Teoremi di Stokes, della divergenza e di Gauss Green.

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1 Matematica 3 Esercitazioni eoremi di tokes, della divergenza e di Gauss Green. Esercizio 1 : Calcolare l area del dominio avente per frontiera la linea chiusa γ di equazioni parametriche x (1 t) t γ :, t [, 1] y (1 t)t oluzione : Possiamo utilizzare indifferentemente una delle tre formule (giustificate dal teorema di Gauss Green) x Area( ) x dy y dx γ + γ + γ + dy y dx. Bisogna però stabilire se la parametrizzazione assegnata alla frontiera induce su di essa o- rientazione positiva o negativa. Un metodo per farlo è quello di determinare la direzione e il verso di un vettore tangente alla curva γ in un opportuno punto. Il vettore τ tangente a γ ha componenti τ(t) ((1 t)(1 3t), 1 t) dunque, per t 1 è τ ( 1 4, ), orizzontale ed orientato secondo le x decrescenti. Da ciò si deduce che l orientazione su γ è quella in senso antiorario e quindi positiva. Calcoliamo quindi l area secondo la prima delle tre formule precedenti: dx dy x dy γ x(t)y (t) dt (1 t) t(1 t) dt [ 1 t 4 3 t t4 ] 1 5 t Esercizio : Calcolare l area del dominio tratteggiato in figura di frontiera γ γ 1 γ γ 3 ove γ 1 (x, y) R, x + y x, y } e γ ha equazione in coordinate polari ρ e θ con θ [, π ]. oluzione : Determiniamo dapprima una parametrizzazione per la frontiera γ che induca su 1

2 di essa orientazione positiva. i ha x 1 γ 1 : + 1 cos(π θ) y 1, θ [, π], sin(π θ) e γ : γ 3 : x e θ cos θ y e θ sin θ, θ [, π ] x y e π t, t [, e π ]. Utilizziamo ora la formula x Area( ) γ + dy y dx. Considerando che il contributo all integrale del tratto γ 3 è nullo, si ha x γ + dy y dx x γ 1 dy y dx + x γ dy y dx 1 π [ ( ) 1 cos(π θ) cos(π θ) 1 ] sin(π θ)1 sin(π θ) dθ + 1 π [ ] e θ cos θ(sin θ + cos θ) e θ sin θ(cos θ sin θ) dθ 1 π ( ) cos(π θ) dθ + 1 π e θ dθ 4 [ 1 8 sin(π θ) 1 ] π [ ] π 1 8 θ + 4 eθ π eπ 1 4. Esercizio 3 : Usando il teorema di Gauss Green, calcolare l integrale doppio ove è il dominio in figura, di frontiera σ σ 1 σ con x t sin t σ :, y cos t 1 t [, π] x π cos 3 t σ 1 : y π sin 3 t, t [, π ] y dx dy oluzione : Per poter applicare il teorema di Gauss Green, dobbiamo determinare un campo F (f 1 (x, y), f (x, y)) tale che x f (x, y) y f 1 (x, y) y. Una scelta possibile è la seguente:

3 f 1 (x, y) y, f (x, y). Il teorema di G G afferma quindi y dx dy y + dx. Non abbiamo bisogno di calcolare una parametrizzazione del tratto σ poiché su di esso x è costante dunque x (t). Inoltre, le parametrizzazioni assegnate ai tratti σ e σ 1 inducono su di essi orientazione positiva. i ha quindi: y dx dy π π σ y σ1 dx + y dx (1 cos t) 3 dt + π 1π 3 sin 7 t cos t dt (1 4 cos t + sin t cos t + 3 cos(t) + 3 ) dt + π [ 5 t 4 sin t sin3 t sin(t) ] π 5 π + 1π3 [ 1 3 cos3 t cos9 t cos5 t 3 7 cos7 t 1π 3 sin 6 t cos t sin t dt π + 1π 3 (cos t cos 8 t 3 cos 4 t + 3 cos 6 t) sin t dt ] π 5 π + 1π3 ( ) Esercizio 4 : Dato il campo vettoriale F (x cos y sin x + cos y cos x)i (x sin x cos y)j, calcolare il flusso di F uscente dalla linea γ γ 1 γ γ 3 usando il teorema della divergenza. oluzione : Ricordiamo il teorema della divergenza nel piano: F, n ds divf dx dy γ ove n è il versore uscente normale al bordo γ del dominio. Poiché la retta OB ha equazione 3

4 y x e la retta BA ha equazione y x +, si ha divf dx dy (x cos y cos x + x sin x sin y) dx dy 3 x 1 x x cos(y x) dx dy 1 x sin x dx + x sin x dx + x 3 1 x 3 3 x x y x cos(y x) dy dx + (x sin( 3x + ) + x sin x) dx x sin( 3x + ) dx [ x cos x + sin x] 1 + [ 1 3 x cos( 3x + ) sin( 3x + ) ] x 3 x+ y x cos(y x) dy dx 8 9 sin 1 3 cos 1 9. Esercizio 5 : ia la porzione dell iperboloide ad una falda di equazioni parametriche x cosh u cos v u [ sinh 1 1, sinh 1 ] P : y cosh u sin v, v [ π z sinh u, π ]. i calcoli il flusso del vettore F xi + yj + zk che attraversa nel verso delle x crescenti. oluzione : In questo esercizio non si può usare il teorema della divergenza perché la superficie non è chiusa. Calcoliamo quindi il flusso in base alla definizione: Flusso F, n dσ ove n è il versore normale a orientato nel verso delle x crescenti e dσ è l elemento di superficie su. Ricordiamo che se P(u, v) è una parametrizzazione della superficie con (u, v) D, D R e g è una funzione definita in un intorno di, l integrale di superficie si calcola g dσ g(p(u, v)) P u P v du dv D ove P u P v è il prodotto vettoriale dei due vettori tangenti P u e P v (ed è quindi un vettore normale alla superficie). Calcoliamo nel nostro caso il versore n normale alla superficie. i ha P u (sinh u cos v, sinh u sin v, cosh u), P v ( cosh u sin v, cosh u cos v, ) 4

