PROBABILITÀ SCHEDA N. 8 LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI E IL TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE Ovvero: ci si può fidare dell esperienza per stimare probabilità?

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1 Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) PROBABILITÀ SCHEDA N. LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI E IL TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE Ovvero: ci si può fidare dell esperieza per stimare probabilità?. La legge empirica del caso Abbiamo visto che o esiste u modo uivoco per dare ua valutazioe delle probabilità di eveti. Nell assegazioe bisoga che siao però soddisfatte alcue proprietà (la probabilità di tutti i possibili eveti deve essere uguale a e la probabilità che si verifichi l uioe di eveti icompatibili deve coicidere co la somma delle probabilità dei sigoli eveti). Comuque abbiamo osservato che per avere ua valutazioe ragioevole della probabilità di u eveto si può osservare ripetutamete il suo verificarsi o meo, se è possibile l osservazioe ripetuta i codizioi idetiche, oppure simularlo col calcolatore. Ci fidiamo del fatto che, ripetedo più volte u esperimeto, elle stesse codizioi, la frequeza relativa di u eveto che riguarda quell esperimeto è ua sesata valutazioe della probabilità dell eveto stesso. La valutazioe è tato più affidabile quato maggiore è il umero di prove. A questa "legge", la cui validità è rilevabile sperimetalmete, si è attribuito il ome di "legge empirica del caso". Ad esempio, el lacio di ua moeta a due facce o truccata, la frequeza relativa, all aumetare del umero di laci tede a 0.. Questo o vuol dire che il umero t delle teste tede a essere uguale al umero c delle croci, ma è la frequeza relativa dell eveto esce testa che tede a essere uguale alla frequeza relativa dell eveto esce croce.. La legge dei gradi umeri Si legge i alcui libri che la "legge empirica del caso" è ache ota col ome di "legge dei gradi umeri". Questa affermazioe o è corretta, perché, i realtà, si tratta di due euciati cocettualmete molto diversi. Ifatti, la "legge dei gradi umeri", detta ache "Teorema di Beroulli", è, apputo, u teorema (e come tale, è ua proposizioe dimostrabile i ua teoria). La legge empirica del caso è ivece u affermazioe che sitetizza ua regolarità osservabile sperimetalmete. Per compredere la legge dei gradi umeri occorroo ozioi avazate della teoria delle probabilità. Tra l altro soo ote e usate formulazioi differeti della legge dei gradi umeri, che si collocao a diversi gradi di geeralità. Noi e presetiamo ua e lasciamo a evetuali studi futuri il compito di approfodire la trattazioe. Cosideriamo ua successioe di variabili casuali X, X,..., X idipedeti e co la stessa distribuzioe e, i particolare, uguale media μ. Cosideriamo quidi la variabile aleatoria che si ottiee facedo X + X X la media delle variabili date : X =. Dalle proprietà della media e della variaza si ha che X ha valore atteso μ e variaza σ /. [La dimostrazioe è riportata i Appedice] X Prima di euciare la legge dei gradi umeri, facciamo due esempi per capire il sigificato della variabile aleatoria X. ESEMPIO. Cosideriamo l esperimeto del lacio di dadi idetici a sei facce. La fuzioe che associa, a ogi faccia dell i-esimo dado ( i ) u umero dell isieme {,,,,,} è ua variabile aleatoria che idica il puteggio otteuto el lacio e che chiamiamo X i ( i ). Cosideriamo la variabile aleatoria S che corrispode alla somma dei puteggi otteuti egli

