Meccanica dei sistemi

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1 Meccanca de sste Moento angolae 2. Moento d una foza 3. Foze cental 4. Sste d punt ateal 5. Foze estene e Foze ntene 6. Cento d assa d un sstea 7. Consevazone della quantta d oto 8. Teoea del oento angolae 9. Il sstea d feento del cento d assa 10. Teoe d Kong 11. Il copo gdo 12. Il oento d neza

2 Moento angolae La gandezza fsca assocata alle otazon, analoga alla quantta d oto pe le taslazon, e l vettoe oento angolae L: L x p x v l oento angolae s sua n kg 2 s -2. L e pependcolae al pano defnto dal vettoe quantta d oto e dal vettoe poszone. Il suo odulo e dato dal podotto p snθ. Ossevao che l podotto snθ e la coponete d nella dezone pependcolae a p: sn θ. Analogaente l podotto p snθ e la coponente d p nella dezone otogonale ad : p sn θ p. Dunque possao poe: L L p p In patcolae dunque: coe L p v contbusce al oento angolae solo la coponente della velocta pependcolae al aggo vettoe. Nel caso d oto ccolae, con cento nell ogne v v ω. L x p x v

3 Moento angolae a) θ π/2 Nel caso d oto ccolae, con cento nell ogne v v ω e dunque: L 2 ω l vettoe L e detto coe l asse d otazone ed e paallelo al vettoe w. S puo ntodue la notazone vettoale: L 2 w. L a) θ 0, π Nel caso n cu l oto e taslatoo lneae, passante pe l ogne, e sepe paallelo a p e non v e coponente d p pependcolae ad o vcevesa. Dunque: L0

4 Moento d una foza Defnao oento d una foza l vettoe: M x F detto pependcolaente al pano foato dal aggo vettoe e dalla foza. Esso e l analogo otazonale della foza. Consdeao la vaazone nel tepo del oento angolae: dl/ d/ (xp) d/ x p x dp/ ponao d/ v ed ossevao che p v. Alloa: d/ x p v x v 0 Ed ottenao: dl/ x dp/ x F M M dl/ Ovveo: La vaazone nel tepo del oento angolae e pa al oento della foza applcata. Questa elazone e l analogo otazonale della seconda legge d Newton.

5 Foze cental S defnsce foza centale una foza defnta n ogn punto dello spazo la cu dezone passa sepe attaveso un punto fsso, detto cento della foza. Se l cento concde con l ogne d un sstea d feento la foza centale e detta paallelaente al aggo vettoe. Esep d foze cental sono la foza gavtazonale e la foza d Coulob, dette sepe coe la congungente l copo d pova dalla sogente del capo. Nel caso d foze cental s ha che M x F 0 Poche e paallelo ad F. Dal teoea del oento angolae segue che: M dl/ 0 dunque L costante. Qund pe un copo sottoposto all azone d una foza centale l oento angolae e una quantta consevata. Rcodao la defnzone d velocta aeale: aea spazzata nell unta d tepo dal vettoe : da/ ½ 2 dθ/ ½ 2 ω Ma s ha anche (n odulo): L v ( dθ/ ) 2 ω Da cu: da/ ½ L/ costante La taettoa d un punto che s uove n un capo d foze cental gace n un pano passante pe l cento (poche la dezone d L costante) ed e pecosa n odo che la velocta aeale sa costante (poche l odulo d L costante) (Kepleo)

6 Sste d punt. Foze ntene ed estene Consdeao un sstea d n punt ateal, nteagent ta loo e con l esto dell unveso. In geneale sul punto aganno foze esectate dagl alt n-1 punt ateal dette foze ntene F e foze esectate da agent esten al sstea, dette foze estene F e. La foza agente sul sngolo punto j e data dalla sultante d tutte le foze agent: F j S n F S n F e Tale dstnzone dpende da coe e defnto l sstea. Pe le foze ntene vale l pncpo d azone e eazone: e dunque pe ogn foze ntena F j esste un alta foza ntena F j tale che F j - F j. Se consdeao la sultante d tutte le foze agent su un ss tea: R S j F j S j (S n F S n F e ) R R e Ma le foze ntene s annullano a coppe e dunque R R e Ovveo la sultante delle foze agent su un sstea e pa alla sultante delle sole foze estene

