+ + = 3 = = = + + ESERCIZIO 4A: Calcolare l antitrasformata Zeta della seguente funzione F(z)

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1 ESERCIZIO : Calcolare l antitrasformata Zeta della segente fnione F F La fnione F è raionale fratta col denominatore di grado maggiore del grado del nmeratore. La procedra di antitrasformaione consiste nello svilppare la fnione F nella somma di fnioni elementari la ci antitrasformata è nota e pertanto, per la proprietà di linearità, pervenire all antitrasformata della F come somma delle antitrasformate dei singoli addendi. Dato che le trasformate di interesse hanno n fattore al nmeratore, al fine di ottenere che i singoli termini dello svilppo assmano appnto tale forma, è tile applicare lo svilppo in fratti semplici di Heaviside alla fnione [F/] aniché alla fnione F. I poli di F sono reali e distinti. Lo svilppo di Heaviside assme, pertanto, la forma: F La determinaione del valore dei coefficienti i mediante il calcolo dei residi porge le scrittre che di segito si esplicitano: F F p F p p p p p 6 8 La determinaione del valore dei coefficienti i mediante il principio di identità dei polinomi porge le scrittre che di segito si riportano: 7 8 Poiché le de fraioni hanno gale il denominatore, esse sono gali allora e solo allora che anche i nmeratori sono gali; ciò implica la posiione segente: 7 Ordinando il polinomio a secondo membro secondo le potene decrescenti dell indeterminata si ottiene la relaione: 7 Il ricorso al principio di identità dei polinomi consente di validare le posiioni segenti: 7 [ ] Si conclde, pertanto, che i coefficienti, e assmono, rispettivamente, i segenti valori:

2 8 n i 6 i Si evince, inoltre, che essendo n il grado del polinomio a denominatore e m il grado del polinomio a nmeratore, è soddisfatta la condiione n m ; qindi, è verificata la proprietà in base alla qale la somma dei coefficienti i è nlla. La determinaione dei coefficienti dello svilppo in fratti semplici consente, qindi, di relaionare nella segente forma: F 8 6 da ci, moltiplicando ambo i membri per la variabile al fine di ricostrire l originaria fnione F, si ottiene la scrittra: F 6 8 F Procedendo al calcolo dell antitrasformata Zeta della fnione F, si ottengono le scrittre che di segito si esplicitano: 8 f Z [ F ] Z 6 8 Z Z Z 6 8 imp * sca * sca * 6 Pertanto, la fnione f, antitrasformata Zeta della fnione F assegnata, è: 8 f imp * sca * 6 Calcoliamo i primi cinqe valori della fnione discreta f; si ottiene: 8 8 f imp * sca * f imp * sca * f imp * sca * f imp * sca * f imp* sca* 6 Se si rinncia a ottenere l antitrasformata di F in forma chisa e si vole solo calcolare i valori assnti dalla fnione f nei singoli istanti di tempo, come sopra fatto, si pò ricorrere al metodo della lnga divisione. Il metodo si basa slla classica divisione fra il polinomio N a nmeratore e il polinomio D a denominatore al fine di scrivere la fnione F nella classica forma: F f f f f f 6 f 8...

3 In tale modo il coefficiente della potena di - assme il significato di valore della fnione f proprio al tempo. Verifichiamo, qindi, i valori appena ricavati per la fnione f applicando il metodo della lnga divisione. La procedra è di segito evideniata La fnione F, alla lce del risltato della divisione fra polinomi, pò scriversi nell eqivalente forma che di segito si riporta: F 6... che pò altresì completarsi e formaliarsi nella segente scrittra: F 6... a ci si associata, in base alla relaione, la lettra segente di immediata interpretaione: f ; f ; f ; f 6 ; f ESERCIZIO : Calcolare l antitrasformata Zeta della segente fnione F F La fnione F è raionale fratta col denominatore di grado maggiore del grado del nmeratore. Dato che le trasformate di interesse hanno n fattore al nmeratore, al fine di ottenere che i singoli termini dello svilppo assmano appnto tale forma, è tile applicare lo svilppo in fratti semplici di Heaviside alla fnione [F/] aniché alla fnione F. I poli di F sono reali e coincidenti. Lo svilppo di Heaviside assme, pertanto, la forma: F C C La determinaione del valore dei coefficienti,, C con il principio di identità dei polinomi porge le scrittre che di segito si riportano: C C Poiché le de fraioni hanno gale il denominatore, esse sono gali allora e solo allora che anche i nmeratori sono gali; ciò implica la posiione segente: C C L applicaione del principio di identità dei polinomi consente di relaionare come sege:: ; C ; da ci si evince con immediatea che:

