Esercizi risolti. Capitolo 1 - Termodinamica. SISTEMI ENERGETICI (11CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 2007/2008

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1 Caitolo - Termodiamica. Sia u maometro a molla (tubo di Bourdo) ce u maometro a U soo collegati ad u reciiete er misurare la ressioe del gas all itero. Se la lettura del maometro a molla 80 kpa, determiare la distaza tra i due livelli del liquido del maometro ad U se il fluido (a) mercurio ( ρ 3600 ) o (b) acqua ρ 000. [( a) 0.6 m, ( b) 8.55 m ] rel 80 kpa (i geerale il maometro a molla, così come il maometro a U, idicao la ressioe relativa) ρ M ρ A Icogite: M, A Svolgimeto La distaza tra i due livelli del liquido coteuto el maometro a U legata alla ressioe relativa del gas risetto alla ressioe ambiete dalla relazioe: 80 kpa gas rel ρg Di cosegueza si a: rel ---. (a) Se il fluido mercurio si ottiee: ρg M N rel 80 kpa m --- ρ M g m - s N 0.6 m (b) Nel caso i cui il fluido sia acqua: A N rel 80 kpa m ρ A g m --- s N 8.55 m SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 I

2 3. La metà iferiore di u coteitore cilidrico alto 0 m cotiee acqua ( ρ 000 ) metre la metà sueriore olio ( ρ 850 ). Determiare la differeza di ressioe tra il fodo e la sommità del cilidro. [90.7 kpa] olio acqua 3 / / 0 m, ρ A , ρ O Icogita: 3 Svolgimeto La differeza di ressioe tra il fodo e la sommità del cilidro u essere scritta come: 3 ( ) + ( 3 ) La coloa di acqua i equilibrio statico, cio soggetta ad u sistema di forze ce si equilibrao: vale A + m A g A Ricordado ce ottiee: m A ρ A V ρ A A -- e sostituedo ell equazioe recedete si + ρ A g -- ρ A g -- Sostituedo i valori umerici si ottiee: N 0 - m N m Pa kpa Aalogamete er la coloa di olio si a: 3 ρ O g -- da cui: N 0 - m N m 4.69 kpa Si ricava quidi: kpa kpa kpa Stato aria Stato aria Stato 3 aria T 5 C,rel 0 kpa V 0.05 T 50 C T 3 T 3 6. La ressioe i u eumatico automobilistico diede dalla temeratura dell aria coteuta el eumatico. Quado la temeratura dell aria 5 C la ressioe relativa all ambiete 0 kpa. Se il volume del eumatico 0.05 determiare l aumeto di ressioe quado la temeratura dell aria el eumatico sale a 50 C. Determiare ace la quatità di aria ce deve essere sillata er riristiare la ressioe al suo valore origiale a questa temeratura. Assumere ce la ressioe ambiete sia 00 kpa. [ 6 kpa, 7 g ] oltre a quelli riortati ello scema ota Icogite:, m sill Svolgimeto m Equazioe di stato dei gas riferita alle codizioi : amb 00 kpa Equazioe di stato dei gas riferita alle codizioi : V R T Valgoo V V V oicé il volume del eumatico o cambia e R ercé la quatità di gas coteuta costate. Si a quidi: V T T da cui si ricava la ressioe ello stato. NB Le ressioi ce comaioo ell equazioe di stato soo assolute, così come le temerature. V R T SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 II

