Determinazione del momento d inerzia di una massa puntiforme

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1 Determnazone del momento d nerza d una massa puntorme Materale utlzzato Set d accessor per mot rotator Sensore d rotazone Portamasse e masse agguntve Statvo con base Blanca elettronca Calbro nteracca GLX Pasco Sotware Data Studo Computer Scopo dell espermento è quello d determnare spermentalmente l momento d nerza d una massa puntorme per po conrontare l valore trovato con quello calcolato per va teorca. L attvtà è partcolarmente nteressante al ne d rconoscere spermentalmente le analoge tra cnematca e dnamca del moto traslatoro con la cnematca e la dnamca del moto rotatoro. gura1 Teora Sappamo che l momento d nerza d una massa puntorme è dato dall espressone : MR, con M massa ed R dstanza della massa M dall asse d rotazone. n questo espermento c s serve d due masse ugual ssate agl estrem d una leggera asta rgda e qund l momento d nerza totale per le due masse è : TOT M TOT R, con M M M M TOT 1 + ed R dstanza d cascuna massa dall asse d rotazone, ovvero la metà della dstanza ra loro centr d massa. Per trovare l momento d nerza spermentale, montato l apparato come n gura, aggancamo un lo alla pulegga meda e ponamo all estremtà del lo, che passa attraverso una carrucola ssata al sensore, un portamasse con una massa totale d 30 g. La caduta della massa determna, attraverso la tensone del lo che agsce tangenzalmente sulla pulegga del sensore ( come s vede dalla gura ), un momento torcente τ che pone n rotazone l sstema. τ Dalla nota relazone τ α s può rcavare l momento d nerza, ove α è l accelerazone α angolare e τ T r l momento torcente che causa la rotazone. Dalla seconda legge della dnamca applcata alla massa traente rsulta : F mg T ma da cu rcavamo,rsolvendo rspetto alla tensone : T m( g a).

2 Poché attraverso l sotware possamo conoscere l valore della accelerazone angolare α, l calcolo della accelerazone lneare s otterrà dalla relazone : a rα, essendo r l raggo della pulegga del sensore d rotazone. Nota la tensone, s potrà calcolare l momento torcente e qund l momento d nerza del sstema. Per msurare l momento d nerza delle sole due masse dobbamo rpetere la procedura spermentale dopo aver tolto le due masse. n tal modo andremo a determnare l momento d nerza dell apparato e qund, sottraendo dal momento d nerza del solo apparato quella del sstema apparato + masse, rcaveremo l momento d nerza delle due masse. A n d valutare l errore nella msura, calcoleremo nne la derenza percentuale tra l valore spermentale e quello teorco del momento d nerza delle due masse. gura Calcolo del momento d nerza teorco delle due masse Utlzzamo l calbro e la blanca elettronca per le msure che c occorrono : Masse M 1 M 75,6 g Dstanza ra le due masse d R 36 cm Raggo pulegga meda del sensore d rotazone r 14,5 mm Massa traente m 30 g (teorco) 75,6 10 (0,18) 4,9 10 Kgm² Predsposto l sotware Data studo per la raccolta de dat relatv alle grandezze poszone angolare e veloctà angolare, lascamo cadere la massa traente e vsualzzamo l andamento del graco poszone angolare ( ramo d parabola ) e veloctà angolare ( retta). L nterpolazone quadratca c consente d conoscere l valore dell accelerazone angolare del sstema α A, l nterpolazone lneare nel dagramma della veloctà angolare conerma questo valore nella pendenza della retta nterpolante punt spermental.

