ANALISI MATEMATICA DEI POLIEDRI ARCHIMEDEI

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1 ANALISI MATEMATICA DEI POLIEDRI ARCHIMEDEI Ho affermato che le matematiche sono molto utili per abituare la mente a un raziocinio esatto e ordinato; con ciò non è che io creda necessario che tutti gli uomini diventino dei matematici, ma quando con questo studio hanno acquisito il buon metodo di ragionare, essi lo possono usare in tutte le altri parti delle nostre conoscenze John Locke Calcoliamo la superficie e il volume dei primi cinque poliedri archimedei ottenuti da un primo troncamento dei solidi platonici. Le fotografie illustrano lo sviluppo e la costruzione di tutti i poliedri archimedei realizzati con cartoncino colorato. TETRAEDRO TRONCATO Il tetraedro troncato è uno dei solidi archimedei che si ricavano attraverso un primo troncamento dei solidi platonici. In questo caso il solido si ottiene limando i vertici di un tetraedro regolare fino ad avere un solido con 8 facce, con gli spigoli tutti congruenti, date da 4 triangoli equilateri e 4 esagoni regolari Quindi il tetraedro troncato possiede 18 spigoli congruenti e 12 vertici, caratterizzati da un incidenza di 3,6,6

2 Sia l è il lato di uno dei triangoli equilateri che formano il tetraedro regolate. Per ottenere le facce del tetraedro troncato dobbiamo limare i vertici del tetraedro fino ad ottenere un poligono, un esagono in questo caso, che costituisce una faccia del nuovo poliedro. Lo spigolo del tetraedro sarà sostituito da una nuova faccia, che sarà un triangolo equilatero. Se indichiamo con x il lato dell esagono e del triangolo equilatero così ottenuti, dovendo essere si può dedurre che Calcoliamo la superficie del tetraedro troncato facendo la somma delle aree delle sue facce, 4 triangoli equilateri e 4 esagoni di lato x. ( ) Calcoliamo il volume del tetraedro troncato, sottraendo dal volume del tetraedro regolare il volume delle 4 piramidi limate ; osserviamo (vedi le figure riportate a fianco) che tali piramidi sono dei tetraedri regolari di spigolo e quindi il loro volume (ricordando le proprietà delle similitudini) sarà 1/27 del volume del tetraedro platonico.

3 CUBO TRONCATO Il cubo troncato si ricava dal troncamento di un cubo. Si limano i vertici di questo solido fino ad ottenere un poliedro con 14 facce, con gli spigoli congruenti, date da 8 triangoli equilateri e 6 ottagoni regolari. Di conseguenza il cubo troncato possiede 36 spigoli congruenti e 24 vertici con un incidenza di 3,8,8. Sia l lo spigolo del cubo. Per ottenere le facce del cubo troncato dobbiamo limare i vertici del cubo fino ad ottenere un poligono, un ottagono in questo caso, che costituisce una faccia del nuovo poliedro. Lo spigolo del tetraedro sarà sostituito da una nuova faccia, data da un triangolo equilatero. Sia x il lato dell ottagono e del triangolo equilatero così ottenuti. Dovendo essere si ha: ( ) per cui ( )

4 Calcoliamo la superficie del cubo troncato facendo la somma delle aree delle sue 14 facce, 8 triangoli equilateri e 6 ottagoni regolari. La superficie di un ottagono la calcoliamo come differenza tra l area di un quadrato, di lato ( ), e l area di 4 triangoli rettangoli isosceli di cateto : ( ) ( ) ( ) E quindi: ( ) ( ) Calcoliamo il volume del cubo troncato, sottraendo dal volume del cubo il volume delle 8 piramidi limate ; osserviamo, con riferimento alla figura riportata qui a fianco, che tali piramidi hanno per base un triangolo equilatero ABC di lato, mentre gli spigoli laterali sono congruenti e pari a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Quindi: ( ) ( )

