ESERCIZIO n.1. rispetto alle rette r e t indicate in Figura. h t. d b GA#1 1

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1 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. ESERCZO n.1 Data la sezione ettangolae ipotata in Figua, deteminae: a) gli assi pincipali centali di inezia; ) l ellisse pincipale centale di inezia; c) il nocciolo centale di inezia; d) i momenti di inezia e t ispetto alle ette e t indicate in Figua. = = cm d = 5cm s = 6cm t d s A#1 1

2 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. 1. Deteminazione del aicento della sezione l aicento di una sezione ettangolae può essee immediatamente individuato come punto di intesezione di due assi di simmetia della sezione. Assunto il sistema di ifeimento (, ) indicato in Figua, isulta quindi: 15 = = = 7.5 cm, = = = 15 cm. = = cm Più in geneale, se non si sfutta la simmetia, le coodinate del aicento possono essee calcolate attaveso le fomule: S S =, = ; A A A#1

3 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. nelle quali A è l aea della sezione, mente S e agli assi e del sistema di ifeimento indicato in Figua. Si a dunque: S sono i momenti statici della sezione ispetto Aea A: A= = 15 = 45 cm Momento statico S ispetto all asse : da = d d = = cm d S = da = ( d) = d = = A 15 = = = 675 cm Momento statico S ispetto all asse : S = da = ( d) = d = = A 15 = = = 75 cm da = d Si può infine deteminae la posizione del aicento della sezione nel ifeimento (, ) consideato applicando le fomule pima ipotate ed esplicitate numeicamente pe il caso in esame; isulta: S 75 S 675 = = = 7.5 cm, = = = 15 cm. A 45 A 45 A#1

4 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A.. Deteminazione degli assi pincipali centali di inezia Nota la posizione del aicento della sezione in esame nel ifeimento (, ), gli assi aicentici e indicati in Figua sono ance assi pincipali centali di inezia pe la sezione in esame. Rispetto a tali assi infatti il momento di inezia centifugo isulta essee nullo, cioè =. Si icoda a tal poposito ce se una sezione possiede due assi di simmetia etta questi coincidono con gli assi pincipali centali di inezia. Di seguito gli assi pincipali centali di inezia saanno indicati con le lettee gece ξ ed η, come specificato in Figua. η = = cm = 7.5cm = ξ A#1 4

5 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A.. Deteminazione dell ellisse centale di inezia L ellisse centale di inezia, ifeita agli assi pincipali centali di inezia ξ e η, a equazione: ξ ρ η + = 1 η ρξ nella quale ρ ξ e ρ η sono i semiassi dell ellisse ce coincidono, com è noto, con i aggi giatoi di inezia della sezione espessi da: ξ η ρξ =, ρη =. A A Nelle elazioni pecedenti: A è l aea totale della sezione in esame; ξ e η sono i momenti pincipali centali di inezia della sezione ce, nel caso in esame, coincidono con i momenti del secondo odine e ispetto agli assi e. A#1 5

6 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A..1 Calcolo del momento pincipale centale di inezia della sezione ispetto all asse ξ l momento di inezia della sezione ispetto all asse ξ si calcola, pe definizione, attaveso il seguente integale: 15 4 ( ) = da = d = d = = + = = = 75 cm. ξ A da = d η d = = cm = 7.5cm = ξ Si vuole qui sottolineae il isultato notevole pe cui il momento di inezia di una sezione ettangolae ispetto all asse aicentico (paallelo alla ase ) è pai a =. 1 Tale elazione veà di seguito assunta come nota pe sezioni ettangolai e petanto pe valutae non si icoeà più al calcolo dell integale sopa ipotato. A#1 6

7 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A.. Calcolo del momento pincipale centale di inezia della sezione ispetto all asse η l momento di inezia della sezione ispetto all asse η si calcola, pe definizione, attaveso il seguente integale: 15 4 ( ) = da = d = d = = + = = = cm. η A η = = cm = 7.5cm = ξ da = d d Si vuole qui sottolineae il isultato notevole pe cui il momento di inezia di una sezione ettangolae ispetto all asse aicentico (paallelo all altezza ) è pai a =. 1 Tale elazione veà di seguito assunta come nota pe sezioni ettangolai e petanto pe valutae non si icoeà più al calcolo dell integale sopa ipotato. A#1 7

