Elettrostatica m. Il nucleo è a sua volta composto da altri

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1 Elettostatica La caica elettica Ta tutti i tipi di foza che abbiamo incontato in meccanica, solo la foza peso e uella di gavitazione univesale deivano dalla popietà delle masse di attiae alte masse. Tutte le alte foze, uella elastica, le eazioni vincolai, le foze di attito, la tensione nelle funi, ecc., alto non sono che manifestazioni dell inteazione elettomagnetica. Nella vita di tutti i gioni è peò la foza peso uella di cui ci accogiamo di più, non fosse alto pe la fatica che bisogna fae pe sollevae pesi, salie e scendee scale, ecc. Anche nell antichità, del esto, l esistenza di una popietà non spiegabile in temini di foza gavitazionale ea stata notata solo pe il fatto che pezzi di amba (electon in geco, da cui poi il nome di eletticità), stofinati con un panno, eano in gado di attiae minuscole paticelle di foglie secche o di polvee. La foza di inteazione ta l amba e le paticelle attiate ea sopendentemente intensa, iusciva, infatti, a vincee la foza peso e ad acceleae veso l alto le paticelle di polvee. Il fatto che le inteazioni elettomagnetiche, pu essendo molto più intense delle foze di inteazione gavitazionali, si pensi che la foza elettostatica ta due potoni è volte più gande della loo inteazione gavitazionale, siano imaste nascoste, diei uasi soffocate, dalla foza peso, dipende da una misteiosa simmetia della natua: la caica esiste in due tipi divesi a cui convenzionalmente è stato attibuito il nome di positiva e negativa. Al contaio uindi della massa, che è tutta dello stesso tipo e, pe uesto motivo, tutti i copi che possiedono una massa si attiano l uno con l alto, la caica elettica esiste in due fome divese: caiche dello stesso tipo si espingono, caiche di tipo diveso si attaggono. I copi che contengono un eguale uantità di caica dei due tipi, si dicono neuti, hanno una caica complessiva nulla e non subiscono, né esecitano, foze elettiche. Questa è la condizione nomale dei copi che ci cicondano: essi contengono tanta caica positiva uanta negativa. È uesta pefetta simmetia che nasconde i fenomeni elettici. La stuttua dell atomo La caica elettica è una popietà delle paticelle che costituiscono gli atomi. Con uesto temine, si identificano i mattoni che costituiscono le molecole. Queste ultime appesentano l elemento indivisibile che conseva ancoa tutte le popietà della sostanza in esame. Molte sostanze hanno molecole costituite da singoli atomi. Come abbiamo già discusso, nel caso di alcune sostanze che alla tempeatua ambiente sono solide, gli atomi sono oganizzati in una stuttua odinata che costituisce il eticolo cistallino. Com è fatto un atomo? In figua è mostato lo schema di un atomo di elio. Natualmente la figua non è in scala!! L atomo è composto da un nucleo (la zona vede in figua), in cui è concentata la uasi totalità della massa dell atomo, che occupa una egione dalle dimensioni di m. Il nucleo è a sua volta composto da alti oggetti: i potoni (le pati in osso denominate uud) ed i neutoni (le pati in osso denominate ddu). I pimi hanno una caica positiva (tutti i potoni hanno la stessa caica e = 1.602x10-19 C). I neutoni invece, come dice il loo nome, sono neuti, non possiedono una caica elettica. Il numeo dei potoni pesenti nel nucleo, appesenta il numeo atomico, Z, e detemina le

2 popietà di uella specie atomica (pe l atomo di elio, He, il numeo atomico Z è uguale a 2). Il numeo dei neutoni pesenti nel nucleo è all incica uguale al numeo dei potoni. Nuclei che possiedono lo stesso numeo atomico ma un numeo di neutoni diffeente sono detti isotopi. La massa del potone è all incica uguale a una unità di massa atomica. La stessa cosa vale pe i neutoni. Petanto la massa atomica è uguale al numeo dei potoni (Z) più il numeo dei neutoni pesenti nel nucleo. Poiché alcune specie atomiche possono avee più di un isotopo, alloa la massa atomica si ottiene facendo la media pesata della massa dei divesi isotopi in cui il peso è dato dall abbondanza in natua di uel paticolae isotopo. Attono al nucleo si muovono gli elettoni che occupano complessivamente un volume delle dimensioni di m. Le dimensioni dell atomo dunue sono 5 odini di gandezza più gandi di uelle del nucleo. Pe avee un idea possiamo die che se il aggio del nucleo fosse pai ad un millimeto, il aggio dell atomo saebbe invece pai a 100 meti: un campo di calcio! Gli elettoni hanno una massa che è cica 2000 volte più piccola di uella dei potoni o dei neutoni e, pe uesto, contibuiscono molto poco alla massa complessiva dell atomo. Essi, invece, hanno una caica che ha esattamente lo stesso valoe, ma è di segno opposto, di uella dei potoni. Nomalmente in un atomo ci sono un numeo di elettoni pai a uello dei potoni (Z). Ne segue uindi che l atomo si pesenta pefettamente neuto. Gli elettoni si muovano attono al nucleo sotto l azione dell inteazione ta la caica del nucleo, positiva e uella degli elettoni negativa. Un modello molto semplice pe immaginae un atomo, che peò è un po appossimativo, è uello di immaginalo come un sistema planetaio con il sole, che coisponde al nucleo, al cento e i pianeti, a cui coispondono gli elettoni, che obitano attono al sole. Gli elettoni sono disposti in una maniea odinata, essi occupano dei livelli che sono caatteizzati ciascuno da un ben peciso numeo posti. Pe ogni posto ci può essee al più un elettone. Nomalmente vengono occupati i livelli più inteni, che coispondono ad un enegia più bassa (in meccanica abbiamo impaato che le posizioni di euilibio stabile coispondono ai minimi dell enegia potenziale). Quando un livello è completamente pieno, si passa al livello successivo. L ultimo livello può essee solo pazialmente pieno. E il numeo di elettoni pesenti nell ultimo livello che detemina le popietà di uella specie atomica, e uindi la loo posizione nella tabella di Mendeleiev. Pe esempio, uelle specie atomiche che hanno un solo elettone nell ultimo livello, si pesentano alla tempeatua ambiente in foma metallica: sono infatti denominati metalli alcalini. Invece le specie atomiche che hanno l ultimo livello satuato, si tovano in natua alla tempeatua ambiente sotto foma di gas, e costituiscono i cosiddetti gas nobili (le loo molecole sono monoatomiche). Possiamo notae che gli elettoni in un atomo si tovano in condizioni divese l uno dall alto, due elettoni pe esempio possono occupae due livelli diffeenti. Quindi è lecito ipotizzae che anche il loo moto sia diveso. Questa ossevazione, legata al fatto che gli atomi sono pefettamente neuti, ci fa capie che la caica elettica, al contaio della massa, non dipende dalla velocità della paticella che la taspota. È possibile eccitae un atomo fonendo ad uno degli elettoni l enegia sufficiente pe passae da un livello a più bassa enegia ad uno a più elevata enegia, che ta l alto, come nel caso gavitazionale, G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003 2