2 laci e che, quidi, assume valori ell isieme umeri aturali compresi tra e. La variabile S X è e idica il puteggio medio otteuti egli laci. Se effettuiamo effettivamete l esperimeto otterremo ua particolare realizzazioe di. ESEMPIO. Cosideriamo, sempre el lacio di u dado, l eveto esce la faccia cotrassegata co. I sei possibili esiti a ogi lacio del dado soo descritti da ua variabile aleatoria X che assume valore se si verifica l eveto esce la faccia cotrassegata co e assume il valore 0 altrimeti. La variabile X ha quidi distribuzioe di Beroulli co probabilità p. Se si effettuao laci si hao variabili casuali idipedeti e ideticamete distribuite (assumoo sempre il valore 0 o a secoda che o si verifichi o si verifichi l eveto esce il ), X, X,..., X. Tali variabili aleatorie hao co la stessa media (visto che hao la stessa distribuzioe). La variabile aleatoria X + X X X = idica la frequeza relativa dell eveto esce la faccia cotrassegata co i laci. Ache i questo caso se effettuiamo effettivamete x X l esperimeto otterremo ua particolare realizzazioe di. x X La legge dei gradi umeri dice che: Se la umerosità delle prove tede all ifiito la probabilità che X assuma valori al di fuori dell itervallo ( μ - δ, μ + δ) tede a 0, qualuque sia la semiampiezza δ dell itervallo. I formula: lim P + ( X μ δ) > = 0. Il che equivale a dire che se tede a ifiito la probabilità che la media campioaria media comue μ delle X i è uguale a, ossia che per ogi δ >0, _ lim P( X μ < δ) = + X coverga alla Iterpretiamo la legge dei gradi umeri el caso dell Esempio. All aumetare del umero dei dadi, cresce la probabilità che la media dei puteggi otteuti laciado gli dadi, sia ua buoa valutazioe del valore atteso μ di ciascua variabile X i (osserviamo che, se i dadi o soo truccati, si ha μ =.). La legge dei gradi umeri specifica che se il umero di dadi cosiderati tede a ifiito, allora è uguale a la probabilità che lo scarto assoluto tra la variabile aleatoria media campioaria e il valore atteso μ sia miore di u qualuque umero reale δ, piccolo a piacere. Il che equivale a dire che, per tedete a ifiito, è uguale a la probabilità che la media campioaria sia uguale al valore atteso μ, cioè questo è u eveto praticamete certo. Iterpretiamo la legge dei gradi umeri el caso dell Esempio. I questo caso abbiamo u eveto ( esce il sei el lacio di u dado) che immagiiamo abbia probabilità scoosciuta p (scoosciuta perché il dado potrebbe essere truccato, o semplicemete difettoso: o possiamo saperlo i aticipo). Eseguedo laci cosecutivi otteiamo ua valutazioe della probabilità di otteere sei co quel dado, data da x + x x x = dove i valori x, x,..., x idicao l'esito dei laci e valgoo se i quel lacio è uscito il, metre valgoo 0 se è uscito u altro umero. è ua realizzazioe della variabile aleatoria X + X X x X =.

3 La legge dei gradi umeri afferma che, tate più prove si fao, tato più la valutazioe della probabilità fatta sulla base dell esperieza sarà vicia, probabilmete, alla probabilità reale p dell'eveto. Se la valutazioe è molto vicia a /, probabilità teorica che esca il sei per u dado perfettamete equilibrato, potremo essere ragioevolmete certi che il dado i questioe o è polarizzato per il sei (per essere ragioevolmete sicuri che il dado o sia truccato i essu modo dovremmo ripetere il test ache per gli altri cique umeri). Che cosa sigifichi ragioevolmete sicuri dipede da quato vogliamo essere precisi el ostro test: co dieci prove avremmo ua valutazioe grossolaa, co ceto e otterremmo ua molto più precisa, co mille acora di più e così via: il valore di che siamo disposti ad accettare come sufficiete sarà oggetto di future trattazioi. Attezioe, però: laciado u dado vero molte volte, questo può deformarsi e o mateere costate la probabilità di uscita di ua faccia. Questo è successo realmete quado u matematico ha voluto effettivamete verificare quello che succedeva co u umero molto alto di laci!!! Come è possibile otare, la legge dei gradi umeri ha u euciato più complesso e meo vago di quello della legge empirica del caso; soprattutto, è u teorema, ossia può essere dimostrato i ua teoria (quella del calcolo delle probabilità). La sua portata cooscitiva è quidi molto superiore di quella della legge empirica del caso e ci si può aspettare che coduca a sviluppi più sigificativi rispetto alle applicazioi cosetite dalla legge empirica del caso. Il fatto di accotetarsi della legge empirica del caso o, ivece, di apprezzare la prospettiva che dà la legge dei gradi umeri è u iteressate idice della ostra miore o maggiore propesioe a ua visioe matematica della realtà. Matematizzare vuol dire descrivere feomei e situazioi utilizzado u liguaggio particolare, fatto di simboli e formule, che hao sicuramete qualche referete cocreto, ma che spesso cosetoo di vedere il cocreto co uovi occhi, da diverse prospettive e che per questo, spesso, offroo iterpretazioi iattese e aproo uove strade alla coosceza. Si pesi, per esempio, al liguaggio delle variabili aleatorie. Ad esempio, quado eseguiamo laci di ua moeta o truccata, potremmo accotetarci di cosiderare solamete gli esiti, ossia ua lista di tre umeri. Ivece, i matematici, per ogi lacio, cosiderao ua variabile aleatoria, ossia a ua fuzioe che associa, per esempio, all uscita di testa il umero e all uscita di croce il umero 0. La lista dei umeri che idicao gli esiti dei tre laci è allora ua realizzazioe fra le possibili realizzazioi, ossia è u elemeto del prodotto cartesiao {0,}x{0,}x{0,} (qui a fiaco visualizzato). Tutto ciò sigifica solo redere iutilmete complicate cose semplici? Vuol dire igegarsi a oscurare i sigificati? Oppure vuol dire offrire uovi occhi per osservare i feomei, per poteziare la ostra capacità di osservare gli oggetti di studio? La risposta può costituire u idice sigificativo per valutare la ostra evetuale viciaza o lotaaza dalla matematica e dal modo co cui, attraverso essa, possiamo vedere i feomei. Nel paragrafo seguete e elle schede di ifereza statistica verrà evideziato proprio come la matematica teorica abbia permesso di valutare osservazioi statistiche sperimetali.. Il teorema del limite cetrale (o teorema cetrale del limite) Co questo ome vegoo presetati diversi euciati che riguardao la covergeza alla distribuzioe ormale di medie o somme di variabili aleatorie idipedeti. Sia la legge dei gradi umeri che il teorema del limite cetrale riguardao la variabile aleatoria, media di variabili aleatorie idipedeti e co la stessa distribuzioe: X + X X X =. X

