Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Ileana Pelicioli. matematica. Corso base

Transcript

1 Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Ileana Pelicioli matematica Corso base LGEBR

2 Loescher Editore I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L'acquisto della presente copia dell'opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce. Fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale) nei limiti del 5% di ciascun volume possono essere effettuate negli esercizi che aderiscono all accordo tra SIE - IE - SNS e CN - Confartigianato - CS - Confcommercio del 8 dicembre 2000, dietro pagamento del compenso previsto in tale accordo; oppure dietro pagamento alla SIE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 94 n Per riproduzioni ad uso non personale l editore potrà concedere a pagamento l autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 5% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a: ssociazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere dell ingegno (IDRO) Corso di Porta Romana n. 08, 2022 Milano segreteria@aidro.org e sito web L editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale. La riproduzione a mezzo fotocopia degli esemplari di tali opere esistenti nelle biblioteche è consentita, non essendo concorrenziale all opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nel contratto di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all art. 7 - per legge diritto d autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: Ristampe N ISBN Nonostante la passione e la competenza delle persone coinvolte nella realizzazione di quest opera, è possibile che in essa siano riscontrabili errori o imprecisioni. Ce ne scusiamo fin d ora con i lettori e ringraziamo coloro che, contribuendo al miglioramento dell opera stessa, vorranno segnalarceli al seguente indirizzo: Loescher Editore s.r.l. Via Vittorio medeo II, 8 02 Torino Fax clienti@loescher.it Loescher Editore S.r.l. opera con sistema qualità certificato CERMET n secondo la norma UNI EN ISO Contributi: - progettazione e stesura delle schede Matematica & realtà: Paola Sardella Realizzazione editoriale e tecnica: Capoverso s.r.l. - Torino - redazione: Paolo Bianco, Irene Cerutti - indici analitici: Teresa Boggio - laboratorio informatico: Teresa Morgante, Paola Porta - progetto grafico e impaginazione: Filippo Cabiddu, Gianluigi Bertin - ricerca iconografica: Stefania Bessone - disegni: Stefania Francescutto Redattore responsabile: Paola Cardano Ricerca iconografica: Emanuela Mazzucchetti Copertina: Visual Grafika - Torino Stampa: La Grafica - Boves (CN)

3 Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Ileana Pelicioli Matematica. Corso base Gli insiemi numerici C Il calcolo letterale D Equazioni e disequazioni di primo grado E La retta nel piano cartesiano e i sistemi di primo grado LOESCHER EDITORE

4 Indice GLI INSIEMI NUMERICI U matematica & storia matematica & storia Gli insiemi numerici: i numeri naturali TEORI S L evoluzione storica dei sistemi di numerazione (prima parte) 4 Gli insiemi Rappresentazione di un insieme ncora sul concetto di insieme 8 39 Insiemi uguali 8 39 L insieme vuoto 9 40 Sottoinsieme di un insieme 9 40 Proprietà dell inclusione 9.3 Operazioni tra insiemi: l'intersezione e l'unione 0 4 Intersezione tra insiemi 0 Unione tra insiemi 0 Proprietà dell intersezione e dell unione tra insiemi 0 2 Le operazioni in un insieme 42 3 I numeri naturali Confronto tra numeri naturali 5 4 Operazioni in ddizione 7 Proprietà dell addizione Moltiplicazione 8 Proprietà della moltiplicazione Operazioni non sempre possibili 9 Sottrazione 9 Divisione I numeri 0 e Elevamento a potenza Proprietà delle potenze Espressioni aritmetiche Divisibilità Massimo comune divisore e minimo comune multiplo Massimo comune divisore di numeri naturali 25 Numeri primi tra loro Minimo comune multiplo di numeri naturali 26 7 Divisione con resto lgoritmo di Euclide per la ricerca del M.C.D I sistemi di numerazione I sistemi di numerazione additivi 28 I sistemi di numerazione posizionali Il sistema di numerazione binario 32 6 Dalla base 2 alla base Dalla base 0 alla base ddizione 33 Sottrazione 33 Moltiplicazione 33 Divisione 34 Operazioni nel sistema binario 62 S L evoluzione storica dei sistemi di numerazione (seconda parte) 35 Q Questionario 63 V Verifica finale 66 II

5 Indice U 2 matematica & realtà Gli insiemi numerici: i numeri razionali assoluti TEORI Le frazioni Riduzione di una frazione ai minimi termini 7 90 Riduzione di due o più frazioni allo stesso denominatore I numeri razionali assoluti: l insieme a 72 9 Confronto tra numeri razionali assoluti Operazioni in a ddizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione Elevamento a potenza Espressioni aritmetiche I numeri decimali Frazioni decimali Frazioni riconducibili a frazioni decimali Frazioni non riconducibili a frazioni decimali 79 Numeri decimali periodici semplici 79 Numeri decimali periodici misti Frazione generatrice di un numero decimale 8 Frazione generatrice di un numero decimale finito 8 Frazione generatrice di un numero decimale periodico Espressioni aritmetiche Le proporzioni Proprietà delle proporzioni Serie di rapporti Le percentuali Il calcolo approssimato R Guadagni di meno e lavori di più. O no? 88 Q Questionario 08 V Verifica finale U 3 Gli insiemi numerici: i numeri relativi TEORI I numeri relativi I numeri interi relativi 5.2 I numeri razionali relativi 5.3 Confronto tra numeri relativi Operazioni tra numeri relativi ddizione e sottrazione: la somma algebrica Moltiplicazione La divisione: un operazione non sempre possibile Elevamento a potenza Potenze con base un numero relativo ed esponente naturale Proprietà delle potenze 20 Potenze con base un numero relativo ed esponente un numero intero Espressioni algebriche Introduzione ai numeri reali Q Questionario 45 V Verifica finale 48 M Matematica ricreativa 50 III