3 Caitolo - Termodiamica + 0 kpa + 00 kpa 30 kpa, rel amb Sostituedo i valori umerici si ottiee: T ( ) K 30 kpa - T ( ) K 336 kpa L aumeto di ressioe ce si verifica i seguito all aumeto di temeratura vale quidi 336 kpa 30 kpa 6 kpa Equazioe di stato dei gas riferita alle codizioi 3: 3 V 3 3 R T 3 Valgoo V 3 V V oicé il volume del eumatico o cambia e T 3 T T ; mettedo a sistema l equazioe di stato er le codizioi 3 e quella er le codizioi R T si ottiee: 3 da cui 3 dato ce. V Il umero di moli d aria coteute el eumatico ello stato vale: V 336 kpa R T ( kmol K ) K N 0.05 m mol Nm ( kmol K ) K 30 kpa mol kpa.8846 mol La quatità di aria ce deve essere sillata, i termii di moli, ari a: mol.8846 mol 0.49 mol Poicé m M, i termii di massa si a: m sill m M 3 M ( 3 ) M 0.49 mol kmol I alterativa: 7 g V 3 V 3 m sill m ( R T R T 3 )- V 3 RT ( ) N ( ) m K K. Ua staza di 4x5x7 metri viee riscaldata da u radiatore del sistema di riscaldameto. Il radiatore trasferisce ua oteza termica di 0 M, e u vetilatore ce assorbe ua oteza di 00 W viee utilizzato er distribuire l aria calda ella staza. La oteza termica ersa dalla staza verso l estero stimata ari a 5 M. Se la temeratura iiziale della staza di 0 C, e la ressioe 00 kpa, determiare quato temo occorre er ialzare la temeratura dell aria fio a 0 C. Assumere R 87 K, c.005 k K. [ 83 s ] P e dimesioi staza: 4 m x 5 m x 7 m Q risc 0 M - P e 00 W 4 m Q & risc 7 m Q & dis 5 m SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 III

4 Q dis 5 - M T i 0 C i 00 kpa T f 0 C R k , c K K Icogita: τ Svolgimeto τ τ 0 Poicé o si redoo i cosiderazioe scambi di massa co l estero attraverso orte e fiestre, la staza u sistema ciuso. riciio er i sistemi ciusi: Q e + L e E U + E c + E g + Per il sistema i esame si a E g 0 e E c 0. Ioltre trattado l aria come u gas ideale vale u c v T e quidi U m u m c v T Il riciio alicato alla staza diveta: Q e + L e m c v ( T f T i ) La oteza termica etrate el sistema ari alla oteza ceduta dai radiatori alla staza al etto di quella ce la staza diserde verso l estero er trasmissioe del calore: Q e Q risc Q dis. Per defiizioe, l eergia l itegrale della oteza el temo: τ Q e + L e ( Q e + P e ) dτ τ 0 Poicé el caso i esame la oteza termica Q e e la oteza meccaica P e soo costati, si a: τ Q e + L e ( Q e + P e ( Q e + P e ) ( τ τ 0 ) ( Q e + P e ) τ τ 0 Di cosegueza il riciio diveta ( Q e + P e ) τ m c v ( T f T i ) da cui si ricava il temo ecessario er ialzare la temeratura della staza da a : T i T f τ m c v ( T f T i ) -- Q e + P e La massa d aria ce deve essere riscaldata u essere determiata dall equazioe di stato dei gas alicata allo stato iiziale i V fatto ce m M: R T i, teedo ace coto del m i V i V 00 kpa ( 5 4 7) kn m M --- R T RT i i k 0.87 ( ) K 0.87 kn m K K K 7.3 c v c R K K K Q e Q risc Q dis 0 M - 5 M - 5 M s s W ( 0 0) C K τ W + 00 W 83 s SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 IV

