La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri

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1 Artmetca de calcolator Rappresentazone de numer natural e relatv Addzone e sommator: : a propagazone d rporto, veloce, con segno Moltplcazone e moltplcator: senza segno, con segno e algortmo d Booth Rappresentazone n vrgola moble e operazon La rappresentazone de numer Rappresentazone de numer: bnara Un numero bnaro è costtuto da un vettore d bt B = b n- b b b = {, } Il valore d B e dato da: V(B) = b n- n- + + b + b Un vettore d n bt consente d rappresentare numer natural nell ntervallo da a n -. Per rappresentare numer postv e negatv s usano dverse codfche - - La rappresentazone de numer La rappresentazone de numer Codfche per numer relatv Modulo e segno Complemento a Complemento a B V(B) b b b Modulo e segno Complemento a Complemento a Modulo e segno: rappresentazone con n bt: l bt d segno è per numer negatv e per postv campo rappresentable - n- - N + n- - (due rappresentazon per lo ) è molto smle alla rappresentazone de numer decmal Complemento a rappresentazone con n bt: numer negatv sono ottenut nvertendo bt a bt l corrspondente numero postvo campo rappresentable - n- - N + n- - (due rappresentazon per lo ) è semplce Complemento a rappresentazone con n bt: numer negatv sono ottenut nvertendo bt a bt l numero postvo corrspondente, qund sommando l valore campo rappresentable - n- N + n- - (una rappresentazon per lo ) consente d realzzare crcut d addzone e sottrazone pù semplc è quella utlzzata ne dspostv dgtal per rappresentare numer relatv

2 Addzone senza segno ADDIZIONE e ARCHITETTURE DI SOMMATORI La somma d numer postv s esegue sommando coppe d bt parallele, partendo da destra. S ha rporto, dverso da, quando s deve esegure la somma + (half hadder). Regole per la somma: Rporto n uscta Addzone e sommatore a propagazone d rporto Addzone e sommatore ad antcpazone d rporto Addzone d pù valor e sommator Carry Save Addzone/sottrazone con segno Utlzzando queste regole n modo dretto è possble Realzzare sommator modular Compost da blocch elementar dentc Crcut artmetc d questo tpo sono dett bt-slce Addzone senza segno a propagazone d rporto Sommatore per l generco stado: Full Adder Un sommatore bt-slce rpple carry è strutturato n modo che l modulo n poszone -esma: Rceve n ngresso bt x e y degl operand Rceve n ngresso l rporto c del modulo precedente s = x y c + x y c + x y c + x x y c y c Full Adder c x y s c + Produce la somma s = x 'y 'c + x 'y c '+ x y 'c '+ x y c = (x xor y ) c + (x xor y )c = x xor y xor c Produce l rporto c + = x y + x c + y c = x y + (x xor y )c Il modulo n poszone ha l bt d rporto c = Il rporto c può essere sfruttato per sommare l valore Necessaro per l calcolo del complemento a La somma d numero ad n bt rchede un tempo par ad n volte crca quello rchesto da un modulo d somma c = x y + x c + y c + x y c s c + c + x y Full Adder s c

3 Addzone senza segno - Rpple-Carry a n bt Struttura e prestazon Il calcolo esatto del rtardo s effettua basandos sulla seguente archtettura Sano T s e T r rtard per l calcolo della somma e del rporto -m rspettvamente Rpple-Carry Adder Rpple Carry: : archtettura a blocch c n x n- y n- x y n-bt Rpple Carry Adder c x n- y n- x y x y s n- s n- c Rpple-Carry Block Archtecture c n c c x kn- y kn- x n- y x n- n y n x n- y n- x y s n- s s Prestazon: l rtardo totale per ottenere tutt bt della somma è dato dall espressone: c kn n-bt Rpple Carry Adder c (k-)n c n n-bt Rpple Carry Adder c n n-bt Rpple Carry Adder c T tot = (n-)t r + T s Il percorso crtco è qund quello del rporto s kn- s (k-)n s n- s n s n- s Addzone veloce (ad antcpazone d rporto) Funzon d generazone e d propagazone del rporto Motvazon: ottenere un sommatore con prestazon mglor S basa sulle seguent consderazon Le espresson d somma e rporto per lo stado sono: s = x 'y 'c + x 'y c '+ x y 'c '+ x y c c + = x y + x c + y c L espressone del rporto n uscta può essere rscrtta come: c + = G + P c con G = x y e P = x + y (o anche P = x y ) Le funzon G e P Sono dette funzon d generazone e propagazone G : se x =y =, allora l rporto n uscta deve essere generato P : se x o y = e c =, allora l rporto n ngresso deve essere propagato n uscta Possono essere calcolate n parallelo, per tutt gl stad, rspetto alle rspettve somme. - - Addzone veloce - calcolo de rport n parallelo L espressone per l rporto c + = G + P c può essere calcolata n modo teratvo. Sosttuendo c = G - + P - c nell'espressone d c - + s ha: c + = G + P (G - +P - c - ) = G + P G - + P P - c - Contnuando con l'espansone fno a c s ottene: c + = G + P G - + P P - G P P -...P G + + P P -...P P c I rport n uscta d ogn sngolo stado possono essere calcolat tutt n parallelo e con rtardo dentco (realzzazone SOP) tramte: le funzon d generazone G e le funzon d propagazone P l rporto n ngresso allo stado, c I sommator che sfruttano l meccansmo della generazone de rport n antcpo sono dett Carry-Look-Ahead Adders o CLA Adders - -