6 Indice IL CLCOLO C LETTERLE U matematica & storia Il calcolo letterale: monomi e polinomi TEORI S L evoluzione storica dell algebra C 4 Il calcolo letterale C 8 C 32 2 I monomi C 0 C Definizioni e caratteristiche C Operazioni tra monomi C 2 C 35 ddizione e sottrazione C 2 C 35 Moltiplicazione C 3 C 38 Divisione C 4 C 40 Elevamento a potenza C 5 C 42 Espressioni con i monomi C 5 C Massimo comune divisore e minimo comune multiplo tra monomi C 6 C 45 Massimo comune divisore tra monomi C 6 Minimo comune multiplo tra monomi C 7 Q Questionario (I monomi) C 46 V Verifica finale (I monomi) C 48 3 I polinomi C 7 C Definizioni e caratteristiche C Operazioni tra polinomi C 20 C 53 ddizione e sottrazione C 20 C 53 Moltiplicazione di un monomio per un polinomio C 22 C 56 Moltiplicazione tra polinomi C 23 C 58 Divisione di un polinomio per un monomio C 25 C 62 Espressioni con i polinomi C I prodotti notevoli C 26 C 64 Quadrato di un binomio C 27 Quadrato di un trinomio C 28 Prodotto della somma di due termini per la loro differenza C 28 Cubo di un binomio C 29 matematica & realtà R Prezzi pazzi! C 3 Q Questionario (I polinomi) C 76 V Verifica finale (I polinomi) C 78 U 2 Divisione tra polinomi TEORI Divisione tra polinomi in una sola variabile C 82 C 90 2 La regola di Ruffini C 84 C 93 3 Divisione tra polinomi con coefficienti letterali C 86 C 96 4 Teorema del resto C 87 C 98 5 Divisibilità tra polinomi C 88 C 99 Q Questionario C 0 V Verifica finale C 03 IV

7 U 3 Scomposizione di un polinomio in fattori Indice TEORI Introduzione C 06 2 Raccoglimento totale C 06 C 6 3 Raccoglimento parziale C 07 C 23 V Verifica intermedia C 32 4 Scomposizione di polinomi con i prodotti notevoli C 08 C Scomposizione di un trinomio, quadrato di un binomio C 09 C Scomposizione di un polinomio, quadrato di un trinomio C 09 C Scomposizione di un quadrinomio, cubo di un binomio C 0 C Scomposizione di un binomio, differenza di due quadrati C 0 C 40 5 Scomposizione di un particolare trinomio di secondo grado C C 46 6 Scomposizione di polinomi con la regola di Ruffini C 2 C 49 7 Scomposizione della differenza e della somma di due cubi C 4 C 5 7. Scomposizione di a 3 b 3 C Scomposizione di a 3 + b 3 C 4 Esercizi di scomposizioni combinate C 52 Schema riassuntivo per la corretta scomposizione di un polinomio C 53 8 Massimo comune divisore e minimo comune multiplo tra polinomi C 4 C 59 Q Questionario C 60 V Verifica finale C 63 M Matematica ricreativa C 64 U 4 Le frazioni algebriche TEORI Le frazioni algebriche C 68 C 78. Condizioni di esistenza di una frazione algebrica C 68 C 78 2 Semplificazione di frazioni algebriche C 69 C 80 Frazioni algebriche equivalenti C 84 3 Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore C 70 C 87 4 Operazioni con le frazioni algebriche C 7 C ddizione e sottrazione C 7 C 89 V Verifica intermedia C Moltiplicazione C 72 C Divisione C 73 C Elevamento a potenza C 74 C 99 5 Espressioni con le frazioni algebriche C 74 C 99 6 Espressioni con frazioni a termini frazionari C 76 C 203 Q Questionario C 205 V Verifica finale C 208 V

8 Indice EQUZIONI E DISEQUZIONI D DI PRIMO GRDO U Equazioni lineari in una incognita TEORI Le equazioni D 4 D 20 2 Equazioni in una incognita D 4 D 22 3 Princìpi di equivalenza D 5 D 23 4 Classificazione delle equazioni D 9 D 25 5 Grado di un'equazione D 9 D 26 6 Equazioni lineari D 0 D 26 7 Soluzione di un'equazione lineare in una incognita D 0 D Equazioni lineari intere numeriche D 0 D Equazioni numeriche fratte riconducibili a equazioni lineari D D 32 V Verifica intermedia D Equazioni lineari intere letterali D 3 D Equazioni letterali fratte riconducibili a equazioni lineari D 4 D Equazioni di grado superiore al primo risolvibili con scomposizioni in fattori D 6 D 54 8 Risolvere un problema D 7 D 56 Problemi vari risolvibili senza equazione D 56 Problemi di geometria risolvibili senza equazione D Il problema di primo grado D 8 D 64 Problemi di algebra e problemi vari risolvibili con equazioni di primo grado D 64 Problemi di geometria risolvibili con equazioni di primo grado D 67 Q Questionario D 70 V Verifica finale D 73 M Matematica ricreativa D 75 U 2 matematica & realtà Le disequazioni di primo grado TEORI Disequazioni in una incognita D 80 D 00 Rappresentazione grafica di intervalli D 8 2 Princìpi di equivalenza D 82 D 0 3 Grado di una disequazione D 84 4 Soluzioni di una disequazione D 85 D Disequazioni lineari D 85 D Particolari disequazioni intere di grado superiore al primo D 87 D 07 Disequazioni scritte come prodotto di più fattori di primo grado D 89 Disequazioni scritte come potenza di un binomio D 9 D Disequazioni fratte D 92 D 0 Disequazioni fratte in cui numeratore e denominatore sono binomi di primo grado D 92 Disequazioni fratte in cui numeratore e denominatore sono scomponibili in prodotti di polinomi di primo grado D 94 5 Sistemi di disequazioni D 95 D 3 R Vacanze. Si parte! D 98 Q Questionario D 7 V Verifica finale D 9 VI

9 3 Indice U Equazioni e disequazioni con i valori assoluti TEORI Il valore assoluto D 22 D 32 2 Equazioni con i valori assoluti D 22 D 32 3 Disequazioni con i valori assoluti D 26 D 36 Q Questionario D 42 V Verifica finale D 43 E L RETT NEL PINO CRTESINO E I SISTEMI DI PRIMO GRDO U Sistemi di equazioni di primo grado TEORI matematica & realtà U Il piano cartesiano: la retta TEORI 2 Sistemi di equazioni di primo grado E 4 E 22 2 Sistemi equivalenti E 7 3 Metodi di risoluzione di sistemi lineari E 7 E Metodo di sostituzione E 7 E Metodo del confronto E 9 E Metodo di riduzione E 0 E Metodo di Cramer E 2 E 33 Sistemi lineari (esercizi di riepilogo) E 36 4 Sistemi di equazioni fratte E 4 E 44 5 Sistemi di tre equazioni in tre incognite E 5 E 47 6 Sistemi risolvibili con opportune sostituzioni E 7 E 52 7 Problemi che si risolvono con sistemi E 8 E 54 Problemi di geometria E 56 R L alimentazione e i sistemi lineari E 20 Q Questionario E 58 V Verifica finale E 60 Il sistema di riferimento: l'asse reale E 64 E 98. Distanza tra due punti su una retta orientata E 65 E 98.2 scissa del punto medio di un segmento E 66 E 99 2 Il sistema di riferimento: il piano cartesiano E 66 E Distanza tra due punti nel piano cartesiano E 69 E Punto medio di un segmento E 72 E 04 3 Le funzioni nel piano cartesiano E 73 Problemi di geometria analitica E 05 4 La retta nel piano cartesiano E 74 E 07 5 Equazione della retta in forma implicita E 85 E 0 6 Equazione della retta passante per un punto e di coefficiente angolare noto E 86 E 7 Equazione della retta passante per due punti E 88 E 2 8 Rette parallele E 90 E 4 VII