4 C C C In conclsione il valore dei coefficienti,, C dello svilppo in fratti è dato da: C La determinaione dei coefficienti dello svilppo in fratti semplici consente, qindi, di relaionare nella segente forma: C F da ci, moltiplicando ambo i membri per la variabile al fine di ricostrire l originaria fnione F, si ottiene la scrittra: F F Procedendo al calcolo dell antitrasformata Zeta della fnione F, si ottengono le scrittre che di segito si esplicitano: * * * * * * ] [ sca sca imp ram sca imp Z Z Z Z F Z f Pertanto, la fnione f, antitrasformata Zeta della fnione F assegnata, assme la forma: [ ] * * sca imp f OSSERVZIONE: Si desidera verificare il calcolo dei coefficienti dello svilppo in fratti semplici di Heaviside mediante l applicaione della procedra dei residi. Si ottiene qanto di segito viene esplicitato. F F C d d d d F d d

5 Volendo evitare l operaione di derivaione, che nel caso di poli mltipli con ordine di molteplicità maggiore di de è decisamente laboriosa, si pò ricorrere a na combinaione delle de procedre; nel caso particolare in esame, si avrebbe: F C Dall gagliana delle de forme di rappresentaione della fnione F/ si ottiene la relaione: Dalla qale, rendendo gali i denominatori si ottiene la scrittra: Mediante il principio di identità dei polinomi si validano le segenti scrittre fra loro linearmente dipendenti: ESERCIZIO C: Calcolare i valori della fnione f nei singoli istanti di tempo sapendo che F Z[ f ] Poiché vengono richiesti i valori assnti dalla fnione f nei singoli intervalli di tempo si ritiene sfficiente fermarsi ai primi cinqe valori, corrispondenti a si adotta la procedra della lnga divisione. Si ottiene qanto di segito mostrato La fnione F, alla lce del risltato della divisione fra polinomi, pò scriversi nell eqivalente forma che di segito si riporta: F che pò altresì completarsi e formaliarsi nella segente scrittra: F a ci si associata, in base alla relaione, la lettra segente di immediata interpretaione:

6 f ; f ; f 7 ; f 9 ; f 9 OSSERVZIONE : Si pò considerare la fnione F come risposta Y di n sistema lineare a tempo discreto forato in ingresso dal segnale implso di area nitaria imp*; infatti si pò scrivere, ricorrendo al concetto di fnione di trasferimento G e posto G F, come di segito evideniato: Y G Y F Z [ imp * ] Y F F Pertanto, i valori assnti dalla fnione ƒ altro non sono che i valori assnti dalla fnione come risposta all implso discreto nitario. In conformità a qanto sopra esposto si ottiene: Y F Y, da ci si ricava la relaione: 7 Y Y 7 Y Y L applicaione della procedra di antitrasformaione consente di determinare la legge temporale del sistema lineare a tempo discreto che ha come scita. Facendo ricorso alle proprietà della trasformata Zeta relative a ritardi e anticipi si pò relaionare come di segito mostrato: 7 Ora si deve risolvere nei confronti dell scita più recente ottenendo: 7 e, data la staionarietà del sistema, scalare per comodità ttti gli indici in modo da ottenere ; si perviene così alla segente relaione: 7 È, a qesto pnto, immediato calcolare i valori che la fnione f assme nei singoli istanti di tempo; infatti ricordando che per l ingresso imp* è Y F allora è anche ƒ. f 7 imp* imp * 7 f 7 imp* imp * 7 f 7 imp* imp * f 7 imp* imp * f 7 imp* imp * Si sono, pertanto, confermati i risltati ottenti con la lnga divisione. OSSERVZIONE : Si pò procedere al calcolo della fnione temporale ƒ applicando la fase relativa all antitrasformata Zeta della fnione complessa F. Poiché la F presenta poli reali e semplici, pò tiliarsi il metodo dei residi per il calcolo dei coefficienti dello svilppo in fratti semplici della fnione [F/]; si ottiene: F K K K Il calcolo dei coefficienti K i porge le relaioni di segito evideniate: K K K F F F 6

