La Trasformata di Laplace. Pierre-Simon Laplace

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1 a Traformaa di aplac Pirr-Simon aplac

2 a Traformaa di Eulro onhard Eulr Eulro

3 Dfinizion Si dfinic raformaa di aplac dlla funzion f la funzion F coì dfinia: Dov σjωσj2πf. 0 F { f } f d

4 Dfinizion S i F in 0 σ 0 jω 0 allora i pr u l ali ch {}>{ 0 }σ 0. Si dfinic α da acia di convrgnza il più piccolo valor di σ 0. ω α σ

5 Dfinizion Paar dal dominio dl mpo al dominio dlla frqunza. {}

6 Aniraformaa S F è la raformaa di aplac di una funzion f i dfinic: f { F } c j F d c j Dov c è un qualiai numro ral al ch ia c>α.

7 Tmpo-Frqunza {} - {}

8 Proprià dlla Traformaa di aplac UNICITÀ {f}{g} fg q.o. INEAITÀ {λ f λ 2 f 2 }λ {f } λ 2 {f 2 } DEIVAZIONE {f } {f}-f0 {f } 2 {f} f0 f 0 {f n } n {f} n- f0 f n- 0 {f}-f

9 Proprià dlla Traformaa di aplac INTEGAE { fτdτ} {f} / TASAZIONE COMPESSA { a f}f-a - {F-a} a f TASAZIONE NE TEMPO {f-au-a} -a F - { -a F} f-au-a

10 Proprià dlla Traformaa di aplac INTEGAE DI CONVOUZIONE τ τ τ τ τ τ d g f d g f g f {f g} F G

11 Proprià dlla Traformaa di aplac TEOEMA DE VAOE INIZIAE f 0 lim F TEOEMA DE VAOE FINAE f lim0 F

12 Traforma novoli a a } { } { } {co b b b n b b n n n u! } { } co { b a b b n b a a b b a a

13 Aniraforma novoli! a a n a a a n n co co Φ Φ Φ n n b n b a c b b a c a b b a a b a ω ω ω

14 Traformazioni Sfruando l raforma novoli l proprià dlla raformaa di aplac i poono ricavar u l alr raforma.

15 Empio Calcolar la raformaa di aplac di: f - {f}-f { - }/a F -/a 2 { - }/a 2

16 Applicazioni Impdnza ni circuii lrici di v V I Z d dv i C IC V Z/C d

17 Applicazioni Soluzioni di Eq. diffrnziali. di d i0 i 0 i u

18 Applicazioni Soluzioni di Eq. diffrnziali. 0 0 i i Vu i d di i I V I V I I I 0 0 i V I V i 0

19 u Simi TI Nl dominio dl mpo h y y u h u τ h τ dτ

20 Simi TI Nl dominio dlla frqunza U H Y Y U H

21 Funzion di rafrimno a ripoa impuliva dfinic complamn un ima TI d è una ua rapprnazion nl dominio dl mpo. a funzion di rafrimno è una rapprnazion mamaica dlla rlazion ra l'ingro di un ima TI la ripoa dl ima o nl dominio dlla frqunza. {} h H - {}

22 Funzion di rafrimno Tra l vari poibili rlazioni ingro-ucia ch poono r inrodo pr lo udio di imi linari, la più imporan è, nza dubbio, qulla ch fa capo alla nozion di funzion di rafrimno fd. H Y U

23 Funzion di rafrimno a funzion di rafrimno è un rapporo ra polinomi in, in cui il grado dl dnominaor è maggior o ugual al grado dl numraor. Nl cao in cui il numraor il dnominaor abbiano lo o grado il ima i dirà improprio. I valori di pr cui i annulla il dnominaor dlla fd i dicono poli; I valori di pr cui i annulla il numraor vngono dfinii zri dlla fd; Il numro di poli coiuic l ordin dl ima.

24 Forma di Sao Un ima TI può r rapprnao oo forma di ao: x& Ax Bu y Cx Du Dov x è il vor dll variabili di ao A,B,C,D dll marici di ordin opporuno.

25 Empio 0 0 i u i d di i V u i d di

26 Empio i V u i d di x y u x x& 0 D C B A

27 Formula di agrang 0 d Bu x x A A τ τ τ Dao un ima TI rapprnao in forma di ao. Pr > 0 x 0 x 0 varrà: Du d Bu C x C y A A τ τ τ... 3! 2! A A A I A

28 Formula di agrang Il primo rmin rapprna l voluzion libra dipnd olamn dall condizioni iniziali. Il dcondo rapprna l voluzion forzaa dipnd olamn dagli ingri o forzani. τ τ τ d Bu x x A A V I i 0

29 Forma di Sao 2 Du Cx y Bu Ax x& 0 DU CX Y BU AX x X

30 Forma di Sao 3 X I Y C I A A BU I A x0 B D U C I A x0 a maric HCI-A - BD vin da maric dll funzioni di rafrimno. Nl cao di un ima SISO H coincidrà con la fd.