8 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A.. Ellisse centale di inezia Noti ξ e η, si possono in definitiva calcolae i aggi giatoi di inezia, si a: ξ 75 η ρξ = = = 8.66 cm, ρη = = = 4. cm. A 45 A 45 Questi ultimi definiscono l equazione dell ellisse centale di inezia nel ifeimento pincipale ( ξ, η ) pemettendone così la sua individuazione (effettuaile pe punti ad esempio) così come indicato in Figua. η = = cm = 7.5cm = ρ ξ ρ η ξ A#1 8

9 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. L individuazione dell ellisse, noti i semiassi ρξ ρ e ρη ρ, può condusi ance sfuttando una semplice costuzione gafica di seguito illustata e ipotata scematicamente nella Figua seguente. Costuzione gafica di un ellisse noti ce siano i suoi semiassi 1. Tacciae i semiassi e le ciconfeenze di cento aventi pe aggi i semiassi stessi;. Tacciata pe la geneica semietta, condue dalla sua intesezione A con la ciconfeenza intena la etta i paallela al semiasse maggioe, e dall intesezione B con la ciconfeenza estena la etta e paallela al semiasse minoe;. l punto E intesezione di i e e è punto dell ellisse; 4. Ripetee la costuzione pe un numeo di punti sufficiente alla costuzione dell ellisse. e E A B ρ ρ i A#1 9

10 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. 4. Deteminazione del nocciolo centale di inezia l nocciolo centale di inezia di una figua piana è il luogo dei centi elativi delle ette del piano ce non tagliano la figua o, nella polaità d inezia di cento il aicento della figua (polaità esistente ta le ette del piano e i simmetici ispetto a dei loo centi elativi), il nocciolo centale di inezia è il luogo degli antipoli delle ette del piano ce non tagliano la figua. l nocciolo è qui di seguito individuato attaveso la costuzione del suo contono e ciò, in paticolae, attaveso la deteminazione della posizione dei vetici dello stesso, deteminati come antipoli delle ette tangenti alla fontiea (o contono) della figua esa convessa. l contono del nocciolo centale di inezia della sezione ettangolae in esame è quindi una figua a 4 vetici ciascuno dei quali appesenta l antipolo di una delle tangenti al contono della sezione stessa. 4.1 Metodo analitico Le coodinate dei vetici R i ( i = 1,,,4) del nocciolo centale di inezia possono essee calcolate nel ifeimento otogonale (, ) pima consideato pevia deteminazione, nello stesso ifeimento, delle equazioni delle ette i ( i = 1,,, 4 ) tangenti al contono della figua. Nota infatti l equazione di una etta nel ifeimento (, ) intendesi valutate nel ifeimento (, ), nella foma a+ + 1 =, dove e sono da nello stesso ifeimento, a coodinate P (, ) ( ) ; ( ) = a + A = a + A P P e il pedice è omesso pe comodità, il suo antipolo, fonite da: P P nelle quali compaiono, olte ai coefficienti a e dell equazione della etta consideata, l aea A della sezione e i momenti del secondo odine della stessa sezione ispetto al ifeimento (, ) valutati in pecedenza. n paticolae: pe ette di equazione = 1, cioè paallele all asse, ponendo pe semplicità q = 1, dalle pecedenti isulta: P = ; P = qa qa pe ette di equazione = 1 a, quindi paallele all asse, ponendo q * = 1 a si a invece: P = ; * P = * qa qa A#1 1

11 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. Con ifeimento alla Figua, le ette tangenti al contono della sezione anno nel ifeimento (, ), le seguenti equazioni: etta 1 (paallela all asse ): = = = 15; etta (paallela all asse ): = = 15 = 7.5; etta (paallela all asse ): = = = 15; etta 4 (paallela all asse ): = = 15 = 7.5; Riepilogando, nel ifeimento (, ), le ette tangenti alla figua anno equazioni: 1 : = 15 : = 7.5 : = 15 4 : = = = cm = 7.5cm = A#1 11