5 Caitolo - Termodiamica 3. Aria a 80 kpa e 0 C etra el diffusore adiabatico di u motore a reazioe co ua velocità di 00 m s. La sezioe di igresso del diffusore di 0.4 m. L aria lascia il diffusore co velocità trascurabile. Determiare (a) la ortata i massa dell aria e (b) la temeratura di uscita. [ m 78.8 s, T 303. K ] 80 kpa T 0 C q e 0 c 00 m/s A 0.4 m c 0 Icogite: m, T Svolgimeto (a) Equazioe di cotiuità er u fluido i flusso stazioario: m ρ A c dove m la ortata i massa del fluido, ρ la sua desità e A la sezioe di assaggio eredicolare risetto alla direzioe della velocità c. Alicadola alle codizioi si ricava m ρ A c dove ρ -- R T (b) riciio er i sistemi aerti i forma termica: q e + l i + e c + e g c Nel caso cosiderato diveta: e c + 0, cio c c ( T T ) + 0 c da cui si ricava c c T T + T c + -- c 8. Aria ( R 87 K, γ.4 ) viee esasa adiabaticamete e reversibilmete i u codotto covergete da.5 MPa e 50 C a 0.75 MPa. La velocità di igresso molto iccola, e il rocesso avviee i codizioi stazioarie. Calcolare la velocità di uscita dal codotto. [c m/s]. oltre a quelli riortati ello scema soo oti R 87 --, γ K.4 Icogita: c Svolgimeto Il codotto covergete (ugello) u sistema aerto, avete u solo igresso ed ua sola uscita. Poicé il rocesso avviee i codizioi stazioarie si a m m m riciio er i sistemi aerti i forma termica: q e + l i + e g + e c Ma T 50 C c 0 m/s σ aria q e 0 l w Ma Nel caso i esame si a q e 0 ercé il rocesso adiabatico, l i 0 ercé o c scambio di lavoro (il volume di cotrollo o attraversato da alberi), e g 0. Quidi il riciio i forma termica diveta 0 + e c c T c c c 0 + c ( T T ) + -- SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 V

6 La velocità di uscita c o u essere ricavata immediatamete da questa equazioe ercé ace T icogita. Si calcola T dall equazioe della olitroica T cost, i cui γ oicé la trasformazioe adiabatica e reversibile. T γ γ T γ γ γ γ da cui γ γ T T e æ γ γ T T Sostituedo i valori umerici si ottiee: γ.4 γ T T æ 0.75 MPa.4 ( ) K æ.5 MPa 347. K Rirededo il riciio i forma termica si ottiee: c c ( T T ) R γ ( γ T T ) ( ) K m K s OSSERVAZIONE Nm N m --- m s m m s 0. Ua turbia esade aria ( R 87 K, γ.4 ) dalle codizioi 0 bar, 50 C e 30 m/s alle codizioi 3 bar e C. Il diametro del codotto i cui soo state effettuate le misure di 0.5 m, tato er l igresso ce er l uscita. Ammettedo il flusso stazioario attraverso la maccia calcolare (I) la quatità di calore scambiata co l estero, saedo ce la oteza sviluata di 500 kw. Valutare ioltre (II) l etità delle resisteze assive. [ q e 3.58 k, l w.6 k ] R 87 K, γ.4 0 bar T 50 C c 30 m/s 3 bar T C D D 0.5 m P i 500 kw co la covezioe lavoro ositivo se etrate el sistema, oure P i 500 kw co la covezioe lavoro ositivo se uscete dal sistema Icogite: q e, l w Svolgimeto ρ -- R T π D m ρ A c, dove A -- 4 P l i --- m SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 VI

7 Caitolo - Termodiamica NB Se si adotta la covezioe geerale dei segi (lavoro ositivo se etrate el sistema), qui ci si deve asettare u lavoro egativo ercé fatto dal sistema sull estero. NB Poteza e lavoro ao semre lo stesso sego ercé m >0. ρ -- R T m c ρ A Dal riciio er i sistemi aerti i forma termica: c c q e + e c l i c ( T T ) + l i Dal riciio er i sistemi aerti i forma meccaica: l w l i vd e c, dove vd RT æ, dove l T æ T l æ Quest ultima equazioe deriva dal fatto ce la olitroica u essere scritta come - T. Ifatti, se il raorto deve mateersi costate, allora vale ace t T cos - T --- T ---, da cui T T --- æ Estraedo il logaritmo da etrambi i membri: l T æ T æ l l æ da cui l T æ T l æ (c.v.d.) NB 3 Quado si a a ce fare co ua turbia, ce comie lavoro sull estero e quidi origia u lavoro egativo co la covezioe geerale dei segi, u coveire cambiare covezioe e cio cosiderare ositivo il lavoro fatto dal sistema sull estero (i modo da otteere u lavoro ositivo). Come? E semlice: laddove comare il termie l i elle equazioi, occorre sostituirlo co l i, lasciado tutto il resto ivariato. Così, il riciio er i sistemi aerti diveta: SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 VII

