Simulazione del moto di un punto materiale soggetto a una forza

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1 Simulazione del moto di un punto materiale soggetto a una forza Università degli Studi di Brescia Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 1

2 SCOPO DELLA SIMULAZIONE Punto materiale: - dimensioni trascurabili - dotato di massa Simulare in diverse situazioni il moto di uno o più punti materiali (es. proiettili, palloni da calcio, pianeti, ) soggetti a forze note (eventualmente anche risultanti dalle interazioni tra i punti materiali) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 2

3 MOTO DI UN PUNTO MATERIALE: NOZIONI RUDIMENTALI DI FISICA Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 3

4 Moto di un punto materiale lungo una retta Posizione di un punto in un certo istante 0 x Velocità istantanea di un punto in un certo istante v v = dx Variazione istantanea della posizione (spazio) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 4

5 Esempio approssimato x(t) =10m v(t) = 3m / s t t+2s 0 x =10m 0 x =16m x(t + Δt) = x(t)+ v(t)* Δt in realtà vale solo per Δt infinitesimo Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 5

6 Accelerazione istantanea di un punto in un certo istante a a = dv Variazione istantanea della velocità Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 6

7 Esempio approssimato v(t) = 3m / s a(t) = 2 m/s 2 t 3 m/s 0 t+2s 7 m/s 0 v(t + Δt) = v(t)+ a(t)* Δt in realtà vale solo per Δt infinitesimo Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 7

8 FORZA applicata su un punto in un certo istante m F F = ma a = F m La forza in un dato istante causa un accelerazione istantanea Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 8

9 Schema riassuntivo v v = dx La velocità è una variazione istantanea dello spazio (posizione) a a = dv L accelerazione è una variazione istantanea della velocità m F F = ma a = F m La forza in un dato istante causa un accelerazione istantanea Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 9

10 Unità di misura (Sistema internazionale) v v = dx m/s a a = dv m/s 2 m F F = ma Newton: kg*m/s 2 a = F m Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 10

11 Nello spazio tridimensionale (A)! s = (x, y, z) y! s x z Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 11

12 Nello spazio tridimensionale (B) y! s! v! a! s = (x, y, z)! v = (v x, v y, v z )! a = (a x, a y, a z ) z x! F = (F x, F y, F z ) F = m a Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 12

13 F = m a a = d v v = d s F x = ma x F y = ma y F z = ma z a x = dv x a y = dv y a z = dv z v x = dx v y = dy v z = dz La forza risultante in un dato istante causa un accelerazione istantanea L accelerazione è una variazione istantanea di velocità La velocità è una variazione istantanea dello spazio (posizione) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 13

14 SIMULAZIONE: MODELLO E TECNICA Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 14

15 Modellizzazione del tempo PROBLEMA: non possiamo simulare un dominio continuo SOLUZIONE: DISCRETIZZAZIONE DEL TEMPO (introduce un approssimazione!!!) Nota: esistono svariate tecniche sofisticate di discretizzazione, noi applichiamo solo una semplice idea Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 15

16 Discretizzazione del tempo(1) a( s,t) = F( s,t) / m s(t) v(t) 0 t Δt Tempo Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 16

17 Discretizzazione del tempo(2) a( s,t) = F( s,t) / m s(t) v(t) 0 t Δt Ipotesi semplificative v(t + Δt) = v(t)+ a(s,t)* Δt s(t + Δt) = s(t)+ v(s,t)* Δt Tempo Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 17

18 Simulazione: il modello ENTITA : PUNTI MATERIALI Parametri: massa m Variabili di stato - coordinate x, y, z (al tempo corrente t) - velocità istantanea v x, v y, v z (al tempo corrente t) - accelerazione istantanea a x, a y, a z (al tempo corrente t) EVENTI - variazione x, y, z (secondo velocità istantanee) - variazione v x, v y, v z (secondo acceleraz. istantanee) - applicazione di forza e variaz. a x, a y, a z Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 18

19 Gestione del tempo Per ogni punto materiale, memorizziamo: - coordinate x, y, z (al tempo corrente t) - velocità istantanea v x, v y, v z (al tempo corrente t) - accelerazione istantanea a x, a y, a z (al tempo corrente t) Simulazione Unit-time advance : - MC avanza ad ogni passo di un certo Δt Eventi ad ogni passo (aggiornamento t t+δt): - aggiornamento x, y, z sulla base di v x, v y, v z - aggiornamento di v x, v y, v z sulla base di a x, a y, a z - aggiornamento di a x, a y, a z sulla base della forza applicata Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 19

20 Simulazione Unit-time Advance INIZIALIZZAZIONE (t=0: coordinate, velocità e accelerazione iniziali) Incremento Master Clock di una unità Per ogni punto materiale: - Aggiornamento posizione x, y, z - Aggiornamento velocità v x, v y, v z - Calcolo forza risultante e aggiornamento a x, a y, a z FINE Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 20

21 ESEMPIO Moto di un proiettile soggetto alla forza di gravità mg, g =9.8 m/s 2 (utilizziamo un piano cartesiano coordinate x,y) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 21