Sesta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria M3 (Alunni di Terza Media)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Sesta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria M3 (Alunni di Terza Media) Quesito Risposta esatta E B D E C B E D C B Vale punti Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 [La vacanza tanta sospirata!!!!] (vale 4 punti) Quest estate i fratelli Antonio e Costantino hanno deciso di passare una vacanza insieme con i loro figli a Fiuggi Terme. La mattina del 14 luglio, Costantino è partito in auto, con i figli Camillo e Ginetta, da Orvieto percorrendo l autostrada A1, per una distanza di km 151 (dal casello di Orvieto al casello di Anagni-Fiuggi Terme).Lo stesso giorno, Antonio è partito in auto, con i figli Alessia e Leonardo, da Caserta percorrendo la stessa autostrada, per una distanza di 130 km (dal casello di Caserta Nord al casello di Anagni-Fiuggi Terme). Nel momento in cui si incontrano all uscita del casello di Fiuggi Terme, chi è più vicino ad Orvieto? (la velocità delle due auto è stata sempre la stessa) A) Alessia; B) Camillo; C) Ginetta; D) Costantino; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: E) Nel momento in cui si incontrano, si trovano tutti al casello di Fiuggi Terme. Perciò tutti stanno alla stessa distanza sia da Orvieto (km 151) che da Caserta (km 130). Quesito 2 [Ritrovate le lettere!!!] (vale 4 punti) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Tenendo conto dell ordine che le lettere hanno nell alfabeto INGLESE, nella serie: G - O W E quali sono le due lettere da mettere subito dopo? Attenzione: quando si arriva alla 26 a lettera (la Z) si ricomincia da capo (dalla A), o viceversa. A) N-U; B) M-U; C) L-S; D) M-T; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) M-U. Il criterio scelto è quello di saltare sette lettere alla volta, andando in avanti. Partendo dalla G e saltando 7 lettere (H, I, J, K, L, M, N) si arriva alla O. Dalla lettera O, saltando sempre 7 lettere (P, Q, R, S, T, U, V) si arriva alla W. Dalla lettera W, saltando sempre 7 lettere (X, Y, Z, A, B, C, D) si arriva alla E. Dalla lettera E, saltando 7 lettere (F, G, H, I, J, K, L) si arriva alla M. Ed infine, saltando altre 7 lettere (N, O, P, Q, R, S, T) si arriva alla U. Quindi le lettere mancanti sono, nell ordine: M-U che corrisponde alla B). Nota Bene: Si otteneva lo stesso risultato (con un criterio leggermente più complicato) saltando 17 lettere alla Soluzioni_M3_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 1

2 volta, ma andando all indietro. Ricordiamo che una successione incompleta (di lettere, di numeri, ecc.) ha più criteri di formazione che la soddisfano (individuabili con maggiore o minore difficoltà). Tra questi, poi, è preferibile scegliere quello più facile o che si conosce meglio. Quesito 3 [La pulizia è bella, ma quanto costa!!!!] (vale 4 punti) Il comune di Vattelaapesca ha affidato la pulizia delle strade alla Ditta Nitidor & Lucente. Questa ditta si è impegnata, con due spazzatrici (autobotti speciali dotate di spazzole rotanti), ad effettuare il lavaggio e la spazzolatura delle strade del Centro Storico per tutti i giorni dell anno, dalle ore 4 alle ore 7 del mattino. Questo servizio costa al giorno per ogni spazzatrice. Quanto viene a spendere, quel comune, per tutto il 2010? A) ; B) ; C) ; D) ; E) non si può dire perché mancano alcuni dati. Risposta esatta: D) Se una spazzatrice costa al giorno, due spazzatrici costeranno