5 OTTAEDRO TRONCATO L ottaedro troncato si ottiene attraverso il troncamento dell ottaedro, che viene limato nei suoi vertici finchè si ricava un poliedro semiregolare con 14 facce, con gli spigoli congruenti, date da 6 quadrati e 8 esagoni regolari. L ottaedro troncato presenta perciò 36 spigoli congruenti e 24 vertici caratterizzati da un incidenza di 4,6,6. Sia l è il lato di uno dei triangoli equilateri che formano il tetraedro regolate. Per ottenere le facce del solido troncato dobbiamo limare i suoi vertici fino ad ottenere, come nel caso del tetraedro troncato, un esagono regolare, che costituisce una faccia del nuovo poliedro. Lo spigolo dell ottaedro sarà sostituito da una nuova faccia, che sarà un quadrato. Se indichiamo con x il lato dell esagono e del quadrato così ottenuti, dovendo essere anche in questo caso si può dedurre che

6 Calcoliamo la superficie dell ottaedro troncato facendo la somma delle aree delle sue facce, 8 esagoni e 6 quadrati di lato x. ( ) ( ) Per determinare il suo volume, dobbiamo sottrarre dal volume dell ottaedro il volume delle 6 piramidi limate. Osserviamo che esse sono regolari ma, a differenza dei casi precedenti, hanno per base un quadrato di lato x e anche gli spigoli laterali misurano x. Con riferimento alla figura riportata qui a lato, risulta: ( ) ( ) ( ) Calcoliamo in funzione di x il volume dell ottaedro: Per cui, il volume dell ottaedro troncato risulta pari a:

7 ICOSAEDRO TRONCATO L icosaedro troncato è un solido semiregolare che si ricava attraverso la limatura dei vertici dell icosaedro platonico, fino ad ottenere un poliedro con 32 facce con spigoli congruenti, date da 12 pentagoni e 20 esagoni regolari. Di conseguenza esso presenta 90 spigoli e 60 vertici, caratterizzati da un incidenza di 5,6,6. E il poliedro semiregolare più famoso, dal momento che i palloni da calcio hanno proprio la sua forma. Sia l è il lato di uno dei triangoli equilateri che formano l icosaedro. Per ottenere le facce del solido troncato dobbiamo limare i suoi vertici fino ad ottenere, come nel caso del tetraedro troncato, un esagono regolare, che costituisce una faccia del nuovo poliedro. Lo spigolo del solido platonico sarà poi sostituito da una nuova faccia, che questa volta sarà un pentagono, sempre di spigolo x. Se indichiamo con x il lato dell esagono e del pentagono così ottenuti, dovendo essere ancora una volta si può dedurre che

8 Calcoliamo la superficie dell ottaedro troncato facendo la somma delle aree delle sue facce, 20 esagoni e 12 pentagoni di lato x. Abbiamo in precedenza già calcolato le loro superfici: ( ) Per determinare il suo volume, dobbiamo sottrarre dal volume dell icosaedro il volume delle 12 piramidi limate. Osserviamo che esse sono regolari, hanno per base un pentagono di lato x e anche gli spigoli laterali misurano x. Calcoliamo il volume di tali piramidi, utilizzando la figura riportata qui a lato. Essendo VBC un triangolo equilatero di lato x, l apotema ( ) ( )( ) ( ) ( ) Calcoliamo ora, in funzione di x, il volume del solido platonico: ( ) ( ) ( ) Per cui il volume dell icosaedro troncato sarà dato da: ( ) ( ) ( )

9 DODECAEDRO TRONCATO Il dodecaedro troncato è l ultimo poliedro archimedeo di cui calcoliamo la superficie totale e il volume. Esso si ottiene mediante la limatura delle cuspidi di un dodecaedro regolare, in modo da ottenere un poliedro, avente 32 facce, con gli spigoli congruenti, date da 20 triangoli equilateri e 12 decagoni regolari. Esso possiede 90 spigoli e 60 vertici con un incidenza di 3,10,10. Sia l lo spigolo del dodecaedro. Per ottenere le facce del solido troncato dobbiamo limare i suoi vertici fino ad ottenere un decagono regolare di spigolo x, che costituisce una faccia del nuovo poliedro. I 20 spigoli del solido platonico saranno poi sostituiti con 20 triangoli equilateri, sempre di spigolo x. Con riferimento alla figura riportata qui a lato, sia SR=x uno spigolo del decagono regolare. L angolo e quindi.

