Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche

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1 Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 17

2 index Operazioni 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 2 / 17

3 Operazioni Una operazione (binaria) su un insieme X è un applicazione Proprietà delle operazioni : X X X, (a, b) = a b. si dice associativa se, a, b, c X, si ha a (b c) = (a b) c; si dice commutativa se, a, b X, si ha a b = b a; un elemento u X si dice elemento neutro per se a X, si ha a u = u a = a. L elemento neutro, se esiste, è unico. Se : X X X ammette elemento neutro u, un elemento b X si dice inverso di a X se a b = b a = u. Se è associativa, l inverso si a, se esiste, è unico. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 3 / 17

4 Operazioni ESEMPI Le usuali operazioni + e su Z sono associative e commutative. 0 è l elemento neutro di +; ogni n Z ammette inverso (opposto) rispetto a + ed è n. 1 è l elemento neutro di ; gli unici n Z che ammettono inverso rispetto a sono 1 e 1. L operazione media : Q Q (a, b) a+b 2 è commutativa, non è associativa e non ammette elemento neutro. Sia S un insieme e sia X l insieme delle applicazioni da S a S. Il prodotto (composizione) di applicazioni è associativo, non commutativo e ammette elemento neutro (l applicazione identica). Le applicazioni che ammettono inversa sono quelle biunivoche. Sia N = {1, 2, 3,... }. L operazione su N massimo comun divisore : (n, m) MCD(m, n) è associativa, è commutativa, non ammette elemento neutro (dovrebbe essere multiplo di tutti i numeri primi p, infatti {MCD(p, u) = p} {p divide u}). L operazione su N minimo comune multiplo : (n, m) mcm(m, n) è associativa, è commutativa, ammette elemento neutro 1, non gli inversi. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 4 / 17

5 index Gruppi 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 5 / 17

6 Gruppi Sia G un insieme e un operazione su G. (G, ) si dice gruppo se è associativa; esiste elemento neutro e; ogni a G ammette inverso a 1 G.. Se è commutativa il gruppo si dice abeliano. ESEMPI Z, Q, R, C con l usuale operazione di somma sono gruppi abeliani; Q \ {0}, R \ {0}, C \ {0} con l usuale prodotto sono gruppi abeliani; l insieme delle applicazioni biunivoche (trasformazioni) di un insieme in sè con il prodotto (composizione) di applicazioni è un gruppo (in generale) non abeliano; in particolare le permutazioni ovvero trasformazioni di {1, 2,..., n} in sè costituiscono un gruppo (in generale) non abeliano; le matrici reali quadrate di ordine n con determinante diverso da 0 costituiscono un gruppo (non abeliano se n > 1) rispetto al prodotto riga per colonna. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 6 / 17

7 Gruppi PROPRIETÀ si possono scrivere espressioni del tipo (a (b c)); d senza usare le parentesi (associatività); l equazione a x = b ha una e una sola soluzione a, b (analogamente per x a = b); si possono definire le potenze di un elemento a esponente in Z a 0 = e, ricorsivamente a n = a n 1 a, a n = (a n ) 1, per n > 0; valgono le leggi di cancellazione {a b = a c} {b = c} e {b a = c a} {b = c}; valgono le usuali proprietà delle potenze (a m a n = a m+n ; (a m ) n = a mn e, se il gruppo è abeliano, (a b) n = a n b n. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 7 / 17

8 index Anelli 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 8 / 17

9 Anelli Sia A un insieme e +, due operazioni su A. (A, +, ) si dice anello se (A, +) è un gruppo abeliano (con unità denotata con 0) è associativa; ammette elemento neutro 1, valgono le proprietà distributive di rispetto a + ovvero a, b, c A si ha a (b + c) = a b + a c; (a + b) c = a c + b c. Se è commutativo l anello si dice commutativo. ESEMPI Z, Q, R, C con le usuali operazioni di somma e prodotto sono anelli commutativi; l insieme Z n delle classi di resti modulo n con le operazioni indotte dagli usuali somma e prodotto di interi è un anello commutativo; l insieme Q[x] (o R[x], o C[x]) dei polinomi a coefficienti in Q (o R o C) con l usuale somma e prodotto di polinomi è un anello commutativo; l insieme delle matrici reali quadrate di ordine n con la somma di matrici e il prodotto riga per colonna è un anello (non commutativo, se n > 1). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 9 / 17

10 index Campi 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 10 / 17

11 Campi Un anello commutativo (K, +, ) (con almeno due elementi) si dice campo se (K = K \ {0}, ) è un gruppo, ovvero tutti gli elementi di K diversi da 0 hanno inverso. ESEMPI Q, R, C con le usuali operazioni di somma e prodotto sono campi l insieme Z n delle classi di resti modulo n con le operazioni indotte dagli usuali somma e prodotto di interi è un campo se e solo se n è primo; l anello (Z, +, ) non è un campo: gli unici elementi invertibili sono +1 e 1; l anello (K[x], +, ) non è un campo: gli unici elementi invertibili sono le costanti non nulle; l anello delle matrici quadrate di ordine n > 1 non è un campo: le matrici a determinante 0 non hanno inversa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 11 / 17

12 index Tabelle di composizione 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 12 / 17

13 Tabelle di composizione Nel caso di insiemi finiti le operazioni possono essere descritte da tabelle di composizione. ESEMPI Z Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 13 / 17

14 Tabelle di composizione Z 5 Proprietà che si leggono facilmente da una tabella esistenza di elementi neutri; operazione interna in un sottoinsieme (ad es è interna in Z 5 \ {0}, ma non in Z 4 \ {0}); commutatività (corrisponde a simmetria della tabella); elementi che ammettono inverso; esistenza di un elemento con le cui potenze si generano tutti gli elementi del gruppo (gruppo ciclico). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 14 / 17

15 index Isomorfismo di strutture algebriche 1 Operazioni 2 Gruppi 3 Anelli 4 Campi 5 Tabelle di composizione 6 Isomorfismo di strutture algebriche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 15 / 17

16 Isomorfismo di strutture algebriche Due strutture algebriche (X, ) e (Y, ) si dicono isomorfe se esiste un applicazione biunivoca f : X Y che conserva i risultati delle operazioni,ovvero tale che a, b X si abbia f si dice isomorfismo f (a b) = f (a) f (b) Ad esempio sia D = {2 n n Z} e si consideri in D l usuale prodotto. (D, ) è un gruppo in cui l elemento neutro è 2 0 = 1 e l inverso di 2 n è 2 n. f : Z D definita da n 2 n è un isomorfismo tra (Z, +) e (D, ). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 16 / 17

17 Isomorfismo di strutture algebriche Il gruppo (R, ) delle rotazioni r n di centro O nel piano di multipli n 2π 3 di 2π 3 (n = 0, 1, 2) con la composizione di applicazioni è isomorfo al gruppo (Z 3, +). (R, ) e (Z 3, +) r 0 r 1 r r 0 r 0 r 1 r r 1 r 1 r 2 r r 2 r 2 r 0 r Nel caso di strutture finite l isomorfismo può essere letto nelle tabelle. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 17 / 17

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