C3. Alcune leggi orarie fondamentali

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1 C3. Alcune leggi rrie fndmenli In ques cpil, prend dll espressine nliic di lcune semplici leggi rrie del m reiline del pun merile, se ne sudiernn le principli prprieà e lcune semplici ppliczini, seguend l schem che dll legge rri pr ll deerminzine dell elcià, e d ques quell dell ccelerzine: () deri d d deri d d Il m reiline unifrme Si cnsideri un legge rri defini d un plinmi di I grd, ciè del ip: A B cn A, B csni. ) Dll nlisi dimensinle dell legge rri, segue che le unià di misur delle csni sn, rispeimene: [A] m s - ; [B] m In lri ermini, A h le unià di misur di un elcià e B di un lunghezz. b) Eseguend le derie, si iene: d A ; d d 0 d c) Il signific fisic delle csni A, B si indiidu in bse quese sserzini: Pnend 0 nell equzine dell legge rri si deermin l psizine inizile (0): (0) B Pern, B rppresen l psizine inizile. Per ricrdre più fcilmene ques signific, spess l ps di B si us il simbl. Dll equzine che esprime l elcià, si deduce che A rppresen l elcià csne del m. Per ricrdre più fcilmene ques signific, spess l ps di A si us il simbl. In ermini dei nui simbli, le leggi che descrin il m reiline unifrme si scrin quindi: 0 cn psizine inizile e elcià csne del m.

2 Grfici del m reiline unifrme Nel segui, sn ripri i grfici di (), () e () per l legge rri, cn > 0, > 0. Siccme l legge rri è espress d un plinmi di I grd, il grfic () è un re cn inerce e cefficiene nglre. I grfici di, esprimn rispeimene il f che l elcià è csne e pri, e che l ccelerzine è null. Segun lcune sserzini sul m reiline unifrme: Nel m reiline unifrme, l elcià medi h l sess lre dell elcià isnne. Per cnincersene, è sufficiene d esempi pensre l signific gemeric di m e nel pin -. Dll definizine di elcià medi, segue che: il che implic l prprzinlià r inerlli di emp e spsmeni crrispndeni. In lri ermini, si dice ll che nel m reiline unifrme il pun merile percrre spzi uguli in empi uguli. L differenz fndmenle, rispe l cs di un generic m ri, è che ques equzine è es per il m reiline unifrme, menre può essere uilizz sl in md pprssim, per piccli inerlli di emp, negli lri csi. Nel grfic finc (che rppresen un generic legge rri), il r zzurr rppresen l spsmen m ; il r rss indic il prd. Oimene m men che il grfic nn si un re. Nei ermini dell Anlisi memic, il prd è pri l differenzile d dell funzine.

3 Il m reiline unifrmemene cceler Si cnsideri r un legge rri defini d un plinmi di II grd, ciè del ip: A B C cn A, B, C csni (dierse dll esempi precedene!) ) Dll nlisi dimensinle dell legge rri, segue che le unià di misur delle csni sn, rispeimene: [A] m s - ; [B] m s - ; [C] m In lri ermini, A h le unià di misur di un ccelerzine; B di un elcià; C di un lunghezz. b) Eseguend le derie si iene: d A B d d A d c) Il signific fisic delle csni A, B, C si indiidu llr in bse quese sserzini: Pnend 0 nell equzine dell legge rri, si deermin l psizine inizile (0): (0) C Pern, C rppresen l psizine inizile. Per ricrdre più fcilmene ques signific, l ps di C si userà il simbl. Pnend 0 nell equzine che esprime l elcià, si deermin l elcià inizile (0): (0) B Pern, B rppresen l elcià inizile. Similmene, l ps di B si userà il simbl. Infine, dll equzine che esprime l ccelerzine, si deduce che l ccelerzine è csne. Un plinmi di II grd descrie pern l legge rri di un m unifrmemene cceler. De il lre csne dell ccelerzine, si ric lresì che A.

