5. La trasformata di Laplace Esercizi

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1 5. L rform di Lplce Eercizi Aggiornmeno: febbrio 3 p:// 5.. Inroduzione ll rform di Lplce 5.. Proprieà dell rform di Lplce 5.-. Coniderimo l funzione limi f() =(in)/ ( eempio.-5) e indicimo con F () lul-rform. In be ll Prop. 5.- i verifici ce F () = L[f()]() = L[in ]() = +. Se ne deduc, per rele poiivo, F () =c rcn, efinlmene per,in be ll Prop. 5.-: in F () = e d = π rcn. Soluzione. D F () = +, egue F () =c rcn per ogni con Re() >. In pricolre, l formul cri vle per ogni rele poiivo. D lr pre, per, F () deve endere, quindi l cone c vle necerimene π/ L funzione inegrleno è defini nell eempio.-5 come l primiiv dell funzione f() =(in )/, null nell origine: x in Si(x) := d. Dedurre dll Propoizione 5.-3 ce l L-rform dell inegrleno è G() = F () = ( π ) rcn. Per poer pplicre il eorem del vlore finle, occorre pere ce l funzione inegrleno ende d un limie finio per x + (in relà le limie è già o clcolo nell eempio 4.8-5, m voglimo riclcolrlo in modo indipendene). Per oenere queo riulo, i fii >, e i oervi ce, per ogni b>,i Si(b) = in d = in d + i inegri per pri il econdo inegrle e i dimori ce eo ende d un limie finio per b + (l funzione x (co x)/x è ommbile ull inervllo [, + )inquno mggior in vlore oluo d /x ). in d;

2 Cpiolo 5. L rform di Lplce c Finlmene i pplici il eorem del vlore finle ll funzione inegrleno oenendo ( π ) lim Si(x) =lim G() =lim x + rcn = π. Soluzione. Lo cem dell oluzione è conenuo nell enuncio. Eeguimo l inegrzione per pri uggeri; i in d = co co b b + co l ddendo (co b)/b ende per b +, l ulimo inegrle ende ll inegrle dell funzione ommbile (co )/ u [b, + ) Si δ () :=χ [,] ()/, con >, come nell eempio Abbimo oervo ce l inegrle di δ vle qule ce i. Si f () lprimiiv di δ () null per. Clcolre f elreliv rform. A ce co ende f () per? d; Figur Inegrndo un impulo unirio i oiene un rmp uniri. Soluzione. Per lprimiiv f () irov (vedi figur der) {, per f () = /, per <, per. Per, f () ende ll funzione null per, ugule per >, dunque l funzione limie èilgrdino unirio (o funzione di Heviide) meno del vlore nell origine. Per l rform di f () bbimo, con un inegrzione per pri, (/) e d + e d = e + e + e = e per ogni con pre rele poiiv. Poicé e = + /+...,per l rform clcol ende / Si f() =χ [,] (), cioè lfunzione ugule nell inervllo [, ] e null fuori dello eo inervllo. Verificre ce {, per, (f f)() = per,, lrimeni. Trccire un grfico dell convoluzione oenu. Soluzione. L funzione τ f(τ) come upporo l inervllo [, ], menre l funzione τ f( τ) come upporo l inervllo [,]. Dunque l convoluzione ènull qundo è eerno ll inervllo [, ], in quno, per li vlori, i uppori delle due funzioni in queione ono r loro digiuni. Per [, ] e vle dτ =, =

3 c Eercizi 3 menre per [, ] e vle dτ = Si δ () :=χ [,] ()/, con >, come nell eercizio Si verifici ce (f δ )() è ugule ll medi inegrle dell funzione f ull inervllo [, ]. Se f è un funzione coninu u R, ce co ende (f δ )() per? Soluzione. Infi, poicé ilupporo dell funzione τ δ ( τ) è l inervllo [, ], i rov (f δ )() = f(τ) dτ. Se f è coninu, l medi inegrle clcol coincide col vlore di f in un puno opporuno ξ [, ], e dunque ende f() per Con i imboli dell eercizio precedene, clcolre eplicimene (H δ )() e rccirne il grfico. Si uggerice di fre clcoli epri per eper. Verificre ce l convoluzione oenu è coninu u R. Confronre con quno vio nell eercizio Soluzione. Uilizzndo il riulo del precedene eercizio, i riconoce ubio ce l convoluzione ricie ènull per <, e vle per >.Per [,], i (H δ )() = dτ =. In definiiv i oiene l rmp f () conider nell eercizio Seo problem dell eercizio precedene per ( + δ )(). Verificre ce l convoluzione oenu èdicle C () (R). Soluzione. Sempre in be l riulo dell eercizio 5.-5, bbimo c l convoluzione ricie ènull per. Per < e vle τdτ=, menre per e vle τdτ= [ τ ] =. In definiiv, per ( + δ )() =,, per < per >. Come i vede, non olo l convoluzione clcol è coninu, m nce l u deriv prim è coninu:, per < ( + δ ) () =, per <<, per >.

4 4 Cpiolo 5. L rform di Lplce c Le funzioni be e gmm di Eulero 5.3-P. Dedurre dll relzione Γ(x + ) = xγ(x), l relzione Γ(x + n +)=x(x + )(x +)...(x + n)γ(x) per ogni nurle n. Soluzione. B procedere per induzione ripeo n Inverione dell rform di Lplce 5.4-P. Medine il eorem di convoluzione, deerminre l nirform di Lplce per cicun delle funzioni F () = ( +), F () = ( +), F () = ( +). Soluzione. Poicé /( +) e /( +) ono l rforme di (in ) + e(co ) + ripeivmene, le nirforme riciee ono, nell ordine, f () =(in ) + (in ) +, f () =(in ) + (co ) +, f () =(co ) + (co ) +. Per irov f () = in τ in( τ) dτ = in = in in co = (in co ). In modo nlogo i rov in co = in τ co τdτ co in τdτ= f () = in, f () = ( co + in ) Equzioni differenzili ordinrie 5.5-P Uilizzre l rform di Lplce per riolvere il problem di vlori inizili y +y + y = con le condizioni y() =, y () =. Soluzione. Si rov Y () = ( +). Poicé bbimo un polo emplice per =,eun polo doppio in =, vremo un decompoizione in fri emplice del ipo (i ved l Prop. 4.7-) Y () = ( +) = A + B + + C ( +). L cone A è emplicemene il reiduo di Y () nel polo =,quindi i clcol immedimene A = lim Y () =. L uguglinz ( +) = + B + + C ( +)

5 c Eercizi 5 i crive nce 3 ( +) = B + + C ( +), dopodicé ipoono clcolre i vlori B = ec = col meodo dei coefficieni indeermini o, più emplicemene, oervndo ce 3 = ( +). In definiiv Y () = + ( +) d cui y() = ( + )e per. 5.5-P Deerminre le ripoe impulive per cicun delle equzioni differenzili lineri coefficieni coni:. y + y =;. y + y + y =; 3. y y + y =; 4. y y =; 5. y +y + y =. Soluzione. Si r di ni-rformre le funzioni P () = + ; P () = + + ; P 3() = + ; P 4 () = ; P 5() = Si rovno, nell ordine, le oluzioni. y () =(in ) + ;. y () = ( (e / 3 )) in 3 3. y 3 () = ( (e / 3 in 3 ))+ ; + = ( +). + ; 4. y 4 () =(in ) + ; 5. y 4 () =(e ) +. Si oervi il legme r il compormeno delle ripoe impulive clcole e l colloczione, nel pino compleo, degli zeri dei polinomi creriici.