il doppio, cioè al giorno. Se il costo della spazzolatura e lavaggio delle strade costa a quel comune al giorno, per l anno 2010, la spesa sarà uguale a (365x200.00) = Quesito 4 [Ma di quanto aumenta il peso della terra?] (vale 4 punti) Ammettendo che la terra si possa pesare ed ammettendo che il peso medio di una persona appartenente alla popolazione mondiale sia di 50 kg (pensate che circa il 30% della popolazione mondiale ha una età inferiore ai 14 anni!!), di quanto aumenterebbe il peso attuale della terra nell ipotesi che la popolazione passasse, secondo l ipotesi di alcuni studiosi, dagli attuali 6.8 miliardi di persone ai 16,8 miliardi del 2080? A) 10x10 6 t; B) 5x10 6 t ; C) 100x10 6 t; D) 50x10 6 t; E) nessuna delle precedenti Risposta esatta: E) Infatti il peso della terra non dipende dal numero degli individui, ma dalla materia totale che è sempre la stessa!!!! Quesito 5 [Frutta.in equilibrio!!!] (vale 5 punti) Sappiamo che due banane pesano come una pera e che dodici pere pesano come una zucca. Il peso di una zucca è pari ad un cocomero e mezzo. In una bilancia a due piatti, quante banane devo mettere su un piatto se sull altro piatto ci sono due cocomeri? A) 18 banane; B) 16 pere; C) 32 banane; D) 24 banane; E) nessuna delle precedenti Risposta giusta: C) 32 banane Trascuriamo l alternativa B) in quanto il quesito chiedeva quante banane ( e non pere!!) Dai dati del problema abbiamo questa catena di equivalenze (nel peso): 1 zucca = 12 pere = 24 banane =3/2 cocomero (1+1/2 = 3/2); Se una zucca vale 3/2 di cocomero, allora 1 cocomero vale 2/3 di zucca. Ma 2/3 di zucca = 2/3x12 pere = 2/3x24 banane; Infine 1 cocomero vale 2/3x24 banane = 16 banane. Concludendo due cocomeri avranno lo stesso peso di 32 banane (32 è il doppio di 16) Soluzioni_M3_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 2

3 Quesito 6 [I listelli di Peppino Mastro Appiccica.] (vale 5 punti) Il falegname Peppino Mastro Appiccica ha una serie di listelli di legno di uguale lunghezza. Siccome sono lunghissimi, prima li divide in tre parti uguali. Esamina attentamente i pezzi così ottenuti e ne scarta 27 perché li trova difettosi. Divide ciascuno dei listelli rimasti in due parti uguali ed esegue ancora un controllo sui pezzi ottenuti. Dopo averne scartati 26, si ritrova con 280 listelli buoni. Quanti listelli aveva all inizio Mastro Appiccica? A) 254; B) 60; C) 113; D) 102; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) 60 listelli.. Basta rifare le operazioni andando all indietro. Se Mastro Appiccica, alla fine si ritrova con 280 listelli buoni, vuol dire che prima che ne scartasse 26, i listelli erano 26 in più cioè (280+26) = = 316. Ma 316 è il risultato della divisione in due parti dei listelli ritenuti idonei dopo la prima operazione di divisione. Quindi dopo la prima operazione e dopo lo scarto, i listelli ritenuti buoni sono 316:2 = 153, a cui bisogna aggiungere i 27 scartati dopo la prima operazione di taglio: = sono i listelli ottenuti dai listelli iniziali, tagliati ciascuno in tre parti. Siccome sono il risultato della divisione in tre parti uguali di ciascuno dei listelli originari, questi erano la terza parte di 180, cioè 60 (180:3 = 60). Quesito 7 [Che numero mettiamo al posto di X?] (vale 5 punti) In questa tabella sono indicati otto di sedici numeri interi tutti diversi. La somma dei numeri posti nelle 4 caselle di ogni riga, nelle 4 caselle di ogni colonna e nelle 4 caselle di ognuna delle due diagonali è sempre