4 Addzone veloce Struttura e prestazon Struttura e prestazon d un CLA a 4 bt Addzone veloce Struttura generale CLA logc P 3 G 3 P G P G P G P G P G P G P G P G P G Carry Look-Ahead Logc: Internal archtecture c c c c CLA logc x n- y n- x y x y c 3 c 4 x 3 y 3 3 c 3 x y 3 c x y 3 c x y 3 c 4 5 s 3 5 s 5 s s c Full Adder G n- P n- Carry Look-Ahead Logc x n- y n- x y G P G P c =G +P c dove c = G +P G +P P c c 3 = G +P G +P P G +P P P c G =x y P =x +y c n CLA Logc c c c c 4 = G 3 + P 3 G + P 3 P G + P 3 P P G + P 3 P P P c c n- c Sommator Carry Look-Ahead Addzone veloce: calcolo delle prestazon Carry Look-Ahead Logc c n x n- y n- x n- y n- Carry Look-Ahead Logc c n- x y x y c x y c Il rtardo totale per ottenere tutte le somme ed l rporto pù a snstra c + è dato dalla somma d: Un rtardo d porta per l calcolo delle funzon d generazone e d propagazone (G = x y e P = x + y ) Due rtard d porta logca per calcolare l rporto -esmo (SOP) Due rtard d porta logca per calcolare la somma -esma (SOP) Totale: 5 rtard d porta logca Il rtardo è costante e ndpendente dalla lunghezza degl operand Full Adder s n- Full Adder s Full Adder s Problema: La realzzazone crcutale de modul che calcolano rport per operand lungh (ad esempo 3 bt) fa uso d porte con un fan-n molto elevato: non pratcable!! Soluzone: addzonatore veloce a blocch

5 Addzone veloce a blocch Addzone veloce - blocco CLA a 4 bt Il sommatore completo a n bt è ottenuto utlzzando un nseme d blocch costtut da CLA a m bt e della logca CLA P 3 G 3 P G P G P G P G P G P G P G P G P G Esempo: blocco è costtuto da un sommatore CLA a 4 bt (ragonevole) Struttura del blocco d un CLA a 4 bt Il rporto fnale d questo sommatore ha la seguente espressone: 3 c 4 c c x 3 y 3 3 c 3 x y 3 c x y 3 c c c x y c c 4 = G 3 + P 3 G + P 3 P G + P 3 P P G + P 3 P P P c che può essere rscrtta come c uscta = G + Pc con l tempo d rtardo per l calcolo d P e G: P = attraversamento d porte logche ( per calcolare P 3, P, P e P, per calcolare l prodotto) G = attraversamento d 3 porte logche (calcolo d P e G, calcolo de prodott, calcolo della somma) P 3 P P P P 5 s 3 P 3 P P G 3 G G G 3 G s 5 5 s s X 3- y 3-4-bt CLA 5 S P 3 G 3- c Esempo - sommatore a 6 bt con CLA a 4 bt Esempo - sommatore a 8 bt con CLA a bt Prestazon: n questo caso crca n/ Che cosa succede se devo sommare due numer da 3 o da 64 bt? Le prestazon d un CLA adder a n bt costtuto da blocch da m bt sono espresse come log m n, a meno del fattore costante dato dal rtardo d un CLA a m bt. x 7 y 7 x 6 y 6 G = G ++P +G P = P + P c + = G+Pc c + x 5 y 5 x 4 y 4 G + P + G P G P c c + G x 3 y 3 x 4 y 4 P S c x y x y x y X 5- y 5- X -8 y -8 X 7-4 y 7-4 X 3- y 3- c 7 c 6 c 5 c 4 c 3 c 3 c c c c 4-bt CLA c 4-bt CLA c 8 4-bt CLA c 4 4-bt CLA c G 7 P 7 S 7 G 6 P 6 S 6 G 5 P 5 S 5 G 4 P 4 S 4 G 3 P 3 S 3 G P S G P S G P S 3 P G 7 S 5-3 P G 7 S -8 3 P G 6 S P G 5 S 3- c 6 c 4 c c c 4 c 4 c c 6 5 ndce 3 ndce ndce ndce c 4 =.. c 3 =.. c = G +P G +P P c c =G +P c CLA logc 3 P G 5 c 8 c