4 In ermini dei nui simbli, le leggi del m unifrmemene cceler si scrin quindi: cn psizine inizile; elcià inizile; ccelerzine csne del m. Grfici del m reiline unifrmemene cceler Siccme l legge rri è espress d un plinmi di II grd, il grfic dell funzine () è un prbl. I rebbi sn rili ers l l se > 0 e ers il bss se < 0. Nell isne 0, l prbl pss per. L ngene l grfic, in 0, h cefficiene nglre pri. L funzine () è d d un plinmi di I grd; il grfic è un re, cn inerce e cefficiene nglre. Il grfic di esprime infine il f che l ccelerzine è csne. In bss, sn ripri lcuni pssibili grfici di (), () e (). ) Psizine inizile, elcià inizile e ccelerzine psiie. > 0 > 0 > 0 b) Psizine inizile e elcià psiie; ccelerzine negi. > 0 > 0 < 0

5 Appliczini di cinemic del m reiline unifrme e unifrmemene cceler Nel segui sn ripre lcune cnsiderzini ggiunie e lcune ppliczini fndmenli delle leggi rrie del m reiline unifrme e del m reiline unifrmemene cceler. In mlissimi prblemi prici è pssibile, lmen pprssimimene, ssumere che il pun merile si mu nell un nell lr md, per cui è imprne pdrneggire l descrizine e l ppliczine delle leggi cinemiche di quesi mi. Aenzine, però, nn cmmeere l errre, pius cmune, di usre quese leggi per qulunque m ri! Relzine r elcià e spsmen Le equzini del m unifrmemene cceler ppen presene esprimn l psizine e l elcià del pun merile in funzine del emp. In lcuni prblemi, però, risul uile un relzine che leghi diremene l elcià ll psizine. Si prcede llr eliminnd il emp r le due equzini del m unifrmemene cceler: ; ; ; ; ; Infine, smmnd i ermini simili e indicnd per semplicià cl simbl s l spsmen: s - si iene l relzine cerc: s che può essere nche scri, secnd dell cnenienz, cme: s ; s Aenzine! Oimene quese frmule lgn esclusimene per un m reiline unifrmemene cceler. Applicrle csi diersi è un errre pius cmune, cermene d eire. Un frmulzine più generle di ques prblem richiede un pprcci cmplemene diers, che srà presen più ni, in ermini di lr ed energi cineic.

6 Cndizini inizili ssegne ll isne 0 Di cnsue, le cndizini inizili sn ssegne ll isne 0. Cme già sser, si può immginre che in ques isne eng f prire il crnmer che segn il emp. In lcuni prblemi, ui, le cndizini inizili den essere ssegne un isne 0. Ciò cpi, d esempi, se l legge rri è d in frme dierse in diersi inerlli di emp; per esempi, se il pun merile si mue di m unifrmemene cceler nell inerll 0 < e di m unifrme nel segui. In ques cs, l cndizine inizile per l secnd fse del m, ugule ll cndizine finle dell prim, ssegn ll isne. Per fissre le idee, il prcedimen d dre è presen in riferimen l cs specific. Si può prcedere in ques md: ) Per descriere l prim fse, si f prire cme di cnsue il crnmer che segn il emp nell cndizine inizile; le cndizini inizili, sn quindi ssegne 0. Le leggi cinemiche del m sn dunque: b) Al ermine dell prim fse, il crnmer segn il emp. Le cndizini finli,, che dienernn cndizini inizili per l fse successi, sn: c) All isne si f prire un secnd crnmer, che segnerà il emp. Le leggi cinemiche del m reiline unifrme, in ermini del emp e delle nue cndizini inizili,, sn: ' 0 d) In quese equzini, si effeu l ssiuzine enend csì infine: 0 ( )