la stessa e vale 46. Qual è il numero da inserire nella casella grigia (al posto della X)? A) 8; B) 16; C) 10; D) 17; E) Nessuna delle precedenti X Risposta esatta: E) 6 Sommando i tre numeri presenti nella diagonale che collega la casella A-1 con la casella D-4 colonna otteniamo: ( ) = 36. Il numero da inserire nella casella D-3 sarà allora 10 = (46-36). Si può iniziare anche dalla colonna due: i tre numeri presenti hanno una somma uguale a ( ) = 38. Nella casella A-2, bisogna inserire il numero 8 = (46-38). Sommando i tre numeri presenti, adesso, nella terza riga otteniamo: ( ) = 37. Il numero da inserire nella casella C-1 sarà allora 9 = (46-37). Sommando i tre numeri presenti nella colonna 1 otteniamo: ( ) = 40. Il numero da inserire nella casella B-1 (al posto della X sarà allora 6 = (46-40). FINE A A B C D B C D Soluzioni_M3_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 3

4 Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Per una verifica (che ci fa stare più tranquilli), procedendo nello stesso modo troviamo i numeri mancanti (che per il nostro problema non era necessario). Eseguendo le somme come indicato in fig. 3 verifichiamo che le dieci somme, indicate dalle frecce, danno come risultato sempre 46. Inoltre i numeri risultano essere consecutivi (da 4 fino a 19). Quesito 8 [Raccolta delle olive!!] (vale 5 punti) Cinque persone impiegano, lavorando allo stesso ritmo, 5 giorni per la raccolta di 5 tonnellate di olive. Quanto impiegherebbero due persone per raccogliere due tonnellate di olive? A) un mese; B) 15 giorni; C) 10 giorni; D) 5 giorni; E) nessuna delle precedenti. Risposta esatta: D) 5 giorni. Il problema si può risolvere in tanti modi!! Il lavoro di 5 persone che lavorano per 5 giorni equivale al lavoro di una persona che lavora per 25 giorni (5x5). In questo caso, una persona per raccogliere 5 tonnellate, cioè 50 quintali di olive, impiega 25 giorni. Quindi in un giorno, una persona, raccoglie 2 quintali di olive (50:25). Sempre in un giorno, due persone, ne raccoglieranno il doppio, cioè q (2x2) = 4 q. Quindi, quelle due persone per arrivare a raccoglierne due tonnellate, cioè 20 quintali impiegheranno esattamente 5 giorni (20:4 = 5). Quesito 9 [Pensa, pensa.il numero giusto!!!] (vale 6 punti) Pensa un numero. Moltiplicalo per 14. Moltiplica ancora il risultato per 6. Dividi il numero, così ottenuto, per 21. Se moltiplichi il risultato così ottenuto per 5, quale dei seguenti numeri non puoi ottenere come risultato finale, qualsiasi sia il numero da cui sei partito? A) 440; B) 240; C) 250; D) 760; E) 420. La risposta esatta è la C) 250. Qualsiasi sia il numero pensato, dopo aver effettuato le operazioni indicate dal problema, il numero ottenuto deve essere per forza un multiplo di 20 (14x6:21x5 =84:21x5=4x5=20). Tra i numeri indicati solo 250 non è un multiplo di 20. Quesito 10 [Maschio o femmina???] (vale 6 punti) Nella famiglia di Luciana ci sono tre figli, dei quali uno è femmina (Luciana, appunto); qual è la probabilità che gli altri due siano una femmina ed un maschio? A) 2 su 3; B) 3 su 7; C) 2 su 7; D) 1 su 3; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) 3/7 Indichiamo con M il figlio maschio e con F il figlio femmina. Analizziamo le varie terne ordinate La terna M-M-M sta ad indicare che il primogenito, il secondogenito ed il terzogenito sono tutti e tre maschi. La terna M-M-F sta ad indicare che il primogenito ed il secondogenito sono maschi mentre, il terzogenito è femmina. La terna M-F-M sta ad indicare che il primogenito è maschio, il secondogenito è femmina mentre, il terzogenito è maschio. La terna F-M-M sta ad indicare che il primogenito è femmina, il secondogenito è maschio mentre, il terzogenito è maschio. La terna M-F-F sta ad indicare che il primogenito è maschio mentre sia il secondogenito che il terzogenito sono femmine. Soluzioni_M3_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 4