6 Somma d pù valor: sommator carry save Calcolo della somma d 3 (o pù) valor: W = X + Y + Z Somma d tre addend - archtettura con sommator rpple-carry Soluzone con sommator rpple-carry W = (X + Y) + Z = T + Z Soluzone : Calcolare una somma ntermeda: T = X + Y E qund calcolare l rsultato fnale: W = T + Z Le somme possono essere realzzate medante Due sommator rpple-carry (o due sommator carry look-ahead) conness n cascata Rcorda: la somma d N addend da n bt rchede n+ log N bt per l rsultato x n- y n- c n t n- z n- x y c t z x y c t z Soluzone : Modfca dell algortmo d somma e uso d sommator carry save per mglorare le prestazon c n w n+ w n c n w n- c w c w Somma d tre addend - Prestazon con sommator rpple-carry Somma d tre addend con Sommator Carry Save Prestazon con sommator rpple-carry (n blu l rtardo d ogn segnale) Rtardo R = (n + ) T con T rtardo d un Full-Adder Somma d N addend da n bt: N- stad d somma, rsultato su n+ log N bt, rtardo = (n+ log N ) T Il prmo stado calcola le somme S (parzal e senza propagazone d rporto) e rport CS (Carry Save Adder) Il secondo stado somma (con propagazone d rporto) valor provenent dal prmo stado x n- y n- z n- x y z x y z n n n- cs n cs s cs s n- cs n- s n+ n+ n+ n+ n 3 3 c n c n- c w n+ w n w n- w w

7 Somma d tre addend - Prestazon Carry Save Sommatore Carry Save come blocco Prestazon con sommatore rpple-carry per l ultmo stado (n blu l rtardo d ogn segnale) Rtardo R = (n + ) T con T rtardo d un Full-Adder Sommatore Carry Save composto da due untà Blocco Carry Save: Produce due vettor S e CS Rtardo: R CS = Sommatore Rpple-Carry: Produce l rsultato fnale Rtardo: R RC = n + Carry Save Logc x n- y n- z n- x y z X Y Z n n- Carry Save Carry Save n+ n+ n cs n s n- cs n- s cs s cs n S CS s Sommatore Carry Save come blocco Esempo sommatore a 6 addend con blocch Carry Save da 3 addend Istant d generazone de bt d uscta A B C D E F T= cs n X Y Z Carry Save S CS s T= T= cs n CS-n bt CS-n bt CS S s cs n CS S s CS-n bt Genera l bt cs n CS S s T= T= RC Adder CS-n bt Genera l bt w n+ W[n..] w T= T=..(n+) T=n+ w n+ cs n CS S s T= 3 RC Adder Genera rmanent bt del rsultato W [n+..] w w T= 3 + n