10 Indice TEORI 9 Rette perpendicolari E 92 E 5 0 Intersezione tra rette E 95 E 7 Problemi sulla retta E 9 Q Questionario E 22 V Verifica finale E 26 M Matematica ricreativa E 27 ppendici Laboratorio di informatica E 30 Formulario E 52 Indice analitico E 55 VIII

11 Gli insiemi numerici Sommario del modulo UNITÀ Gli insiemi numerici: i numeri naturali S L evoluzione storica dei sistemi di numerazione (prima parte) 4 Gli insiemi Le operazioni in un insieme 42 3 I numeri naturali Operazioni in Divisibilità Massimo comune divisore e minimo comune multiplo Divisione con resto I sistemi di numerazione S L evoluzione storica dei sistemi di numerazione (seconda parte) 35 Q Questionario 63 V Verifica finale 66 TEORI UNITÀ 2 Gli insiemi numerici: i numeri razionali assoluti Le frazioni I numeri razionali assoluti: l insieme a Operazioni in a I numeri decimali Le proporzioni Le percentuali Il calcolo approssimato R Guadagni di meno e lavori di più. O no? 88 Q Questionario 08 V Verifica finale UNITÀ 3 Gli insiemi numerici: i numeri relativi TEORI TEORI I numeri relativi Operazioni tra numeri relativi Introduzione ai numeri reali Q Questionario 45 V Verifica finale 48 M Matematica ricreativa 50

12

13 [unità] Gli insiemi numerici: i numeri naturali [ S ] L evoluzione storica dei sistemi di numerazione (prima parte) 4 [ ] Gli insiemi 7 [ 2 ] Le operazioni in un insieme [ 3 ] I numeri naturali 4 [ 4 ] Operazioni in 7 [ 5 ] Divisibilità 24 [ 6 ] Massimo comune divisore e minimo comune multiplo 25 [ 7 ] Divisione con resto 27 [ 8 ] I sistemi di numerazione 28 [ S ] L evoluzione storica dei sistemi di numerazione (seconda parte) 35 [ E ] Esercizi 38 [ Q] Questionario 63 [ V ] Verifica finale 66 PREREQUISITI OBIETTIVI Conoscere elementi di teoria degli insiemi. Saper formulare le proprietà delle operazioni. Saper individuare in un insieme le proprietà di cui gode un operazione interna ad esso. Precisare il concetto di operazione. Saper formulare le proprietà delle operazioni. Saper individuare in un insieme le proprietà di cui gode un operazione interna ad esso. Riprendere il concetto di numero e acquisire il concetto di numero naturale. Esaminare le caratteristiche dell insieme, con particolare attenzione al confronto tra numeri. Riesaminare le operazioni in e le loro proprietà. Saper scomporre in fattori primi un numero naturale. Saper trovare M.C.D. e m.c.m. tra due o più numeri naturali. Saper calcolare espressioni aritmetiche. cquisire il concetto di sistema di numerazione posizionale. Saper trasformare un numero dalla base 0 alla base 2 e viceversa. Saper eseguire le operazioni nel sistema binario.

14 unità Elementi di teoria degli insiemi Matematica storia & PRIM PRTE L evoluzione storica dei sistemi di numerazione Osso inciso con tacche che indicano raggruppamenti numerici (5 000 anni fa circa) Per «numerazione» si intende un insieme di regole per enunciare e scrivere i numeri. Quando in tempi e in luoghi diversi i numeri fecero la loro comparsa, si affacciò l esigenza di un sistema che permettesse di indicarli, a voce e per iscritto, impiegando poche parole e pochi segni fondamentali. Ogni popolo escogitò un proprio sistema di numerazione parlato e scritto: così, nel corso della storia, furono molti i sistemi che si affermarono e poi scomparvero. ncora oggi permangono diversi sistemi, ma il più diffuso nel mondo è il sistema di numerazione decimale. Gli albori dei sistemi di numerazione lcune scoperte archeologiche suggeriscono che l idea di numero sia molto più antica rispetto alla nascita della civiltà e della scrittura stessa: si è trovata traccia di conteggi da parte dell uomo di Neandertal, oltre anni fa; inoltre, particolarmente interessante è la scoperta di ossa di animali, risalenti a 5000 anni fa, profondamente incise con intaccature riunite in gruppi di cinque o multipli di cinque (FIG. ). ltre testimonianze sono rappresentate da incisioni di un segno per ogni unità sulle cortecce degli alberi, nodi in corde di liana, mucchietti di pietruzze o conchiglie o bastoncini, uno per ogni animale contato, dal momento che la necessità di contare nasceva dall attività della pastorizia. Ma l uomo aveva a sua disposizione la possibilità di una «corrispondenza biunivoca» costantemente sotto i propri occhi e quando i nostri antenati se ne accorsero cominciarono a fare i conti servendosi delle dita delle mani e dei piedi. 4 Per le computazioni di entità superiori fu creata una base di riporto: dieci dita delle mani per il numero 0, venti dita (mani e piedi) per il numero 20 e per passare a 2 un uomo più un dito. La base di riporto su cui poggiano i calcoli è quindi il 0 e da qui è nata la nostra base di conteggio, ossia il sistema decimale. Se l uomo avesse avuto soltanto quattro oppure sette dita, probabilmente sarebbe nato un sistema quaternario o settenario. Esempi di questo tipo, tuttavia, esistono: gli indiani della tribù Yuki della California contavano per quattro perché si servivano dell interspazio esistente tra le dita di una mano, mentre la scala binaria è usata da molte tribù australiane. d esempio, i Gumulgal, popolazione neolitica australiana, contavano in base due; questo rendeva difficile contare per grandi numeri e la confusione linguistica che ne derivava era grande, come appare da questi esempi: = urapum 2= okasa 3= okasa urapum (ovvero due più uno) 4= okasa okasa (ovvero due più due) 5 = okasa okasa urapum 6 = okasa okasa okasa Successivamente furono utilizzate altre basi: la base 2 e la base 60 ebbero successo, tanto che ne conserviamo le tracce nel sistema di misura imperiale e nella misura degli angoli e del tempo. La lingua francese conserva ancora traccia del sistema di numerazione in base 20: infatti, per dire 80 si dice quatre-vingt («quattro volte venti»). I numeri servono non solo a contare ma anche a calcolare, os-