5 La terna F-M-F sta ad indicare che il primogenito è femmina, il secondogenito è maschio ed il terzogenito è femmina. La terna F -F-M sta ad indicare che il primogenito è femmina, il secondogenito è femmina ed il terzogenito è maschio La terna F-F-F sta ad indicare che il primogenito, il secondogenito e terzogenito sono tutti e tre femmine. Di tutte queste terne, escluso la prima, tutte presentano almeno una femmina che bisogna sempre considerare (Luciana). Quindi i casi possibili sono sette. Noi vogliamo insieme a Luciana (F) una femmina (F) ed un maschio (M). L ordine non interessa. Tra tutte le terne quella che presenta due F ed una M sono 3 (M-F-F; F-M-F; F-F-M). La probabilità cercata sarà dunque 3 su 7 (3/7). La risposta giusta è, perciò, la B). Quesito 11 [Piramide di numeri.. non fatela crollare!!!!] (vale 6 punti) A=985 In questa piramide i numeri sui mattoni sono messi in moto tale che un numero è il risultato della somma dei numeri scritti sui due mattoni immediatamente sottostanti. Per esempio,il numero del mattone E è la somma dei numeri che stanno sui due mattoni H ed I. Nel mattone indicato con la lettera L che numero dobbiamo mettere? La risposta esatta è 111. B C=502 D=239 E F G H=97 I L= Si parte dall alto: B= A-C = =483; E= B-D= = 244; F = C-E = =258; I=E-H = = 147; L = F-I= = 111. A=985 B=483 C=502 D=239 E=244 F=258 G=142 H=97 I=147 L=111 Quesito 12 [Ma quanto tempo impiega?..!!] (vale 6 punti) Il trenino che fa servizio nella Città dei Ragazzi, che si trova nella Provincia degli Adulti, ha in tutto 25 fermate. Tra una fermata e quella successiva impiega sempre tre minuti e trenta secondi. Quel trenino, partendo dal capolinea (prima fermata) per arrivare all altro capolinea (venticinquesima ed ultima fermata), quanti minuti impiega? Risposta esatta: 84 minuti Dalla prima all ultima fermata (la venticinquesima), il trenino percorre esattamente 24 tratti di binario e per ogni tratto impiega 3 secondi e mezzo che si può scrivere: 3 m 30 s = 3.5 m. Il tempo complessivo sarà uguale a 24x 3.5 m = 84 minuti. La risposta giusta è la A). Quesito 13 [La lumaca con i freni rotti] (vale 8 punti) Una lumaca sta salendo un muro alto 15 metri. Il primo giorno sale di 3 metri, ma, durante la notte, scivola in giù di 1 metro. Nel secondo giorno, essendo più allenata, sale di 4 metri, ma, durante la notte, essendo più stanca, scivola giù di due metri. La stessa cosa avviene nei giorni successivi: sale di giorno (per poi scivolare di notte), sempre di un metro in più rispetto ai metri percorsi il giorno precedente. Dopo quanti giorni, la lumaca, arriverà in cima al muro? Soluzioni_M3_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 5

