Calcolo Numerico I - a.a Laboratorio 3 - Introduzione a MATLAB

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1 Calcolo Numerico I - a.a Laboratorio 3 - Introduzione a MATLAB Grafica 2D in Matlab Per tracciare in Matlab il grafico di una funzione y = f(x) per un intervallo assegnato di valori della variabile x, utilizziamo il comando plot. Ad esempio >> x=linspace(0,2*pi,20); % vettore delle ascisse >> y=x.*sin(x); % vettore delle ordinate >> plot(x,y) Se vogliamo assegnare un colore e uno stile della linea (ad esempio rosso (red) r, e linea tratteggiata, -- ) >> plot(x,f(x), r-- ) >> grid % tracciamo le linee di griglia Il comando doc LineSpec mostra una lista di tutte le opzioni disponibili per specificare lo stile della linea. Per rappresentare sul medesimo grafico più di una funzione >> x=linspace(0,2*pi,20); >> y1=x.*sin(x); >> y2=x.*cos(x); >> plot(x,y1,x,y2), grid Alternativamente

2 >> x=linspace(0,2*pi,20); >> y1=x.*sin(x); >> plot(x,y1, r ), grid >> hold on >> y2=x.*cos(x); >> plot(x,y2, g ) Il comando hold on funziona come un interruttore acceso/spento; fino a quando non si digita hold off tutti i grafici vengono disegnati nella medesima finestra. Per disegnare più grafici, ciascuno su una specifica finestra >> x=linspace(0,2*pi,20); >> y1=x.*sin(x); >> plot(x,y1, r ), grid >> figure(2) >> y2=x.*cos(x); >> plot(x,y2, g ) Disegnamo ora il grafico di sin(x) per x [ π, π] e completiamolo con un titolo e delle etichette sugli assi >> x=linspace(-pi,pi,200); >> y=sin(x); >> plot(x,y) >> title( Grafico di sin(x) ) >> xlabel( Asse x ), ylabel( Asse y ) 2

3 Per ridimensionare gli assi >> xmin=-2; xmax=2; ymin=-1; ymax=1; >> axis([xmin xmax ymin ymax]); Il comando doc axis visualizza tutti i possibili formati di scalatura e di modifica degli assi del grafico. La barra di comandi al di sopra della finestra del grafico permette numerose operazioni, fra cui lo zoom (icona lente ) e la modifica delle proprietà degli oggetti - spessore delle linee, colore delle linee, carattere delle etichette...- del grafico stesso (icona freccia ) Funzioni simboliche (inline) Esiste in Matlab una sintassi che permette di definire una funzione direttamente nello spazio di lavoro (ovvero in linea ) senza ricorrere ad un file esterno. L istruzione relativa è inline, seguita dall espressione della funzione e dall elenco dei parametri da cui essa dipende. Per esempio, definiamo la funzione f(x) = (sin(x) + x) 2 : >> f=inline( (sin(x)+x).^2, x ) dove abbiamo indicato esplicitamente che f è funzione di x. Attenzione alla sintassi con gli apici e i punti e attenzione all operazione di elevamento a potenza componente per componente! 3

4 Ad una funzione così definita non sono associati dei valori numerici (verificare con whos f), ma solo un espressione matematica. Se ora vogliamo associare dei valori numerici, scriviamo >> x=linspace(0,2*pi,20); >> y=f(x); %assegna a f dei valori numerici in %corrispodenza del vettore x Verificare con whos y che y è un vettore numerico! Riprendiamo l esempio del disegno del grafico della funzione y = x sin(x) e usiamo il comando inline >> x=linspace(0,2*pi,20); >> f=x.*sin(x); >> plot(x,f(x)), grid Attenzione: perché il comando >> plot(x,f) non funziona? Elementi di Grafica 3D in Matlab Per disegnare una curva nello spazio 3D, ad esempio un elica circolare definita in forma parametrica 4

5 Figura 1: Grafico dell elica circolare ottenuto con il comando plot3. >> t=linspace(0,10*pi,1000); >> plot3(sin(t), cos(t),t) % sintassi generale: plot3(x,y,z) Il risultato è rappresentato in Fig. 1 Per tracciare grafici di superfici, ad esempio della funzione z = sin(x) sin(y), dapprima dobbiamo creare le matrici X e Y delle coordinate x e y. A questo scopo, usiamo il comando meshgrid che converte una coppia di vettori x,y in una coppia di matrici X,Y, come segue: >> x=linspace(-pi,pi,40); y=linspace(-pi,pi,40); 5