15 unità sia a elaborare dati per ottenere informazioni supplementari. Il termine «calcoli», infatti, che deriva dal latino calculus, cioè «pietruzza», designava le pietre che portavano incisioni geometriche e che servivano per contare. nche i Sumeri usavano i «calcoli», che erano sassolini sagomati (un cono piccolo =, una sfera piccola = 0, un cono grande = 60 ecc.). ltri popoli antichi, invece, per fare i calcoli non usavano cifre scritte ma oggetti fisici, come abachi e pallottolieri, oppure come i quipos incas, cordicelle variamente annodate in uso in Sudamerica dal XII al XIV secolo. Il limite di questi strumenti deriva dal fatto che i conti così eseguiti non hanno «memoria», ossia non permettono di ripercorrere le fasi di calcolo. Inoltre, per contare è utile rappresentare graficamente i numeri; per questo motivo quasi tutte le civiltà inventarono simboli. Un altro problema è sempre stato quello di scrivere, con un numero limitato di simboli, un numero illimitato di numeri, dato che non si poteva avere un simbolo per ogni numero; vennero così inventati, in tempi diversi e presso popolazioni diverse, vari sistemi di numerazione. La creazione dei «simboli numerici» rappresentò un passo fondamentale nel processo di astrazione matematica. La matematica babilonese Prima di giungere alla matematica dei Babilonesi e degli Egizi non c è traccia di livelli matematici più avanzati. Va innanzitutto specificato che il termine «Babilonese» copre un insieme di popolazioni (Sumeri, ccadi, ssiri) che contemporaneamente o successivamente occuparono l area mediorientale situata tra i fiumi Tigri ed Eufrate e nelle loro vicinanze; questa regione è conosciuta come Mesopotamia e oggi fa parte dell Iraq. Le principali informazioni provengono da testi scritti su tavolette di argilla tramite incisioni a forma di cuneo (da cui il nome di scrittura cuneiforme) praticate con uno stilo a sezione triangolare (FIG. 2). Per scrivere i numeri le popolazioni usavano solo due segni: l uno verticale, per denotare 0 unità, e l altro obliquo, per rappresentare unità; analogamente, per rappresentare 60 unità usavano un segno obliquo tracciato con uno stilo di maggiori dimensioni, mentre un segno verticale indicava 3600 unità. Per rappresentare numeri intermedi si ricorreva a combinazioni di questi segni (FIG. 3). Le caratteristiche del sistema di numerazione babilonese che più colpiscono sono la base 60 e la notazione posizionale. È stata avanzata l ipotesi che possano avervi contribuito considerazioni di carattere astronomico o che il sistema sessagesimale sia risultato dalla combinazione naturale di due sistemi più antichi: l uno decimale e l altro in base 6. ppare più verosimile l ipotesi che sia stata consapevolmente adottata e riconosciuta come fondamentale ai fini della misurazione: una grandezza di 60 unità può essere facilmente suddivisa in metà, terzi, quarti, quinti offrendo così dieci suddivisioni possibili. Come abbiamo già detto, essa continua a sopravvivere, nonostante la struttura fondamentalmente decimale della nostra mentalità, nelle unità di misura del tempo e degli angoli. Dalle Tavole di Senkreh (scoperte nel 854 sulle rive dell Eufrate e risalenti al a.c.) risul- 5 2 L 3 L Tavoletta sumerica in scrittura cuneiforme Kader bdolah, Scrittura cuneiforme, trad. it. di E. Svutalo Moreolo, Milano, Iperborea, /antica/gilgamesh/scrittura.htm Tavoletta babilonese per il calcolo dei movimenti di Giove L. Bunt, P. Jones e J. Bedient, Le radici storiche delle matematiche elementari, Bologna, Zanichelli, /rasesnu/babilo.htm

16 unità 4 Papiro egizio, tratto da un Libro dei morti, con iscrizioni geroglifiche /archimede/note_storia/numeri /numeri/node0.html ta che la matematica babilonese aveva già raggiunto un livello elevatissimo: conosceva l esistenza del numero «pi greco», delle quattro operazioni, delle equazioni quadratiche e il calcolo dell area di quasi tutte le figure piane. Le conoscenze aritmetiche dei Babilonesi erano davvero grandi se si pensa che nei bronzi scoperti nel 889 a Nuffar (oggi Nippur) si trovano tavole di moltiplicazione dei numeri interi disposti in colonna fino a Vi sono inoltre tavole, incise sempre in caratteri cuneiformi, che si potrebbero definire veri e propri prontuari di divisione: in queste tavole si giunge fino a (identificato da alcuni come il «numero di Platone», regolatore delle nascite buone e cattive). Ma il numero più alto trascritto dagli incisori in lingua cuneiforme giunto fino a noi è La matematica egizia La matematica egizia, invece, utilizzava la base 0 e simboli per le potenze di 0 da fino a 0 alla settima. I simboli (geroglifici; FIG. 4) utilizzati erano: = un tratto di corda verticale 0 = una corda a ferro di cavallo 00 = una corda arrotolata a spirale 000 = un fior di loto, ma anche l iniziale di chaa, «corda che misura» = un dito piegato a uncino = un girino = un uomo con le braccia levate, simbolo del dio Heh = il sole nascente, simbolo di Ra I numeri venivano formati raggruppando i simboli posti in ordine dal più piccolo a sinistra al più grande a destra e talvolta disposti verticalmente. Le iscrizioni egizie testimoniano l uso di grandi numeri fin da epoca molto antica. L uso dell alfabeto per indicare i numeri L invenzione dell alfabeto portò molte civiltà a utilizzare le lettere per rappresentare i numeri. È il caso, ad esempio, di tre popoli mediterranei: gli Ebrei, i Greci e i Romani. Gli Ebrei incontrarono però qualche complicazione perché, dovendo rappresentare il 5 come 0 più 5, si trovarono di fronte alla lettera dell alfabeto che costituisce l iniziale della parola Yahwe, che significa Dio, e il cui nome per sommo rispetto non deve essere pronunciato; pertanto gli antichi Ebrei risolsero il problema scrivendo 5 come 9 più 6. 6