6 Risposta esatta: 5 giorni Ricapitolando: 1 giorno sale di 3 m e scivola poi di 1 m; all inizio del 2 giorno si trova a 2 m di altezza. 2 giorno sale di 4 m e scivola poi di 2 m; all inizio del 3 giorno si trova a 4 m di altezza. 3 giorno sale di 5 m e scivola poi di 3 m; all inizio del 4 giorno si trova a 6 m di altezza. 4 giorno sale di 6 m e scivola poi di 4 m; all inizio del 5 giorno si trova a 8 m di altezza. 5 giorno sale di 7 m e scivola poi di 5 m;.. Siccome nel quinto giorno percorre 7 metri, avendone già percorso 8 nei giorni precedenti, alla fine della giornata arriverà in cima al muro. m (8+7) = 15 m. Essendo arrivata, nella notte del quinto giorno non potrà più scivolare in giù!!! Quesito 14 [Una somma di cui non si vuole sapere il risultato] (vale 8 punti) Sapendo che: ha per risultato un numero con 31 cifre; ha per risultato un numero con 33 cifre; ha per risultato un numero con 35 cifre; ha per risultato un numero con 37 cifre; ha per risultato un numero con 39 cifre; ha per risultato un numero con 41 cifre; ha per risultato un numero con 42 cifre; ha per risultato un numero con 44 cifre; questa somma: quante cifre avrà? Risposta esatta: 44. In questa somma = è il numero che vale di più. Anche se ci fossero dei riporti non farebbero mai alzare la prima cifra a sinistra (quella che vale di più), essendo gli addendi soltanto 8 e con minori cifre. In una somma con addendi aventi un numero di cifre non uguali, assorbe molto di più l addendo con più cifre. In questo caso Solo per semplice curiosità riporto le potenze. Chi volesse divertirsi può verificare che effettivamente la somma ha 44 cifre!! = ** ***** ***** = ***** ***** = **** ***** = ** ***** = ***** = *** = * = Quesito 15 [Quanti 4 occorrono?] (vale 12 punti) Volendo scrivere tutti i numeri minori di 1600, che finiscono per 4, quante volte dovrò adoperare la cifra 4? Risposta esatta: 196 volte. Infatti abbiamo 160 numeri che presentano il 4 al posto delle unità: 4, 14,. 84, , 114, 124,.194, 204, 214, , 1581, Abbiamo 16 numeri che presentano il 4 al posto delle decine (44, 144, 244, 344, ) Abbiamo venti numeri che presentano il 4 al posto delle centinaia (404, , 1404, ). In tutto ( ) = 196. Riporto la lista solo per i curiosoni. 4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94, 134, 114, 124, 134, 144, 154, 164, 174, 184, , 214, 224, 234, 244, 254, 264, 274, 284, , 314, 324, 334, 344, 354, 364, 374, 384, 394, 404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494 Soluzioni_M3_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 6

7 504, 514, 524, 534, 544, 554, 564, 574, 584, , 614, 624, 634, 644, 654, 664, 674, 684, 694, 704, 714, 724, 734, 744, 754, 764, 774, 784, , 814, 824, 834, 844, 854, 864, 874, 884, 894, 904, 914, 924, 934, 944, 954, 964, 974, 984, , 1014, 1024, 1034, 1044, 1054, 1064, 1074, 1084, 1094, 1104, 1114, 1134, 1134, 1144, 1154, 1164, 1174, 1184, , 1214, 1224, 1234, 1244, 1254, 1264, 1274, 1284, , 1314, 1324, 1334, 1344, 1354, 1364, 1374, 1384, , 1414, 1424, 1434, 1444, 1454, 1464, 1474, 1484, 1494, 1504, 1514, 1534, 1534, 1544, 1554, 1564, 1574, 1584, 1594 Quesito 16 [Aprite bene gli occhi!!!] (vale 12 punti) Quanti quadrati vedete nella figura? Risposta esatta:i quadrati sono in tutto 82 I quadrati 1x1 sono in tutto 49 (vedi fig. 1); i quadrati 2x2 sono in tutto 24 (vedi fig ) [12+8+4]; i quadrati 3x3 sono in tutto 8 (vedi fig. 5-6) [6+2]. Infine c è 1 quadrato grande (9x9) che racchiude tutta la figura. Ricapitolando i quadrati presenti nella figura sono: [ ] = 50+32= Fig quadrati 1x1 [2x24+1] Fig quadrati 2x2; [2x6] Soluzioni_M3_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 7

8 Fig. 3-8 quadrati 2x2; [2x4] Fig. 4-4 quadrati 2x2; [2x2] 1 2 Fig. 5-6 quadrati 3x3; [2x3] Fig. 6-2 quadrati 3x3; [2x1] Soluzioni_M3_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 8