Quaderni di Informatica. InforMateMatica. Luigino Calvi

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1 Quaderni di Informatica InforMateMatica Luigino Calvi I.I.S. Negrelli-Forcellini - Feltre 2014

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3 Indice 1 Insiemi, Relazioni e Funzioni ELEMENTI ED INSIEMI RELAZIONI FUNZIONI PERMUTAZIONI OPERAZIONI NOTAZIONI DEGLI OPERATORI TABELLE DI OPERAZIONI L OPERATORE CONDIZIONALE IF I VALORI NULLI ENUMERAZIONE DI INSIEMI FINITI ESERCIZI Logica LA LOGICA DEI VALORI BOOLEANI ESERCIZI Aritmetica I NUMERI NATURALI IL PRINCIPIO DI INDUZIONE IL TEOREMA DI RICORSIONE LE QUATTRO OPERAZIONI QUOZIENTE E RESTO NUMERI PRIMI ALGORITMI DI PRIMALITÀ PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI PROBLEMI DI CONTEGGIO ALTRI TIPI DI NUMERI ESERCIZI iii

4 iv INDICE 4 Geometria LA GEOMETRIA EUCLIDEA DISTANZA E MISURA COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO VETTORI DEL PIANO OPERAZIONI VETTORIALI SUI PUNTI OMOTETIE ROTAZIONI SISTEMI DI RIFERIMENTO LA GEOMETRIA CARTESIANA LA GEOMETRIA DELLA TARTARUGA L INTEGRAZIONE DEGLI AMBIENTI ESERCIZI Strutture Algebriche OPERAZIONI SU UN INSIEME STRUTTURE ALGEBRICHE ALGEBRE MULTISORTALI CLASSI ASTRATTE E CLASSI CONCRETE STRUTTURE STRUTTURE NUMERICHE ESERCIZI Strutture d Ordine RELAZIONI D ORDINE OPERATORI RELAZIONALI MINIMI E MASSIMI GRAFICO DI UNA RELAZIONE D ORDINE STRUTTURE SCALARI ESERCIZI Strutture Metriche GLI SPAZI METRICI FIGURE IN UNO SPAZIO METRICO INTERROGAZIONI NEGLI SPAZI METRICI CRITERI PER DEFINIRE LA DISTANZA METRICHE SULLE STRINGHE CALCOLO DELLA DISTANZA DI EDIT CONVERGENZA NEGLI SPAZI METRICI ESERCIZI

5 Capitolo 1 Insiemi, Relazioni e Funzioni Classi e concetti, si possono anche concepire come oggetti reali, e precisamente le classi come pluralità di cose o come strutture che consistono di una pluralità di cose, e i concetti come le proprietà e le relazioni fra le cose, che esistono indipendentemente dalle nostre definizioni e costruzioni. Kurt Gödel (logico e matematico del XX secolo) Il concetto di insieme non si presta ad essere oggetto di una definizione rigorosa in quanto è un concetto primitivo e, proprio per questo, non può essere definito in termini di altri concetti. Un analisi accurata del concetto di insieme porterebbe molto lontano, fino ai fondamenti della matematica, sollevando insidiosi paradossi. In modo descrittivo ed intuitivo, con insieme si intende una famiglia di oggetti generici distinti caratterizzati da delle proprietà comuni. Il concetto di insieme è di fondamentale importanza anche in informatica dove si incontrano spesso insiemi di oggetti dotati di proprietà caratteristiche che inducono delle strutture: insiemi di numeri, insiemi di figure, insiemi di operazioni, ed altro. Basandosi sulla nozione di insieme, in questo capitolo vengono definiti e presentati altri concetti importanti nell ambito dell informatica ed in particolare della programmazione, che verranno ripresi ed utilizzati più avanti. 1

6 2 CAPITOLO 1. INSIEMI, RELAZIONI E FUNZIONI 1.1 ELEMENTI ED INSIEMI Una delle più povere e primitive strutture matematiche è costituita dal concetto primitivo di insieme. Sugli elementi di un insieme si possono sempre eseguire dei confronti di uguaglianza e disuguaglianza fra gli elementi, indipendentemente dalla natura degli elementi dell insieme. Per indicare che a è un elemento dell insieme A, ossia che a appartiene all insieme A, si usa la notazione a A; con A viene indicata la cardinalità di A, ossia il numero di elementi di A; con si denota l insieme vuoto, ossia l insieme composto da nessun elemento. Assumiamo note le usuali operazioni sugli insiemi: (unione), (intersezione), (differenza), e (inclusione), = e (uguaglianza e diversità). Un insieme si dice numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l insieme dei numeri naturali oppure con un suo sottoinsieme proprio (finito o infinito). Utilizzeremo spesso nel seguito gli insiemi di seguito elencati: N : insieme dei numeri naturali Z : insieme dei numeri interi Q : insieme dei numeri razionali R : insieme dei numeri reali B : insieme dei valori logici A : insieme dei caratteri dell alfabeto S : insieme delle stringhe di caratteri 1.2 RELAZIONI Le relazioni costituiscono uno dei concetti basilari della matematica in quanto su di esso si fondano molteplici teorie caratterizzate da delle specializzazioni di questo concetto. DEFINIZIONE 1. Una coppia ordinata [a, b] consiste di due elementi a, b, considerati nell ordine indicato. Dicesi prodotto cartesiano A B di due insiemi A, B l insieme di tutte le coppie ordinate [a, b] di elementi tali che a A, b B. Dati due insiemi A, B, si chiama relazione binaria fra A e B un sottoinsieme R di A B. Al posto della scrittura [x, y] R si usa scrivere anche xry od anche R[x, y] o, esprimendosi a parole, si suole dire che x è

7 1.2. RELAZIONI 3 in relazione R con y. Una relazione (binaria) interna R su un insieme A è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A A, costituita dall insieme R delle coppie formate da elementi fra loro in relazione. L inversa di una relazione R fra A e B è la relazione R definita da Ovviamente (R ) = R. y R x se e solo se xry A seguire sono riportati degli esempi di relazioni binarie. Esempio 1. Relazione d identità (su ogni insieme) definita da xry se e solo se x = y Esempio 2. Relazione di ordine sugli insiemi numerici definita da xry se e solo se x y Esempio 3. Relazione di divisibilità sui numeri naturali: xry se e solo se x divide y Esempio 4. Relazione di coprimalità fra numeri naturali: xry se e solo se x ed y sono coprimi Una relazione binaria interna su un insieme A può godere di varie proprietà; le più ricorrenti ed interessanti sono le seguenti: 1. Proprietà riflessiva: xrx per ogni x A 2. Proprietà simmetrica: xry implica yrx per ogni x, y A 3. Proprietà transitiva: xry e yrz implica xrz per ogni x, y, z A 4. Proprietà antisimmetrica: xry e yrx implica x = y per ogni x, y A 5. Proprietà a catena: xry o yrx per ogni x, y A DEFINIZIONE 2. Una relazione dicesi relazione di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva. Una relazione dicesi relazione d ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Una relazione dicesi relazione di ordine lineare o totale se è riflessiva, antisimmetrica, transitiva e a catena.