8 Esempo sommatore a 9 addend con blocch Carry Save da 3 addend Addzone e sottrazone per valor rappresentat n complemento a Vantagg pù evdent al crescere del numero degl operand T= Carry Save Carry Save Carry Save T= Carry Save Carry Save T= Carry Save T=3 Carry Save T=4 RC Adder T=4+n Regole per la somma e sottrazone d due numer n complemento a su n bt Per calcolare x+y Fornre n ngresso ad un sommatore bnaro naturale le codfche bnare Ignorare l bt d rporto n uscta Il rsultato è n complemento a due Per calcolare x-y Rcavare la rappresentazone dell opposto d y (complemento a due) Sommare valor così ottenut come nella regola precedente Il rsultato è n complemento a due I rsultat sono corrett se e solo se, dsponendo d un sommatore bnaro senza segno ad n bt, l rsultato sta nell ntervallo: - n- x ± y n- - In caso contraro s verfca overflow (o underflow) artmetco Addzone e sottrazone per valor rappresentat n complemento a Sommator Add/Subtract Subtract: : operazon n complemento a Condzon d overflow e d underflow per somme e sottrazon n complemento a su n bt A+B A B Segno somma Ov/Un A-B=A+(-B) A B -B = B CPL Segno somma Ov/Un Add/Subtract Archtecture x n- x x y n- y y Add/Sub > > S-Ov > > < no > < no > < > S-Ov < < > < no S-Un < < > < < > S-Un no c n n-bt Adder c overflow per somma = (segno addend e segno somma) underflow per somma = overflow per sottrazone = underflow per sottrazone = Underflow Overflow s n- s s

9 Moltplcazone nter senza segno MOLTIPLICAZIONE e ARCHITETTURE DI MOLTIPLICATORI Moltplcazone senza segno e moltplcator per rghe e dagonal Moltplcazone con segno con sottomatrc d prodott parzal Moltplcazone con l algortmo d Booth Moltplcazone per colonne e moltplcatore d Wallace Moltplcator sequenzal La moltplcazone d numer senza segno s esegue con lo stesso metodo usato per la moltplcazone decmale Il prodotto d due numer bnar d n e k bt è un numero bnaro d n+k bt Ogn prodotto parzale deve essere esteso a n+k bt tramte Ad esempo: = Moltplcando M = 3 Moltplcatore Q = Matrce de prodott parzal Prodotto P = 43 Moltplcator combnator Archtetture d moltplcator Prodotto d due numer postv d 3 bt (n bt - n bt prodotto) Moltplcazone bt a bt x x x y y y y x y x y x y x y x y x Le archtetture sono defnte a seconda del meccansmo d somma e propagazone de rport delle rghe della matrce d prodott parzal Somma per rghe: rport s propagano per rghe Somma per dagonal: rport s propagano per dagonal Somma per colonne: rport s propagano per colonne y x y x y x PP PP PP PP PP PP PP PP PP Matrce d prodott parzal costtuta da n rghe Le archtetture rsultant sono caratterzzate comunque da strutture regolar p 5 p 4 p 3 p p p

10 Moltplcator combnator: somma per rghe Moltplcator combnator: somma per rghe Somma per rghe Moltplcando Multpler Cell Σ n=,- PP -n,j+n x j Ogn cella del moltplcatore calcola l prodotto parzale corrspondente e una somma parzale PP x x x y y y c j Full Adder c j- Il rporto delle somme parzal s propaga lungo la rga Le somme s propagano n vertcale Per l calcolo del prodotto parzale, X s propaga n dagonale e Y n vertcale PP y Moltplcatore x j Σ n=,- PP -n,j+n Sono necessar n sommator a n bt (con eventuale calcolo del prodotto parzale). Il prmo non genera rport La struttura è regolare Prestazon: dpendono da sommator, con sommator non veloc ordne d n PP p 5 p 4 p 3 p p p Prodotto y Moltplcator combnator: somma per dagonal Moltplcator combnator: somma per dagonal Somma per dagonal Ogn cella del moltplcatore (tranne quelle dell ultma rga) calcola l prodotto parzale corrspondente e una somma parzale Il rporto delle somme parzal s propaga lungo le dagonal Le somme s propagano n vertcale Per l calcolo del prodotto parzale, X s propaga n dagonale e Y n vertcale Sono necessar n sommator a n bt (d cu l prmo non genera rport) La struttura è regolare Prestazon: dpendono da sommator, con sommator non veloc ordne d n

11 Moltplcazone con segno: sottomatrc Moltplcazone con segno (cont( cont.) Altro modo d defnre l complemento a : l valore della cfra assocata al bt pù sgnfcatvo ha segno negatvo. +5 = -5 = -5 = = Consderando ad esempo 4 bt, valor d un moltplcando M negatvo e d un moltplcatore Q negatvo possono essere rappresentat come - Moltplcando M = (-m 3 ) 3 +m +m +m - Moltplcatore Q = (-q 3 ) 3 +q +q +q - Dove m 3,, m e q 3,, q sono bt del moltplcando e del moltplcatore Nota: questa rappresentazone vene usata, ed è corretta, sa per valor postv che negatv Costruzone de prodott parzal (matrce dagonale) Camba per tener conto del segno de due fattor (caso M e Q negatv) -q m 3 q m q m q m -q m q 3 m q m q m -q m q 3 m q m q m +q 3 m 3 -q 3 m -q 3 m -q 3 m Moltplcazone con segno (cont( cont.) Esempo Estensone a n+k bt tramte Scomposzone della matrce nzale n due sottomatrc, una con sol termn negatv, l altra con solo quell postv. Il rsultato è dato dalla dfferenza de due rsultat parzal q m q m q m q m q m q m q m q m q m q 3 m 3 Somma parzale termn postv - q m 3 q m 3 q m 3 q 3 m q 3 m q 3 m Somma parzale termn negatv S calcol l prodotto 3 x = n complemento a