7 Si constata, che essendo m il grado del polinomio a nmeratore di [F/] e n il grado del polinomio a denominatore, è soddisfatta la condiione n m per ci deve risltare verificata la nota relaione: n i K i K K K La conoscena del valore dei residi consente di relaionare come sege: F K K K Moltiplicando ambo i membri per la variabile complessa si ottiene: F Esegendo ora l antitrasformata Zeta della fnione F si ricava l espressione temporale della fnione ƒ; si relaiona come di segito evideniato: f imp * sca * sca * che ammette l eqivalente forma: f imp * [ ] sca * Facendo riferimento alle caratteristiche dei segnali canonici discreti, cioè imp* per e imp* per ogni, nonché sca* per ogni e sca* per <, il calcolo dei valori assnti dalla fnione ƒ nei singoli istanti di tempo fornisce ciò che di segito si mostra: f imp* [ ] sca* f imp* [ ] sca* [ ] f imp* [ ] sca* [8 ] 7 f imp* [ ] sca* [ 6 ] 6 9 f imp* [ ] sca* [ 6] 6 9 nche con qesta tera procedra si confermano gli stessi risltati consegiti con le de precedenti scelte risoltive del problema proposto. ESERCIZIO D: Si consideri il sistema lineare discreto che definisce la gestione della Cassa Pensioni. Sono definite le segenti variabili di stato e le de variabili di scite: neonati anni genitori anni pensionati anni consistena cassa iniio anni pensionati anni andamento cassa anni Il sistema pensionistico è governato dalle segenti eqaioni nello spaio degli stati e dalle de trasformate dell scita:, i La matrice della dinamica e le matrici, C e D caratteristiche della rappresentaione nello spaio degli stati e della trasformaione delle scite, hanno la forma che di segito si evidenia.

8 , D C i È tile ricordare la proprietà della trasformata Zeta per qanto attiene l operaione di anticipo e di ritardo temporale; specificatamente si ha: se è Z[], allora è Z[] -, se è Z[], allora è Z[-] -[/] Per il calcolo delle Fnioni di Trasferimento si fa ricorso all applicaione della trasformata Zeta alle eqaioni di stato e alle trasformaioni delle scite; qesta procedra consente di esprimere il sistema pensionistico a tempo discreto nella forma segente:, Y Y i Svolgendo i necessari passaggi algebrici si ottiene la segente formlaione del sistema: ] [, Y Y i Risltano, pertanto, immediate le relaioni che di segito si ricavano:,,,,,,, i Dall ltima relaione, effettato il minimo comne mltiplo si ottiene l espressione finale di ],[ i