8 4 CAPITOLO 1. INSIEMI, RELAZIONI E FUNZIONI Il concetto di relazione binaria può essere esteso e si può, naturalmente, definire una relazione n-aria come un sottoinsieme del prodotto cartesiano A 1 A 2 A n di n insiemi. Il numero n viene detto arietà o cardinalità della relazione. Anche un operazione può essere vista come una relazione; ad esempio un operazione binaria fra x ed y, avente come risultato z, può essere vista come una relazione ternaria R[x, y, z] (ad esempio, somma[2, 3, 5]). Analogamente si possono considerare relazioni unarie (ad esempio, pari[6]) e relazioni di cardinalità superiore a tre (ad esempio, quozienteresto[9, 4, 2, 1]). Queste osservazioni sono fondamentali nella programmazione logica, dove le operazioni vengono definite tramite delle proprietà espresse con le notazioni appena viste. 1.3 FUNZIONI Un caso particolarmente importante di relazioni binarie è costituito dalle funzioni, come precisato dalla seguente definizione. DEFINIZIONE 3. Una funzione f dall insieme A all insieme B è una relazione binaria R fra A e B tale che per ogni x A esiste al più un elemento y B tale che xry. Se per ogni elemento x A vi è esattamente un elemento y B tale che xry, R viene detta funzione totale. Gli insiemi A e B vengono detti rispettivamente dominio e codominio (della funzione). Con termini equivalenti una funzione viene detta anche mappa o applicazione. Nel caso in cui il codominio sia costituito dall insieme B = {F ALSE, T RUE} dei valori logici, una funzione viene detta anche predicato; nel caso in cui il dominio ed il codominio di una funzione siano costituiti dallo stesso insieme, una funzione viene detta anche trasformazione. Con questa definizione una funzione f dall insieme A all insieme B può essere vista come un sottoinsieme (soddisfacente a specifiche proprietà) del prodotto cartesiano A B. Questa impostazione fornirà degli spunti per trattare le funzioni come degli oggetti e degli spunti per realizzare le funzioni. In alternativa, basandosi direttamente sul concetto di insieme, una funzione può essere definita come segue: DEFINIZIONE 4. Una funzione f fra due insiemi A e B è una legge che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. In varie situazioni risulta conveniente alleggerire questa definizione, ammettendo che possano esistere degli elementi del dominio ai quali non viene associato alcun elemento del codominio. In questi casi si parla di funzioni

9 1.4. PERMUTAZIONI 5 parziali, in contrapposizione alle funzioni totali per le quali ad ogni elemento del dominio viene fatto corrispondere un elemento del codominio. Nel seguito verrà utilizzato il termine funzione per denotare il caso più generale delle funzioni parziali; nei casi serva per chiarezza verranno aggiunti gli attributi totale e parziale. Per rendere totale una funzione parziale si adotta generalmente la convenzione di associare un valore convenzionale, detto valore nullo, agli elementi che non hanno associato alcun elemento del codominio. Una funzione f fra due insiemi A e B viene solitamente denotata con la scrittura f A B; in taluni casi viene utilizzata la notazione A B. Con A B si denota l insieme delle funzioni aventi dominio A e codominio B. Nel caso in cui si voglia denotare la regola di corrispondenza fra un generico elemento x del dominio e l espressione mediante la quale si determina il corrispondente elemento y si usa la notazione x y. L elemento corrispondente all elemento x secondo la funzione f viene indicato, a seconda del contesto, con una delle seguenti notazioni: f[x], f(x), f x, f x. Siano f A B e g B C due funzioni. Definiamo la funzione composta di f con g, e verrà indicata con g f, la funzione avente dominio A e codominio C e definita come segue: (g f)x def = g(f x) Esempio 5. In molte situazioni si presenta la necessità di stabilire una corrispondenza biunivoca fra un insieme lineare ed un equipotente insieme bidimensionale. Tale situazione può essere esemplificata come segue. Fissati due numeri naturali m ed n, consideriamo i due insiemi A = {1, 2,..., m} {1, 2,..., m} e B = {1, 2,..., m n}. La seguente funzione stabilisce una corrispondenza biunivoca fra A e B: La funzione inversa è la seguente: f [i, j] (i 1)m + j f 1 k [k/n, k%n] Le considerazioni sopra riportate consentono una immediata implementazione di una matrice bidimensionale mediante un array unidimensionale. f 1.4 PERMUTAZIONI Le permutazioni costituiscono un caso particolare delle funzioni.

10 6 CAPITOLO 1. INSIEMI, RELAZIONI E FUNZIONI DEFINIZIONE 5. Una permutazione p di un insieme A è una funzione biunivoca f A A. Storicamente le permutazioni sono state studiate ed utilizzate fin dal XVII secolo in connessione con il calcolo delle probabilità e con la determinazione dei diversi modi di disporre in sequenza un insieme finito di oggetti. Oggigiorno le permutazioni costituiscono delle importanti funzioni che si incontrano in informatica in connessione al problema dell ordinamento di una sequenza di elementi. Esempio 6. Con l insieme A = {a, b, c} si possono costruire le seguenti 6 permutazioni: a b c, a c b, b a c, b c a, c a b, c b a 1.5 OPERAZIONI Qualora una funzione venga denotata mediante un simbolo, viene più spesso chiamata con il termine operazione o operatore. Nella matematica e nell informatica le operazioni costituiscono lo strumento fondamentale per costruire nuovi elementi a partire da elementi già disponibili appartenenti a degli specifici insiemi. Ad esempio, operando sui numeri naturali, mediante l operazione di addizione fra 2 e 3 si ottiene il nuovo elemento 5. Consideriamo un operatore A B. Accade spesso che l insieme A sia costituito dal prodotto cartesiano di più insiemi: A 1 A 2 A n B In questi casi l operatore viene qualificato in base al numero n di insiemi che compongono il prodotto cartesiano del dominio e viene detto n-ario. Il numero intero n dicesi arietà dell operatore e rappresenta il numero di argomenti ai quali viene applicato l operatore. Un tale operatore può essere efficacemente descritto dal grafico riportato nella figura 1.1. A 1 A 2 A n B Figura 1.1: Rappresentazione grafica dell operatore A 1 A 2 A n B.