12 Esempo Moltplcazone con segno - Algortmo d Booth S calcol l prodotto -3 x = Se l moltplcatore contene sequenze d, l algortmo d Booth è pù effcente del metodo vsto n precedenza (coè devono essere generat molt meno prodott parzal) S consder ad esempo la moltplcazone per Q=3: M x 3 = M x (3 - ) = M x 3 - M x In rappresentazone bnara: M x = M x - M x = M x + M (-) x I moltplcator così ottenut Sono potenze del due Sono sequenze d bt con un solo uno Algortmo d Booth: : codfca del moltplcatore Algortmo d Booth: : esempo d codfca L algortmo s basa sulla scomposzone appena vsta Tale scomposzone è rappresentata come una codfca del moltplcatore basata sulle seguent regole Ad esempo Q = 3 è codfcato come Q B = +- Q = S consder un moltplcatore Q d lunghezza n S scorre l moltplcatore da snstra verso destra Il moltplcatore codfcato Q B s ottene: Scrvendo l smbolo + quando s passa da ad Scrvendo l smbolo - quando s passa da a Scrvendo l smbolo quando due bt successv sono ugual Se Q termna con aggungo a Q B altrment aggungo - Q B = + - Aggunto Utlzzando tale codfca, prodott parzal saranno: con estensone del segno, quando q B, = M (-) con estensone del segno, quando q B, = - M con estensone del segno, quando q B, =

13 Algortmo d Booth: : codfca del moltplcatore Esempo Le regole esposte per l algortmo d Booth possono essere rassunte nella tabella seguente: Moltplcatore q q - Codfca PP M = + + M = M - - M = M (-) M = E noltre, se: q =, la codfca del bt aggunto è e qund l prodotto parzale è q =, la codfca del bt aggunto è - e qund l prodotto parzale è M (-) Moltplcare 3 x -9, usando l algortmo d Booth su 5 bt I valor bnar da usare sono: 3 = -3 = -9 = -9 B = -+- Il prodotto s esegue qund nel modo seguente: Estensone a n+k bt tramte estensone del segno M (-) M M (-) -+ - = Moltplcando M = 3 Moltplcatore Q = -9 Prodotto P = Moltplcator combnator: somma per colonne Moltplcator combnator: somma per colonne Il metodo è smle a quello utlzzato a mano per effettuare la moltplcazone S utlzza la matrce de prodott parzal (matrce d AND) e un nseme d contator parallel Il generco contatore parallelo rceve n ngresso una colonna d prodott parzal (e gl eventual rport dagl stad precedent) e genera l conteggo degl della colonna Il conteggo generato n ogn stado produce l bt del prodotto per lo stado consderato e eventual rport per gl stad successv Irregolare (contator dvers) Prestazon: paragonabl a quelle per somma per rghe, nfatt s ha propagazone d rport n tutte le colonne Moltplcando e moltplcatore da 6 bt In nero la matrce d AND, n rosso rport generat da contator ogn contatore genera bt del prodotto e rport per le colonne successve l contatore d colonna genera rporto per colonna l contatore d colonna genera rport per colonna 3 e 4 l contatore d colonna 3 genera rport per colonna 4 e 5 e così va