3 coisponde ad una maggioe distanza dal nucleo. Se l enegia fonita all elettone è sufficiente (nel coispondente caso gavitazionale noi diemmo se la velocità di fuga viene supeata), alloa l elettone può staccasi dall atomo: si ceano così uno ione positivo, l atomo pivato di uno o più elettoni, ed uno o più elettoni libei. Se immaginiamo di ave ceato uesta coppia di ione positivo - elettone all inteno di un gas, alloa possiamo immaginae che l elettone nel suo giovagae ta le molecole del gas potebbe incontae lo ione e, in uesto caso, ci potebbe essee la icombinazione dei due e la fomazione di un atomo o di una molecola neuta. Va comunue ossevato immediatamente, uesto pocesso non una gande pobabilità di avvenie. È più facile pe l elettone nel suo giovagae ta le molecole del gas incontae una specie atomica con foti popietà elettonegative, capaci cioè di cattuae un elettone. In tal caso si foma uno ione negativo, ossia un atomo con uno o più elettoni in più. I gas che hanno popietà elettonegative coispondono a uegli atomi a cui manca un solo elettone pe completae l ultimo livello (Cloo, fluoo, ecc. comunue anche l ossigeno dell aia a cui mancano 2 elettoni pe completae il suo ultimo livello ha foti popietà elettonegative). Possiamo concludee uesto discoso sottolineando ancoa una volta come le popietà degli atomi dipendano dal numeo di elettoni che occupano l ultimo livello: è molto facile ionizzae i metalli alcalini, uegli atomi aventi un solo elettone nell ultimo livello, mente è molto facile la cattua di un elettone da pate di uelle specie atomiche alle uali manca un solo elettone pe completae l ultimo livello. La caica elettica è uantizzata. Dalla discussione sulla stuttua atomica isulta che la caica elettica è taspotata dalle paticelle che costituiscono gli atomi in paticolae dai potoni e dagli elettoni. Abbiamo anche visto che sia i potoni che gli elettoni taspotano la stessa caica ma di segno opposto: e = 1.602x10-19 C Non è stata tovata finoa alcuna paticella avente una caica più piccola della caica dell elettone. Attualmente si pensa che il potone sia una stuttua composita, cioè che sia costituito da alte paticelle ancoa più elementai e con caatteistiche più simili a uelle dell elettone. A ueste paticelle è stato dato il nome di uak. Tali paticelle hanno una caica pai a 1/3 (un tezo) e 2/3 (due tezi) della caica dell elettone. Finoa, pu essendoci numeose indicazioni della loo esistenza, non sono ancoa state ossevate singolamente ma solo all inteno dei potoni o dei neutoni. Pe cui si può ancoa affemae che non esistono caiche elettiche più piccole della caica dell elettone e che una ualunue caica deve coispondee ad un numeo inteo di caiche dell elettone. La caica elettica si conseva La consevazione della caica è, dopo l enegia, la uantità di moto, il momento angolae la uata legge di consevazione che incontiamo. Questa legge è in pate legata al fatto che le paticelle che taspotano la caica sono stabili, non subiscono tasmutazioni. Il fatto che l univeso omai esiste da molti anni, ci dice che i sui mattoni fondamentali, gli elettoni e i potoni, sono paticelle stabili: se ueste paticelle si tasfomasseo in alte dopo un po di tempo, vuol die che anche l univeso come lo conosciamo, moiebbe dopo un po di tempo. Pe il potone è stato deteminato un limite infeioe di anni della vita media. L opeazione di depositae una caica elettica su di un copo consiste sostanzialmente nel imuovee o aggiungee ad esso degli elettoni: pe esempio stofinando un pezzo di amba, esso si caica negativamente. Nel pocesso di stofinamento alcuni elettoni vengono ceduti all amba pelevandoli dal panno usato pe stofinae. Ovviamente il panno, avendo peso alcuni elettoni si è caicato con una caica di segno opposto. La caica ovviamente si conseva anche nei pocessi che involvono paticelle elementai: uando G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003 3

4 pe esempio decade un neutone viene ceato un potone e un elettone in maniea che la caica complessiva sia ancoa nulla. La eazione completa in uesto caso è la seguente: n neuto = p e ν neuto In maniea analoga, uando un onda elettomagnetica, un fotone, uindi pua enegia, si mateializza, ossia si tasfoma in paticelle dotate di massa, alloa si osseva che vengono ceate due paticelle, l elettone e l antielettone, l antipaticella dell elettone chiamato anche positone, che ha una caica positiva in maniea che la caica complessivamente podotta è zeo. γ neuto = e e La foza di Coulomb Consideiamo una caica puntifome 1 posta nell oigine del sistema di ifeimento ed un alta caica puntifome 2 in una posizione individuata dal vettoe posizione. Supponiamo che non ci sia nient alto olte alle due caiche citate, in alti temini le due caiche sono immese nello spazio vuoto. La legge di Coulomb affema che la caica 2 subisce, da pate di 1, una foza pai a: F = k 1 2 in cui k è una costante che dipende dalle unità di misua della caica. Nel Sistema Intenazionale la caica si misua 2 u x in coulomb (C). Un coulomb coisponde alla caica che attavesa la sezione di un conduttoe in cui scoe una coente di un ampee (A) in un secondo. In tal caso la costante k vale k=8.988x10 9 Nm 2 /C 2. Si pefeisce comunue espimee la costante k in temini di un alta costante ε o, la costante dielettica del vuoto, che vale ε o =8.85x10-12 C 2 /Nm 2. In temini di uesta nuova costante, la foza elettostatica diventa: F = u 2 L espessione della foza di inteazione elettostatica è molto simile a uella della foza di Gavitazione Univesale ta un massa m 1 posta nell oigine del sistema di ifeimento e la massa m 2 posta nella posizione individuata dal vettoe posizione, che infatti vale: F =G m 1m 2 Quindi la foza di Coulomb è sempe dietta lungo la etta congiungente la caica 1 con la caica 2, la sua intensità dipende dalla distanza della caica 2 dalla caica 1 : petanto essa è, come la foza di gavitazione univesale, una foza centale. La diffeenza fondamentale ta le due foze è che la foza di gavitazione univesale è sempe attattiva, mente uella di Coulomb può essee attattiva se le caiche 1 e 2 hanno segno opposto, oppue epulsiva se le due caiche hanno lo stesso segno. Come tutte le foze centali, la foza di Coulomb è una foza consevativa. Ovviamente, anche nel caso della foza di Coulomb è applicabile la teza legge di Newton, uindi la caica 2 eseciteà a sua volta sulla caica 1 una foza 3 uguale ed opposta. z 2 u z 1 F 1 2 F 2 y Il pincipio di sovapposizione Se la caica si tova nelle vicinanze di alte caiche, n pe l esattezza, che identifichiamo con i simboli 1, 2, i e n, essa subià una foza che è data dalla isultante delle foze esecitate da ciascuna delle n caiche come se fosse da sola in pesenza della caica. x y 4 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003