11 1.5. OPERAZIONI 7 Qualora, più in particolare, sia A 1 = A 2 = = A n = B, l operatore dicesi interno. Gli argomenti sui quali agisce un operatore sono detti operandi. Nel caso in cui sia A 1 = A 2 = = A n = A, adottando le usuali convenzioni matematiche, si scrive semplicemente A n B Coerentemente con la forma del grafico descritto nella figura 1.1, quest ultima scrittura viene evidenziata mediante lo schema riportato nella figura 1.2 (riferito al caso n = 3). A B Figura 1.2: Rappresentazione grafica dell operatore A 3 B. Esempio 7. Denotando con A un generico insieme di oggetti, le operazioni di confronto possono essere descritte mediante il seguente grafo: A =, === B Esempio 8. Un insieme può essere pensato come un unico elemento; indichiamo con Set l insieme avente per elementi dei generici insiemi di elementi. È noto dalla matematica che si possono definire delle operazioni sugli insiemi; alcune di queste operazioni sono schematicamente descritte nel seguente grafo: Set,, === Set Gli operatori possono essere classificati in base alla loro arietà; i casi più frequenti ed interessanti sono i seguenti: n = 0 l operatore dicesi nullario ed il risultato è una costante di B; l operatore viene indicato mediante la costante stessa; ad esempio, 123, , T RU E, stringa n = 1 l operatore dicesi unario in quanto ha un solo argomento; ad esempio, 23, F ALSE, 7!, 4, 1 n = 2 l operatore dicesi binario in quanto opera su due argomenti; ad esempio, 7 + 3, 4 < 2, F ALSE T RUE n = 3 l operatore dicesi ternario in quanto opera su tre argomenti; ad esempio, min[x, y, z]

12 8 CAPITOLO 1. INSIEMI, RELAZIONI E FUNZIONI Un operatore binario A 2 B dicesi commutativo se x y = y x per ogni x, y A associativo se x (y x) = (x y) z per ogni x, y, z A 1.6 NOTAZIONI DEGLI OPERATORI Con riferimento ad un generico operatore, dato un elemento [x 1,..., x n ] del dominio, il suo corrispondente valore del codominio viene spesso denotato con la notazione funzionale 1 [x 1,..., x n ] Molto spesso, nel caso di notazioni funzionali, l operatore è costituito da un identificatore. Vengono utilizzate anche delle notazioni alternative; a seconda della posizione del simbolo dell operatore rispetto agli operandi si distinguono i seguenti casi di notazione: notazione polacca diretta o prefissa x 1... x n notazione polacca inversa o RPN o postfissa x 1... x n notazione Cambdridge o Lisp [ x 1... x n ] notazione puntata x. [x 1... x n ] Nella notazione puntata, tipica della programmazione orientata agli oggetti, l argomento x identifica l oggetto sul quale viene riferita l operazione, e l operatore è costituito da un identificatore. Un caso particolarmente importante delle operazioni è costituito dagli operatori binari. In questi casi è frequentemente usata la notazione infissa descritta come segue: x 1 x 2 Negli usuali linguaggi di programmazione le notazioni più usate sono: quella prefissa per operatori unari, quella infissa per operatori binari e quella funzionale per operatori n-ari con n > 2. In taluni casi, per migliorare la leggibilità e l espressività delle scritture, viene usata una notazione in cui il simbolo di operatore viene suddiviso in più parti e distribuito fra gli argomenti (notazione distribuita), come illustrato in alcuni degli esempi che seguono. 1 In molti testi di matematica ed in molti linguaggi di programmazione vengono utilizzate le parentesi tonde al posto delle parentesi quadre.

13 1.7. TABELLE DI OPERAZIONI 9 Esempio 9. In questo esempio sono illustrati alcuni operatori scritti in notazione distribuita: x a[3] RestoDi x Diviso y x U gualea y M odulo n operatore unario di valore assoluto operatore binario di accesso alle componenti di un array operatore binario di resto della divisione intera operatore ternario di equivalenza modulo n Esempio 10. Nella seguente tabella sono indicate alcune notazioni corrispondenti all espressione algebrica con operatori binari infissi a + (b c) + d. + a + b c d notazione polacca diretta a b c + d + notazione polacca inversa [+ a [ b c] d] notazione Cambridge a.add[b.mul[c] ].add[d] notazione puntata Per talune notazioni è necessario ricorrere a delle parentesi tonde per precisare gli argomenti sui quali opera ciascun operatore e per imporre la corretta priorità di valutazione. 1.7 TABELLE DI OPERAZIONI Un formalismo spesso utilizzato per descrivere un operazione binaria è costituito da una tabella bidimensionale in cui gli elementi rappresentano il risultato fra l elemento di testa delle righe e delle colonne. Esempio 11. La seguente tabella descrive l operazione di addizione fra i primi 5 numeri naturali

14 10 CAPITOLO 1. INSIEMI, RELAZIONI E FUNZIONI Esempio 12. Nel caso in cui l operazione non sia binaria, essa viene solitamente descritta mediante una tabella bidimensionale composta da tante colonne quanti sono complessivamente gli insiemi costituenti il dominio ed il codominio. A seguire è riportato l esempio relativo all operazione di minimo e massimo fra alcune terne di numeri. a b c min[a, b, c] max[a, b, c] L OPERATORE CONDIZIONALE IF Sia B l insieme dei valori logici, A un generico insieme, p un predicato, e 1, e 2 due espressioni di tipo A. L operatore condizionale ternario è descritto dal seguente paradigma: B A 2 A (p, e 1, e 2 ) y e viene valutato in base al seguente schema semantico: se il predicato p è vero allora e 1 altrimenti e 2 Generalmente, l operatore condizionale viene scritto in notazione funzionale come segue 2 : if[p, e 1, e 2 ] 2 Nel linguaggio Peano, C/C++, Java ed altri, l operatore condizionale viene scritto mediante la seguente notazione distribuita: p? e 1 e 2 dove p è un predicato e e 1 ed e 2 sono due espressioni dello stesso tipo; in altri linguaggi viene utilizzata la notazione distribuita if p then e 1 else e 2 endif