4 La legge dei gradi umeri precisa che la variabile aleatoria X di X. Il teorema del limite cetrale dà iformazioi sulla distribuzioe di. permette di valutare il valore atteso X μ Questo teorema fu euciato per la prima volta da Laplace el, ma solo itoro agli ai treta del Noveceto fu defiitivamete sistemato da Berstei e poi da Feller. Il teorema, elle diverse formulazioi e geeralizzazioi ha u ruolo importate, sia dal puto di vista teorico, sia, acora di più, elle applicazioi. Molti dei pricipali metodi utilizzati ell ifereza statistica si basao su questo teorema (che è detto cetrale proprio per tale motivo). Il teorema afferma che se si hao variabili aleatorie idipedeti X, X,..., X, co stessa media μ e stessa variaza σ, allora la successioe di variabili aleatorie X μ Z = (cioè le variabile aleatorie X stadardizzate) σ tede ad avere ua distribuzioe ormale di media 0 e variaza ; dove tede sigifica che, all aumetare di, la distribuzioe di Z assomiglia sempre più a quella di ua variabile aleatoria co distribuzioe N(0,). Ua formulazioe più precisa del teorema è la seguete. La fuzioe di distribuzioe cumulata di Z, calcolata i ogi puto t, cioè FZ ( t ), quado tede all ifiito, tede alla fuzioe di distribuzioe cumulata di Z calcolata i t, cioè FZ ( t), co Z variabile aleatoria ormale stadardizzata. I formula: t, lim F ( t) = F ( t ) ( Z ) Il teorema cetrale, come già detto, è u risultato teorico e cotiee, el suo euciato u limite per che tede a ifiito; ha però u risvolto operativo che si può sitetizzare i questo modo. Qualuque sia la distribuzioe di ua variabile aleatoria X, la fuzioe di distribuzioe cumulata di X si può approssimare co quella di ua variabile aleatoria di distribuzioe ormale (co stessa media e variaza di X ) e tale approssimazioe è tato migliore quato più grade è. Vediamo due esempi allo scopo di chiarire quato è stato detto. ESEMPIO. Cosideriamo dadi o truccati. I possibili esiti di ciascuo di essi soo modellizzati da ua variabile aleatoria X che assume valori sull isieme {,,,,,} e che ha ua distribuzioe uiforme (P()=P()=P()=P()=P()=P() = /), quidi be lotaa da quella ormale. Ritoriamo al sigificato del teorema del limite cetrale: esso assicura che la forma della distribuzioe di X, X, X,..., X tede ad assumere sempre più la forma di ua gaussiaa ma mao che si procede ei termii della successioe (ossia ma mao che aumeta ) basta che le variabili X i siao idipedeti, co stessa variaza e stessa media. Questo ache el caso i cui ciascua di essa (come el caso dei laci di u dado) ha ua fuzioe di desità di probabilità molto diversa dalla curva a campaa tipica della fuzioe di desità di probabilità ormale. Sappiamo che esiste ua dimostrazioe di tale teorema, ma o è per ulla semplice ed è al di fuori della portata di studeti di ua scuola secodaria. Possiamo però dare ua visualizzazioe del teorema i u cotesto i cui siamo i grado di fare direttamete i coti. Cosideriamo il lacio di,,,,, dadi. Potremmo calcolare (co molta pazieza) la distribuzioe teorica delle variabili aleatorie X, X, X,..., X (come visto ella scheda ) co X + X X + X + X X = X, X =, X =., X = X i. Z i =