9 Ricordando la definiione delle trasformaioni di scita e di fnione di trasferimento, si pò relaionare come di segito riportato. Y Y ; da ci si ricava:, Im Im Y G, i La fnione di trasferimento G presenta tre poli mentre il sistema è di certo del qarto ordine dato che qattro sono le variabili di stato; si conclde che si è in presena di na cancellaione. Re Per qanto attiene la fnione di trasferimento G si relaione come di segito mostrato: Y Y ; da ci si ricava:,[ i] G Y,[ i] La fnione di trasferimento G presenta qattro poli; pertanto si conclde che NON si sono verificate cancellaioni. Determiniamo la risposta all implso discreto imp*t di G. Dato che Z[imp*] si ottiene la relaione: Y G,,, L antitrasformata Zeta della fnione Y, tento conto della proprietà relativa al ritardo nel dominio del tempo discreto, consente di concldere come sege: Z [ Y ] Z, sca *, I valori assnti dalla fnione ai singoli istanti di tempo, considerato che sca*t t, sono i segenti:, sca * ;, sca * ;, sca *, sca * ;, sca *,,, sca *,, 6, sca *,, 7, sca *,6,6. 6 9, sca * 6,. 8, sca *,6 6 ; Re Come verifica dell esattea dei risltati consegiti calcoliamo i valori assnti dalla fnione nei singoli stanti di tempo, per 9, applicando il metodo della lnga divisione. Si scrive la fnione Y nella forma raionale fratta di rapporto di polinomi, ottenendo: Y G,,

10 Il metodo della lnga divisione fornisce qanto sege:, -, -,,, 6,6-7, -, -, -, -, -, -, -, -,6 -,6 - Il metodo della lnga divisione consente di scrivere la fnione Y nella classica forma: Y [ ]... In tale modo il coefficiente della potena di assme il significato di valore della fnione proprio al tempo. Qesti coefficienti costitiscono i termini di na progressione geometrica di ragione d, e primo termine no a partire dall indice, essendo ; pertanto, è validata la segente relaione: Y [, ],, Ricordando che data la fnione ƒ la sa trasformata Zeta è, per definiione, la fnione F tale che F [ f ], allora, con specifico riferimento alla fnione Y, si conclde Z [ Y ], sca * per ogni. Si determini, ora, la risposta all implso discreto imp*t di G, nell ipotesi che sia ; e i. In tale contesto si ottiene: Y G,[ i],,, Per il calcolo dei singoli valori assnti dalla fnione applichiamo ora il metodo della lnga divisione; si ottiene qanto di segito esplicitato. -,, -, -,,,7,87,97-6,,,,,7 -,7,7 -,7,6 -,87 -,87 -,87 -,87 -, , La fnione Y, in osseqio all esito della divisione fra polinomi, pò scriversi nell eqivalente forma che di segito si riporta:

11 Y,,7,87,97... che pò altresì completarsi e formaliarsi nella segente scrittra: 6 Y,,7,87,97... a ci si associata, in base alla relaione, la lettra segente di immediata interpretaione: ; ; ;,;,7;,87; 6, 97 I valori assnti ai singoli istanti dalla fnione evideniano na tendena che approssima al limite il valore ; ciò è confermato dall esito fornito dal teorema del valore finale in base al qale si ottiene: lim lim [ Y ] lim lim,,, l fine di determinare la risposta implsiva in forma chisa si adotta, ora, il metodo di Heaviside. C Y,,, La determinaione dei coefficienti, e C pò effettarsi ricorrendo al calcolo dei residi; si ha:,,,,, C,,,, 6,,,,,,, Poiché i poli reali e distinti sono semplici ed essendo n e m NON è soddisfatta la condiione n m per ci resta verificato che C. La conoscena dei coefficienti consente così di conclde come sege: Y,, La fnione, antitrasformata Zeta della fnione Y, tento conto della proprietà relativa al ritardo nel dominio del tempo discreto, assme la forma che di segito si riporta: Z [ Y ] Z imp *,, sca * sca * Raccogliendo i termini corrispondenti allo scalino si conclde che: imp * [, ] sca * Ricordando la relaione costittiva dell implso discreto imp* e dello scalino discreto sca* si possono determinare i valori assnti dalla fnione nei singoli istanti di tempo ; infatti, si ottiene qanto di segito viene evideniato: [, ] [, ] [, ] [, ],,