5 Ossia possiamo scivee che: F = F 1 F 2... F i... F n = n i =1 1 i 2 u i i in cui i è il vettoe posizione che individua la caica ispetto alla caica i, i è il modulo di tale vettoe e u il suo vesoe. i Il campo elettico La foza di Coulomb è una foza che agisce a distanza: non è ichiesto il contatto ta le due caiche peché esse inteagiscano. Il fatto che la foza di Coulomb debba soddisfae la teza legge di Newton anche uando le distanze ta le caiche sono gandi, pota al seguente inteogativo: come è possibile che le due foze di azione e eazione siano, nello stesso istante, uguali ed opposte, se noi sappiamo che la massima velocità con cui si iesce a fa viaggiae l infomazione da un punto ad un alto dello spazio è la velocità della luce, che è una velocità molto gande ma comunue finita? Si supea uesta difficoltà concettuale intoducendo il concetto di campo. Supponiamo sempe di avee la caica 1 nell oigine del sistema di ifeimento. La sua pesenza assegneà a tutti i punti dello spazio (vuoto) una popietà: ogni punto è caatteizzato dalla foza che isente la caica unitaia posta in uel punto. Così uando ad un ceto istante noi andiamo a mettee la caica nella posizione individuata dal vettoe posizione, non saà necessaio sapee, pe valutae la foza che agisce sulla caica, se in uello stesso istante la caica 1 si tovi ancoa nell oigine, ma basteà conoscee il valoe del campo elettico in uell istante nella posizione in cui andiamo a mettee la caica, e moltiplicae il suo valoe pe uello della caica. La foza dipendeà uindi dalle popietà locali del campo e non già dall effettiva posizione in uell istante della caica 1. x z 1,pima 1,dopo E (P) E (P') L intoduzione del concetto di campo aiuta anche ad inuadae coettamente la teza legge di Newton con la velocità finita della luce. Supponiamo infatti che la caica 1 si sia spostata molto apidamente dall oigine in una nuova posizione. A seguito di uesto spostamento occoeà coeggee tutti i valoi del campo elettico in tutti i punti dello spazio, in uanto sono cambiati, a causa dello spostamento della caica, sia la diezione sia il modulo del campo elettico in tutti i punti dello spazio. Questa coezione non viene effettuata nello stesso istante pe tutti i punti dello spazio, ma gadatamente. Infatti, nel momento in cui è avvenuto lo spostamento della caica 1, pate l infomazione che si diffondeà in tutte le diezioni con velocità della luce c. Una volta tascoso un intevallo di tempo t, l infomazione avà aggiunto una distanza dalla nuova posizione della caica 1 pai a c t. Tutti i punti che si tovano ad una distanza più piccola di c t, saanno stati aggiunti dall infomazione e, uindi, il valoe del campo elettico saà stato aggionato pe tene conto della nuova posizione della caica, mente i punti più distanti, non ancoa aggiunti dall infomazione, si compoteanno come se la caica 1 fosse ancoa nell oigine del sistema di ifeimento. Natualmente l effetto sulla caica, uando occupa una ben deteminata posizione dello spazio, dipendeà dal valoe locale del campo elettico. Si intuisce da uest esempio che il campo elettico acuista una sua pesonalità e, si può aggiungee, uasi una indipendenza dalle caiche che lo hanno geneato. Quello che a noi inteessa è sapee ual è il valoe del campo elettico in una ceta posizione e non la distibuzione delle caiche che lo ha geneato: uesto è sufficiente pe deteminae gli effetti su una ualsiasi caica che andiamo a mettee in uella posizione. P c t P' y G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003 5

6 Definizione del campo elettico. Abbiamo affemato che il campo elettico, in una fissata posizione, è uguale alla foza che subiebbe l unità di caica (1 coulomb) posta in uella posizione. La sua definizione viene data utilizzando una caica di pova p (positiva). Si detemina la foza che la caica di pova isente uando viene messa in una paticolae posizione. Il valoe del campo elettico è dato dalla foza così deteminata diviso pe il valoe della caica di pova p. L unica pecauzione da pendee è uella di utilizzae pe la misua della foza valoi della caica di pova p x piuttosto piccoli in maniea da non podue petubazioni nella distibuzione di caiche che geneano il campo elettico 1. Petanto il campo elettico viene definito come: E = lim p 0 F z 1 p F p F p E = lim p 0 p Il campo elettico è un campo vettoiale (te componenti pe ciascun punto dello spazio). Nel Sistema Intenazionale si misueà in N/C (newton su coulomb). Se consideiamo una caica puntifome 1 posta nell oigine del sistema di ifeimento, il valoe del campo elettico nei vai punti dello spazio saà dato da: E = lim p 0 F = lim p 0 p p p 2 u = u Se la caica 1 è positiva, il campo elettico è dietto lungo la congiungente il punto consideato e la posizione della caica 1, e il veso è dalla pate opposta ispetto alla caica 1. Al contaio se la caica 1 è negativa il campo elettico saà dietto veso la caica 1. Quando in una egione dello spazio sono pesenti n caiche elettiche, che identifichiamo con i simboli 1, 2, i e n, il campo elettico in una ualsiasi posizione dello spazio si può calcolae applicando il pincipio di sovapposizione: il campo elettico totale è uguale alla somma vettoiale dei campi elettici geneati in uel punto da ciascuna delle caiche come se agisse da sola. Ossia possiamo scivee che: E = E 1 E 2... E i... E n = 1 i 2 u i i in cui i è il vettoe posizione che individua la posizione in cui si vuole calcolae il campo elettico ispetto alla caica i, i è il modulo di tale vettoe e u i il suo vesoe. Rappesentazione del campo elettico La visualizzazione di un campo elettico è piuttosto complicata: pe ogni punto dello spazio dobbiamo immaginaci un vettoe che, come sappiamo, è caatteizzato da te infomazioni distinte (modulo, diezione e veso). Un efficace appesentazione del campo elettico è uella che fa uso delle linee di foza (o linee di campo). Pe linea di foza si intende una cuva che è tangente al campo elettico in ciascuno dei suoi punti. n i =1 y p 1 Quando paleemo dei mateiali conduttoi vedemo che le caiche pesenti all inteno di essi si muovono libeamente al loo inteno. Quindi la pesenza della caica di pova potebbe alteae la configuazione delle caiche e uindi il valoe del campo elettico misuato non saebbe uello coetto. Anche le caiche pesenti nei mateiali dielettici sotto l azione delle foze elettiche subiscono dei piccoli spostamenti. Occoe uindi che la caica di pova sia la più piccola possibile pe non povocae cambiamenti nella configuazione delle caiche. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003 6