17 38 Insieme è un concetto primitivo. Gli insiemi Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali In matematica si usa spesso il termine «teoria»; per organizzare una teoria matematica è necessario avere a disposizione dei termini, che si chiamano primitivi, sui quali poi lavorare. Questi termini, in genere, sono usati anche nel linguaggio comune e, per essere utilizzati nella costruzione della teoria, devono essere maggiormente precisati e chiariti. Il termine «insieme» indica una collezione, una raccolta, un raggruppamento di oggetti, di persone, di cose. Chiamiamo elementi gli oggetti che formano l insieme. In matematica accettiamo questa idea dell insieme e non ne diamo una diversa definizione; imponiamo però due regole che servono a evitare delle ambiguità. In matematica un insieme, per essere ben definito, deve soddisfare le seguenti condizioni: a. dobbiamo essere in grado di dire con assoluta precisione se un oggetto sta o non sta nell insieme stesso; b. uno stesso elemento non può essere ripetuto più volte, cioè gli elementi devono essere distinguibili tra loro. Sono insiemi che soddisfano queste condizioni: l insieme dei segni dello zodiaco; l insieme delle tre lettere della parola zio. Non sono insiemi che soddisfano le condizioni: l insieme delle ragazze carine; l insieme dei libri interessanti della biblioteca della tua scuola. unità In generale, in matematica: gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole, B, C, ; se un elemento a sta nell insieme, si dice che a appartiene all insieme e si scrive a. Il simbolo si chiama simbolo di appartenenza; se un elemento b non sta nell insieme, si dice che b non appartiene all insieme e si scrive b /. Il simbolo / si chiama simbolo di non appartenenza. Tra gli insiemi assumono particolare importanza in matematica gli insiemi numerici. Sono insiemi numerici: N, insieme dei numeri naturali; Z, insieme dei numeri interi; Q, insieme dei numeri razionali; P, insieme dei numeri naturali pari; D, insieme dei numeri naturali dispari.. 38 Rappresentazione grafica Rappresentazione di un insieme Possiamo rappresentare un insieme in tre modi diversi: a. rappresentazione grafica con i diagrammi di Eulero-Venn; b. rappresentazione per elencazione o estensiva o tabulare; c. rappresentazione caratteristica o intensiva. a. Per rappresentare un insieme con i diagrammi di Eulero-Venn si disegna una linea chiusa; all interno della linea vengono posti gli elementi, non ripetuti, che appartengono all insieme, all esterno della linea eventuali elementi che non vi appartengono. 7

18 unità Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali E S E M P I O è l insieme dei numeri naturali divisori di 30; la rappresentazione grafica dell insieme è riportata nella FIGUR FIG La rappresentazione di un insieme con i diagrammi di Eulero-Venn è utile nei casi in cui il numero degli elementi dell insieme sia piccolo. Rappresentazione per elencazione Rappresentazione caratteristica b. Nella rappresentazione per elencazione, o estensiva, gli elementi dell insieme vengono scritti tutti all interno di due parentesi graffe e sono separati gli uni dagli altri da un punto e virgola. nche in tale rappresentazione gli elementi non devono essere ripetuti e non ha importanza l ordine con cui vengono scritti. La rappresentazione per elencazione dell insieme dei numeri naturali divisori di 30 è: = {; 2; 3; 5; 6; 0; 5; 30}. Riusciamo a rappresentare per elencazione un insieme soltanto se questo contiene un numero finito di elementi; in tal caso diciamo che l insieme è finito. c. Nella rappresentazione caratteristica, o intensiva, viene evidenziata la proprietà che caratterizza tutti e soli gli elementi dell insieme. La rappresentazione caratteristica dell insieme dei divisori di 30 è: = {x x èundivisore di 30}. [] Nella scrittura compare: la lettera x, che rappresenta il generico elemento dell insieme; il simbolo, che si legge «tale che»; la proprietà caratteristica: «è un divisore di 30». Pertanto la [] si legge: «è l insieme degli elementi x tali che x è un divisore di 30». Questo tipo di rappresentazione è utile nei casi in cui un insieme contenga un numero elevato di elementi. Riusciamo a rappresentare per caratteristica anche un insieme che contenga un numero infinito di elementi; in tal caso diciamo che l insieme è infinito ncora sul concetto di insieme Insiemi uguali D e f i n i z i o n i Due insiemi e B si dicono uguali se hanno gli stessi elementi. In simboli: = B. Due insiemi e B si dicono diversi se non contengono gli stessi elementi.in simboli: B. Consideriamo l insieme = {x x è una consonante della parola marta} e l insieme B = {x x è una consonante della parola ritmare}; le loro rappresentazioni estensive sono = {m; r; t} e B = {r; t; m}. Notiamo che ogni elemento di è anche elemento di B e, viceversa, ogni elemento di B è anche elemento di ; si può concludere che e B hanno gli stessi elementi. 8

19 Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali unità 40 è il simbolo dell insieme vuoto. L insieme vuoto D e f i n i z i o n e Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto. Indichiamo l insieme vuoto con oppure con {}. FIG La scrittura B indica che B è incluso in. Consideriamo l insieme = {x x è una consonante della parola io}. Poiché la parola io non contiene alcuna consonante, l insieme è privo di elementi. Se vogliamo rappresentare questo insieme con i diagrammi di Eulero-Venn prepariamo la linea chiusa, ma all interno non possiamo porre alcun elemento (FIG. 2). Se vogliamo rappresentare l insieme con una rappresentazione estensiva, scriviamo = {}. Sottoinsieme di un insieme D e f i n i z i o n e Dati due insiemi e B, si dice che B è un sottoinsieme di se ogni elemento di B è anche elemento di. In simboli: B, che si legge: «B è incluso in». Si può anche dire che include B: si scrive B. La rappresentazione della situazione con il diagramma di Eulero-Venn è, in FIGUR 3, la parte in giallo. B In particolare, se B è un sottoinsieme di e = B, diciamo che B è un sottoinsieme improprio o banale di. Tra i sottoinsiemi di un insieme consideriamo anche l insieme vuoto. Per la sua particolare caratteristica di non contenere elementi, si conviene di considerare anche l insieme vuoto un sottoinsieme improprio o banale di un qualsiasi insieme. Scriviamo, qualunque sia l insieme. Proprietà dell inclusione P r o p r i e t à FIG. 3 PROPRIETÀ RIFLESSIV Ogni insieme è incluso in se stesso. In simboli:. PROPRIETÀ NTISIMMETRIC Se è incluso in B e B è incluso in, allora è uguale a B. In simboli: se B e B, allora = B. PROPRIETÀ TRNSITIV Se è incluso in B e B è incluso in C, allora è incluso in C. In simboli: se B e B C, allora C. 9

