. L output diventa: k a k a a a a ( k) k. ( ) a a a a k + k y. a a +a 0 0

11 Data la funzione di produzione: si ottiene: ( k ) ( k ) k y a a a + a y Tale tecnologia presenta ritorni-di-scala:. a a costanti se a + a crescenti se a + a > decrescenti se a + a <. Caso generale Se, per un qualsiasi vettore di inputs (,, n ), f ( k, k, L, kn ) kf (,, L, n ) allora la tecnologia descritta dalla funzione di produzione presenta ritorni-di-scala costanti. Se k, raddoppiando tutti gli inputs, si raddoppia anche l output.

12 Se, per un qualsiasi vettore di inputs (,, n ), f ( k, k, L, kn ) < kf (,, L, n ) allora la tecnologia descritta dalla funzione di produzione presenta ritorni-di-scala decrescenti. Se k, raddoppiando tutti gli inputs, l output non viene raddoppiato. Se, per un qualsiasi vettore di inputs (,, n ), f ( k, k, L, kn ) > kf (,, L, n ) allora la tecnologia descritta dalla funzione di produzione presenta ritorni-di-scala crescenti. Se k, raddoppiando tutti gli inputs,l output è più che raddoppiato. 4

13 Ritorni-di-scala e produttività decrescenti Una tecnologia può presentare ritorni-di scala crescenti se tutte le produttività marginali sono decrescenti? Si. Consideriamo ad esempio: y / /. 5 questa tecnologia presenta ritorni-di-scala crescenti. Tuttavia / / diminuisce se aumenta e a 4 + a > / / diminuisce se aumenta 6

14 La produttività marginale è la variazione di output indotta dall aumento in un solo input. La produttività marginale diminuisce in quanto i livelli degli altri input sono costanti, quindi ogni unità dell input che cresce trova sempre meno unità degli altri inputs con cui collaborare. Quando tutti gli inputs vengono aumentati proporzionatamente, non è detto che vi sia diminuzione delle produttività marginali. ogni fattore produttivo ha sempre la stessa quantità degli altri inputs con cui collaborare. 7 Breve e lungo periodo Il lungo periodo è la situazione in cui un impresa non è vincolata nella scelta di nessun fattore produttivo. Il breve periodo è una situazione in cui un impresa è vincolata in qualche modo nella scelta di (almeno) un fattore produttivo. 8 4

15 Esempi di possibili vincoli di breve periodo : impossibilità (o eccessivo costo) nell installare/rimuovere capitale impossibilità legale di licenziare lavoratori. Supponiamo che i vincoli di breve periodo riguardino il livello di input del fattore (input fisso). Il fattore rimane variabile. 9 y / / Sia la funzione di produzione di lungo periodo ( e sono variabili). La funzione di produzione di breve periodo con 4 è: / / y 4 / La funzione di produzione di breve periodo con 6 è: / / / y

16 Isoquanti per y, 4, 8 Funzione di produzione di breve periodo ( 4). y C B 4 A B C A Isoquanti per y, 4, 8 A B C 6 Funzione di produzione di breve periodo ( 6). y C B 4 A 6