15 1.9. I VALORI NULLI 11 Esempio 13. Minimo fra due valori x ed y: if[x < y, x, y] Esempio 14. Distanza fra due numeri x ed y: if[x < y, y x, x y] Esempio 15. Minimo fra tre valori x, y e z: 1.9 I VALORI NULLI if[x < y, if[x < z, x, z], if[y < z, y, z] ] In molte situazioni nell ambito della matematica e dell informatica si incontrano dei valori nulli o valori indefiniti. Questi casi particolari possono sorgere in diverse situazioni e con significati diversi. Ad esempio: risultato di errore in un operazione impossibile (ad esempio, divisione per zero) valore logico dubbio (nella logica) valore non definito (variabile non inizializzata) informazione esistente ma non accessibile (teoria delle basi di dati) teoria del punto fisso delle funzioni (argomenti di informatica teorica) Per uniformare fra loro tutti questi casi eccezionali e per uniformare questi casi agli altri casi normali, si è pensato di introdurre un particolare valore, denotato con il simbolo o con NULL, detto valore nullo. Poiché il valore nullo viene aggiunto ad insiemi dotati di struttura, è necessario non solo aggiungerlo in senso insiemistico, ma immergerlo nella struttura ospite, definendo come il valore nullo si comporta, nelle operazioni, in relazione agli altri elementi della struttura. Nei casi in cui l insieme A sia dotato di una struttura d ordine, si assumerà che < x per ogni x A Nei capitoli seguenti il valore nullo sarà utilizzato principalmente per rendere totali delle operazioni parziali: ciò viene fatto ampliando il codominio con il valore nullo e definendo che l immagine sia il valore nullo per quegli elementi del dominio per i quali l operazione non sia definita. Di seguito sono riportati alcuni esempi di operazioni che coinvolgono il valore nullo.

16 12 CAPITOLO 1. INSIEMI, RELAZIONI E FUNZIONI 3/0 = 5 + = = min[3, ] = max[5, ] = 5 F ALSE = F ALSE = F ALSE T RUE = T RUE = T RUE 1.10 ENUMERAZIONE DI INSIEMI FINITI Enumerare un insieme finito significa mettere in corrispondenza biunivoca i suoi elementi con un sottoinsieme {1, 2,... } dei numeri naturali in modo tale da potersi riferire agli elementi dell insieme con frasi del tipo: primo elemento, secondo elemento e così via. Tale concetto viene formalizzato con la seguente definizione. DEFINIZIONE 6. Dicesi enumerazione di un insieme finito A, di cardinalità n = A, una funzione biunivoca f A {1, 2,..., n} Talvolta come codominio si prende l insieme {0, 1,..., n 1}. Questa definizione può estendersi al caso in cui l insieme A sia infinito: basta prendere come codominio della funzione f l insieme N dei numeri naturali. Un insieme sul quale sia stata definita una enumerazione viene solitamente descritto mediante la notazione {a 1, a 2,..., a n } dove a i denota l elemento di A in corrispondenza biunivoca con il numero naturale i, ossia a i = f 1 (i). Esempio 16. Nel caso in cui l insieme A = {h, h + 1,..., k} sia costituito da tutti i numeri naturali compresi fra h e k, una banale enumerazione può essere fornita dalla funzione f x x h + 1. È evidente che se f è una enumerazione e p una permutazione dell insieme {1, 2,..., n}, allora p f è ancora una enumerazione che corrisponde al seguente schema di corrispondenza: A f {1, 2,..., n} p {1, 2,..., n}

17 1.10. ENUMERAZIONE DI INSIEMI FINITI 13 Di conseguenza a p(i) = (p f) 1 (i) = f 1 (p 1 (i)). Nel caso in cui A sia un insieme numerabile, i suoi elementi possono essere enumerati ad uno ad uno, in successione. Ad esempio: si possono enumerare le dita delle mani di una persona, i numeri naturali pari, i numeri razionali, mentre non si possono enumerare i numeri reali compresi fra 0 ed 1. Il processo di enumerazione degli elementi di un insieme può essere raffigurato mediante una linea orientata che passa per tutti gli elementi dell insieme ed associa un numero naturale a ciascun elemento dell insieme, come descritto nella figura 1.3. a 1 a 2 a n Figura 1.3: Enumerazione degli elementi dell insieme {a 1, a 2,..., a n }. In informatica un tipico modo definire un enumerazione su un insieme A consiste nell usare un array a di dimensione A e memorizzare gli elementi di A in ciascun elemento dell array a; in questo caso, con la notazione a[i] viene denotato l elemento di A corrispondente al numero naturale i, ossia, con terminologia tipica dei linguaggi di programmazione, con a[i] si denota l i-esimo elemento dell array a. L esistenza di una enumerazione su un insieme finito A permette di descrivere degli algoritmi per accedere ed elaborare gli elementi di A, mediante lo schema descritto nell algoritmo 1. Algoritmo 1 - Elaborazione di un insieme finito A dotato di una enumerazione Input: insieme finito enumerabile A 1: for i from 1 to A do 2: elabora a i 3: end for Uno schema di algoritmo come il precedente può essere facilmente declinato a seconda del particolare tipo di elaborazione che serva, come evidenziato dai seguenti due algoritmi (Algoritmo 2 e Algoritmo 3).

18 14 CAPITOLO 1. INSIEMI, RELAZIONI E FUNZIONI Algoritmo 2 - Somma degli elementi di un insieme finito numerico A Input: insieme finito numerico A Output: somma degli elementi di A 1: s 0 2: for i from 1 to A do 3: s s + a i 4: end for 5: return s Algoritmo 3 - Insieme delle coppie del prodotto cartesiano A A Input: insieme finito enumerabile A Output: prodotto cartesiano A A 1: P 2: for i from 1 to A do 3: for j from 1 to A do 4: P P {(a i, a j )} 5: end for 6: end for 7: return P 1.11 ESERCIZI 1. Applicando gli schemi di algoritmi di elaborazione di insiemi, scrivere un algoritmo per determinare la somma dei numeri naturali compresi fra m ed n. Esprimere l algoritmo mediante un unica formula chiusa. 2. Scrivere un algoritmo per determinare, in un insieme A, quanti sono gli elementi soddisfacente ad una data proprietà P. 3. Fissato un numero naturale k, analizzare le proprietà della relazione di congruenza modulo k fra numeri naturali definita come segue: xry se e solo se (x%y) = k 4. Analizzare le proprietà delle relazioni di parallelismo e perpendicolarità fra rette del piano. 5. Analizzare le proprietà delle relazioni di equivalenza e congruenza fra figure del piano. 6. Analizzare le proprietà delle relazioni di confinamento ed inclusione fra regioni su una mappa geografica.