20 unità Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali. 3 4 B indica l insieme intersezione degli insiemi e B. Operazioni tra insiemi: l intersezione e l unione Intersezione tra insiemi D e f i n i z i o n e Si dice intersezione di due insiemi e B l insieme C che ha per elementi gli elementi comuni ad e a B. In simboli: C = B, che si legge: «C uguale intersezione B». La rappresentazione caratteristica dell insieme C, intersezione dei due insiemi e B, è C = {x x e x B}. B Due insiemi e B sono disgiunti se e solo se B =. 4 B indica l insieme unione degli insiemi e B. La rappresentazione grafica della situazione con i diagrammi di Eulero-Venn è, in FI- GUR 4, la parte in giallo. Se i due insiemi e B non hanno elementi in comune, la loro intersezione è l insieme vuoto: B =. Gli insiemi e B si dicono, allora, disgiunti. Unione tra insiemi D e f i n i z i o n e FIG. 4 Si dice unione di due insiemi e B l insieme C che ha per elementi gli elementi che appartengono ad oppure a B. In simboli: C = B, che si legge: «C uguale unione B». La rappresentazione caratteristica dell insieme C, unione dei due insiemi e B, è: C = {x x o x B}. B La rappresentazione grafica della situazione con i diagrammi di Eulero-Venn è, in FI- GUR 5, la parte in giallo. FIG. 5 Naturalmente gli elementi che appartengono sia ad sia a B compaiono una sola volta. Proprietà dell intersezione e dell unione tra insiemi L intersezione e l unione tra insiemi godono delle proprietà seguenti. P r o p r i e t à PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZ = = PROPRIETÀ COMMUTTIV B = B B = B PROPRIETÀ SSOCITIV (B C) =( B) C (B C) =( B) C LEGGE DI SSORBIMENTO ( B) = ( B) = PROPRIETÀ DISTRIBUTIV (B C) =( B) ( C) (B C) =( B) ( C) 0

21 Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali unità 2 Le operazioni in un insieme 42 Nel corso dei tuoi studi hai imparato a calcolare il risultato di alcune operazioni: quando usi la tavola pitagorica, ad esempio, trovi il risultato della moltiplicazione 6 4 nella casella individuata dall intersezione della riga del 6 con la colonna del 4 (TB. ) TB D e f i n i z i o n e Si chiama operazione binaria, in un insieme non vuoto, un procedimento qualsiasi che fa corrispondere a ogni coppia ordinata (a; b) di elementi di, diversi o no, uno e un solo elemento c appartenente ad. a operazione binaria c FIG.6 b L operazione binaria che, per definizione, restituisce un solo elemento si dice univoca. Il prodotto e l intersezione sono due operazioni binarie; infatti operano tra due elementi e ne restituiscono uno e un solo risultato. Il procedimento può essere chiarito dalla FIGUR =24 B =B 6 4 operandi B operatore FIG risultato B Per generalizzare, dato un insieme e due suoi elementi a e b, indichiamo con un simbolo, ad esempio, l operazione da eseguire e scriviamo: a b. L operazione opera tra a e b e restituisce l elemento c, che è il risultato dell operazione, cioè: a b = c.

22 unità Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali E S E M P I O Sia dato l insieme U costituito dai tre insiemi B C come rappresentato nella FIGUR 8; la tabella dell operazione di unione tra essi è riportata a lato. B C B C B B B C B C FIG. 8 TB. 2 La TBELL 2 evidenzia che l operazione non è sempre possibile in U, perché non hanno risultato: B, B. Quando l operazione tra due elementi qualunque di un insieme produce un risultato che è anch esso un elemento dell insieme, diciamo che l insieme è chiuso rispetto all operazione. In caso contrario, diciamo che l insieme non è chiuso rispetto all operazione. L insieme U dell esempio non è chiuso rispetto all operazione di unione TB. 3 Se consideriamo invece l insieme = {0; } e la TBELL 3 della moltiplicazione tutte le caselle sono occupate; ciò vuol dire che l insieme è chiuso rispetto all operazione. Se l insieme è chiuso rispetto all operazione definita in, possiamo esaminare le proprietà che valgono in rispetto all operazione. P r o p r i e t à PROPRIETÀ COMMUTTIV Nell insieme vale la proprietà commutativa rispetto all operazione se, per ogni coppia di elementi a, b, si ha: a b = b a. PROPRIETÀ SSOCITIV Nell insieme vale la proprietà associativa rispetto all operazione se, per ogni terna di elementi a, b, c, si ha: (a b) c = a (b c). Tale proprietà ci permette di definire univocamente il prodotto di tre elementi, che possiamo quindi scrivere come a b c. ESISTENZ DELL ELEMENTO NEUTRO L insieme ammette l elemento neutro u rispetto all operazione se, per ogni elemento a, si ha: a u = u a = a. ESISTENZ DELL INVERSO Se l operazione possiede nell insieme l elemento neutro u, un elemento a ammette l inverso b se: a b = b a = u. Se ogni elemento dell insieme ammette un solo inverso rispetto all operazione, si dice che l operazione è invertibile in. 2