7 Due linee di foza non potanno mai intesecasi. Infatti il campo elettico in un paticolae punto dello spazio, in condizioni stazionaie, è pefettamente definito. Vicevesa se due linee di foza si intesecasseo, significheebbe che la diezione del campo elettico, dovendo essee tangente alle due linee di foza contempoaneamente, non è univocamente deteminata. Da ui l assudo. Quindi due linee di foza non potanno mai intesecasi. Regole pe intepetae la appesentazione del campo elettico con le linee di foza: Le linee di foza indicano la diezione del campo elettico. In ogni punto della linea di foza il campo elettico è tangente alla linea di foza. Le linee di foza nascono dalle caiche positive (o all infinito) e muoiono su uelle negative (o all infinito). Il numeo di linee che nascono o muoiono è popozionale alla caica. La densità di linee di foza è popozionale all intensità del campo elettico. Nella figua sono mostate le linea di foza elative ad una caica puntifome posta nell oigine due caiche di segno opposto poste ad una ceta distanza ta esse due caiche dello stesso segno. Calcolo del campo elettico di una distibuzione lineae di caica con il pincipio di sovapposizione. Calcoliamo il valoe del campo elettico a distanza R da una distibuzione lineae di caica avente una caica pe unità di lunghezza (o densità lineae di caica) λ costante. Intoduciamo un sistema di ifeimento avente l asse y coincidente con la distibuzione lineae di caica e l asse x passante pe il punto P in cui si desidea calcolae il valoe del campo elettico. Pe effettuae il calcolo, possiamo immaginae di suddividee la distibuzione di caica in tatti infinitesimi di ampiezza dy. In figua è indicato il tatto che si tova ta le coodinate y ed ydy. Stimae la uantità di caica (infinitesima) contenuta sul tatto infinitesimo consideato: d=λdy. Assumee che tale elemento di caica sia appossimabile con una caica infinitesima. Valutae il campo elettico nel punto P, in modulo, diezione e veso utilizzando l espessione del campo elettico pe le caiche puntifomi. La diezione ed il veso del campo elettico dovuto alla caica distibuita sul tatto dy sono mostati in figua, il modulo invece vale: y y dy y P E E x x E y G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003 7

8 de = 1 d 2 = 1 λdy y 2 R 2 L intensità del campo elettico è infinitesima, peché tale è la caica contenuta nel tatto infinitesimo dy. Il campo elettico appena deteminato può essee decomposto in una componente paallela alla distibuzione di caica (componente y) ed una componente pependicolae alla distibuzione di caica (componente x con il sistema di ifeimento utilizzato). 1 de x = λdy y 2 R 2 cosθ de y = 1 λdy y 2 R 2 sen θ Si può vedee subito che la componente paallela del campo elettico viene compensato dal campo elettico dovuto al tatto infinitesimo dy, simmetico ispetto y all oigine, del tatto consideato. Ci si può altesì endee conto che le componenti pependicolai del campo elettico, dovuti ai y dy due tatti dy simmetici ispetto all oigine del sistema di y ifeimento, sono concodi. Il pincipio di sovapposizione ci dice che il valoe del campo E P x elettico nel punto P è dato dalla somma di tutti i contibuti di x tutti i tatti in cui abbiamo suddiviso la distibuzione di caica. E E Dalle ossevazioni già fatte possiamo concludee che il campo y elettico nel punto P deve essee pependicolae alla distibuzione di caica. Infatti uando facciamo la somma su tutti i contibuti osseviamo,che pe uanto iguada la componente paallela i contibuti a due a due si compensano. Otteniamo alloa: E x = y= de x = y= y= y= 1 λdy y 2 R 2 cosθ in cui l integale è esteso da meno infinito a più infinito pe includee tutti i contibuti. Nell integale appena scitto possiamo identificae la vaiabile di integazione con la vaiabile y, ma ci possiamo anche endee subito conto che al vaiae della coodinata y del tatto dy consideato vaia anche il valoe dell angolo θ, in alti temini θ è funzione di y, θ(y). Pe pote effettuae l integale, è necessaio iscive l intea funzione come funzione di un unica vaiabile, che può essee la coodinata y del tatto consideato, oppue l angolo θ. Nel nosto caso paticolae si ottiene un integale più facile da isolvee se espimiamo il tutto in funzione dell angolo θ. Dalla figua possiamo dedue che: tangθ = y R deivando ispetto ad y otteniamo ( ) dy d tangθ = d y dy R 1 dθ cos 2 θ dy = 1 R Da cui si ottiene: dy = Rdθ cos 2 θ = y 2 R 2 Rdθ y 2 R 2 = dθ. Sostituendo al posto di dy nell integale R 2 R si ottiene: G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003 8