12 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. Applicando le fomule pima iciamate, icodando ce nel caso in esame ξ ed η, si possono quindi calcolae le coodinate dei vetici R 1, R, R, e R 4, antipoli ispettivamente delle ette 1,,, e 4. Si calcola: coodinate punto R 1 (antipolo della etta 1 di equazione = 15, paallela all asse ): R = = cm; 5 ; 1 R = = = = cm 1 qa qa 6 6 coodinate punto R (antipolo della etta di equazione = 7.5, paallela all asse ): 15 R = = = =.5 cm; ; * R = = cm * qa 6 6 qa coodinate punto R (antipolo della etta di equazione = 15, paallela all asse ): R = = cm; 5 ; R = = = = cm qa qa 6 6 coodinate punto R 4 (antipolo della etta 4 di equazione = 7.5, paallela all asse ): 15 = R.5 cm;. * R cm * qa = 6 = 6 = = qa = Unendo i punti R i così individuati si ottiene il contono, e quindi il nocciolo centale di inezia della sezione, come illustato in Figua. Si icoda ce i lati del nocciolo sono le antipolai dei vetici 1 / 4 = = cm = 7.5cm = della sezione. Si osseva inolte ce, data la simmetia della sezione, ai fini della R individuazione del contono del nocciolo, è sufficiente deteminae le coodinate di due vetici, antipolai di due ette tangenti alla Figua / R 4 R e otogonali ta loo, ad esempio R 1 ed R o altenativamente R ed R 4. Nel caso in esame / R 1 infine, il nocciolo è un omo di diagonali pai a / e / (egola del tezo medio). / / / A#1 1

13 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. 4. Metodo gafico n altenativa alla pocedua analitica pima esposta, di seguito si popone un metodo gafico pe l individuazione dei vetici del nocciolo centale d inezia. l metodo è ipotato in sintesi, pe passi opeativi sequenziali e elativamente alla deteminazione di un solo vetice del nocciolo della sezione in esame, essendo la costuzione gafica facilmente ipetiile pe i estanti vetici. La costuzione è quella ce consente, data una figua piana della quale si sia deteminata l ellisse centale d inezia, di individuae l antipolo R di una qualsiasi etta del piano. Essa si asa su una elazione notevole della polaità d inezia di cento, nota come elazione di coniugio, espessa da: nella quale: ρ = R R ' è la etta paallela ad e passante pe il aicento della figua; ρ è il aggio giatoe d inezia ispetto a, definito dal semidiameto dell ellisse appatenente * alla diezione coniugata ad ; R è l antipolo della etta ; R è il coniugato di R ; R e R ' individuano i segmenti ispetto ai quali ρ è medio popozionale, come stailito dalla elazione di coniugio. Si imanda ai lii di testo consigliati pe i fondamenti teoici sui quali si asa la costuzione poposta. A#1 1

14 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. Con ifeimento alla Figua, i passi opeativi della costuzione poposta sono: #1 Nota l ellisse centale di inezia e fissata la tangente, della quale si vuole individuae l antipolo R, si tacciano le tangenti all ellisse paallele a, individuando così i punti di tangenza A e B ; # La etta passante pe i punti di tangenza A e B è la diezione * coniugata ad, la sua intesezione con è il punto R, coniugato di R ; il aggio giatoe ρ coincide con il semidiameto B (o A ); # Si uota B di 9 sì da dispolo sull otogonale pe alla diezione coniugata *, sia B ' il segmento così ottenuto; #4 Si unisce R con B e si conduce pe B l otogonale a R ' B ' sino ad intesecae la diezione coniugata * in R, antipolo della etta consideata e vetice del nocciolo centale di inezia della sezione. * A tg R B ρ B R tg Ripetendo la costuzione pe le alte tangenti alla Figua si individua in modo completo il nocciolo centale di inezia della sezione. A#1 14

15 Esecizi svolti di geometia delle aee Aliandi U., Fusci P., Pisano A., Sofi A. 5. Calcolo dei momenti di inezia ispetto alle ette e t Si calcolano infine i momenti di inezia ispetto alle ette e t mostate in Figua. Tali momenti possono essee calcolati utilizzando il teoema del taspoto; nel seguito e indicano i momenti di inezia della sezione ispetto agli assi aicentici e, ispettivamente paalleli alle ette e t. Momento di inezia della sezione ispetto alla etta = + A d ( 15 5) 175 cm + = + + = 4 Momento di inezia della sezione ispetto alla etta t t = + A + s = = 4 ( ) 945cm = = cm d = 5cm s = 6cm t d s A#1 15