8 q e l i + e c + e g azicé q e + l i + e c + e g l i vd+ l w + e c + e g azicé l i vd + l w + e c + e g 3. 0 m σ M Ua oma solleva acqua da u ozzo fio ad u serbatoio aerto osto 0 m sora il elo libero dell acqua del ozzo. Il codotto i cui iserita la oma a diametro di 0 cm e l acqua vi reseta la velocità di m/s. Ammettedo ce le resisteze assive comlessive circuito/oma ammotio a 4 m i coloa d acqua, calcolare la oteza del motore ce azioa la oma (redimeto meccaico 0.97 ). [ P a 3.8 kw] D 0 cm c m/s erdite er resisteze assive Y 4 m H O redimeto meccaico 0.97 Icogita: P a Svolgimeto La oteza assorbita dal motore P a maggiore della oteza itera riciesta dalla oma P i er via delle erdite isite ell accoiameto motore-oma: l albero ce collega la oma co il motore sosteuto da cuscietti ce ievitabilmete dissiao oteza a causa dello strisciameto relativo tra le arti. Il redimeto meccaico, ce tiee coto delle erdite er attriti di tio meccaico, defiito come: P i P a da cui si ricava P a P i m l i P i - La ortata i massa u essere calcolata dall equazioe di cotiuità: m ρ A c dove A la sezioe del codotto circolare i cui iserita la oma. I macaza di dati di temeratura, si assuma come valore di riferimeto er la desità dell acqua ρ m ρ A c ρ π -- D c 000 π ( 0. m) m s s Il lavoro itero massico u essere ricavato dal riciio er i sistemi aerti i forma meccaica alicato a u volume di cotrollo ce racciuda tutto il circuito (o solo la oma), visto ce soo ote le erdite comlessive del sistema circuito + oma; quello disegato i figura assa er i eli liberi dei serbatoi, e risulta articolarmete comodo.. Altrimeti, oicé u liquido u essere cosiderato icomressibile co buoa arossimazioe, la desità dell acqua sottoraffreddata ad ua certa temeratura u essere assuta ari alla desità dell acqua i codizioi di liquido saturo alla stessa temeratura (quest ultimo valore ricavabile dalle tabelle degli stati di saturazioe). SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 VIII

9 Caitolo - Termodiamica l i v d + l w + e g + e c +... Poicé il fluido di lavoro u liquido, ce u essere cosiderato co buoa arossimazioe icomressibile, si a: l i + l c c ρ w + g + ercé elle sezioi di igresso () e di uscita () del volume di cotrollo scelto c circa la stessa ressioe, ce quella atmosferica; ioltre c c oicé elle sezioi di igresso () e di uscita () le velocità del fluido soo ragioevolmete uguali. Si arriva erci a l i l w + g, dove il lavoro d attrito viee ricavato dalle erdite er resisteze assive esresse i metri: l w gy Sostituedo i valori umerici si ottiee: P a P i m l 5.7 i m 9.8 N ( 4+ 0) m g ( Y + ) s kw 0.97 OSSERVAZIONE L esressioe del rimo riciio utilizzata valida ell iotesi di moto stazioario. Nel moto stazioario le rorietà o diedoo dal temo. Nell esemio ragioevole esare ce la oma trasferedo ortata dal ozzo al serbatoio sueriore, il livello el ozzo si abbasserà metre el serbatoio aumeterà. A rigore quidi o corretto cosiderare il moto stazioario ercé alcue rorietà, il livello del ozzo e del serbatoio, cambiao el temo. Tuttavia, iotizzado ce il ozzo e il serbatoio siao di caacità elevata i maiera ce la variazioe di quota sia raticamete trascurabile, l esressioe del rimo riciio ell iotesi di moto stazioario erfettamete accettabile. SISTEMI ENERGETICI (CINKD) - Esercizi risolti - A.A. 007/008 IX