5 da cui n i j k sinh u cos v sinh u sin v cosh u cosh u sin v cosh u cos v ( ( cosh u cos v)i (cosh u sin v)j + (sinh u cosh u)k ) P u P v P u P v 1 P u P v 1 P u P v (Osservazione: Non abbiamo bisogno di calcolare la norma del vettore perchè si semplificherà nell integrale) Il versore così trovato è nel verso delle x crescenti? Poiché la componente lungo l asse x del vettore normale P u P v è cosh u cos v < se (u, v) D, il versore NON è nel verso delle x crescenti dunque dovremo prendere il versore opposto. Abbiamo quindi: F, n dσ π F(P(u, v)), D sinh 1 u sinh 1 1 sinh 1 u sinh 1 1 sinh 1 u sinh 1 1 sinh 1 u sinh 1 1 π v π π v π π v π P u P v P u P v P u P v du dv (cosh 3 u cos v + cosh 3 u sin v sinh u cosh u) du dv (cosh 3 u sinh u cosh u) du dv cosh u du dv cosh u du [π sinh u] sinh 1 sinh 1 1 3π. Esercizio 6 : Dato il campo F yi + zj + xk, calcolare il flusso del rotore di F attraverso la porzione di paraboloide (x, y, z) R 3, z 1 x y, z } sia in base alla definizione, sia usando il teorema di tokes. oluzione : Per il teorema di tokes, se F (f 1, f, f 3 ) è un campo definito in un intorno della superficie R 3, si ha rotf, n dσ f 1 dx + f dy + f 3 dz + ove l orientazione positiva di è scelta coerentemente con il verso del versore normale alla superficie n. Calcoliamo il flusso del rotore di F nel verso delle z crescenti. i ha i j k rotf x y z i j k. y z x Determiniamo quindi una parametrizzazione della porzione di paraboloide: x u P : y v, u + v 1. z 1 u v 5

6 Il vettore normale alla superficie nel verso delle z crescenti è quindi i j k P u P v 1 u ui + vj + k 1 v (si osservi che la componente lungo l asse z è positiva). Dunque, in base alla definizione: P u P v rotf, n dσ rotf, P u P v P u P v du dv ( u v 1) du dv π. u +v 1 Applichiamo ora il teorema di tokes e determiniamo dapprima una parametrizzazione di che induce orientazione positiva: x sin t r : y cos t, t [, π] z i ha quindi: + f 1 dx + f dy + f 3 dz π sin t( sin t) dt π cos(t) 1 dt [ 1 4 sin(t) 1 ] π t π. Esercizio 7 : Dato il campo F x 3 i + y 3 j + z 3 k definito nel dominio E (x, y, z) R 3, x + y 1, z [, 1]}, calcolare il flusso di F uscente dalla frontiera di E sia in base alla definzione, sia usando il teorema della divergenza. oluzione : Per il teorema della divergenza nello spazio: F, n dσ divf dx dy dz E E ove n è il versore uscente normale al bordo E del dominio E. Determiniamo una parametrizzazione del bordo E 1 3. Per 1 si ha: x cos θ P 1 : y sin θ, θ [, π], t [, 1]. z t Per si ha: x u P : y v, u + v 1. z Per 3 si ha: x u P 3 : y v, u + v 1. z 1 6

7 Calcoliamo ora il versore normale uscente relativo a 1, e 3. i ha facilmente n (,, 1), n 3 (,, 1) mentre un vettore normale a 1 è i j k P θ P t sin θ cos θ cos θi + sin θj. 1 i tratta del vettore uscente dal bordo 1 poiché per θ si ha i (si osservi che si tratta di un versore, poiché P θ P t 1). Calcoliamo il flusso uscente tramite la definizione: F, n dσ F, n dσ + F, n dσ + F, n dσ E 1 3 π 1 du dv + 1 du dv + (cos 4 θ + sin 4 θ) dθ dt π + 3 π 5 π. u +v 1 u +v 1 Utilizzando ora il teorema della divergenza, poiché divf 3x + 3y + 3z, si ha 1 divf dx dy dz (3x + 3y + 3z ) dx dy dz E Esercizio 8 : i calcoli x dx dy D π z x +y 1 1 ρ 3ρ 3 dρ + θ x +y 1 t 1 z 3z dz dx dy 3 π + π 5 π. dove D (x, y) R, 1 x + y }, utilizzando il teorema di Gauss Green. Risultato: 3 4 π Esercizio 9 : Applicando il teorema di tokes, calcolare l integrale y dx + xy dy + xz dz γ ove γ è l ellisse intersezione tra la superficie cilindrica di equazione x + y x e il piano z y. Il risultato dipende dall orientazione di γ? Risultato:, dunque in questo caso particolare non dipende dall orientazione. Esercizio 1 : Dato il campo vettoriale F xi + yj 3zk, calcolare a) la circuitazione lungo la linea intersezione delle superfici di equazione xy z, e x + y 1 b) il flusso uscente dal cubo di lato unitario, avente tre spigoli sugli assi, un vertice nell origine e il vertice opposto nel punto (1, 1, 1). 7

8 Risultato: sono entrambi nulli. Esercizio 11 : i calcoli il flusso del campo F zi + x yj + y zk uscente dalla superficie del solido (x, y, z) R 3, x + y z 1 + x + y }. Risultato: π 3. 8

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