7 Per il cs priclre in cui 0, 0, si engn le relzini segueni, cui crrispnde il grfic in figur. ( ) 0 < L sess prcedimen può essere segui del u in generle. Se, d esempi, nell secnd fse il pun merile si muesse di m unifrmemene cceler, cn ccelerzine, si rebber per > le relzini: ( ) ( ) ( ) Incnr r due puni merili Nei prblemi in cui cmpin due disini puni merili, è priclrmene uile rppresenre le leggi rrie nell sess digrmm; ciò permee infi di desumere rpidmene mle infrmzini quliie sull siuzine fisic che si deermin isne per isne. Un prblem clssic è quell dell incnr r due puni: ssegne le leggi rrie, deerminre in che isne e in qule psizine essi si incnrernn. L incnr implic che i due puni ccupin l sess psizine nell sess isne di emp ; pern le, sn enue meend sisem le due leggi rrie. In priclre, l psizine

8 A il di esempi, si cnsiderin le segueni leggi rrie. ) P si mue di m unifrmemene cceler (r rss): b) P si mue di m unifrme (r ner): L isne e il pun di incnr sn deermini cme sluzini del sisem: Eliminnd r le due equzini e rirdinnd, si iene: 0 Rislend l equzine (spuri di II grd) si rn due sluzini; l prim è 0 (i puni sn prii insieme; l secnd è d d: cui crrispnde l psizine: Cdu liber di un gre A cus dell rzine grizinle dell Terr, ui i crpi pesni (dei ll gri ) si mun cn ccelerzine csne 3, de ccelerzine di grià. Il lre dell ccelerzine di grià è ugule per ui i crpi; ess cmbi lieemene cn l liudine e cn l qu, deermin rispe l liell del mre. Lscind i prssimi cpili l sudi del cs più generle, ci si limii r i mi che hnn lug lung l ericle; ciè quelli che si deerminn qund l gge è lnci cdere libermene, ppure è lnci ers l l ers il bss, m nn bliqumene. In un sisem di riferimen cn sse y rien ers l l, l ccelerzine è negi e pri : -g 3 Nurlmene, ques è er sl se l resisenz dell ri è rscurbile, cme implicimene ssun nel segui.

9 cn g csne psii. A un liudine inermedi e l liell del mre, si h. g 9.8 m s - Prend dlle equzini di un generic m unifrmemene cceler, cn le ssiuzini y e -g, si engn le equzini: y g g g y Aenzine i segni! Scegliend un sisem cn sse di riferimen y rien ers il bss (il che è lren leci), l ccelerzine è psii e pri g; si hnn csì le equzini: y g g g y A p di ssegnre crremene le cndizini inizili, i risuli enui nell un nell lr sisem di riferimen sn equileni. Ques è un prim esempi di un principi ml generle: l descrizine fisic di un sisem nn può cmbire se si cmbi il sisem di riferimen. 4 Nel segui, se nn è esplicimene fferm il cnrri, si ssumerà sempre l sse y rien ers l l. Cdu liber Se il crp iene lsci cdere d un lezz h, prend d ferm ( 0), le equzini dienn: y g g h Il emp necessri perché il pun merile cchi il sul (y 0) è l sluzine psii dell equzine: 0 g h 4 Ques em errà ffrn in mggir degli prpsi dell I legge dell dinmic.

10 e quindi: h g L elcià di imp l sul è pri ll elcià clcl ll isne : g h g g h Per ere un ide degli rdini di grndezz, si cnsideri che un crp, cdend dll lezz di 5 m, cc il sul dp s ll elcià di 0 ms -. Alezz mssim Se il crp iene lnci ers l l cn elcià, prire d un qu null (y 0), le equzini dienn: y g g Durne l sli, l elcià è psii; durne l disces, è negi. All qu mssim l elcià dee essere null. Pnend 0 si ric il emp necessri: g Ssiuend nell prim equzine, si r l lezz crrispndene h: h g g g g g e infine: h g Aenzine un errre bnle, m frequene: il segn dell ccelerzine nn cmbi se il crp prcede ers l l! Ricrdnd il signific del segn dell ccelerzine, resnd sempre -g, il crp rllen se prcede ers l l e sempre più in fre se prcede ers il bss.