3 essendo α 0,79 rad/s² calcolamo l accelerazone lneare a r α 0,0145 0,79 0,0114m / s La tensone è allora T ( 9,81 0,0114) 0, N e l momento torcente : τ T r 0,94 0,0145 4,6 10 Nm Calcolamo percò l momento d nerza complessvo del sstema masse + apparato : τ 4,6 10 complessvo ( spermentale) α 5,4 10 Kgm. 0,79

4 Rpetamo qund la procedura dopo aver tolto le due masse e calcolamo l momento d nerza del solo apparato. Dal graco relatvo alla poszone angolare rcavamo l accelerazone angolare α 10, rad/s². L accelerazone lneare della massa traente è adesso a rα 0, , 0,148m / s e la tensone nel lo è T ( 9,81 0,148 ) 0,89N l momento torcente è τ T r 0,89 0,0145 4,19 10 Nm percò l momento d nerza del τ 4,19 10 solo apparato rsulta : apparato 4,1 10 Kgm. α 10, l momento d nerza delle due masse s rcava dalla derenza : ( spermentale) (5,4 0,41) 10 4,98 10 Kgm². TOT complessvo apparato La derenza percentuale tra valor spermentale e teorco del momento d nerza delle masse è : TOT ( teorco) TOT ( spermentale) (4,98 4,9) 10 1,63%. ( teorco) 4,9 10 TOT Determnazone del momento d nerza d un dsco e d un Materale utlzzato Set d accessor per mot rotator Sensore d rotazone Portamasse e masse agguntve Statvo con base Blanca elettronca Calbro nteracca GLX Pasco Sotware Data Studo Computer Scopo dell espermento è quello d determnare spermentalmente l momento d nerza d un dsco e d un per po conrontare valor trovat con quell calcolat per va teorca. L attvtà è partcolarmente nteressante al ne d rconoscere spermentalmente le analoge tra cnematca e dnamca del moto traslatoro con la cnematca e la dnamca del moto rotatoro. Teora

5 Sappamo che l momento d nerza d un d massa M d e raggo R rspetto al suo centro d 1 massa è dato da : dsco M d Rd e quello d un, avente massa M a e ragg nterno ed 1 esterno R 1 ed R è dato da : M a ( R1 + R ). Per trovare l momento d nerza spermentale, ssato l dsco al sensore d rotazone, aggancamo un lo alla pulegga meda e ponamo all estremtà del lo, che passa attraverso una carrucola ssata al sensore, un portamasse con una massa totale d 30 g. La caduta della massa determna, attraverso la tensone del lo che agsce tangenzalmente sulla pulegga del sensore, un momento torcente τ che pone n rotazone l sstema e qund l dsco. τ Dalla nota relazone τ α s può rcavare l momento d nerza, ove α è l accelerazone α angolare e τ T r l momento torcente che causa la rotazone. Dalla seconda legge della dnamca applcata alla massa traente : F mg T ma ottenamo, rsolvendo rspetto alla tensone : T m( g a). Poché attraverso l sotware possamo conoscere l valore della accelerazone angolare α, l calcolo della accelerazone lneare s otterrà dalla relazone : a rα, essendo r l raggo della pulegga del sensore d rotazone. Nota la tensone, s potrà calcolare l momento torcente e qund l momento d nerza del dsco. Per valutare l momento d nerza dell, porremo quest ultmo sopra l dsco e rpeteremo la procedura spermentale che c porterà a calcolare l momento d nerza complessvo del sstema dsco +. Sottraendo qund da questo momento d nerza totale l momento d nerza del solo dsco precedentemente calcolato, otterremo l momento d nerza dell. Calcoleremo nne le derenze percentual tra valor spermental e quell teorc de moment d nerza del dsco e dell. Calcolo de moment d nerza teorc del dsco e dell Utlzzamo l calbro e la blanca elettronca per le msure che c occorrono : Massa dsco M 118,3 g Raggo dsco Massa d R 4,73 cm d M 471 g a Raggo nterno R 1 6,9 mm Raggo esterno R 38,3 mm Raggo pulegga meda del sensore d rotazone r 14,5 mm Massa traente m 30 g Kgm² 6 (teorco) ½ 0,471 (6,9²+38,3²) ,16 10 Kgm² dsco (teorco) ½ 0,118 (0,0473)² 1,3 10 Predsposto l sotware Data studo per la raccolta de dat relatv alle grandezze poszone angolare e veloctà angolare, lascamo cadere la massa traente e vsualzzamo l andamento del graco poszone angolare ( ramo d parabola ) e veloctà angolare ( retta). L nterpolazone quadratca c consente d conoscere l valore dell accelerazone angolare del sstema α A, l nterpolazone lneare nel dagramma della veloctà angolare conerma questo valore nella pendenza della retta nterpolante punt spermental.