14 Moltplcator combnator: somma per colonne con rduzone della matrce de termn prodotto Moltplcator combnator: somma per colonne con matrc successve Rduzone successva della matrce de prodott parzal La matrce de prodott parzal M vene rdotta, n termn d rghe, tramte contator parallel per colonna che non propagano rport, ma l usano (nseme a bt d somma) per costrure la matrce rdotta Il rsultato generato da contator crea una matrce successva M, costtuta da un numero nferore d rghe. In questo modo non c è propagazone de rport all nterno della stessa matrce Il procedmento vene terato fno a quando non s ottene una matrce d sole due rghe Le due rghe costtuscono l ngresso ad un sommatore La rduzone è rapda La struttura è rregolare Le prestazon aumentano potes: l tempo d un contatore è dentco a quello d un Full-Adder domna l tempo del sommatore fnale Battera d contator Battera d contator Sommatore M M M Moltplcator combnator: moltplcatore d Wallace Moltplcator combnator: moltplcatore d Wallace E basato sulla rduzone successva della matrce M Prevede l utlzzo d sol contator a o 3 ngress, che sono equvalent rspettvamente ad un Half-Adder e a un Full-Adder Il procedmento d rduzone della matrce a sole rghe è pù lento rspetto al caso d contator a ngress qualsas, ma comunque rapdo (log 3/ n pass) M d n rghe M d (/3)n rghe M d (/3) n rghe.. Mh d (/3) h n rghe: se l n d rghe è uguale a la rduzone termna La struttura è regolare Battera d contator Battera d contator Battera d contator M M M Le prestazon sono domnate dal sommatore fnale (veloce) Sommatore M

15 Moltplcator sequenzal [] Moltplcator sequenzal [] Moltplcazone sequenzale tra due numer d n I pass da esegure sono:. Inzalzza a zero un regstro accumulatore A. Inzalzza a zero un bstable C per l rporto 3. Salva ne regstr Q ed M moltplcatore e moltplcando 4. Se l bt meno sgnfcatvo d Q vale Somma A ed M Memorzza l rsultato n A 5. Shft a destra del regstro [C; A; Q] d una poszone 6. Rpet dal punto 4 per n volte 7. Preleva l rsultato della moltplcazone da regstro [A; Q] Archtettura d un moltplcatore sequenzale n - n - C A Q + FSM MUX n - M q Shft dx Numer n vrgola fssa ARITMETICA n VIRGOLA MOBILE Confronto con artmetca n vrgola fssa Rappresentazone de valor Operazon Struttura d un sommatore/sottrattore Fno a questo punto abbamo assunto che Un vettore d bt rappresentasse sempre un numero ntero Eventualmente con segno Tutte le consderazon fatte fno ad ora e tutt metod espost contnuano a valere se s attrbusce a vettor d bt l sgnfcato d numer n vrgola fssa Un sstema d numerazone n vrgola fssa è quello n cu: La poszone della vrgola decmale è mplcta La poszone della vrgola decmale uguale n tutt numer La poszone della vrgola equvale alla nterpretazone del valore ntero moltplcato per un fattore d scala - 6 -

16 Numer n vrgola fssa: fattore d scala Esempo S consder ad esempo l vettore d k+n bt (k bt per rappresentare la parte ntera e n bt per rappresentare la parte frazonara): B = b k-... b,b -... B -n Il suo valore è dato da V(B) = b k- x k b x + b - x b -n x -n Il fattore d scala che consente d passare dalla rappresentazone ntera a quella a vrgola fssa è par a S n = -n = / n Dett V I l valore ntero e V VF l valore n vrgola fssa d B: V VF (B) = V I (B) x S n = V I (B) x -n parte frazonara S consder l vettore bnaro: B =. Il suo valore n vrgola fssa è: V VF (B) = = + / + / 8 + / 6 = 43 / 6 =.6875 Il fattore d scala da utlzzare per la conversone è: S 5 = -5 = / 3 =.35 Il valore d B, consderandolo ntero è: V I (B) = = = 86 Da cu, moltplcando per l fattore d scala, s ha: V VF (B) = V I (B) x S 5 = 86 x.35 = Vrgola fssa vs. vrgola moble Errore d quantzzazone: : vrgola fssa vs. vrgola moble Intervallo d varazone d un numero bnaro d 3 bt Codfca ntera V I (B) x 9 Codfca n vrgola fssa x V VF (B) + Codfca n vrgola moble V VM (B) A par numero d bt dsponbl con la rappresentazone ntera o n vrgola fssa, valor rappresentat sono dstrbut unformemente nel campo d rappresentabltà con la rappresentazone n vrgola moble, valor rappresentat sono dstrbut non unformemente nel campo d rappresentabltà sono pù ftt vcno allo e pù rad per valor assolut grand Nella rappresentazone n vrgola moble (floatng pont) la poszone della vrgola è moble ed è ndcata dal valore d un fattore moltplcatvo (± Mantssa x Base Esponente ) Vrgola fssa (con n bt per la parte frazonara) E Ass = Val Vero -Val Rappr = costante con (-/) -n < E Ass < (+/) -n E Rel = E Ass / Val Vero (e coè E Rel Val Vero = costante) tanto pù pccolo è l valore vero da rappresentare tanto maggore è l errore relatvo che s commette nel rappresentarlo tanto pù grande è l valore vero da rappresentare tanto mnore è l errore relatvo che s commette nel rappresentarlo Vrgola moble E Rel = costante (= -#bt della M ) E Ass = aumenta all aumentare del valore valore vero da rappresentare