10 Nel triangolo AHR, si ha: dovendo essere: da cui risulta Per calcolare la superficie del dodecaedro troncato, sommiamo la superficie dei 12 decagoni e di 20 triangoli che lo costituiscono. Tenendo conto che un decagono e formato da 10 triangoli, aventi per base uno spigolo del pentagono e altezza la sua apotema, si ha: ( ) Per cui ( ) Per determinare il suo volume, dobbiamo sottrarre dal volume del dodecaedro il volume delle 20 piramidi limate. Tali piramidi, con riferimento alla figura riportata qui a lato, hanno per base un triangolo equilatero di lato Essendo e gli spigoli laterali pari a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Esprimiamo il volume del dodecaedro regolare in funzione di x: ( ) ( )

11 Per cui: ( ) ( ) CUBOTTAEDRO Il cubottaedro (a destra) è un poliedro archimedeo che si ottiene troncando ulteriormente le facce del cubo troncato (a sinistra), che abbiamo ricavato in precedenza, limando ancora i vertici, fino ad ottenere un solido con 14 facce, di cui 8 triangoli e 6 quadrati, 24 spigoli e 12 vertici, con incidenza pari a 3,4,3,4.

12 ICOSIDODECAEDRO L icosidodecaedro (a destra) è un poliedro semiregolare ottenuto mediante un processo analogo a quello del cubottaedro, ovvero troncando ancora le facce, ottenute con la limatura precedente, del dodecaedro troncato (a sinistra). Esso possiede 32 facce, di cui 20 triangoli e 12 pentagoni, 60 spigoli e 30 vertici con un incidenza di 3,5,3,5.

13 ROMBICUBOTTAEDRO Il rombicubottaedro (a destra) è un solido archimedeo semiregolare che si può ottenere mediante l espansione del cubo o dell ottaedro, cioè allontanando dal centro comune le facce di tali solidi platonici e creando poi nuove facce, tutte con gli spigolo congruenti, per ogni spigolo o vertice iniziale. Il poliedro che ne risulta ha 26 facce, 8 triangoli e 18 quadrati, 48 spigoli e 24 vertici caratterizzati da un incidenza di 3,4,4,4.

14 CUBOTTAEDRO TRONCATO Il cubottaedro troncato (a destra) è un poliedro semiregolare che si ottiene mediante il troncamento delle cuspidi del cubottaedro (a sinistra) fino ad ottenere un solido con 26 facce, di cui 12 quadrati, 8 esagoni e 6 ottagoni, 72 spigoli e 48 vertici. Quest ultimi hanno un incidenza di 4,6,8.

15 ROMBICOSIDODECAEDRO Il rombicosidodecaedro (a destra) è un solido semiregolare che si può ottenere mediante l espansione dell icosaedro o del dodecaedro (a sinistra), cioè allontanando dal centro comune le facce di tali solidi platonici e creando poi nuove facce, tutte con gli spigoli congruenti, per ogni spigolo o vertice iniziale. Il poliedro così ottenuto ha 62 facce, 20 triangoli, 30 quadrati e 12 pentagoni, 120 spigoli e 60 vertici con un incidenza di 3,4,5,4.

16 ICOSIDODECAEDRO TRONCATO L icosidodecaedro troncato (a destra) è un poliedro semiregolare ricavabile tramite la troncatura dei vertici di un icosidodecaedro (a sinistra) o di un rombicosidodecaedro. Esso presenta 62 facce, di cui 30 quadrati, 20 esagoni e 12 decagoni, 180 spigoli e 120 vertici, aventi un incidenza di 4,6,10.

17 DODECAEDRO CAMUSO O ICOSIDODECAEDRO CAMUSO Il dodecaedro camuso (a destra) o icosidodecaedro camuso è un poliedro semiregolare che si ottiene sostituendo ogni spigolo dell icosidodecaedro (a sinistra) con 2 triangoli equilateri. In questo modo si ricava un solido avente 92 facce, di cui 80 triangoli e 12 pentagoni, 150 spigoli e 60 vertici, con incidenza pari a 3,3,3,3,5.

18 CUBO CAMUSO O CUBOTTAEDRO CAMUSO Il cubo camuso (a destra) o cubottaedro camuso è un solido archimedeo che non si ottiene tramite il troncamento, ma sostituendo ogni spigolo del cubottaedro (a sinistra) con 2 triangoli equilateri. La figura risultante presenta, quindi, 38 facce, date da 32 triangoli e 6 quadrati, e ha 60 spigoli, 24 vertici caratterizzati da un incidenza di 3,3,3,3,4.