5 Ivece di fare ciò, simuliamo la situazioe. Sappiamo che la distribuzioe di X, cioè di X, è uiforme su {,,,,,}, ma simuliamo ache questa. Geeriamo umeri casuali da ua variabile uiforme Y i [0,] e calcoliamo X = it ( Y + ) dove la fuzioe it idica la parte itera di u umero. Alcui software hao direttamete la distribuzioe uiforme itera. A fiaco è riportato il grafico della desità di X simulata. La desità di probabilità della media di due uiformi idipedeti ha forma triagolare. Il grafico a fiaco riporta la desità della media di due variabili aleatorie otteute per simulazioe. All aumetare di, la media di variabili aleatorie uiformi assume sempre più ua forma a campaa, tipica della distribuzioe ormale. Desita` i percetuale Desita` i percetuale X Riportiamo di seguito i grafici delle desità della somma dei puteggi otteuti el lacio di dadi, per uguale a e a 0. 0 (X+X)/ Desita` i percetuale 0 Desita` i percetuale 0 0 (X+X+X)/ 0 (X+...+X0)/0 ESEMPIO. Cosideriamo ua variabile aleatoria X espoeziale di parametro, co fuzioe di desità di probabilità e fuzioe di distribuzioe cumulata rappresetate ei grafici sotto, molto lotae dalla forma delle corrispodeti fuzioi di ua variabile aleatoria co distribuzioe ormale (i questo caso o vi soo emmeo simmetrie, come ivece si avevao el caso dell esempio precedete). Abbiamo già detto che u esempio cocreto modellabile co ua variabile aleatoria espoeziale è la durata di ua lampadia. La variabile aleatoria X modella quidi la durata di vita media di lampadie.

6 La variabile aleatoria X modella quidi la durata di vita media di lampadie. I questo secodo esempio, ivece di simulare X, utilizziamo (seza riportarle) le formule delle fuzioi di desità di probabilità e di distribuzioe cumulata esatte per X. Si possoo quidi cofrotare tali fuzioi esatte co quelle di ua ormale co stessa media e stessa variaza. I grafici a liea cotiua si riferiscoo alla distribuzioe della variabile aleatoria espoeziale e quelli a liea tratteggiata alla distribuzioe ormale corrispodete. La tedeza alla ormale di X, si ha già per valori di relativamete piccoli.

7 Il teorema cetrale giustifica i parte la popolarità del modello ormale ella descrizioe di molti feomei. Quado la variabilità di u feomeo può essere pesata come la somma di varie cause idipedeti co stessa media e stessa variaza, allora si può applicare il teorema del limite cetrale e affermare che la media campioaria ha ua distribuzioe ormale (ache el caso i cui le variabili casuali abbiao diversa distribuzioe). Quello che si osserva è che, ache partedo da distribuzioi molto lotae dalla ormale (come abbiamo visto egli esempi precedeti) e ache i codizioi meo restrittive di quelle da oi euciate el teorema del limite cetrale, la covergeza di Z alla ormale stadard è abbastaza rapida. I geere co > 0 si può essere abbastaza traquilli ell approssimare la distribuzioe di ua somma o ua media di variabili aleatorie co quella di ua variabile aleatoria ormale. ESEMPIO. Si deve verificare il buo fuzioameto di ua macchia che produce tubi di acciaio. I codizioi di regolarità della produzioe il diametro è 0 mm e la deviazioe stadard è mm. Per verificare se la macchia o si sia sregolata si esamia u campioe di 00 pezzi e se la media dei diametri del lotto è maggiore di mm si attua ua mautezioe straordiaria della macchia. È ragioevole questa scelta? Per rispodere dobbiamo sapere qual è la probabilità di otteere ua media dei diametri maggiore di mm, el caso i cui la macchia fuzioi i modo regolare. Modelliamo la misura del diametro del tubo co ua variabile aleatoria X di valore atteso 0 e di deviazioe stadard e cosideriamo la variabile aleatoria media campioaria Dobbiamo valutare se P ( X 00 > ) è alta o bassa. X 00. Ache se o coosciamo la distribuzioe di X, essedo la umerosità campioaria alta, possiamo applicare il teorema del limite cetrale e quidi approssimare la distribuzioe di X 00 co quella di ua ormale di media 0 e deviazioe stadard 0.. Ifatti: std( X ) E ( X 00 ) = E( X ) =0 std( X 00 ) = =. 0 Possiamo quidi dire che: X P ( X 00 > ) = P > P ( Z >.) = 0.00 co Z N ( 0,) La probabilità di otteere u valore medio maggiore di mm i codizioi di fuzioameto regolare è molto bassa. Quidi si può supporre che la macchia abbia bisogo di ua mautezioe straordiaria, i quato vi soo buoe ragioi per riteere che o stia più fuzioado regolarmete. ESEMPIO. Riprediamo l Esempio della scheda, che riportiamo qui itegralmete: Il rapporto dei sessi ella specie umaa alla ascita è di 0 femmie su 00 maschi. Qual è la probabilità che i ascite sigole almeo la metà dei eoati siao di sesso femmiile? Come varierebbe la probabilità se si cosiderassero 0 ascite sigole? Sarebbe maggiore o miore della precedete? Cocetriamoci sulla risposta all ultima domada. 7