19 1.11. ESERCIZI Consideriamo l insieme R dei rettangoli del piano individuati mediante una coppia [a, b] delle misure dei lati. Diremo che un rettangolo x è copribile da un rettangolo y se, mantenendo i lati paralleli, il rettangolo x è completamente sovrapponibile dal rettangolo y. Nell insieme R si consideri la relazione d ordine R definita da xry se e solo se x è copribile da y Studiare le proprietà della relazione R. Dimostrare che R è un sottoinsieme di R 4, in quanto isomorfo a R 2 R 2. Scrivere un predicato equivalente alla relazione R. 8. Si consideri l operazione f N 2 N 2, [m, n] [m/n, m%n] che ad ogni coppia di numeri naturali associa la coppia costituita dal loro quoziente e resto. Si discuta se tale operazione è commutativa, suriettiva, iniettiva, biiettiva. 9. Dimostrare che il numero di permutazioni di un insieme finito di n elementi è n! = 1 2 n. 10. Individuare gli argomenti coinvolti nelle seguenti espressioni scritte mediante le convenzionali notazioni matematiche. Esprimere tali espressioni in notazione funzionale. (a) x n (b) x y (c) log a b (d) b a f(x) dx (e) n i=m xi 11. Usando le seguenti funzioni: add[x, y] : addizione x + y mul[x, y] : moltiplicazione x y chs[x] : x cambiato di segno pow[x, y] : potenza x y scrivere in notazione funzionale la seguente espressione: (x1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

20 16 CAPITOLO 1. INSIEMI, RELAZIONI E FUNZIONI 12. Per ciascuna delle seguenti espressioni, scrivere in notazione RPN ed in notazione funzionale due espressioni equivalenti, usando, rispettivamente, gli operatori binari infissi +,,, / e gli operatori binari funzionali add, sub, mul, div. (a) 4/3πr 2 (b) a 2 + b 2 (c) (B + b)h/2 (d) a x 2 + b x + c (e) x 4 /y Usando, rispettivamente, gli operatori binari infissi +,,, /, ˆ (ˆ denota l operatore binario infisso di elevamento a potenza) ed i corrispondenti operatori binari funzionali add, sub, mul, div, pow, scrivere in notazione RPN ed in notazione funzionale delle espressioni equivalenti alle seguenti espressione algebriche: (a) a + 1 b+ 1 c (b) (c) (d) x 2 +4 x(x+y) a 1 b + 1 c 1 a 2 b+3 (e) b 2 4ac 14. Le seguenti espressioni in notazione funzionale determinano il massimo fra tre dati elementi a, b, c. Analizzare e discuterne le differenze. max[a, b, c] max[max[a, b], c] max[a, max[b, c] ] 15. Si consideri l insieme A = {α, 0, 1, 2,..., n, ω}, dove n sia un numero naturale fissato, α sia un elemento che rappresenti il valore indefinito e ω rappresenti un numero infinitamente grande. Definire su questo insieme, in un modo coerente e con un po di buon senso, le quattro usuali operazioni aritmetiche +,,, /. Quali proprietà rimangono soddisfatte?

21 Capitolo 2 Logica Sfidiamo chi non ammette l identità tra logica e matematica a indicare in quale punto [...] ritiene che finisca la logica e cominci la matematica. Si otterrà allora la dimostrazione che qualsiasi risposta è del tutto arbitraria. B. Russel, Introduzione alla filosofia matematica I primi studi riguardanti la logica si possono attribuire ad Aristotele, anche se la parte da lui trattata si riferisce principalmente all analisi di alcune regole di ragionamento che vengono sinteticamente, anche se in modo semplicistico, prototipizzate nel celebre sillogismo Tutti gli uomini sono mortali, Socrate è un uomo, quindi Socrate è mortale. Gli studi sulla logica vennero successivamente approfonditi fino alla fine del 1700 quando, con il filosofo Immanuel Kant, sembrava che si fosse pervenuti ad un corpo di conoscenze ormai definitivo. Si ebbe una svolta decisa verso la metà del 1800 quando il matematico inglese George Boole ( ), un autodidatta di modeste origini, ebbe la brillante idea di denotare con dei nomi e con dei simboli le proposizioni e le loro connessioni logiche, sviluppando un sistema algebrico funzionale e produttivo. Tale sistema venne descritto nel famoso lavoro di Boole An investigation on the laws of thougth del L intendimento di Boole era di sviluppare una sorta di algebra della logica. Il sistema da lui ideato e sviluppato venne in seguito denominato, in suo onore, algebra di Boole. Successivamente il formalismo ed alcune impostazioni di Boole vennero modificate, integrate e perfezionate da parte di vari logici che seguirono, anche se l impianto base, fondato sulle idee originali di Boole, venne mantenuto. 17

22 18 CAPITOLO 2. LOGICA 2.1 LA LOGICA DEI VALORI BOOLEANI Un importante esempio di insieme con operazioni frequentemente ricorrente nella programmazione è costituito dall insieme B dei valori logici composto da due soli elementi, convenzionalmente denominati F ALSE (falso) e T RU E (vero). Sull insieme B sono definiti degli specifici operatori logici (and), (or), (not), corrispondenti ai seguenti paradigmi: B 2 B B 2 B B B Gli operatori logici sopra elencati sono descrivibili mediante la tavola di verità riportata nella Tab p q p q p q p F ALSE F ALSE F ALSE F ALSE T RUE F ALSE T RUE F ALSE T RUE T RUE T RUE F ALSE F ALSE T RUE F ALSE T RUE T RUE T RUE T RUE F ALSE Tabella 2.1: Tavola di verità degli operatori logici fondamentali. L insieme B dei valori logici unitamente agli operatori logici appena definiti costituiscono un algebra di Boole per la quale valgono tutti gli assiomi e proprietà di una generica algebra di Boole. Gli operatori logici and, or e not possono essere espressi mediante l operatore condizionale if come segue: p q equivale a if[p, q, F ALSE] p q equivale a if[p, T RUE, q] p equivale a if[p, F ALSE, T RUE] Gli operatori di implicazione logica ( ) ed equivalenza logica ( ) non sono generalmente predisposti all interno degli usuali linguaggi di programmazione. Possono comunque essere definiti mediante gli operatori logici fondamentali come segue:

23 2.2. ESERCIZI 19 p q equivale a ( p) q p q equivale a (p q) (q p) Per gli operatori logici di implicazione logica ed equivalenza logica, oltre alla possibilità di scriverli in termini degli operatori logici di base come sopra descritto, viene offerta la seguente elegante alternativa: l insieme dei valori logici viene dotato di una struttura di ordine stretto, assumendo F ALSE < T RUE; in tale modo gli operatori di implicazione ed equivalenza logica possono essere espressi come segue: p q equivale a p q p q equivale a p = q Per convincersene basta semplicemente predisporre la tavola di verità delle operazioni p q e p = q. Osservazione. Si noti la concisione di questo capitolo che, addirittura, avrebbe potuto essere condensato in poche righe affermando che l insieme del valori logici costituisce un caso particolare di algebra di Boole e specificando la corrispondenza fra elementi del sistema formale dell algebra di Boole e gli elementi ed operatori sui valori logici. Poi, tutte le definizioni ed i risultati ricavabili per una generica algebra di Boole (che saranno presentate più avanti) si trasportano al contesto dei valori logici. 2.2 ESERCIZI 1. All ingresso di una discoteca ci sono due scritte: Se uno guida non beve, Se uno beve non guida. Discutere se queste due affermazioni sono equivalenti. Assumendo l ipotesi che tutti rispettino tali inviti, stabilire quali delle seguenti affermazioni sono logicamente implicate dalle scritte della discoteca; stabilire, inoltre, quali fra queste sono fra loro equivalenti. (a) Tutti coloro che non bevono, guidano. (b) Tutti coloro che bevono, non guidano. (c) Nessun guidatore beve. (d) Nessun bevitore guida. (e) Esistono dei bevitori che guidano.

24 20 CAPITOLO 2. LOGICA primi. (f) Esistono dei guidatori che bevono. (g) Esistono dei bevitori che non guidano. (h) Esistono dei guidatori che non bevono (i) Ognuno beve oppure guida. 2. Indicando con B(x) l affermazione x beve, con G(x) l affermazione x guida, utilizzando i quantificatori logici (esiste) e (per ogni), esprimere le affermazioni (a)-(i) riportate nell esercizio precedente. 3. Dimostrare l equivalenza logica fra le seguenti due proposizioni: P 1 : Esistono infiniti numeri primi. P 2 : Ogni numero naturale è inferiore ad un numero primo Discutere se le seguenti tre proposizioni sono equivalenti: P 1 : I due insiemi A e B non sono entrambi vuoti. P 2 : I due insiemi A e B sono entrambi non vuoti. P 3 : I due insiemi A e B sono non entrambi vuoti. 5. Scrivere la tavola di verità degli operatori di implicazione logica ed equivalenza logica. 6. Utilizzando gli operatori logici fondamentali, scrivere un espressione booleana equivalente all operatore di or esclusivo fra due dati valori booleani p e q. 7. Scrivere la tavola di verità degli operatori logici and e or nella logica a tre valori avente come supporto di dominio e codominio il seguente insieme: {, F ALSE, T RUE}. 8. Scrivere la tavola di verità della seguente espressione booleana, essendo p e q due valori booleani: (p q) ( (p q)) 9. Sia p una variabile logica. Decidere se la seguente espressione è una tautologia. ((p < p) < p) = p 1 Questa è la formulazione utilizzata la Euclide per affermare che esistono infiniti numeri

25 2.2. ESERCIZI Siano p, q, r valori booleani. Dimostrare l associatività dell operatore di uguaglianza, ossia ((p = q) = r) = (p = (q = r)) 11. Si consideri il predicato P (x) (x > 0, x R). Dimostrare che P (x y) = (P (x) = P (y)) Riconoscere, sotto al formalismo, la nota regola dei segni della moltiplicazione.

26 22 CAPITOLO 2. LOGICA

27 Capitolo 3 Aritmetica I numeri naturali li ha fatti il buon Dio, tutto il resto è opera dell uomo. L. Kronecker La matematica è la regina delle scienze e l aritmetica è la regina della matematica. C. F. Gauss, Disquisitiones Matematicae Tutta l aritmetica si fonda sul concetto di numero. Tale concetto è così radicato nell uomo da risultare ovvio e far correre il rischio di dare delle definizioni e stabilire delle proprietà sui numeri che risultano viziate da una circolarità che le rende inconsistenti. Storicamente lo scopo principale dei numeri è stato quello di contare; successivamente i numeri vennero dai Greci associati alle entità geometriche, in particolare con l obiettivo di rendere possibile l operazione di misurare (lunghezze, aree). Successivamente il sistema dei numeri venne arricchito introducendo le operazioni; e questo ha dato avvio allo sviluppo di diversi e sempre più completi sistemi di numeri al fine di rendere possibili sempre più operazioni. Il convincimento di Kronecker, espresso nella citazione riportata all inizio di questo capitolo, riflette una situazione di fatto che s incontra in matematica: i numeri naturali sono degli enti primitivi, i mattoni, mediante i quali si edificano molteplici branche della matematica. 23

28 24 CAPITOLO 3. ARITMETICA 3.1 I NUMERI NATURALI Giuseppe Peano ( ) ha mostrato che l intera teoria dei numeri naturali può essere dedotta da tre idee primitive (zero, numero, successivo) e da cinque proposizioni fondamentali (dette postulati di Peano), in aggiunta a quelle della logica. Seguendo l impostazione di Peano, per economia di pensiero, si definiscono i numeri naturali in modo assiomatico, ossia si definiscono delle proprietà caratterizzanti, in modo tale da chiamare numeri naturali quegli enti che le soddisfino. Per ben comprendere la teoria assiomatica dei numeri naturali (ma il discorso vale per qualsiasi sistema formale) bisogna guardare ai numeri naturali come a delle entità mai viste prima; non bisogna accettare alcunché per scontato se non gli assiomi e ciò che da essi è già stato dedotto. In base al metodo assiomatico di Peano, l insieme N dei numeri naturali è definito come un insieme di elementi, di natura qualsiasi, soddisfacenti ai seguenti assiomi: 1. Esiste un numero naturale chiamato zero e denotato con il simbolo Esiste una funzione N N che fa corrispondere ad ogni numero naturale n un altro numero detto il successivo di n, indicato con n. 3. Non esiste alcun numero naturale n tale che n = Due numeri naturali m e n sono uguali se e solo se m = n, ossia la funzione è iniettiva. 5. Se S è un sottoinsieme di N contenente 0 e se S è chiuso rispetto all operazione di successivo allora S = N, ossia: (S N, 0 S, n S n S) (S = N). Si può dimostrare che i cinque postulati sopra formulati sono indipendenti. Coerentemente con il significato che attribuiamo ai numeri naturali, per comodità si conviene di indicare con n la scrittura 0 n apici Ad esempio indicheremo 0 con il simbolo IL PRINCIPIO DI INDUZIONE Il quinto postulato di Peano costituisce il cosiddetto principio di induzione, sul quale si basano molte dimostrazioni di proposizioni riguardanti i numeri naturali. Tale principio viene solitamente formulato come segue:

29 3.3. IL TEOREMA DI RICORSIONE 25 TEOREMA 1 (Principio di induzione). Sia P (n) una generica proposizione dipendente dal numero naturale n; se è vera la proposizione P (0) e se, supposta vera la proposizione P (n), consegue la verità di P (n ), allora la proprietà P (n) è vera per ogni numero naturale n. In generale, al posto di P (0) basta che valga P (k) con un k 0 ben determinato. Come esempio di applicazione del principio di induzione dimostriamo un utile proprietà sui numeri naturali: PROPRIETÀ 1. La somma dei primi n numeri naturali: n, vale n(n + 1)/2, ossia n k = n(n + 1)/2 k=1 Dimostrazione. Sia P (n) la proprietà da dimostrare. P (0) è vera in quanto 0 = 0(0 + 1)/2. Ipotizziamo ora che sia vera la proprietà P (n), per un dato n > 0 e dimostriamo che vale P (n ); si ha n + (n + 1) = n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2 = n (n + 1)/2 che corrisponde proprio alla proprietà P (n ); nei passaggi precedenti, in base all ipotesi assunta, si è sostituito il valore n(n + 1)/2 al posto dei primi n addendi n. In base al principio di induzione resta dunque dimostrato che P (n) è vera per ogni numero naturale n. 3.3 IL TEOREMA DI RICORSIONE Molte argomentazioni sui numeri naturali si basano sul seguente importantissimo TEOREMA 2 (Teorema di ricorsione). Sia S un insieme, g S S, a S. Esiste una ed una sola applicazione f N S soddisfacente alle seguenti condizioni: 1. f[0] = a, a S 2. f[n ] = g[f[n] ] per ogni n N In informatica, il teorema di ricorsione è spesso utilizzato per definire ricorsivamente degli oggetti e delle operazioni, come descritto nei seguenti esempi.

30 26 CAPITOLO 3. ARITMETICA Esempio 17. Un albero binario di ordine n è definito come segue: Un albero binario di ordine n composto da elementi di tipo T è l albero vuoto (di ordine 0) composto da nessun elemento e denotato con, oppure è una terna [r, x, y], dove r T e x,y sono due alberi binari di ordine n 1, composti da elementi di tipo T. Anche se qualche aspetto di questa definizione può sfuggire, in base al precedente teorema di ricorsione siamo sicuri che la definizione data è ben posta. Applicando meccanicamente tale definizione, riconosciamo immediatamente che [2, [8,, [7, [1,, ], [6,, ] ], [4, [2,, ], [5, [3,, ], ] ] è un albero binario che può essere rappresentato come in figura Figura 3.1: Albero binario composto da numeri. Esempio 18. Un altro esempio di definizione di un operazione in modo ricorsivo è fornito dalla funzione fattoriale di un numero naturale n, denotata con n! e definita come segue: n! = { 1 se n = 0 (n 1)! n se n > LE QUATTRO OPERAZIONI In base al concetto di numero naturale e di successivo, si possono definire, basandosi sul teorema di ricorsione, le quattro operazioni aritmetiche fondamentali.

31 3.4. LE QUATTRO OPERAZIONI 27 L operazione di addizione a n di un numero naturale k viene definita prendendo, nel teorema di ricorsione, a = k e per g l applicazione n n di successivo; pertanto si definisce 0 + k = k n + k = (n + k) Una volta introdotta la definizione di addizione, si può scrivere n + 1 al posto di n, intendendo per definizione 0 = 1. Una volta definita l operazione di addizione, l operazione di moltiplicazione di n per un numero naturale k viene definita prendendo, nel teorema di ricorsione, a = 0 e per g l applicazione n n + k; pertanto si definisce 0 k = 0 n k = (n k) + k Le operazioni di sottrazione e divisione costituiscono le operazioni inverse, rispettivamente, dell addizione e della moltiplicazione. Generalmente, in matematica, la sottrazione e la divisione fra numeri naturali sono operazioni parziali: la sottrazione n k è definita per n k e la divisione n/k è definita per k 0. In informatica risulta comodo estendere queste due operazioni in modo da renderle totali, ossia definite per qualsiasi valore del dominio; a questo scopo si definisce n k = { h se esiste h N tale che n + h = k 0 se non esiste alcun h N tale che n + h = k n / k = { se k = 0 massimo q N tale che q k n dove con si è denotato il valore nullo. Esempi: 5 3 = 2, 4 6 = 0, 8/2 = 4, 9/4 = 2, 7/0 =. PROPRIETÀ 2. Le operazioni sopra descritte soddisfano alle seguenti proprietà: 1. (a + b) + c = a + (b + c) proprietà associativa dell addizione 2. a + b = b + a proprietà commutativa dell addizione 3. (a b) c = a (b c) proprietà associativa della moltiplicazione 4. a b = b a proprietà commutativa della moltiplicazione 5. a (b + c) = (a b) + (a c) proprietà distributiva 6. (a + c = b + c) a = b legge di cancellazione dell addizione 7. (a c = b c, c 0) a = b legge di cancellazione della moltiplicazione

32 28 CAPITOLO 3. ARITMETICA Osservazione. In informatica e nei linguaggi di programmazione bisogna tenere presente che queste proprietà possono non valere sempre, in quanto al posto dei numeri naturali si considerano dei numeri appartenenti ad un implementazione dei numeri naturali costituita da un sottoinsieme proprio e finito dei numeri naturali. Sull insieme dei numeri naturali viene considerato l usuale criterio d ordine di minore uguale fra numeri, denotato con il simbolo. Di conseguenza rimangono definiti gli altri operatori di confronto <, =, >,,, con gli usuali significati. Ovviamente, il risultato di un operazione coinvolgente un operatore di confronto è un valore logico, vero o falso. Particolarmente importanti e frequenti sono le funzioni aventi come dominio i numeri naturali, a tal punto che a questa classe di funzioni è stata riservata una specifica denominazione. Sia A un generico insieme. Una funzione s N A viene detta successione. Per le successioni viene spesso usata una particolare notazione per indicare l immagine di un dato elemento del dominio: indicando con a un generico elemento di A, con a n si denota l immagine del numero naturale n. 3.5 QUOZIENTE E RESTO La seguente importante proprietà sta a fondamento dell operazione di divisione sui numeri naturali. PROPRIETÀ 3. Dati due numeri naturali a e b, con b 0, esistono e sono unici due numeri naturali q e r, detti rispettivamente quoziente e resto, soddisfacenti alle seguenti due condizioni: Q 1 a = b q + r Q 2 r < b Tale proprietà può essere dimostrata basandosi solamente sugli assiomi che definiscono i numeri naturali. In informatica è spesso utilizzata l operazione binaria di resto della divisione intera fra due numeri naturali; quest operazione viene denotata mediante l operatore % utilizzato in notazione infissa. Ad esempio: 9%4 = 1. DEFINIZIONE 7. Si dice che un numero naturale a è un multiplo di un numero naturale b se esiste un numero naturale q tale che a = b q (tale q sarà