11 M rmnic L ulim esempi di ques cpil rigurd il m rmnic, che rppresen il più semplice m scillri. L legge rri è d d un relzine del ip: A cs ( ω φ ) cn A, ω, φ ο csni. ) Dll nlisi dimensinle dell legge rri, segue che le unià di misur delle csni sn, rispeimene: [A] m ; [ω] s - ; [φ ο ] In lri ermini, A h le unià di misur di un lunghezz, ω dell iners di un emp, menre φ è un numer. 5 A prende il nme di mpiezz; (ω φ ), ciè l rgmen dell funzine csen, prende il nme di fse; ω prende il nme di pulszine; φ prende il nme di fse inizile. b) Per semplicià, si png nel segui φ 0. Eseguend le derie per deerminre elcià e ccelerzine del m, si iene: d d d Aω sen Aω d cs ( ω ) ( ω ) c) Il m rmnic gde di un prprieà priclre. Rirdinnd le espressini di,,, si n infi che : A cs Aω sen Aω cs ( ω ) ( ω ) ( ω ) ω ciè l ccelerzine è prprzinle ll spsmen, m pps in segn. 5 Cme rgmen dell funzine csen, si può inendere che (ω φ ) si espress in rdini. I rdini hnn l unià di misur dei numeri.

12 Grfici del m rmnic Il signific fisic delle csni A, ω si indiidu in bse ll sudi del grfic dell legge rri (prim digrmm in l). Dll relzine: A cs ( ω ) si ede innnziu che A A, essend il lre dell funzine csen limi ll inerll [-, ]. Il pun merile si mue dunque sull inerll [-A, A]. L bell in bss rccglie lcune cppie (, ): ω A cs (ω ) A π ω π ω π ω π 3 π -A π π A ω π 0 0 Tbell e grfic chiriscn che il m rmnic è scillri, nel sens che si sussegun gli spsmeni ers sinisr e ers desr. Dl secnd grfic, si ede che l elcià è psii qund il pun prcede ers desr, negi qund prcede ers sinisr; si nnull quindi negli isni di inersine dell direzine, ciè qund il pun rggiunge un degli esremi dell inerll. E mssim, in lre sslu, qund il pun pss per l rigine ( 0). Cme si ede dl erz grfic, nei puni di inersine l ccelerzine rggiunge, in lre sslu, il mssim lre; si nnull inece qund il pun pss per l rigine, ciè qund il lre sslu dell elcià è mssim. Mi peridici Un m si dice peridic se esise un emp T, de perid, le che: ( T) () Il signific fisic di ques equzine è il seguene: dp il emp T, il m riprende ugule se sess.

13 Perid del m rmnic Il m rmnic è un m peridic. L funzine csen è infi un funzine peridic; dll gnimeri elemenre, è n che ess h perid pri π. L rgmen dell funzine csen, nell legge rri, è l fse ω. Cme si ede dll schizz finc, qund l fse rggiunge il lre π, è pss un emp pri l perid T. Quindi le l equzine: ωt π d cui si ric il perid: T π ω Inerend l equzine, si ric l espressine dell pulszine in ermini del perid: π ω T Infine, l iners del perid è l frequenz ν: 6 ν T ω π Dll definizine, segue il signific fisic di frequenz: ν è pri l numer di scillzini cmpiue nel emp uniri. L unià di misur dell frequenz si deermin dll definizine: [ ν] s Hz [ T] Il simbl Hz si legge Herz. Si fcci enzine l seguene degli. Si l pulszine, che l frequenz, hnn cme unià di misur, nel SI, il s -. Si r però di grndezze fisiche dierse, per cui nn h nessun sens smmre un pulszine cn un frequenz! Per eire equici, si sbilisce l seguene cnenzine: l unià di misur dell frequenz è indic esclusimene cme Hz; l unià di misur dell pulszine è ripr in s -, ll, in rd s - ; si r di unià di misur equileni, is che [rd]. 6 Aenzine ll lfbe grec! ν" (si legge ni nche nu ) è l crrispndene dell leer lin n.