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1 ASPETTI TEORICI Spazio vettoriale Un insieme qualunque di inniti elementi V = fv i g si dice uno spazio vettoriale sull'insieme dei numeri reali R se: { E possibile denire un'operazione binaria fra gli elementi di V ; tale operazione, detta somma dei due elementi, e indicata con (+). 8 V; W V, allora V + W e denito ed appartiene a V. { La somma (+) rende V un gruppo commutativo, cioe: i) V + W = W + V (Commutativita di+) ii) (V + W) + T = V +(W + T) (Associativita di +) iii) 9 0, tale che 0 + V = V + 0 = V 8 V V (Esistenza dello 0 per +) iv) 8 V V esiste uno ed uno solo W V tale che V + W = 0; W e detto l'opposto e si indica con W = V; la iv) diventa allora: 8 V V 9 ( V) V tale che V +( V)=V V=0 3 { Esiste un'altra operazione che associa ad ogni reale R e ad ogni V V ancora un elemento di V indicato con (V) opiu semplicemente V. 4 { Per l'operazione moltiplicazione per uno scalare si richiede che valgano le seguenti proprieta: i) (V) =()V ii) (V) = V; l'unita dir iii) ( + )V = V + V iv) (V + W) =V+W. Dimostrare che: ) 0V = 0 V ) Se R e 0 V ) 0 = 0 V ) Se V V ) ( )V = V V. Assegnato quindi un insieme V di elementi tali che siano soddisfatte le relazioni scritte, diremo che V e uno spazio vettoriale sui reali e che gli elementi di V sono i vettori dello spazio vettoriale. Il vettore 0 V e il vettore nullo e V il vettore opposto di V. (di spazi vettoriali) ) Le r uple dei reali. ) I polinomi di grado non superiore ad n. 3) Le funzioni denite in un intervallo. 4) Le funzioni analitiche in un intorno assegnato dello zero. 5) Le matrici n m 6) I vettori dello spazio ordinario. Base e dimensioni Un r upla di vettori v ; v ;:::;v r, si dice linearmente indipendente se: v + v + + r v r =0 =) = == r =0 I polinomi ; x;x ;x 3 sono linearmente indipendenti; infatti 0= + x+ 3 x + 4 x 3 =) = == 4 =0 Un insieme di r vettori si dice linearmente dipendente se non e linearmente indipendente cioe se v + v ++ r v r = 0 implica che qualche sia diverso da zero. ; x;x ; x ;x x+ x + 3 ( x )+ 4 x 3 =0 0 + x+( 3 )x + 4 x 3 =0 = 3 6=0 0 = = 4 =0:

2 Per uno spazio vettoriale che ha esattamente n vettori linearmente indipendenti massimali v ; v ;:::;v n, l'insieme dei vettori w; v ;:::;v n sono linearmente dipendenti cioe w + v + v + + n v n =0 con 6= 0. Se fosse = 0, non sarebbe l'insieme v ; v ;:::;v n linearmente indipendente massimale. Per il teorema precedente = w v +w v ++w n v n : w = v + Gli scalari w ;w ;:::;w n sono detti le componenti di w rispetto ai vettori v ; v ;:::;v n : v + + n v n = Si puo dimostrare che, se uno spazio vettoriale ha n vettori linearmente indipendenti massimali qualunque altro insieme di vettori linearmente indipendenti massimali e costituito pure esso da n vettori. Un insieme di n vettori linearmente indipendenti massimali si chiama base ed n la dimensione dello spazio vettoriale. Se lo spazio vettoriale non ha un numero nito di vettori linearmente indipendenti lo stesso viene detto essere dotato di base innita, ovvero che ha dimensione innita. Lo spazio delle n uple ha base: e =[;0;:::;0] e =[0;;:::;0] e n =[0;0;:::;] w =[w ;w ;:::;w n ]= =w [; 0;:::;0] + w [0; ;:::;0] + :::+w n [0; 0;:::;] = = w e + w e + +w n e n : (sui polinomi) p(x) =a+bx + cx + x 3 + +hx n = = a() + b(x)+c(x )+(x 3 )++h(x n ) p= a(e )+b(e )+c(e 3 )+d(e 4 )++h(e n+ ) : La dimensione e n + le componenti sono a; b; c, ovvero i coecienti del polinomio sono le componenti di esso rispetto alla base i =0;:::;n (sulle matrici) 3 4 a ::: ::: ::: a rs ::: ::: ::: a nm fe i+ g = fx i g 5 = a 4 0 ::: 0 0 ::: 0 ::: 0 costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione n m. Per le funzioni analitiche nell'intorno dell'origine f(x) =f(0)() + f 0 (0)! (x)+ f00 (0)! anm ::: ::: ::: ::: ::: (x )++ fr (0) (x r )+ r! 3 5 la base e: f;x;x ;:::;x r ;x r+ ;:::g