12 [, ],,7 [, ],,87 6 [, ],6,97 7 [, ],,9687 Nella figra sono riportati gli andamenti temporali delle de fnioni e relativamente ai primi 9 istanti di tempo, ovvero 9. ESERCIZIO E: Si consideri il sistema lineare discreto che definisce la gestione amministrativa della attività di de ffici di n ente pbblico, così come di segito indicata: fficio n : l impiegato preposto ogni giorno esege la segente attività: riceve dal pbblico pratiche che vengono elaborate il giorno sccessivo; smaltisce na fraione delle pratiche accmlate; passa na fraione delle pratiche accmlate all fficio n ; fficio n : l impiegato preposto ogni giorno esege la segente attività: riceve le pratiche inviate dall fficio n ; smaltisce na fraione delle pratiche accmlate; passa na fraione delle pratiche accmlate all fficio n Si deve determinare: a il modello del sistema e le se eqaioni caratteristiche nello spaio degli stati; b gli eventali stati di eqilibrio e la relativa stabilità. Definiione delle variabili di stato, di ingresso e di scita L ingresso è costitito dal nmero totale di pratiche giornaliere che il pbblico affida allo sportello dell fficio n. Le variabili di stato J sono rappresentate dal nmero complessivo delle pratiche che sono accmlate all iniio della giornata dall fficio J.

13 La variabile di scita è rappresentata dal nmero complessivo delle pratiche smaltite da entrambe gli ffici nel giorno. Determinaione delle eqaioni di stato e di trasformaione dell scita Dalla descriione della gestione amministrativa dell attività degli ffici si evince che: nmero di pratiche smaltite dall fficio n ; nmero di pratiche smaltite dall fficio n ; nmero di pratiche passate dall fficio n all fficio n ; nmero di pratiche che l fficio n passa a competena dell fficio n ; Pertanto, il modello di stato del sistema lineare a tempo discreto viene descritto dalle eqaioni di segito riportate: Determinaione degli stati di eqilibrio La determinaione degli stati di eqilibrio attiene all ingresso e, per definiione di stato di eqilibrio, alla condiione ; pertanto, si ottiene qanto sege: Lo svolgimento dei dovti passaggi algebrici porge le segenti scrittre: scendo dal segno di sistema, i passaggi algebrici operati slla seconda eqaione consentono di relaionare come di segito esplicitato: Pertanto, la componente dell eventale stato di eqilibrio è determinata dalla relaione: > La conoscena della relaione che determina la componente dell eventale stato di eqilibrio dà la possibilità di determina l espressione della componente ; infatti, dalla prima eqaione di stato si ottiene qanto sege: Svolgendo i dovti passaggi algebrici si ottiene: Pertanto, operate le dovte elisioni algebriche, si ottiene l espressione della componente ; ovvero:

14 > Si conclde che la condiione di eqilibrio è caratteriato dalle relaioni segenti: Definiione della stabilità dello stato di eqilibrio Il modello definito nello spaio di stato è caratteriato dalle segenti matrici: [ ] D C ; ; ; Il calcolo degli atovalori della matrice della dinamica attiene alla determinaione delle radici del polinomio caratteristico definito da det[i ]; pertanto si imposta qanto sege: ] [ I, da ci deriva la scrittra: ] [ ] det[ I Gli atovalori sono le solioni dell eqaione di secondo grado che si ottiene gagliando a ero il polinomio caratteristico; si evince qanto riportato: ] det[ I, da ci si ha: ± ± ± ± ] [, Pertanto, i de atovalori e sono: Ricordando che: è na fraione delle pratiche accmlate, cioè rimanenti nell fficio n, è: < < è na fraione delle pratiche accmlate, cioè rimanenti nell fficio n, è: < < tteso qanto premesso, in relaione alla valtaione della stabilità dello stato di eqilibrio, si deve concldere come di segito esplicitato: polo < < che è verificata in qanto, come già detto, è < < ; polo < < se: >, cioè: < ] [ < > che è na relaione sempre verificata essendo, per definiione > e > Pertanto se: < anche il polo, oltre a, è in modlo minore di no e il sistema è SINTOTICMENTE STILE. se: <, ovvero: > ] [ < <

15 da ci si ottiene: <, ovvero: < [ ] che è sicramente verificata poiché per definiione: < <. Pertanto anche se: < < il polo, oltre a, rislta in modlo minore di no e il sistema è SINTOTICMENTE STILE.