17 Errore d quantzzazone: : vrgola fssa vs. vrgola moble Esempo Valore rappresentato R4 R Vrgola fssa Valore rappresentato R4 R Vrgola moble Numer n vrgola fssa Dato. ed l suo successvo. Errore percentuale: (.-.)/.* = % Dato. ed l suo successvo. Errore percentuale: (.-.)/.* =.% E R = E A / V vero E R V vero = E A = cost Valore vero E A = cost=v V -V rap E A = V vero V rap Valore vero E R = cost=e A /V vero Numer n vrgola moble Dato.8e- ed l suo successvo.9e- Errore percentuale: ((.9e--.8e-)/.8e-)* =.785 % Dato.8e+ ed l suo successvo.9e+ Errore percentuale: ((.9e+-.8e-+)/.8e+)* =.785 % Valore vero Valore vero Numer n vrgola moble Numer n vrgola moble Valor rappresentabl Codfca n vrgola moble per numer n base S dce normalzzato un numero n cu M < Segno Mantssa Esponente IEEE standard: Numer floatng-pont n sngola precsone S E M bt Segno 8 bt Esponente 3 bt Mantssa L esponente utlzza la codfca n eccesso 7, e coè l valore effettvo dell esponente è par a (E-7) E = e M = Rappresenta lo zero (pos/neg) E = 55 e M = Rappresenta nfnto (pos/neg) Codfca n vrgola moble per numer n base In un numero bnaro n vrgola moble e normalzzato La prma cfra della mantssa è sempre ( M < ) Tale cfra non vene rappresentata esplctamente E = 55 e M!= NotANumber <E<55 (-) s x (E-7) x (,M) (7 E 54 esp.postv, 6 E esp.negatv) E = e M!= (-) s x -6 x (,M) non normalzzat Standard IEEE 3 bt: ntervallo rappresentato -.M x -38 x +.M x 38 La precsone consentta è d crca 7 cfre decmal

18 Numer n vrgola moble Valor rappresentabl Operazon n vrgola moble Motvazone della rappresentazone non normalzzata E = e M!= (-) s x -6 x (,M) non normalzzat Il valore pù pccolo rappresentable normalzzato è ± -7 x, = ± 6 che espresso n vrgola moble da E= e M = rappresentazone non normalzzata E= e M!= Interpretata nel modo seguente: Valore numerco = ± 6 x, Il pù pccolo valore rappresentable è ± 6 x, = ± 6 x 3 = ± 49? Le operazon che s possono compere su numer n vrgola moble sono: Somma Sottrazone Moltplcazone Dvsone Elevamento a potenza Estrazone d radce Inoltre sono defnte le operazon d: Normalzzazone Troncamento Operazon n vrgola moble Operazon n vrgola moble: normalzzazone L esecuzone d una operazone n vrgola moble può provocare una eccezone Una eccezone è l rsultato d una operazone anomala, quale, ad esempo: Dvsone per zero Estrazone della radce quadrata d un numero negatvo Le eccezon che vengono generate dalle untà artmetche n vrgola moble sono: Operazone non valda Dvsone per zero Overflow Underflow Tutte le operazon descrtte nel seguto operano su numer normalzzat ( mplcto prma della vrgola) Se l mplcto manca, la normalzzazone d un numero con mantssa M ed esponente n, s esegue come segue: S fa scorrere verso snstra la mantssa M fno al prmo uno, compreso; sa k l numero d poszon d tale scorrmento S sottrae k all esponente n Ad esempo: = Scorrmento d 3 poszon Rcorda: Scorrmento a sx equvale a moltplcazone Scorrmento a dx equvale a dvsone