8 Idichiamo co S 0 il umero di eoati di sesso femmiile elle 0 ascite prese i esame. Vogliamo calcolare la probabilità che su 0 ascite almeo la metà siao di sesso femmiile, quidi P( S ). Se utilizzassimo il fatto che S 0 è ua biomiale B(0, 0.), dovremmo svolgere 0 0 P( S ) = P(S 0 =0) + P(S 0 =) + P(S 0 =0), 0 0 Questo calcolo richiede o solo u addizioe di 0 addedi, ma, quel che è peggio, il calcolo del valore di ciascuo degli addedi è piuttosto complesso. Abbiamo però a disposizioe il Teorema del limite cetrale, il quale afferma che S 0 (che si può scrivere come somma di 0 variabili aleatorie idipedeti di media 0. e variaza 0*0.*0.9 = ) si può approssimare co ua ormale. Abbiamo quidi S P( S 0 0 )= P > P( Z > 0.) =-0. = 0. Facedo i calcoli direttamete avremmo otteuto 0... Alcue riflessioi sul fidarsi dell esperieza Negli esempi e abbiamo utilizzato la simulazioe o le coosceze teoriche sulle fuzioi di distribuzioe e di ripartizioe delle variabili casuali cosiderate per verificare l euciato del teorema cetrale, e ache la sua efficacia, osservado la velocità di covergeza alla ormale. I questi esempi, la situazioe reale da modellare, cioè i risultati del lacio di u dado o la durata di ua lampadia, ci è servita per compredere meglio, i u certo seso visualizzadolo, l euciato di u teorema. I u certo seso lo abbiam visualizzato. Naturalmete o abbiamo dimostrato iete: la dimostrazioe del teorema del limite cetrale, come abbiamo già detto è al di fuori della portata di uo studete di scuola secodaria. Sappiamo però che esiste e, quidi, possiamo cotare sulla sua correttezza e adeguatezza per applicare le cosegueza ella risoluzioe di problemi applicativi. Ma che cosa accade quado il risultato teorico è iaccessibile per problemi di complessità di calcolo oppure perché o è proprio oto? I questo caso è possibile fidarsi della simulazioe per risolvere u problema, per esempio per risolvere il problema di stimare ua probabilità? La risposta sta, i fodo, ella fiducia che attribuiamo alla legge empirica del caso, ma questa o è u risultato della teoria. Nella forma i cui viee espressa è irriducibile alla teoria. Tutto sembra ritorare daccapo; i realtà come abbiamo già osservato la legge dei gradi umeri e il teorema cetrale del limite (due risultati teorici) pogoo codizioi be precise, cosetedo di essere più cosapevoli dei limiti e delle potezialità della legge empirica del caso. Appedice. Dimostrazioe del valore atteso e della variaza di ( ) i ( i ) E X = E X = E X = μ = μ = μ i = i = i = ( ) i i ( i ) σ Var X = Var X = Var Var X = X = σ = σ = i = i = i= i = std( X σ ) = Possiamo stadardizzare la variabile aleatoria atteso 0 e variaza. X X e otteere la variabile X μ Z = co valore σ / Riferimeti bibliografici:

9 Rossi, C. (999), La matematica dell icertezza, Zaichelli, Bologa Sitografia Wikipedia, e 9