33 3.6. NUMERI PRIMI 29 unico, in base alla proprietà precedente). Equivalentemente si dice anche che b divide a o che b è un divisore di a. Per esprimere ciò si usa anche la notazione a b. Dati due numeri naturali a e b si dice che il numero naturale m è il loro massimo comune divisore se d a e d b ed inoltre se n a e n b allora n m. Si può dimostrare che il massimo comune divisore fra due numeri naturali a e b esiste sempre ed è unico. Viene solitamente denotato con mcd[a, b]. Si conviene di porre mcd[0, 0] = NUMERI PRIMI I numeri primi, noti già ai greci più di 2000 anni fa, costituiscono un argomento di indagine tipico della matematica (in particolare della teoria dei numeri), ma sono saliti alla ribalta con l avvento dei calcolatori, in quanto vengono utilizzati in molte applicazioni, in particolare nella crittografia che sta alla base della sicurezza degli attuali sistemi di elaborazione e trasmissione delle informazioni. DEFINIZIONE 8. Un numero naturale p si dice primo se p > 1 e da d p segue d = 1 oppure d = p. In altre parole un numero naturale è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. Un numero naturale non primo viene detto composto. TEOREMA 3. Esistono infiniti numeri primi. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che ci sia un numero finito di numeri primi; siano p 1, p 2,..., p k tali numeri. Consideriamo il numero p 1 p 2 p k + 1. Tale numero o è primo o non lo è. Se è primo allora è maggiore di ciascuno dei numeri primi p i e quindi non è uno di questi, contro l assunto che i k numeri p i fossero tutti i numeri primi. Se non è primo allora è divisibile per qualche numero p. Tale numero p non può essere uno dei k numeri p i in quanto dividendo per ciascuno di questi si ottiene resto 1. Quindi ancora tale numero p non è uno dei p i. Non abbiamo potuto sottrarci dal presentare la dimostrazione di questo teorema che è importante storicamente perché scoperto ancora da Euclide, è valida esteticamente perché si basa su una semplice ma incisiva idea, è importante da un punto di vista algoritmico perché essa è costruttiva e fornisce implicitamente un procedimento diretto per generare numeri primi (non tutti).

34 30 CAPITOLO 3. ARITMETICA DEFINIZIONE 9. Dato un numero naturale n > 1 si dice che la lista [p 1,..., p k ] è una fattorizzazione in primi di n se ciascun p i, i = 1,..., k, è un numero primo, p 1 p 2 p k e n = p 1 p 2... p k. TEOREMA 4 (Teorema fondamentale dell aritmetica). Ogni numero naturale maggiore di 1 ammette un unica fattorizzazione in numeri primi. In base a questo teorema, disponendo della lista della fattorizzazione in primi di due numeri naturali a e b, si può calcolare il loro massimo comune divisore calcolando il prodotto di tutti i divisori primi comuni, presi una sola volta e con il minimo esponente. 3.7 ALGORITMI DI PRIMALITÀ Il problema di decidere se un dato numero n naturale è primo può essere equivalentemente formulato come segue: Determinare se esiste un numero naturale divisore di n. Il procedimento risolutivo è riportato nell algoritmo 4. Algoritmo 4 - Test di primalità - ver. 1 Input: numero naturale n Output: T RUE se e solo se n è primo 1: considera un potenziale divisore d di n 2: while n non è divisibile per d e ci sono ancora potenziali divisori do 3: considera un altro potenziale divisore d 4: end while 5: return n non è divisibile per d Il modo più ragionevole per passare in rassegna tutti i potenziali divisori di n è quello di considerare d = 2 come primo potenziale divisore e poi esaminare tutti i numeri primi successivi. In questo modo è sufficiente esaminare tutti i numeri non maggiori di n in quanto se tali numeri fossero divisori di n, il corrispondente fattore ottenuto dal quoziente n/d sarebbe inferiore a n e quindi sarebbe stato individuato precedentemente. Poiché non esiste alcun efficiente algoritmo che fornisca il numero primo successivo ad un dato numero primo, anche se in modo non ottimale, si può considerare il numero successivo. Con queste premesse, l algoritmo 4 può essere raffinato come descritto nell algoritmo 5.

35 3.8. PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI 31 Algoritmo 5 - Test di primalità - ver.2 Input: numero naturale n Output: T RUE se e solo se n è primo 1: considera d = 2 come potenziale divisore di n 2: while (n%d 0) (d n) do 3: incrementa d di 1 4: end while 5: return (n%d) 0 Nell ipotesi di disporre di un esecutore in grado di eseguire solamente le quattro operazioni, rimangono ancora da esplicitare i seguenti due sottoproblemi: P 1 : Calcolare (n%d) 0. P 2 : Decidere se (d n). Le soluzioni di questi due sottoproblemi si scrivono rispettivamente: R 1 : Calcolare (n (n/d) d) 0. R 2 : Decidere se (d d) n. Si può notare che viene evitato il calcolo della radice quadrata. 3.8 PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Il seguente enunciato asserisce una proprietà sui numeri naturali ed è noto come l ultimo teorema di Fermat, essendo stato formulato per la prima volta da Pierre de Fermat nel XVII secolo. TEOREMA 5. Non esistono quattro numeri naturali x, y, z, n, con n > 2, tali che valga la relazione x n + y n = z n. La condizione n > 2 è essenziale in quanto, ad esempio, = 5 2. Nonostante l appellativo di teorema, tale risultato è stato dimostrato solamente nel 1993 da Andrew Wiles: a contrasto con l estrema semplicità della formulazione della questione, la dimostrazione è lunga 200 pagine ed ha richiesto nove anni di lavoro. Nel 1742 il matematico Goldbach inviava al suo collega Euler una lettera nella quale affermava una proprietà sui numeri naturali, nota come congettura di Goldbach, che si enuncia come segue: