Equazioni non lineari. Metodi Numerici (A.A ) Prof. F. Pitolli. Separazione delle radici: esempio 1. Separazione delle radici

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1 Metodi Numerici (AA 27-28) Prof F Pitolli Equzioni non lineri Numerosi prolemi pplictivi vengono modellizzti d un equzione non linere del tipo f() = Appunti delle lezioni su: metodo di Newton in IR n ; equzioni non lineri, metodo di isezione e metodo di Newton in IR Le soluzioni dell equzione, cioè quei vlori tli che f() =, vengono chimti rdici dell equzione non linere o zeri dell funzione f Ci limiteremo l cso di rdici reli 1 Seprzione delle rdici Prim di utilizzre un metodo numerico isogn spere: Seprzione delle rdici: esempio 1 Equzioni polinomili: p 4 () = = qunte sono le rdici (reli); dove si trovno pprossimtivmente; se ci sono delle simmetrie 8 p 6 4 () p 4 () Per rispondere queste domnde si può ricorrere ll tulzione olgrfico dell funzione f 2 >> =linspce(-1,1); >> =linspce(-2,2); >> f=^4+2*^3+7*^2-11; >> f=^4+2*^3+7*^2-11; >> plot(,f,,zeros(1,length())) >> plot(,f,,zeros(1,length())) Delle 4 rdici di p 4 () due sono reli, 1 [ 15, 1] e 2 [75, 125], mentredue sono complesse coniugte 3

2 1 Seprzione delle rdici: esempio 2 Equzione trscendente: f() = cos cosh 1 = L funzione f() è simmetric rispetto ll origine se è rdice lo è nche > ( = è rdice nle) 7 Seprzione delle rdici: esempio 2 Equzione trscendente: f() = cos cosh 1 = g()=cosh() 6 g()=cosh() f()=cosh()*cos() 1 π π π π π π h()=1/cos() g()=cosh() π π π π π π >> =linspce(,3*pi); >> =linspce(,3*pi); >> f=cosh()*cos()-1; >> g=cosh(); >> plot(,f,,zeros(1,length())) >> h=1/cos(); >> plot(,g, r,,h,,,zeros(1,length()), k ) h()=1/cos() π π π π π π h()=1/cos() π π π π π π >> is([ 3*pi -1 1]) >> =linspce(,3*pi,3); >> g=cosh(); >> h=1/cos(); >> plot(,g, r,,h,,,zeros(1,length()), k ) >> is([ 3-1 1]) 4 5 Seprzione delle rdici: esempio 2 Ci sono infinite rdici, che corrispondono lle intersezioni delle due curve h e g: f() = h() =g() Seprzione delle rdici: in ciscun intervllo [( ) 2k 1 π2 2, ( 2k + 1 ) ] π2 2, k =1, 2, 3, ci sono due rdici Per k le due rdici si vvicinno i due estremi dell intervllo Metodo di isezione (o metodo dicotomico) Il metodo di isezione è un metodo molto semplice: un volt individuto un intervllo di seprzione in cui si trov un sol rdice, permette di costruire un successione { k } di pprossimzioni di Ipotesi di pplicilità : è stto seprto un intervllo I =[, ] in cui c è un unic rdice ; l funzione f è continu in I: f C [, ]; Not In genere, nelle ppliczioni interess pprossimre f()f() < f() l rdice più piccol 6 7

3 Metodo di isezione: lgoritmo Si gener un successione di pprossimzioni { k } con k [ k 1, k 1 ] e [ k 1, k 1 ] Algoritmo: =, = per k =1, 2, 3, 1 3 = = per k = k 1+ k 1 2 (punto medio di [ k 1, k 1 ]) per se f( k )=, llor stop per se f( k 1 )f( k ) <, llor [ k, k ]=[ k 1, k ] per se f( k )f( k 1 ) <, llor [ k, k ]=[ k, k 1 ] f() 2 Convergenz del metodo di isezione Errore di troncmento: e k = k Convergenz: lim k = k Per il metodo di isezione si h lim e k = k q q k 1 k k 1 e k < k 1 k 1 2 lim k e k < lim k 2 k = = k 2 k = = 2 k 8 9 Metodo di isezione: ordine di convergenz Ordine di convergenz Si { k } un successione di pprossimzioni convergente L successione h ordine di convergenz p e fttore di convergenz C, se esistono due reli p 1 e C> tli che e lim k+1 k e k p = C Not L convergenz si dice linere se p =1, Not qudrtic se p = 2 Per k si h e k+1 e k Ordine di convergenz: 1 (linere) Fttore di convergenz: 1 2 L convergenz è lent, in qunto d ogni psso l errore viene dimezzto, cioè d ogni psso si gudgn un cifr inri poiché 2 4 < 1 1 < 2 3, per gudgnre un cifr decimle servono 3-4 iterzioni 1 11

4 Metodo di isezione: criteri di rresto Nell prtic, cus degli errori di rrotondmento e degli errori di troncmento non si verific mi che f( k )= Qundo si rrestno le iterzioni? Criteri di rresto posteriori e k k k 1 <ε f( k ) <ε Criteri di rresto: esempi e k k k 1 <ɛ oppure f( k ) <ɛ f() k Criterio di rresto priori: L stimprioridel numero di iterzioni K necessrio per ottenere un errore minore di ε è e k < log( ) log(ε) 2 k <ε K> log 2 12 f( k ) è grnde nche se k è vicino k f( k ) è piccolo nche se k è lontno d f() 13 Esercizio L crescit di un popolzione può essere modellt, su un periodo di tempo piccolo, ssumendo che l popolzione i un tsso di crescit proporzionle l numero di individui presenti in ciscun istnte Se N(t) indic il numero di individui l tempo t e λ è il fttore di crescit dell popolzione, llor N(t) soddisf l equzione differenzile dn(t) dt = λn(t) L soluzione di quest equzione è N(t) = N e λt, dove N indic l popolzione inizile Questo modello è vlido solo qundo l popolzione è isolt e non c è immigrzione dll esterno Se si suppone che ci si un immigrzione un tsso costnte ν, il modello differenzile divent dn(t) dt = λn(t)+ν l cui soluzione è N(t) =N e λt + ν λ (eλt 1) Supponendo che l popolzione inizile si di un milione di individui, che l comunità cresc di 435 immigrti il primo nno e che individui sino presenti ll fine del primo nno, determinre il tsso di crescit λ dell popolzione 14 Soluzione Si trtt di risolvere nell incognit λ l equzione non linere N t=1 nno = N e λ + λ ν (eλ 1), dove N t=1 nno =1 564, N =1, ν = 435 q f(λ) =e λ λ (eλ 1) 1564 = Seprzione grfic >> =linspce(,1); >> f=ep()+435/*(ep()-1)-1564; Wrning: Divide y zero (Type "wrning off MATLAB:divideByZero" to suppress this wrning) >> plot(,f,,zeros(1,length())) f(λ) Intervllo di seprzione: I =[, ] =[5, 15] qqud f() = 667,f() =672 f()f() < λ 15

5 Iterzioni k k 1 k 1 k k k 1 f( k ) Metodo delle isezioni: script MATLAB formt long; f = inline( ep()+435/*(ep()-1)-1564, ) = 5; = 15; n = (+)/2; iter = ; err1 = 1; err2 = 1; for i= 1:3 if ( f()*f(n) < ) = n; elseif ( f(n)*f() < ) = n; end v = n; n = (+)/2; iter = iter+1; err1 = s(n-v); err2 = s(f(n)); [iter n err1 err2] end Metodo di Newton-Rphson Metodi di linerizzzione Si pprossim l funzione f() in un intorno I di con l Approssimzione inizile: Prim iterzione: t è l (,f( )) su tngente o con l su secnte, clcolte trmite un opportuno sviluppo in serie di Tylor rett tngente f() nel punto (,f( )): f() t t y = f( )+f ( )( ) 1 Metodo di Newton-Rphson o metodo delle tngenti Nuov pprossimzione 1 : intersezione tr t e y = Metodo delle secnti f( )+f ( )( 1 )= 1 = f( ) f ( ) 18 19

6 Metodo di Newton-Rphson Nuov pprossimzione: 1 Second iterzione: t 1 è l rett tngente f() nel punto ( 1,f( 1 )): t 1 y = f( 1 )+f ( 1 )( 1 ) Nuov pprossimzione 2 : intersezione tr t 1 e y = (,f( )) 1 1 t f( 1 )+f ( 1 )( 2 1 )= 2 = 1 f( 1) f ( 1 ) f() (,f( )) t 2 Metodo di Newton-Rphson: lgoritmo Ad ogni iterzione k = 1, 2, l nuov pprossimzione k è dt dll intersezione tr l rett t k 1, tngente f() nel punto ( k 1,f( k 1 )), ey = t k 1 y=f( k 1 )+f ( k 1 )(- k 1 ) Algoritmo: (,f( )) k k t k k+1 k f( k 1 )+f ( k 1 )( k k 1 )= dto k = k 1 f( k 1) f, k =1, 2, ( k 1 ) ( k 1,f( k 1 )) f() 21 t k 1 k 1 Metodo di Newton-Rphson: convergenz dto k = k 1 f( k 1) f, k =1, 2, ( k 1 ) Ipotesi di pplicilità : è stto seprto un intervllo I =[, ] in cui c è un unic rdice ; f, f, f sono continue in I: f C 2 [, ]; f () per [, ] esiste un intorno J I di tle che, se J, l successione delle pprossimzioni { k } converge [ ] }{{} J 22 Metodo di Newton-Rphson: ordine di convergenz Ordine di convergenz: e lim k+1 k e k p = C e k+1 = k+1 = f() f k f( k) () f = ( k ) =( k ) f() f () f( k) f ( k ) Sviluppo in serie di Tylor: f( k )=f()+f ()( k ) + 1 }{{} 2 f ()( k ) 2 + e f ( k k ) f () e k+1 e lim k+1 k e k 2 = 1 2 e k f() f()+f ()e k 1 2 f ()e 2 k f () = 1 2 f ()e 2 k f () f () f () p 2 se f() C3 [, ] l convergenz èlmenoqudrtic 23

7 Efficienz computzionle Per vlutre l efficienz di un metodo itertivo isogn tener conto si dell ordine di convergenz che del costo computzionle, cioè dell quntità di clcoli richiest d ogni psso Efficienz computzionle: E = p 1/r p: ordine di convergenz del metodo r: numero di vlutzioni funzionli (clcolo di funzioni o derivte) richieste d ogni psso Metodo di Newton-Rphson: esempio Approssimre l rdice = dell equzione f() =4 3 5 = con il metodo di Newton-Rphson scegliendo come pprossimzione inizile un volt =5 e un volt = f() t f() t t 1 Metodo di isezione: E =1 Metodo di Newton: E =2 1/ qqqqqqq 2k = qqqqqqq 2k+1 = Estremo di Fourier Estremo di Fourier: esempi Nel cso prticolre in cui f() h concvità fiss in un intervllo I si può grntire l convergenz nche senz procedere un seprzione preliminre dell rdice f() f() Estremo di Fourier: Dt un funzione f continu e convess in I =[, ] con f()f() <, si dice estremo di Fourier di I l estremo verso cui f rivolge l convessità Se esiste f, llor l estremo di Fourier è o second che f()f () > oppure f()f () > Estremo di Fourier f ()< per [, ] { f()f () > f()f () < è estremo di Fourier Estremo di Fourier f ()> per [, ] { f()f () < f()f () > è estremo di Fourier 26 27

8 Metodo di Newton-Rphson: convergenz Ipotesi di pplicilità : f()f() < f, f, f sono continue in I: f C 2 [, ]; f () per [, ]; f () per [, ] e èl estremo di Fourier di [, ] 1) esiste un unic rdice [, ]; 2) l successione delle pprossimzioni { k = k 1 f( } k 1) f ( k 1 ) è monoton e converge ; 3) se f C 3 [, ], l convergenz è qudrtic k =1, 2, Esercizio 1 Seprre l rdice dell equzione non linere f(λ) =e λ λ (eλ 1) 1564 = λ > e pprossimrl con il metodo di Newton Script MATLAB formt long; f = inline( ep()+435/*(ep()-1)-1564, ) df = inline( ep()+435/*ep()-435/^2*(ep()-1), ) = 5; = 15; n = ; iter = ; err1 = 1; err2 = 1; for i= 1:3 v = n; n = v-f(v)/df(v); iter = iter+1; err1 = s(n-v); err2 = s(f(n)); [iter n err1 err2] end Metodo di Newton-Rphson (o delle tngenti) Metodi di linerizzione ( k 1,f( k 1 )) Metodo delle secnti con estremi vriili (,f( )) k 1 k 1 Metodo delle secnti, 1 dti k = k 1 f( k 1 ) k 1 k 2, k =2, f( k 1 ) f( k 2 ) (,f( )) k k t k k+1 k f() t k 1 k 1 Ad ogni iterzione k = 1, 2, l nuov pprossimzione k è dt dll intersezione tr l rett t k 1, tngente f() nel punto ( k 1,f( k 1 )), ey = Algoritmo: dto k = k 1 f( k 1), k =1, 2, f ( k 1 ) k 2 ( k 2,f( k 2 )) k ( k,f( k )) s k 1 k+1 Ad ogni iterzione k =2, 3,l nuov pprossimzione k è dt dll intersezione tr l rett s k 1, secnte f() nei punti ( k 2,f( k 2 )) e ( k 1,f( k 1 )), ey = s k Algoritmo:, 1 dti k 1 k 2 k = k 1 f( k 1 ), k =2, f( k 1 ) f( k 2 ) f() k 1 Vntggi: si può usre qundo non si conosce l derivt di f() o qundo f() è not per punti d ogni psso richiede un sol vlutzione funzionle Svntggi: servono due pprossimzioni inizili e 1 l scelt di e 1 deve essere ccurt 3 31

9 Convergenz del metodo delle secnti Se è stto seprto un intervllo I =[, ] simmetrico intorno ll rdice, f, f, f sono continue in I: f C 2 [, ], f () per [, ], esiste un intorno J I di tle che, se, 1 J, l successione delle pprossimzioni { k } converge con convergenz superlinere, cioè 2 >p>1 Se f () in I, l ordine di convergenz è p = E = p 162 Esercizio Dt l equzione non linere f() = cos =: 3 1) individure qunte sono le rdici e seprrle, 2) fornire un stim priori del numero di iterzioni necessrie per pprossimre l rdice minore con un errore inferiore ɛ =1 6 trmite il metodo di isezioni; 3) qunte iterzioni sono necessrie per pprossimre con l stess tollernz ɛ l rdice trmite il metodo di Newton e il metodo delle secnti? Trcci dell soluzione 1) Trccindo qulittivmente i grfici delle funzioni y = g() = y = h() =cos, 3 si isol lo zero unico nell intervllo [, 1] Con Mtl si possono trccire i grfici di f(), g(), h() L rdice èl intersezione tr il grfico di f() e l sse delle (e coincide, ovvimente, con l intersezione tr igrficidig() e h()) 2) Nell intervllo [, 1] sono verificte le ipotesi di pplicilità del metodo di isezioni Quindi il numero di iterzioni K per cui e K ɛ si ricv dll relzione e K = K 2 K ɛ K> log( ) log ɛ log 2 In questo cso =, =1, ɛ =1 6 K>

10 3) Nel cso dei metodi di Newton e delle secnti si possono verificre le ipotesi di pplicilità nell intervllo [, 1] si nliticmente che per vi grfic; l estremo =1è l estremo di Fourier dell intervllo Il numero di iterzioni si può clcolre eseguendo le iterte con un progrmm Mtl k k (isez) k k 1 k (Newton) k k 1 k (secnti) k k , e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-6 Tempo di clcolo Bisezione: 487 secondi, Newton: 847 secondi, Secnti: 446 secondi Metodo di Newton per sistemi Sistem non linere: F (X) = X =[ 1, 2,, n ] T Il metodo di Newton per l soluzione di sistemi non lineri si s sull linerizzzione dell F (X) =[f 1 (X),,f n (X)] T Se le funzioni f i (X) hnno derivte przili limitte, llor si può sviluppre in serie di Tylor l funzione vettorile F (X) scegliendo come punto inizile X (k) F (X) =F (X (k) )+J F (X (k) )(X X (k) )+ dove [J F (X)] ij = f i j èlojcoino dell F (X) F (X (k+1) ) F (X (k) )+J F (X (k) )(X (k+1) X (k) )= X () dto X (k+1) = X (k) [ J F (X (k) ) ] 1 F (X (k) ) k 38 Convergenz del metodo di Newton Il metodo di Newton èunmetodo itertivo l cui funzione di iterzione è Φ(X) =X [J F (X)] 1 F (X) Teorem Si X un soluzione del sistem non linere F (X) = con F C 2 (I) (I IR n intorno di X) Si det J F (X) per X I i) A I tle che, X () A, l successione {X (k+1) } = {Φ(X (k) )} converge X; ii) l convergenz è qudrtic: E (k+1) lim k E (k) 2 > 39

11 Osservzioni sul metodo di Newton per sistemi L convergenz del metodo è legt ll ccurtezz dell pprossimzione inizile Ad ogni psso isogn verificre che det J F (X (k) ) Nell prtic, si può vere instilità numeric se det J F (X (k) ) è piccolo conviene utilizzre un precisione elevt Poiché il costo computzionle del clcolo di det J F (X (k) ) può essere elevto, si preferisce risolvere d ogni psso il sistem linere J F (X (k) )Y = F (X (k) ) X (k+1) = X (k) + Y Criterio di rresto: il procedimento itertivo viene rrestto qundo X (k+1) X (k) ɛ A volte si preferisce riclcolre J F (X (k) ) non d ogni iterzione m dopo 3-4 iterzioni (metodi di tipo qusi-newton) 4 Metodo di Newton per sistemi: n =2 Per n =2 si h: { f(x) =f(, y) = g(x) =g(, y) = Formul di Tylor di punto inizile X (k) =[ k,y k ] T : { f(x) =f(x (k) )+f (X (k) )( k )+f y (X (k) )(y y k )+R 1 = g(x) =g(x (k) )+g (X (k) )( k )+g y (X (k) )(y y k )+R 2 = dove R 1 = R 1 (X, X (k) ), R 2 = R 2 (X, X (k) ) rppresentno il resto L soluzione pprossimt del sistem non linere è l soluzione del sistem linere che si ottiene trscurndo il resto nello sviluppo precedente { f (X (k) )( k+1 k )+f y (X (k) )(y k+1 y k )= f(x (k) ) g (X (k) )( k+1 k )+g y (X (k) )(y k+1 y k )= g(x (k) ) 41 Metodo di Newton per sistemi: n =2 f (X (k) )( k+1 k )+f y (X (k) )(y k+1 y k )= f(x (k) ) Esempio g (X (k) )( k+1 k )+g y (X (k) )(y k+1 y k )= g(x (k) ) J (k) F (X(k+1) X (k) )= F (X (k) ) [ dove J (k) F := J F (X (k) f (X )= (k) ) f y (X (k) ] ) g (X (k) ) g y (X (k) ) Il sistem linere mmette soluzione se J (k) F =detj(k) F L soluzione è k+1 = k 1 [ f(x k J (k) ) g y (X (k) ) g(x (k) ) f y (X (k) ) ] F y k+1 = y k 1 [ g(x k J (k) ) f (X (k) ) f(x (k) ) g (X (k) ) ] F 42 Il prolem di due specie che competono per l stess quntità di cio può essere descritto dl sistem di equzioni differenzili (t) =(t)[2 2 y(t) 1 (t)] y (t) =y(t)[4 3 y(t) 4 (t)] dove (t) e y(t) rppresentno le popolzioni delle due specie l tempo t Trovre i vlori di equilirio delle due specie 43

12 Soluzione Si devono trovre i vlori di (t) e y(t) che risolvono simultnemente le equzioni (t) = y (t) = = [2 2 y 1 ] = y = y[4 3 y 4 ] = Si trtt quindi di risolvere il sistem non linere f(, y) =2 2 y 1 2 = g(, y) =4y 3 y 2 4 y = Not: le soluzioni = y =, =e y =13 333, = 2 e y =sono soluzioni nli (un o tutte e due le specie si sono estinte) 44 Dto il sistem non linere Esercizio f(, y) =2 2 y 1 2 = g(, y) =4y 3 y 2 4 y = i) seprre le rdici; ii) trovre, per ciscun delle rdici,un trsformzione dtt d pprossimrl con il metodo delle pprossimzioni successive; iii) utilizzre il metodo di Newton per pprossimre l rdice in D = [3, 6] [6, 9] 45 Trcci dell soluzione i) Dlle due equzioni si può ricvre y come funzione y =1 4 5 linere di : y = 4 3 (14 ) Le due rette si intersecno solo qundo = 4 y = 8 X = [4, 8] èl unic soluzione non nle del sitem dto 46 ii) Il sistem non linere di prtenz può essere riscritto y =1 4 5 = ψ(, y) in modo equivlente come =1 4 3 y = ϕ(, y) 4 Si verificre fcilmente che per il dominio D = [2, 9] [3, 9], si h Φ(D) D (Suggerimento: ϕ e ψ sono funzioni monotone decrescenti) ϕ (, y) = 5 ϕ y (, y) = ψ (, y) = ψ y (, y) = 75 M = 5 M < 1 75 L trsformzione Φ =[ϕ, ψ] T è un contrzione 47

13 Verificre che le trsformzioni =1 4 y = ϕ(, y) y = y = ψ(, y) e iii) Le funzioni f, g C 2 (D) f = y g y = y f y = g = y = y = ϕ(, y) y = y 4 y = ψ(, y) 3 non soddisfno l condizione suffieciente per essere un contrzione Suggerimento: clcolre ϕ, ψ, ϕ y e ψ y in X 48 Utilizzndo come pprossimzione inizile il punto medio del dominio D, dopo 3 iterzioni si ottiene 3 = y 3 = 81 E (3) = Cos succede utilizzndo il metodo dell iterzione continu? 49 Riferimenti iliogrfici L Gori, Clcolo Numerico: Cp 3, 31, 32, 33, 34 (escluso metodo di fls posizione), 36 (escluso metodo delle secnti con estremo fisso), 39, 31 F Pitolli, Prolemi i limti per equzioni differenzili ordinrie: 4 L Gori, ML Lo Cscio, Esercizi di Clcolo Numerico: Es 11, 14, 15, 18, 19, 11, 113, 114, 121, 127, 128, 129, 13, 712, 714, 729, 74 5