6 >> [X,Y]=meshgrid(x,y); quindi calcoliamo in corrispondenza delle coordinate contenute in tali matrici i valori della funzione z (attenzione alla sintassi.!) >> Z=sin(X).*sin(Y); e infine rappresentiamo la superficie >> surf(x,y,z) %superficie interpolata >> mesh(x,y,z) % superficie "wireframe" I risultati ottenuti con i due comandi sono riportati in Fig. 2 La modalità con cui viene colorata la superficie generata da surf può essere modificata con il comando shading. Il comando caxis([min,max]) imposta i valori che corrispondono al minimo e al massimo della scala di colori e il comando colormap modifica la scala di colori. Per disegnare le linee di livello della funzione, possiamo utilizzare infine il comando contour(x,y,z,n), eventualmente specificando nel parametro N il numero di linee di livello da disegnare. Il risultato ottenuto è riportato in Fig. 3 6

7 Figura 2: Grafico 3D della funzione z = sin(x) sin(y) ottenuto con i comandi surf (figura in alto) e mesh (figura in basso). 7

8 Figura 3: Linee di livello della funzione z = sin(x) sin(y) ottenute con il comando contour. Grafici in scala logaritmica Spesso è utile rappresentare il grafico di una certa funzione in scala logaritmica, su entrambi gli assi cartesiani o su uno solo dei due. In Matlab esistono i seguenti comandi: loglog(x,y): grafico in scala logaritmica su entrambi gli assi semilogx(x,y): grafico in scala logaritmica sulle ascisse semilogy(x,y): grafico in scala logaritmica sulle ordinate Osservazione importante: funzioni del tipo y = kx n, 8

9 dove k e n sono due parametri reali, sono rappresentate da una retta in scala logaritmica. Infatti, se prendiamo il logaritmo in base 10 di entrambi i membri, otteniamo Log 10 y = Log 10 k + nlog 10 x. Ponendo Y = Log 10 y, X = Log 10 x, P = Log 10 k, tale espressione si può scrivere come Y = nx + P Abbiamo ottenuto una retta, il cui coefficiente angolare della retta è l esponente n! Ad esempio, disegnamo nella medesima finestra il grafico delle funzioni y = x, y = x 2, y = x 3, y = x 4, prima in scala lineare e poi in scala logaritmica su entrambi gli assi. Per creare un vettore di ascisse x che comprenda diversi ordini di grandezza conviene usare il comando logspace(p1,p2,n) che genera un vettore di N elementi logaritmicamente equispaziati, ovvero ottenuti come se usassimo il comando 10.ˆ(linspace(p1,p2,N)) >> x=logspace(-1,5,10); >> plot(x,x,x,x.^2,x,x.^3,x,x.^4) >> figure(2), loglog(x,x,x,x.^2,x,x.^3,x,x.^4) Nel grafico in scala lineare riusciamo a distinguere solo la potenza maggiore, mentre le altre risultano schiacciate vicino all asse x, mentre in scala logaritmica sono molto più chiari gli ordini di 9

10 grandezza. Inoltre, in scala logaritmica l esponente di ciascuna funzione è immediatamente riconoscibile dalla pendenza della retta in scala logaritmica (si veda la Fig. 4). Figura 4: Grafico delle funzioni y = x, y = x 2, y = x 3, y = x 4 in scala lineare (sinistra) e in scala logaritmica su entrambi gli assi (destra). Inoltre, funzioni del tipo y = ka nx, sono rappresentate da una retta in un piano con asse y logaritmico. Se prendiamo il logaritmo in base 10 di entrambi i membri, otteniamo infatti Log 10 y = Log 10 k + nxlog 10 a. Ponendo Y = Log 10 y, A = Log 10 a, P = Log 10 k, tale espressione si può scrivere come Y = nax + P. 10