6 essendo α 9,4 rad/s² calcolamo l accelerazone lneare a r α 0,0145 9,4 0,46m / s La tensone è allora T ( 9,81 0,46) 0, N e l momento torcente : τ T r 0,94 0,0145 4,6 10 Nm Calcolamo percò l momento d nerza del dsco : τ 4,6 10 dsco ( spermentale) α 1,39 10 Kgm. 9,4

7 Valutamo qund l errore spermentale attraverso la derenza percentuale tra valor spermentale e teorco del momento d nerza del dsco: dsco ( spermentale) dsco ( teorco) (1,39 1,3) 10 5% dsco ( teorco) 1,3 10 Per la determnazone del momento d nerza dell, posamo l sopra l dsco e rpetamo la procedura spermentale. Dal graco relatvo alla poszone angolare rcavamo l accelerazone angolare α 6,49 rad/s². L accelerazone lneare della massa traente è adesso a rα 6,49 0,0145 0,094m / s e la tensone nel lo è T ( 9,81 0,094) 0,91N l momento torcente è τ T r 0,91 0,0145 4, 10 Nm percò l momento d nerza del τ 4, 10 sstema dsco+ rsulta : dsco+ 6,51 10 Kgm. α 6,49 l momento d nerza dell s rcava dalla derenza : dsco+ dsco (6,51 1,39) 10 5,1 10 Kgm². La derenza percentuale tra valor spermentale e teorco del momento d nerza dell è : ( teorco) ( spermentale) (5,16 5,1) 10 0,77%. ( teorco) 5,16 10 Verca del prncpo d conservazone del momento angolare Materale utlzzato Set d accessor per mot rotator Sensore d rotazone Statvo con base Blanca elettronca Calbro nteracca GLX Pasco Sotware Data Studo Computer Scopo dell espermento è quello d vercare che per un sstema nel quale l momento torcente rsultante è nullo, l momento angolare s conserva. Essendo natt τ ext L, nel caso n cu τ ext 0 s ha L 0 e qund L costante. Dopo aver ssato l dsco al sensore d rotazone, mprmamo manualmente una rotazone al dsco e po lascamo cadere delcatamente l sul dsco. Quando l è sul dsco ruotante, l momento torcente sul sstema è nullo n quanto l momento torcente sull è opposto a quello sul dsco ; per questo s conserva l momento angolare e sarà : L L ovvero ω ω.

8 l momento d nerza nzale è quello del solo dsco che sta ruotando e ω la sua veloctà angolare nzale mentre l momento d nerza nale è quello del sstema dsco + e ω la veloctà angolare del sstema. S nota n questa stuazone l analoga con l urto totalmente anelastco e quella ra conservazone del momento angolare nel moto rotatoro e conservazone della quanttà d moto nel moto traslatoro. Sono stat calcolat moment d nerza del dsco e del sstema dsco + nell espermento precedente : 1,39 10 Kgm dsco dsco+ 6,51 10 Kgm Predsposto l sotware Data Studo alla raccolta delle msure per la veloctà angolare analzzamo l relatvo graco e traamo da questo valor delle veloctà angolar prma e dopo la caduta dell sul dsco. Conrontamo due prodott 5 ω 1, ,59 4,4 10 kgm / s 5 ω 6, ,63 4,3 10 Kgm s / Tenendo conto che una parte dell energa del sstema è perduta attraverso l urto dell che cade sul dsco, la verca spermentale è d esto soddsacente.