19 Operazon n vrgola moble: somma e sottrazone Operazon n vrgola moble : moltplcazone La somma o sottrazone tra numer n vrgola moble vene eseguta secondo seguent pass: S scegle l numero con esponente mnore S fa scorrere la sua mantssa a destra un numero d bt par alla dfferenza de due esponent S assegna all esponente del rsultato l maggore tra gl esponent degl operand S esegue l operazone d somma (algebrca) tra le mantsse per determnare l valore ed l segno del rsultato S normalzza l rsultato così ottenuto Non sempre quest ultma operazone è necessara Attenzone!!! Il rporto s può propagare anche dopo la poszone della vrgola La moltplcazone tra numer n vrgola moble vene eseguta secondo seguent pass: S sommano gl esponent e s sottrae 7 S calcola l rsultato della moltplcazone delle mantsse S determna l segno del rsultato S normalzza l rsultato così ottenuto Non sempre quest ultma operazone è necessara La sottrazone d 7 dalla somma degl esponent è necessara n quanto sono rappresentat n eccesso 7 E a,7 = E a + 7 E b,7 = E b + 7 E axb,7 = E axb + 7 = (E a + 7) + (E b + 7) Operazon n vrgola moble : dvsone Operazon n vrgola moble: troncamento La dvsone tra numer n vrgola moble vene eseguta secondo seguent pass: S sottraggono gl esponent e s somma 7 S calcola l rsultato della dvsone delle mantsse S determna l segno del rsultato S normalzza l rsultato così ottenuto Non sempre quest ultma operazone è necessara La somma d 7 alla dfferenza degl esponent è necessara n quanto sono rappresentat n eccesso 7 E a,7 = E a + 7 E b,7 = E b + 7 E a/b,7 = E a/b + 7 = (E a + 7) - (E b + 7) + 7 Spesso accade d rappresentare rsultat ntermed d una operazone con una precsone maggore d quella degl operand e del rsultato Al termne dell operazone è necessaro effettuare una operazone d troncamento Il troncamento serve a rmuovere un certo numero d bt per ottenere una rappresentazone approssmata del rsultato S consder l valore numerco rappresentato dal vettore: B =.b -... b -(k-) b -k b -(k+)... b -n S vogla effettuare troncamento al bt k-esmo

20 Operazon n vrgola moble: troncamento Archtetture per artmetca n vrgola moble: sommatore Choppng Consste nell gnorare bt dal k-esmo all n-esmo Questo metodo è polarzzato o based L errore è sempre postvo e vara nell ntervallo: < ε<+( -k+ - -n ) Roundng Se l bt k-esmo vale, lascare nvarato l bt n poszone (k-) e gnorare bt dal k-esmo all n-esmo Se l bt k-esmo vale, sommare n poszone (k-) e gnorare bt dal k-esmo all n-esmo Questo metodo è smmetrco o unbased L errore è centrato sullo zero e vale: -( -k+ - -n ) <ε<+( -k+ - -n ) I crcut per la realzzazone delle operazon n vrgola moble sono molto compless S consder l algortmo per la somma secondo lo standard IEEE Sngle Precson: S scegle l numero con esponente mnore e s fa scorrere la sua mantssa a destra un numero d bt par alla dfferenza de due esponent S assegna all esponente del rsultato l maggore tra gl esponent degl operand S esegue l operazone d somma tra le mantsse per determnare l valore ed l segno del rsultato S normalzza l rsultato cos ottenuto Non sempre quest ultma operazone è necessara Nota: se A o B = ± se A o B = se la dfferenza tra gl esponent è maggore o uguale al numero d bt a dsposzone per le mantsse è nutle fare la somma Sommatore n vrgola moble [] Sommatore n vrgola moble [] Nel seguto vene svluppato un sommatore floatng pont I numer A e B sono rappresentat Su 3 bt Secondo lo standard IEEE Sngle Precson Gl operand A e B sono compost come segue: A = { S A, E A, M A } B = { S B, E B, M B } In cu: S A, S B Segno, bt E A, E B Esponente n eccesso 7, 8 bt M A, M B Mantssa,3 bt Passo S scegle l numero con esponente mnore e s fa scorrere la sua mantssa a destra un numero d bt par alla dfferenza de due esponent Rchede le seguent operazon: Indvduazone dell esponente mnore E mn Calcolo della dfferenza tra gl esponent d = E A -E B Selezone della mantssa dell operando con esponente M Emn Scorrmento della mantssa M Emn d d poszon a dx (tenendo conto dell mplcto) Il calcolo della dfferenza tra gl esponent consente allo stesso tempo (analzzandone l segno S E ) d ndvduare l esponente mnore