23 Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali unità E S E M P I O Sia dato l insieme U costituito dai tre insiemi, B, C tali che C B, come rappresentato nella FIGUR 9. L insieme U è chiuso rispetto all operazione di intersezione. U B C FIG. 9 Esaminiamo la TBELL 4 relativa all operazione tra di essi. B C B C B B B C C C C C TB. 4 diagonale principale a. L intersezione è commutativa. Per scoprirlo, riferendoci alla diagonale tratteggiata nella figura (chiamata diagonale principale), si può vedere che caselle simmetriche alla diagonale contengono gli stessi elementi: questo succede perché non importa con quale ordine operiamo con i due elementi. In generale, per stabilire se nell insieme U vale la proprietà commutativa rispetto all operazione scelta, dobbiamo tracciare la diagonale principale della tabella e vedere se la tabella presenta simmetria rispetto alla diagonale. b. Esaminando tutte le terne possibili, si può scoprire che nell insieme U l operazione è associativa. c. Tale insieme rispetto all operazione di ammette l elemento neutro; esso è. Per scoprirlo, si può vedere che le caselle della prima riga e della prima colonna della tabella contengono nell ordine gli elementi, B, C. In generale, per individuare l elemento neutro se esiste di un insieme rispetto a un operazione, dobbiamo cercare se esistono una riga e una colonna nelle cui caselle siano contenuti nello stesso ordine gli elementi dell insieme. d. Nell insieme U soltanto l elemento ammette l inverso rispetto all operazione ; infatti compare nelle caselle una sola volta, nell intersezione della prima riga con la prima colonna. In generale, per individuare l inverso di un elemento, dobbiamo cercare l elemento neutro nelle caselle e individuare le coppie di elementi dell insieme il cui risultato è l elemento neutro considerato. Nel nostro caso, poiché non tutti gli elementi di U ammettono inverso, concludiamo che l operazione non è invertibile. 3

24 unità Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali 3 I numeri naturali 46 Nella scuola elementare hai imparato a operare con i numeri naturali. I matematici hanno proposto alcune teorie per introdurre questo insieme di numeri. Pur senza la pretesa di essere rigorosi, vogliamo ora darti un idea di una di queste teorie. Consideriamo gli insiemi seguenti: = {}, B = {x x è una consonante della parola io}. Questi insiemi non hanno elementi. L insieme privo di elementi è l insieme vuoto. ll insieme vuoto associamo la parola zero. Consideriamo gli insiemi: D = {h}, E = {x x è una consonante della parola mio}. questi insiemi associamo la parola uno. Se poniamo in ogni insieme a cui è associata la parola uno un altro elemento, associamo al nuovo insieme la parola due. La parola due rappresenta, ad esempio, sia l insieme F = {h; k} sia l insieme G = {x x è una consonante della parola mito}. Se poniamo in ogni insieme a cui è associata la parola due un elemento, associamo al nuovo insieme la parola tre. Possiamo continuare a ripetere questo procedimento. ogni insieme associamo una parola tra queste: zero, uno, due,, dieci, undici, L insieme di tutte queste parole è l insieme dei numeri naturali, che viene indicato con N. Se vogliamo rappresentare graficamente l insieme dei numeri naturali, possiamo immaginare di fissare un segmento, chiamato segmento unità. Consideriamo una semiretta di origine O, che disegniamo orizzontale e rivolta verso destra. ll origine O associamo la parola zero. partire dall origine O riportiamo sulla semiretta il segmento unità, in modo che il suo primo estremo coincida con O; segniamo con una tacca sulla semiretta il punto che coincide con il secondo estremo e associamo a questo punto la parola uno. partire da uno riportiamo sulla semiretta il segmento unità in modo che il suo primo estremo coincida con uno; segniamo con una tacca sulla semiretta il punto che coincide con il secondo estremo e associamo a tale punto la parola due. Continuando in questo modo otteniamo la rappresentazione cartesiana dei numeri naturali, come nella FIGUR 0. unità 0 FIG. 0 zero uno due tre quattro La necessità di scrivere tanti numeri usando pochi simboli ha portato a costruire dei sistemi di numerazione. Il sistema comunemente usato è il sistema decimale; i dieci simboli 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ci permettono di scrivere tutti i numeri naturali. 4

25 Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali unità Usando le cifre del sistema decimale, i numeri zero, uno, due, tre,, dieci, undici, dodici, sono scritti così: 0,, 2, 3,, 0,, 2, [] La [] costituisce la successione dei numeri naturali. D e f i n i z i o n e Il successivo di un numero naturale è quel numero che lo segue immediatamente nella successione dei numeri naturali. E S E M P I Il successivo di 37 è 38; 4 è il successivo di 40. è il successivo di 0. è un numero dispari. 2 è il successivo di. 2 è un numero pari. Chiamiamo dispari ogni successivo di un numero pari e pari ogni successivo di un numero dispari. 0 (zero) è il primo numero della successione dei numeri naturali; 0 non è il successivo di alcun numero naturale. Dato un numero naturale, riusciamo sempre a trovare il suo successivo; da questa proprietà segue che l insieme dei numeri naturali è un insieme infinito. La rappresentazione cartesiana di N è presentata nella FIGUR.... FIG Confronto tra numeri naturali Possiamo a questo punto confrontare tra loro due numeri naturali: se due numeri naturali a e b occupano lo stesso posto nella rappresentazione cartesiana, essi sono uguali; scriviamo a = b. Valgono allora le proprietà seguenti. P r o p r i e t à PROPRIETÀ RIFLESSIV DELL UGUGLINZ Ogni numero naturale è uguale a se stesso. In simboli: a = a. PROPRIETÀ SIMMETRIC DELL UGUGLINZ Se un numero naturale a è uguale a un numero naturale b, allora il numero naturale b è uguale al numero naturale a. In simboli: se a = b, allora b = a. PROPRIETÀ TRNSITIV DELL UGUGLINZ Se un numero naturale a è uguale a un numero naturale b e un numero naturale b è uguale a un numero naturale c, allora il numero naturale a è uguale al numero naturale c. In simboli: se a = b e b = c, allora a = c. 5

26 unità Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali Se due numeri naturali a e b non occupano lo stesso posto nella rappresentazione cartesiana, essi sono disuguali; scriviamo a b. E S E M P I 5=5: infatti 5 e 5 occupano lo stesso posto. 5 6: infatti 5 e 6 non occupano lo stesso posto. Se, sulla semiretta, a è a destra di b (FIG. 2), cioè a segue b, diciamo che a è maggiore di b e scriviamo a >b. In questo caso, partendo da b, possiamo arrivare ad a applicando un certo numero di volte l operazione di successivo.... FIG. 2 0 b a Invece se, sulla semiretta, a è a sinistra di b (FIG. 3), cioè a precede b, diciamo che a è minore di b e scriviamo a <b. In questo caso, partendo da b, non riusciamo ad arrivare ad a con il procedimento del successivo. FIG. 3 0 a b Se, sulla semiretta, a coincide con b oppure a è a destra di b, diciamo che a è uguale o maggiore di b e scriviamo a b. Se, sulla semiretta, a coincide con b oppure a è a sinistra di b, diciamo che a è uguale o minore di b e scriviamo a b. E S E M P I > 4: infatti, sulla semiretta, segue 4. 5 < 7: infatti, sulla semiretta, 5 precede Se a, b, c sono tre numeri disuguali, vale la proprietà seguente. P r o p r i e t à PROPRIETÀ TRNSITIV Se a < b e b < c, allora a < c (FIG. 4). FIG. 4 0 a b c Se a > b e b > c, allora a > c (FIG. 5). FIG. 5 0 c b a Se a b e b c, allora a c. Se a b e b c, allora a c. 6

