Sistemi di Numerazione

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1 Sistemi di Numerazione un sistema di numerazione è definito da il numero di differenti simboli utilizzati per rappresentare i numeri (BASE) i Sumeri usavano un sistema sessagesimale, basato su 60 simboli (~000 a.c.) attualmente è usato il sistema decimale, basato su 0 simboli (sistema di numerazione Hindu-Arabic ~300 a.c.) nei calcolatori i numeri sono rappresentati mediante un sistema binario, basato simboli (Liebnitz, XVII secolo) cifre binarie 0, il metodo di combinazione delle cifre che compongono un numero; in particolare un sistema di numerazione è addizionale se il numero si ottiene sommando i simboli che lo rappresentano posizionale se la posizione di un simbolo in un numero determina il valore di quella cifra in termini di una potenza della base; in questo caso una stessa cifra assume valore diverso in dipendenza dalla sua posizione nella stringa che rappresenta un numero - Sistemi di numerazione - - Sistemi di numerazione - Sistema Numerico Binario (Liebnitz, XVII secolo) in un circuito digitale lo 0 può essere realizzato portando il punto considerato ad un livello di tensione basso (ad esempio tra 0 ed volt) Si dice Sistema Binario un sistema di numerazione basato su due soli simboli. Convenzionalmente si considerano le cifre 0, alla base dell hardware di un calcolatore ci sono le porte (gate), piccolissimi dispositivi elettronici in grado di combinare input digitali (segnali a valori logici) la cifra può essere realizzata portando il punto considerato ad un livello di tensione alto (ad esempio tra e 5 volt) l uso del sistema binario nei computer è conveniente per motivi tecnici - Sistemi di numerazione Sistemi di numerazione 4 -

2 Operazione di somma quando sommiamo 6 a 7 scriviamo 3 con il riporto di, successivamente sommiamo il riporto a 5 e così via il riporto si ha quando la somma supera 0 Operazione di prodotto il riporto si ha quando la somma supera - Sistemi di numerazione Sistemi di numerazione 6 - Operazione di differenza Conversione di un intero dal sistema binario a quello decimale Esempio prestito di dalla cifra immediatamente a sinistra Sistemi di numerazione Sistemi di numerazione 8 -

3 Le cifre di un numero espresso nel sistema binario rappresentano i coefficienti di un polinomio in base Ad esempio 0000 * 7 + * 6 + 0* 5 +* 4 + 0* 3 + 0* +* + 0* rappresentazione in base 0 ciascuna cifra corrisponde ad una potenza di la cifra meno significativa è l ultima leggendo da sinistra Conversione di un decimale dal sistema binario a quello decimale Esempio Sistemi di numerazione Sistemi di numerazione 0 - Conversione di un intero dal sistema decimale a quello binario Esempio resti nelle 0 9 divisioni per Le cifre della rappresentazione binaria si ottengono considerando i resti di successive divisioni per due, dall ultimo resto ottenuto verso il primo - Sistemi di numerazione - Conversione di un decimale dal sistema decimale a quello binario Esempio Parti intere nelle moltiplicazioni per Le cifre della rappresentazione binaria si ottengono considerando le parti intere di successive moltiplicazioni per due - Sistemi di numerazione - 3

4 Sistema Numerico Esadecimale Il sistema di numerazione esadecimale (HEX) si basa su sedici cifre 0,,,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F il sistema esadecimale è posizionale la conversione esadecimale decimale si effettua in maniera analoga a quella binario decimale ( naturalmente usando le potenze di 6) - Sistemi di numerazione 3 - ESADECIMALE BINARIO DECIMALE A 00 0 B 0 C 00 D 0 3 E 0 4 F 5 - Sistemi di numerazione 4 - La conversione dal sistema esadecimale a quello binario si realizza facilemente osservando che ogni cifra nella rappresentazione in base 6 corrisponde a 4 cifre nella rappresentazione in base Esempio 3F5 6 La conversione dal sistema binario a quello esadecimale si realizza raggruppando le cifre della rappresentazione in base in blocchi di 4 a partire da quella meno significativa e convertendo tali blocchi nel sistema in base 6 Esempio D D Sistemi di numerazione Sistemi di numerazione 6-4

5 Sistema Numerico Romano (notazione additiva) I romani usavano alcune lettere dell'alfabeto per rappresentare i numeri MMMCCVII MMCXCVIII In base alla tabella, per esempio, si ha XXX MDLXXXVII XII MCMXCIX - Sistemi di numerazione Sistemi di numerazione 8 - Sistema Numerico Decimale Il sistema decimale usa i simboli 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 le cifre del numero rappresentano i coefficienti di un polinomio in base 0 ad esempio: 00 unità 0 unità 3 unità Un altro esempio: può essere scomposto i n questo modo: (3x0 6 ) + (0x0 5 ) + (9x0 4 ) + (8x0 3 ) + + (3x0 ) + (x0 ) + (3x0 0, o 3x) leggendo da destra verso sinistra: il primo 3 rappresenta 3 unità il secondo 3 trecento unità il terzo 3 tre milioni d unità - Sistemi di numerazione Sistemi di numerazione 0-5

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(71,1), (35,1), (17,1), (8,1), (4,0), (2,0), (1,0), (0,1) 0, 7155 2 = 1, 431 0, 431 2 = 0, 862 0, 896 2 = 1, 792 0, 724 2 = 1, 448 0, 448 2 = 0, 896 2 Esercizio 2.2 La rappresentazione esadecimale prevede 16 configurazioni corrispondenti a 4 bit. Il contenuto di una parola di 16 bit può essere rappresentato direttamente con 4 digit esadecimali, sostituendo

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