9 E x = y= y= 1 λdy y 2 R 2 cosθ= θ= π 2 θ= π 2 1 λ y 2 R 2 cosθdθ= y 2 R 2 R 1 λ R θ= π 2 θ= π 2 1 cosθdθ= λ R sen θ π 2 π 2 = = 1 λ ( 1 1 R ( ))= 1 λ 2πε o R Possiamo concludee affemando che pe una distibuzione lineae di caica il campo elettico giace nel piano pependicolae alla distibuzione; in uesto piano è dietto adialmente e la sua intensità vale: E = 1 2πε o λ R Il teoema di Gauss Il teoema di Gauss consente di valutae il campo elettico di alcune distibuzioni di caiche in maniea più semplice ispetto al pincipio di sovapposizione e di dedue, in maniea semplice, alcune popietà del campo elettico. Definizione del flusso del campo elettico. Consideiamo una supeficie chiusa S immesa in un campo elettico. Su uesta supeficie consideiamo un suo elemento infinitesimo ds, come uello mostato in figua. L elemento di supeficie ds, può essee appesentato come un vettoe, ds, caatteizzato da un modulo: pai all aea dell elemento selezionato, ds. una diezione: pependicolae alla supeficie nel punto consideato (pependicolae al piano tangente) un veso: veso l esteno della supeficie chiusa. Si definisce flusso del campo elettico attaveso la supeficie ds, il podotto scalae del campo elettico sulla supeficie ds pe il vettoe ds. dφ= E ds d S E d S E Il flusso complessivo del campo elettico attaveso la supeficie chiusa si otteà sommando su tutti i contibuti al flusso deivanti dagli infiniti elementi infinitesimi in cui è stata suddivisa la supeficie chiusa S. Φ= E ds Il cicoletto sull integale sta ad indicae che l integale viene effettuato su una supeficie chiusa. Una stima del flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa può essee effettuata contando il numeo di linee di foza che entano nella supeficie chiuse e uelle che escono. Se all inteno della supeficie chiusa si tova una caica puntifome positiva, tutte le linee di foze saanno uscenti dalla supeficie chiusa, il podotto scalae ta il campo elettico e l elemento di supeficie ds, essendo il veso di ds veso l esteno della 9 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003

10 supeficie chiusa, saà in media positivo e tale saà anche il flusso complessivo attaveso la supeficie chiusa. Se, invece all inteno della supeficie chiusa, c è una caica negativa, tutte le linee d foza saanno entanti, il podotto scalae ta il campo elettico e ds saà in media negativo e tale saà anche il flusso complessivo. Quando le linee di foza sono in pate entanti, in pate uscenti dalla supeficie chiusa, il flusso del campo elettico saà legato alla diffeenza ta il numeo di linee uscenti e il numeo di uelle entanti. Se all inteno della supeficie chiusa non ci sono caiche elettiche, alloa le linee di foza non potanno né nascee né moie all inteno della supeficie chiusa: in alti temini tutte le linee di foza che entano all inteno della supeficie chiusa devono uscie. La diffeenza ta le linee di foza uscenti e uelle entanti è nulla e tale è anche il flusso del campo elettico attaveso la supeficie chiusa. Sottolineamo esplicitamente il fatto che se la caica intena alla supeficie chiusa è nulla alloa anche il flusso del campo elettico attaveso la supeficie chiusa è nulla. Enunciato del teoema di Gauss. Quest ultimo isultato è compatibile con l enunciato del teoema di Gauss che affema: il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa è uguale alla caica totale pesente all inteno della supeficie chiusa diviso pe ε o. Φ= E ds = int ε o Veifica del teoema di Gauss Noi non dimosteemo il teoema di Gauss ma ne veificheemo la sua validità nel caso di una caica puntifome. Vogliamo deteminae il flusso del campo elettico, geneato da una caica puntifome, attaveso una supeficie sfeica il cui cento coisponde con la posizione occupata dalla caica puntifome. Consideiamo l elemento di supeficie ds localizzato attono al punto P. Sappiamo che il campo elettico nel punto P è dietto adialmente veso l esteno se la caica posta al cento della supeficie sfeica è positiva. Ma anche il vettoe ds è dietto adialmente veso l esteno: uindi E e ds sono paalleli: il loo podotto scalae saà dato dal podotto dei moduli. E ds 1 = ds 2 d S E Il flusso attaveso la supeficie chiusa saà: E d S 1 = ds = 2 4πε 12 3 o Tenendo conto della definizione di angolo solido, notiamo che il temine ds è popio uguale 2 all angolo solido dω sotteso dalla supeficie ds (vedi figua). Il flusso del campo elettico diventa peciò: E d S 1 = ds = ds = 2 1 4πε 23 o 2 costante costante ds 2 dω 12 3 angolo solido totale = 4π = 4π= 4 πε o ε o isultato che mosta come il teoema di Gauss, nel caso consideato, sia veificato. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/

11 Calcolo del campo elettico utilizzando il teoema di Gauss Natualmente va immediatamente pecisato che il teoema di Gauss da solo non è in gado di calcolae alcun campo elettico: è necessaio dispoe di ulteioi infomazioni che in geneale possono essee desunte dalle condizioni di simmetia del poblema. Calcolo del campo elettico geneato da una caica distibuita unifomemente sulla supeficie di una sfea di aggio R (guscio sfeico). Consideiamo un punto P, esteno al guscio sfeico, a distanza (>R) dal cento della distibuzione sfeica. Osseviamo che, data la simmetia del poblema, il campo elettico deve essee dietto lungo la congiungente il punto P con il cento della distibuzione di caica. Inolte, il campo elettico deve avee la stessa intensità in tutti i punti che si tovano ad eguale distanza dal cento della distibuzione di caica. Applichiamo il teoema di Gauss. Utilizziamo come supeficie chiusa una sfea di aggio concentica con la distibuzione di caica. E ds = ε o Pe le ossevazioni pecedenti si ha che pe ogni elemento ds della supeficie sfeica di aggio, il campo elettico E è paallelo a ds. Inolte, il modulo del campo elettico è lo stesso su tutti i punti della sfea: E d S = EdS = E ds = E4π = { ε o il modulo del campo elettico E è costante supeficie totale della sfea = 4π 2 Pendendo in esame l ultima eguaglianza, possiamo icavae il modulo del campo elettico: E = 1 Questo isultato ci pota a concludee che il guscio sfeico, pe i punti esteni si compota come se la caica fosse concentata al cento della distibuzione. 2 P E Consideiamo oa il caso di un punto inteno al guscio. Indichiamo con (<R) la distanza del punto P dal cento dalla distibuzione sfeica. Consideiamo come supeficie di Gauss una supeficie sfeica di aggio concentica con la distibuzione di caica. Le consideazioni di simmetia si applicano allo stesso modo anche in uesto caso e ci potano alle medesime conclusioni. Il campo elettico in ciascun punto della supeficie di gauss è paallelo al vettoe ds, inolte il modulo del campo elettico è costante su tutti i punti della supeficie di Gauss. L unica cosa che cambia ispetto al caso pedente è che in uesto caso la caica contenuta all inteno della supeficie di Gauss è nulla. E d S = EdS = E ds = E4π = 0 { il modulo del campo elettico E è costante supeficie totale della sfea = 4π 2 P E 11 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003