11 Quando usare la scala logaritmica? per rappresentare un insieme di dati che si estende in un intervallo molto vasto di valori; per mettere in evidenza particolari andamenti nella variazione dei dati. Ricordiamo che: in un grafico in scala logaritmica non si possono rappresentare quantità negative o zero (scegliere opportunamente l intervallo delle ascisse!) Attenzione: Matlab assegna alle etichette dei segni di graduazione degli assi i valori rappresentati e non i loro logaritmi 11

12 Polinomi in Matlab Matlab non prevede un oggetto particolare di tipo polinomio, ma rappresenta i polinomi attraverso vettori che contengono i coefficienti del polinomio stesso, ordinati partendo dal coefficiente del termine di grado maggiore (detto anche coefficiente direttivo) fino ad arrivare al coefficiente del termine di grado minore (detto anche termine noto) Per esempio, i polinomi p(x) = x 3 x 2 +4x 1 e q(x) = x 4 3x 1 di grado, rispettivamente, n = 3 e n = 4, diventano i vettori (di lunghezza n + 1) >> p=[ ]; >> q=[ ]; % zero per i termini con coeff. nullo Valutiamo un polinomio con coefficienti contenuti in p in un punto x e assegniamo alla variabile w tale valore >> x=2; >> w=polyval(p,x); Possiamo anche valutare il polinomio in un vettore di punti contenuto in x >> x=linspace(-1,1); >> y=polyval(p,x); >> plot(x,y) % disegnamo il grafico di p(x) in [-1,1] 12

13 Per sommare algebricamente i due polinomi p 1 (x) = 3x 3 2x 2 + x + 15 e p 2 (x) = x 2 >> p1=[ ]; >> p2=[ ]; >> s=p1+p2; NB: i due vettori dei coefficienti degli addendi devono avere la stessa lunghezza, quindi abbiamo dovuto allungare il vettore dei coefficienti di p 2 con degli zeri! Per calcolare il prodotto di due polinomi, ad esempio p(x) di grado m e q(x) di grado n >> p=[ ]; %m=3 >> q=[1-2]; %n=1 >> r=conv(p,q); % coeffs del polinomio di grado m+n=4 dove r è il vettore dei coefficienti del polinomio r(x) = p(x)q(x). Per calcolare la derivata di un polinomio p(x) rispetto alla sua variabile indipendente, p (x), usiamo il comando polyder. Ad esempio, calcoliamo p (x), con p(x) = 3x 3 2x 2 + x + 15 >> p=[ ]; %m=3 >> polyder(p) dove il risultato è ancora un vettore di coefficienti con il significato usuale. 13

14 Per calcolare la primitiva di un polinomio, si usa il comando polyint(p,k) dove k rappresenta il valore a cui si vuole porre la costante dell integrale indefinito. Essa può essere omessa nel caso in cui si voglia k = 0. Ad esempio (x 2 2x 1) dx >> p=[1-2 -1]; >> P=polyint(p); dove il risultato è ottenuto a meno di una costante (fissata qui a zero). Se vogliamo invece calcolare l integrale definito 3 0 (x 2 2x 1) dx possiamo combinare il comando polyint con il comando polyval >> p=[1-2 -1]; >> P=polyint(p); >> I=polyval(I,3)-polyval(I,0) 14

15 Rappresentazione dei numeri reali: È impossibile rappresentare su una macchina l infinità dei numeri reali. Si lavora con un sottoinsieme di dimensione finita: l insieme dei numeri floating-point. Ad esempio: 2/3 = 0.6 >> 2/3 ans = >> 1/3 ans = /3 = 0.3 I numeri reali vengono arrotondati. Usare solo 4 cifre decimali per rappresentare i numeri sarebbe tuttavia molto grossolano, ma questo è solo un possibile formato del sistema per visualizzare un numero reale che non coincide con la sua rappresentazione interna. Altri possibili formati sono: >> format long >> 2/3 15

16 ans = >>1/3 ans= >> 1/100 ans = >> format long e >> 1/100 ans = e-02 Altre variabili predefinite: eps (epsilon macchina), realmax, realmin (più grande e più piccolo numero floating point), Inf (+ è il risultato di operazioni come 1/0 o di un overflow, ad es. exp(1000)) Nan (Not-a-Number, è il risultato di operazioni come 0/0 o inf-inf). 16