27 Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali unità 4 Operazioni in 47 Vogliamo ora esaminare le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza. Per ognuna di queste ci chiediamo se sono sempre possibili in N. Ne esaminiamo le proprietà e le caratteristiche. 4. ddizione D e f i n i z i o n e La somma di due numeri naturali a e b è: il numero naturale c ottenuto a partire da a applicando l operazione di successivo b volte, se b 0; in simboli: a + b = c; il numero naturale a se b =0; in simboli: a +0=a. E S E M P I O 5+3=8: infatti 8 è ottenuto applicando 3 volte l operazione di successivo; graficamente: FIG L addizione è un operazione binaria interna a. L operazione con la quale, dati due numeri naturali, si trova la loro somma si dice addizione: a e b sono detti addendi; il simbolo dell operazione di addizione è +; l operazione di addizione è binaria, perché opera tra due addendi ed è univoca; l insieme N è chiuso rispetto all operazione di addizione; ciò vuol dire che, dati due numeri naturali a e b, esiste sempre il numero naturale c che è la loro somma. Questa caratteristica può essere espressa anche così: l addizione è una legge di composizione interna per l insieme dei numeri naturali; per sommare tre o più numeri si somma il primo con il secondo e la loro somma al terzo, e così via fino all ultimo. Proprietà dell addizione P r o p r i e t à PROPRIETÀ COMMUTTIV La somma di due numeri naturali non cambia se cambia l ordine degli addendi. In simboli: a + b = b + a a b. PROPRIETÀ SSOCITIV La somma di più numeri naturali non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma. In simboli: (a + b)+c = a +(b + c) a b. 7

28 unità Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali E S E M P I O 2+3+4=(2+3)+4=5+4=9; 2+3+4=2+(3+4)=2+7=9. P r o p r i e t à ELEMENTO NEUTRO 0 è l elemento neutro dell addizione. In simboli: a +0=0+a = a a Moltiplicazione D e f i n i z i o n e Il prodotto di due numeri naturali a e b è: il numero naturale c ottenuto sommando tanti addendi uguali ad a quante sono le unità di b, se b >; in simboli: a b = a + a + a a } {{ } ; b volte il numero naturale 0 se b =0; in simboli: a 0=0; il numero naturale a se b =; in simboli: a =a. E S E M P I 2 3=2+2+2 } {{ } ; 3 0=0; 5 =5. 3 volte La moltiplicazione è un operazione binaria interna a. L operazione con la quale, dati due numeri naturali, si trova il loro prodotto è detta moltiplicazione: a e b sono detti fattori; il simbolo dell operazione di moltiplicazione è oppure ; l operazione di moltiplicazione è binaria, perché opera tra due fattori ed è univoca; l insieme N è chiuso rispetto all operazione di moltiplicazione; per moltiplicare tre o più numeri naturali si moltiplica il primo con il secondo e il loro prodotto con il terzo; così via fino all ultimo fattore. Proprietà della moltiplicazione P r o p r i e t à PROPRIETÀ COMMUTTIV Il prodotto di due numeri naturali non cambia se cambia l ordine dei fattori. In simboli: a b = b a a b. PROPRIETÀ SSOCITIV Il prodotto di più numeri naturali non cambia se a due o più fattori si sostituisce il loro prodotto. In simboli: a b c =(a b) c = a (b c) a b c. E S E M P I O 2 3 5=(2 3) 5=6 5=30; 2 3 5=2 (3 5) = 2 5 = 30. 8

29 Teoria - Gli insiemi numerici: i numeri naturali unità P r o p r i e t à ELEMENTO NEUTRO è l elemento neutro della moltiplicazione. In simboli: a = a = a a. LEGGE DI NNULLMENTO DEL PRODOTTO Il prodotto di due numeri naturali è zero se e solo se almeno uno dei due fattori è zero. In simboli: a b =0se e solo se a =0oppure b =0 a b. PROPRIETÀ DISTRIBUTIV DELL MOLTIPLICZIONE RISPETTO LL DDIZIONE Il prodotto di un numero naturale per una somma indicata, o il prodotto di una somma indicata per un numero naturale, è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando il numero per ciascun addendo della somma. In simboli: a (b + c) =a b + a c a b c ; (b + c) a = b a + c a a b c. E S E M P I 4 ( + 4) = =4+6=20; (3 + 2) 5= =5+0= Operazioni non sempre possibili Sottrazione Introduciamo ora due operazioni non sempre possibili in N. Esse sono la sottrazione e la divisione. Tali operazioni vengono introdotte a partire dall addizione e dalla moltiplicazione. D e f i n i z i o n e Si dice differenza di due numeri naturali a e b, nell ordine, quel numero naturale d, se esiste, che addizionato a b dà per somma a. Se esiste d, si scrive a b = d. La sottrazione è un operazione binaria non interna a. L operazione con la quale, dati due numeri naturali, si trova la loro differenza è detta sottrazione: a è detto minuendo, b è detto sottraendo; il simbolo dell operazione di sottrazione è ; l operazione di sottrazione è binaria, perché opera tra due numeri ed è univoca; l insieme N non è chiuso rispetto all operazione di sottrazione; infatti l operazione di sottrazione non è sempre possibile: per esempio la sottrazione tra 7 e 5 non è possibile perché non esiste un numero naturale che, addizionato a 5, dà per somma 7. Nell insieme dei numeri naturali l operazione di sottrazione è possibile soltanto se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Quando la sottrazione è possibile, valgono le proprietà seguenti. P r o p r i e t à PROPRIETÀ INVRINTIV DELL SOTTRZIONE RISPETTO LL DDIZIONE O LL SOTTRZIONE La differenza di due numeri naturali a e b non cambia se al minuendo e al sottraendo si aggiunge lo stesso numero oppure si sottrae uno stesso numero minore o uguale al sottraendo. 9