12 da cui si icava che il modulo del campo elettico sui punti della supeficie di Gauss è nullo. Questo isultato ci pota a concludee che il campo elettico nei punti inteni alla distibuzione di caica è nullo. Riassumendo: caica distibuita Punti esteni >R E = 1 unifomemente sulla supeficie sfeica di aggio R Punti inteni <R E=0 2 Calcolo del campo elettico geneato da una caica distibuita unifomemente all inteno di un volume sfeico di aggio R. Consideiamo un punto P, esteno alla distibuzione di caica, a distanza (>R) dal suo cento. Osseviamo che, data la simmetia del poblema, il campo elettico deve essee dietto lungo la congiungente il punto P con il cento della distibuzione di caica. Inolte, il campo elettico deve avee la stessa intensità in tutti i punti che si tovano ad eguale distanza dal cento della distibuzione di caica. Applichiamo il teoema di Gauss. Utilizziamo come supeficie chiusa una sfea di aggio concentica con la distibuzione di caica. E ds = ε o Pe le ossevazioni pecedenti si ha che pe ogni elemento ds della supeficie sfeica di aggio, il campo elettico E è paallelo ds. Inolte, il modulo del campo elettico è lo stesso su tutti i punti della sfea: E d S = EdS = E ds = E4π = { ε o il modulo del campo elettico E è costante supeficie totale della sfea = 4π 2 Pendendo in esame l ultima eguaglianza, possiamo icavae il modulo del campo elettico: E = 1 Questo isultato ci pota a concludee che la distibuzione sfeica di caica, pe i punti esteni si compota come se la caica fosse concentata al cento della distibuzione. Consideiamo oa il caso di un punto inteno alla distibuzione. Indichiamo con (<R) la distanza del punto P dal cento dalla distibuzione sfeica. Consideiamo come supeficie di Gauss una supeficie sfeica di aggio concentica con la distibuzione di caica. Le consideazioni di simmetia si applicano allo stesso modo anche in uesto caso e ci potano alle medesim e conclusioni. Il campo elettico in ciascun punto della supeficie di Gauss è paallelo al vettoe ds, inolte il modulo del campo elettico è costante su tutti i punti della supeficie di Gauss. L unica cosa che cambia ispetto al caso pedente è che in uesto caso la caica contenuta all inteno della supeficie di Gauss è data dal podotto della densità di caica pe il volume acchiuso dalla supeficie di Gauss: ρ= 4 3 πr 3 int =ρ 4 3 π 3 = 4 3 π 3 = πr 3 R 3 Applicando Gauss avemo: 2 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/

13 E d S = EdS 1 23 il modulo del campo elettico E è costante = E ds { supeficie totale della sfea = 4π 2 = E4π 2 = ε o 3 da cui si icava il modulo del campo elettico sui punti della supeficie di Gauss: E = R 3 Questo isultato ci pota a concludee che il campo elettico è nullo al cento della distibuzione e cesce lineamente al cescee della distanza del punto P dal cento della distibuzione. Riassumendo: R 3 caica distibuita Punti esteni >R unifomemente nel volume sfeico di aggio R Punti inteni <R E = 1 2 E = R 3 Calcolo del campo elettico geneato da una distibuzione ettilinea di caica con densità lineae costante λ. Consideiamo un punto P a distanza dalla distibuzione ettilinea di caica. Osseviamo che, data la simmetia del poblema, il campo elettico deve giacee nel piano pependicolae alla distibuzione ettilinea di caica passante pe il punto P ed essee dietto lungo la congiungente il punto P con il punto intesezione ta la etta su cui è distibuita la caica e il piano ad essa pependicolae pecedentemente menzionato: il punto O della figua. Inolte, il campo elettico deve avee la stessa intensità in tutti i punti che si tovano sul piano pependicolae alla distibuzione ettilinea di caica ad eguale distanza dal punto O. Infine il campo elettico non può dipendee dalla coodinata lungo la distibuzione ettilinea di caica. Applichiamo il teoema di Gauss. Utilizziamo come supeficie chiusa un cilindo, di aggio ed altezza h, concentico con la distibuzione ettilinea di caica. E d S = = λh ε o ε o Pe le ossevazioni pecedenti si ha che pe ogni elemento ds sulle basi del cilindo il campo elettico è pependicolae a ds e petanto il flusso elativo è nullo, mente pe ogni elemento di supeficie d S della supeficie lateale del cilindo il campo elettico E è paallelo ds. Infine, il modulo del campo elettico è lo stesso su tutti i punti della supeficie lateale del cilindo: E d S = E d S E ds = EdS = E ds= E2πh = λh ε o Basi = 0 E è pependicolae a d S Supeficie lateale Supeficie lateale Supeficie lateale = 2πh Pendendo in esame l ultima eguaglianza, possiamo icavae il modulo del campo elettico: P E G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/

14 E = 1 λ 2πε o che, ovviamente coincide con il valoe attenuto applicando il pincipio di sovapposizione. Riassumendo: caica distibuita unifomemente su una etta con densità lineae costante λ a distanza dalla distibuzione ettilinea di caica E = 1 λ 2πε o Calcolo del campo elettico geneato da una distibuzione piana di caica con densità supeficiale costante σ. Consideiamo un punto P a distanza dalla distibuzione piana di caica. Osseviamo che, data la simmetia del poblema, il campo elettico deve essee dietto pependicolamente alla distibuzione supeficiale di caica. Inolte, il campo elettico deve avee la stessa intensità in tutti i punti che si tovano alla stessa distanza dal piano caico. Infine, il campo elettico deve essee simmetico ispetto alla distibuzione di caica. Applichiamo il teoema di Gauss. Utilizziamo come supeficie chiusa un cilindo, di aggio abitaio ed altezza 2, con le basi paallele, di aea A, e disposte simmeticamente ispetto alla distibuzione di caica. E d S = = σ A ε o εo Pe le ossevazioni pecedenti si ha che pe ogni elemento ds sulle basi del cilindo il campo elettico è paallelo a ds, mente pe ogni elemento di supeficie ds della supeficie lateale del cilindo il campo elettico E è pependicolae a ds e petanto il flusso elativo è nullo. Infine, il modulo del campo elettico è lo stesso su tutti i punti delle due basi del cilindo: E d S = E d S E ds = EdS = E ds= E2A = σa ε o Basi Supeficie lateale =0 E è pependicolae a d S Basi Basi = 2A Pendendo in esame l ultima eguaglianza, possiamo icavae il modulo del campo elettico: P E E = σ 2ε o da cui possiamo dedue che il campo elettico podotto da una distibuzione piana ha lo stesso modulo in tutti i punti dello spazio, è pependicolae alla distibuzione piana e con veso che si allontana dalla caica se uesta è positiva. Riassumendo: E E 14 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003