3 e le componenti sono i coecienti dello sviluppo in serie di Mac{Laurin delle f(x). Tale spazio vettoriale e innito dimensionale. Sottospazio vettoriale Un sottoinsieme U di V si dice un sottospazio vettoriale (s.s.v.) se i) 8 u; t U ) u + t U ii) u U 8 R Cioe U e esso stesso uno spazio vettoriale sui reali. Uno spazio vettoriale V n di dimensione n si dice somma diretta di V p e V q se: V q \ V p = f0g p + q = n I binomi di tipo P = fax + bx 3 g a;br P k (k 3) costituiscono un s.s.v. dei polinomi di grado non superiore a k. Infatti se: u = ax + bx 3 P t = a 0 x + b 0 x 3 P allora: u + t =(a+a0 )x +(b+b 0 )x 3 P u=(a)x +(b)x 3 P La dimensione di P e due. Se bu e un versore, i vettori del tipo fbug = fbug R costituiscono un s.s.v. di dimensione uno, detto s.s.v. generato da bu. Infatti: bu + bu =(+)bu (bu)=()bu 8 Dare la denizione di somma diretta di piu di due s.s.v. Dimostrare che ogni spazio vettoriale di dimensione n e somma diretta di n sottospazi vettoriali di dimensione generati dai vettori di base. Dimostrare che il vettore nullo appartiene ad ogni s.s.v. Spazi Euclidei o con prodotto scalare Uno spazio vettoriale e detto spazio vettoriale euclideo o con prodotto scalare, se per ogni coppia di vettori (v; w) risulta denito uno scalare detto appunto il prodotto scalare di v e w tale che: Commutativita i) u; v) =(v;u) Distributivita ii) (u + v; w) =(u;w)+(v;w) Associativita col prodotto per uno scalare iii) (v; w) =(v;w) iv) (v; v) 0 e (v;v)=0() v = 0 Poiche per la iv) (v; v) 0, si denisce norma o modulo di v lo scalare positivo jvj = p (v; v) =(v;v) : Il modulo del vettore nullo e zero (ed e l'unico vettore ad avere il modulo nullo!) 3

4 Il prodotto scalare appena introdotto gode di alcune proprieta che ora metteremo in evidenza. DiseguaglianzadiSchwartz 8 R; (u + v; u + v) =(ju+vj) = = jv j+(u;v)+ju j0 Essendo il trinomio non negativo qualunque sia, deve essere 4 0; cioe: (u; v) jvj juj 0 ovvero la diseguaglianza Angolof raduevettori Dalla diseguaglianza di Schwartz segue: (u; v) jujjvj (u; v) jujjvj questo consente di denire l'angolo (du; v) come in gura (4:) Due vettori u e v si dicono ortogonali se (u; v) =0. T eoremadip itagoraediseguaglianzatriangolare Dalla diseguaglianza di Swartz segue, per = cos(du; v) = (u;v) jujjvj : ju+vj =juj +(u;v)+jvj e da questa, se i vettori u e v sono ortogonali, segue il teorema di Pitagora (g. (4.)): ju + vj = juj + jvj ovvero, facendo uso della diseguaglianza di Schwartz, ju + vj juj +jujjvj + jvj =(juj+jvj) cioe ladiseguaglianza triangolare ju + vj juj+jvj: Spazio ane di punti Un insieme i cui elementi si chiamano punti A;B;C;:::e detto uno spazio ane modellato sullo spazio vettoriale V n e si indica con E n,see denita una legge che associa ad ogni coppia di punti A e B di E n un vettore V di V n tale che: ) Se AB! V ) BA! V ) Se AB! V e BC! W ) AC! V + W 3) 8 0 E n e 8 V V n 9 uno ed uno solo A E n tale che 0A! V I vettori dello spazio V n si dicono liberi. Mentre ogni coppia di punti AB tale che AB! V si dice vettore V applicato in A e si indica anche con (A; V). Vericare che lo spazio ordinario si puo considerare uno spazio ane euclideo modellato su 3. 4

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