15 caica distibuita unifomemente su un piano con densità supeficiale costante σ a distanza dalla distibuzione E = σ 2ε o Calcolo del campo elettico geneato da una doppia distibuzione piana di caica con densità supeficiale costante σ e -σ a distanza d. Possiamo effettuae uesto calcolo applicando il pincipio di sovapposizione. Con il teoema di Gauss sappiamo calcolae il campo elettico podotto da ciascuna distibuzione, consideata sepaatamente, in tutti i punti dello spazio. Quando entambe le distibuzioni di caica sono pesenti σ σ σ σ contempoaneamente, il campo elettico in un paticolae 2ε 2ε o o 2ε 2ε o o punto dello spazio saà la somma dei campi elettici geneati dalle due distibuzioni consideate sepaatamente. 1. Punti esteni alle due distibuzioni: si vede che in uesti punti il campo elettico geneato dalle due distibuzioni piane di caiche ha lo stesso modulo, la stessa diezione ma veso opposto. Il campo elettico E = 0 σ isultante è nullo. E = 0 ε 2. Punti compesi ta le due distibuzioni: si vede che in o uesti punti il campo elettico geneato dalle due distibuzioni piane di caiche ha lo stesso modulo, la stessa diezione e lo stesso opposto. Il modulo del campo elettico pe uesti punto saà dato da: E = σ ε o Riassumendo Doppia distibuzione piana di Punti esteni alle due distibuzioni E=0 caica con densità costanti σ e σ a distanza d Punti compesi ta le due E = σ distibuzioni ε o Tabella iassuntiva finale: caica distibuita Punti esteni >R E = 1 unifomemente sulla supeficie sfeica di aggio R Punti inteni <R E=0 2 caica distibuita Punti esteni >R unifomemente nel volume sfeico di aggio R Punti inteni <R E = 1 2 E = R 3 15 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003

16 caica distibuita unifomemente su una etta con densità lineae costante λ caica distibuita unifomemente su un piano con densità a distanza dalla distibuzione ettilinea di caica a distanza dalla distibuzione E = 1 2πε o λ E = σ 2ε o supeficiale costante σ Doppia distibuzione piana di Punti esteni alle due distibuzioni E=0 caica con densità costanti σ e σ a distanza d Punti compesi ta le due distibuzioni E = σ ε o Moto di caiche in un campo elettico Dalla definizione di campo elettico, si icava subito che uando una caica puntifome viene messa in una egione in cui esiste un campo elettico essa subisce una foza data da: F = E In cui E è il campo elettico nel punto occupato dalla caica. Se è positiva, la foza ha lo stesso veso del campo elettico, se è negativa alloa la foza ha veso opposto al campo elettico. Consideiamo una paticella di massa m e che taspota una caica. Essa, muovendosi con un velocità v, enta in una egione di spazio in cui è pesente un campo elettico unifome pependicolae alla diezione della velocità della paticella. Supponendo che la egione in cui esiste il campo unifome sia lunga L, deteminae lo spostamento tasvesale subito dalla paticella, uando esce dalla egione in cui è pesente il campo elettico. Intoduciamo un sistema di ifeimento con l asse x coincidente con la taiettoia della paticella pima di entae nella zona in cui è pesente il campo elettico e l asse y dietto paallelamente al campo elettico. (Si ossevi che il campo elettico unifome può essee ealizzato con una doppia distibuzione di caica, come abbiamo visto nel paagafo pecedente. Vedemo ta ualche pagina che una doppia distibuzione di caiche può essee ottenuta mediante due piaste metalliche paallele collegate ad una batteia). Mente la paticella si tova nella zona in cui è y pesente il campo elettico subià una foza di intensità costante, peché tale è il campo elettico, dietta lungo l asse delle y, data da: v F = E x Dalla seconda legge di Newton icaviamo che: F = E = ma Poiettando lungo gli assi coodinati otteniamo: 0 = ma x E = ma y moto unifome moto unifomente acceleato x = vt y = 1 2 E m t2 Il moto della paticella caica isulta uindi del tutto euivalente al moto del poiettile. La taiettoia descitta dalla paticella caica è paabolica. Il tempo impiegato pe attavesae la zona inteessata dal campo elettico si ottiene utilizzando la legge oaia del moto lungo l asse x: G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/

17 L = vt * t * = L v mente lo spostamento tasvesale all uscita della egione inteessata dal campo elettico è dato da: E y = 1 2 () 2 2 E m t* = 1 L EL 2 2 = m v 1 2 mv 2 L esempio di moto ui tattato avviene ealmente pe esempio uando il fascio di elettoni passa ta le due placchette di deflessione (veticale o oizzontale), utilizzate negli oscillogafi pe indiizzae in un paticolae punto dello schemo il fascio di elettoni, o nelle stampanti a getto di inchiosto in cui un meccanismo del tipo descitto viene utilizzato pe guidae la macchiolina di inchiosto veso il punto desideato sul foglio di cata. Enegia potenziale elettostatica Nell intodue la foza di Coulomb abbiamo sottolineato il fatto che uesta foza, come uella di Gavitazione Univesale, è una foza centale e come tale essa è anche una foza consevativa. Ricodando l espessione dell enegia potenziale di una massa m 2 nel campo gavitazionale geneato dalla massa m 1, U G =G m 1m 2 in cui il segno meno deiva dal fatto che la foza di gavitazione univesale è solo attattiva, è la distanza ta le due masse ed è stato scelto come punto di ifeimento la configuazione con le due caiche a distanza infinita a cui è stata assegnata enegia potenziale nulla, tendendo conto delle diffeenze ta la foza di gavitazione univesale e uella di Coulomb, possiamo scivee che la enegia elettostatica di una caica puntifome 2 nel campo elettico geneato dalla caica 1 è dato da: U G = Anche in uesto caso è stata assunta come configuazione di ifeimento uella in cui le due caiche sono a distanza infinita e a tale configuazione è stata assegnata enegia potenziale uguale a zeo. Val la pena di sottolineae che l enegia potenziale si ifeisce al sistema composto dalle due caiche: una caica elettica da sola non ha enegia potenziale. Dalla definizione di enegia potenziale sappiamo anche che se la caica 2 viene spostata da una posizione in cui l enegia potenziale è più elevata ad una posizione in cui l enegia potenziale è più bassa, la diffeenza ta l enegia potenziale iniziale e uella finale coisponde al lavoo fatto dalla foza di Coulomb duante lo spostamento dalla caia 2 dalla posizione finale a uella finale. Ci si deve attendee che uesto lavoo povochi ad esempio un aumento dell enegia cinetica delle paticelle. U i -U f =W if =K f -K i L enegia potenziale elettostatica deve essee intesa alla stessa stegua dell enegia potenziale dovuta alla foza peso. Nel caso della foza peso, noi sappiamo che l enegia potenziale è legata alla uota a cui si tova la paticella: mgh. Se la uota della paticella viene diminuita, come accade pe esempio uando un copo viene fatto cadee sotto l azione della foza peso, anche la sua enegia potenziale diminuisce. La foza peso compie un lavoo maggioe di zeo (W if =U i -U f >0), che itoviamo sottofoma di enegia cinetica della paticella. Se disponiamo di una configuazione di n caiche, denominate 1, 2, i,.. n, all inteno di una zona finita di spazio, alloa l enegia potenziale della caica posta nel punto P potà essee ottenuta con il pincipio di sovapposizione: G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/

18 U = n i =1 in cui i è la distanza della caica dalla caica i. 1 i i Potenziale elettico Così come abbiamo fatto intoducendo il campo elettico, possiamo intodue attibuie a ciascun punto dello spazio l enegia potenziale pe unità di caica, o potenziale elettico, come il appoto ta l enegia potenziale posseduta dalla caica uando si tova in uella posizione e la caica stessa: V = U Nel Sistema Intenazionale il potenziale elettico si misua in joule su coulomb (J/C). Questa unità di misua viene chiamata volt (V). Pe una caica puntifome, posta nell oigine del sistema di ifeimento, il potenziale elettico è dato da: 1 V = 1 Natualmente come l enegia potenziale elettostatica, da cui deiva, anche il potenziale elettico è definito a meno di una costante abitaia: nel caso consideato della caica puntifome è stato abitaiamente assegnato potenziale nullo ai punti che si tovano a distanza infinita dalla caica 1. Se si ha a che fae con una configuazione di n caiche, denominate 1, 2, i,.. n, poste all inteno di una zona delimitata di spazio, il potenziale nel geneico punto p saà dato da: V = n i=1 1 i i Anche in uesto caso, non essendoci caiche all infinito, è stato abitaiamente assegnato potenziale zeo ai punti a distanza infinita dall oigine del sistema di ifeimento. Legame ta il campo elettico e l enegia potenziale. Consideiamo un geneico punto P 1 dello spazio e sia V(P 1 ) il potenziale elettico in uel punto. Se la caica puntifome viene posta nel punto P 1, essa possiedeà un enegia potenziale U(P 1 )=V(P 1 ). Se successivamente la caica viene spostata nel punto P 2 in cui il potenziale vale V(P 2 ), la sua enegia potenziale diventeà U(P 2 )=V(P 2 ). In alti temini la caica ha subito una vaiazione di potenziale V= V(P 2 ) - V(P 1 ) a cui coisponde una vaiazione di enegia potenziale U = V. Se U è negativa, dato che pe definizione U=-W if, il lavoo fatto dalla foza elettostatica è positivo e uesto coispondeà ad un aumento dell enegia cinetica della paticella caica. Vicevesa se U è positiva, il lavoo fatto dalla foza elettica è negativa e uesto coisponde ad una diminuzione di enegia cinetica o ichiede la pesenza di una foza estena che sposti la caica conto le foze elettostatiche. Quindi una caica positiva si muoveà G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/2003 P 1 d E P 2 18

19 spontaneamente veso punti in cui il potenziale è più basso mente uelle negative si muoveanno spontaneamente veso zone in cui il potenziale è più alto. Pe tovae il legame ta il potenziale ed il campo elettico ipendiamo la elazione U = V. Da uesta si ottiene: V = U = W if = 1 f F d = 1 f E d f = E d dalla definizione di enegia potenziale i utilizzando la definizione del lavoo i utilizzando la definizione del campo eletico dove l integale viene effettuato lungo ualunue cuva che connette il punto iniziale con uello finale. L espessione pecedente può essee iscitta nella foma: f V i V f = E d che ci dice che la diffeenza di potenziale ta il punto iniziale e uello finale è uguale all integale di E d effettuato su ualunue cuva che connette la posizione iniziale a uella finale. Se il potenziale è deteminato da una configuazione di caiche localizzate in una zona delimitata di spazio, possiamo assumee il punto iniziale all infinito, il punto finale in un geneico punto P dello spazio, assegnae potenziale nullo ai punti all infinito, e uindi deteminae il potenziale nel punto P con la elazione: V( P)= P E d i VP ()= P E d Se non tutte le caiche sono localizzate in una egione delimitata di spazio, ma alcune della caiche sono a distanza infinita, come pe esempio accade nel caso di una distibuzione ettilinea o di una distibuzione piana di caiche, alloa non è possibile assegnae potenziale zeo ai punti all infinito. Pe deteminae il potenziale in un ualsiasi punto dello spazio occoe fissae un alto punto di ifeimento, P o, a cui assegnae il potenziale zeo. In tal caso si avà: P V(P o ) VP ( )= E d P VP ()= E d P o P o 43 V(P o )=0 Supefici euipotenziali. Con uesto temine si intende il luogo dei punti aventi tutti lo stesso potenziale. Pe esempio nel caso di una caica puntifome, in cui il potenziale è dato da 1 V = 1 si vedi che tutti i punti che si tovano su una supeficie sfeica di aggio e cento nella posizione occupata dalla caica 1 hanno tutti lo stesso potenziale. Risulta peciò che nel caso della caica puntifome le supeficie euipotenziali sono delle supefici sfeiche aventi come cento la posizione occupata dalla caica. Si può fa vedee che il campo elettico in una ceta posizione è sempe pependicolae alla supeficie euipotenziale passante pe uel punto. Consideiamo uno spostamento infinitesimo d effettuato sulla supeficie euipotenziale. La coispondente vaiazione di potenziale dv saà nulla, peché ci siamo spostati sulla supeficie euipotenziale e uindi il punto iniziale e uello finali di d hanno lo stesso potenziale. Ma dv = 0 dv = E d E d = 0 i E = 0 E pependicolae a d Quindi se il campo elettico è diveso da zeo esso è pependicolae a ualunue spostamento G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 2002/