7 Sste d punt. In geneale, pe detenae copletaente l sstea, s deve solvee un sstea d 3n equazon, se n sono punt ateal, del tpo: j a jx F jx j a jy F jy j a jz F jz j1,n Defnao alloa pe cascun punto le seguent gandezze: Poszone: velocta v Acceleazone: a F / quantta d oto p v Moento Angolae: L x v enega cnetca T ½ v 2 Pe l sstea coplessvo d punt defnao nolte: Quantta d oto totale del sstea P S P S v Moento angolae totale del sstea L S L S x v Enega cnetca totale del sstea T S T S ½ v 2

8 Cento d Massa S defnsce coe cento d assa d un sstea d punt ateal l punto geoetco la cu poszone e ndvduata da aggo vettoe: n n n c R oo R R c oo oo c ) ( Che s puo esplctae spetto alle sue coponent. La poszone del cento d assa non dpende dal sstea d feento, ente le sue coodnate vaeanno con l sstea d feento scelto.

9 Cento d Massa Se gl n punt sono n ovento la poszone del cento d assa puo vaae. Defnao alloa la velocta del cento d asssa v c dr c d v Se codao la defnzone d quantta d oto totale del ss tea P, e defnao la assa totale del sstea : v M P vc M P Mv c La quantta d oto totale del sstea e pa al podotto della assa totale del sstea pe la velocta del cento d assa, ovveo pe la velocta del punto geoetco dentfcato da R c

10 Cento d Massa Analogaente s puo cavae l acceleazone del cento d assa a c a a c dv c F a dv nt j j j F a nt ext ( F F ) j ext j j F j j nt F ext R M ext R ext Ma c S ottene l Teoea del cento d assa: l cento d assa s uove coe un punto ateale n cu sa concentata tutta la assa del sstea ed a cu sa applcata la sultante delle foze estene

11 Cento d Massa Inolte codando le defnzon d velocta del cento d assa e d quantta d oto totale del sstea: s ottene che: la sultante delle foze estene e pa alla devata della quantta d oto totale del sstea R ext Ma c M dv c dmv c dp

12 Ossevao dunque che l cento d assa e una quantta ateatca, che gode d notevol popeta : 1) Il oto del cento d assa e detenato dalle sole foze estene 2) La sua velocta e pa alla quantta d oto totale dvsa la assa totale del sstea 3) La sua acceleazone e pa al appoto ta la sultante delle foze estene e la assa totale del sstea. Facendo feento a P ed R ext possao de che l cento d assa appesenta l oto globale dell nsee d punt ateal. R c v c a c sono dat dalle ede pesate sulle asse de vetto poszone velocta ed acceleazone de sngol punt e fonscono nfoazon sulle popeta ede del oto.

13 Consevazone della quantta d oto Se l sstea d punt e solato, ovveo non soggetto a foze estene, alloa la sultante R ext e nulla e ne segue: R ext 0 a c 0 v c costante P costante PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO PER UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI Quando la sultante delle foze estene e nulla, la qunatta d oto totale del sstea ane costante nel tepo ed l cento d assa d uove d oto ettlneo unfoe oppue esta n quete. E un pncpo d potata geneale che segue dalla oogeneta dello spazo, ovveo che non esste una ogne pvlegata pe sste d feento. Gl ut ta punt ateal obbedscono sepe alla legge d consevazone della quantta d oto.

14 Teoea del oento angolae Consdeao oa le vaazon del oento angolae totale del sstea: dl d ( p ) d p Se l ogne spetto alla quale sono defnt agg vettoe poszone (detta polo) e n quete oppue concde con l cento d assa del sstea, alloa l po tene e nullo e s puo poe: dl M nt dp M ext nt Il vettoe M nt e dato dalla soa de oent delle foze ntene, che a due a due s annullano. Dunque dl M ( F ext F ext ) dp

15 Consevazone del oento angolae Se l polo e fsso oppue concde con l cento d assa, alloa se l oento delle foze estene e nullo, s conseva l oento angolae totale del sstea. S possono vefcae due cas: M ext 0 L costante a) Il sstea e solato alloa R ext 0 e l oento delle foze estene e nullo spetto a qualunque scelta del polo. b) Il sstea non e solato l oento delle foze estene puo essee nullo pe una scelta del polo e non nullo spetto ad un alto polo. Alloa s conseva l oento angolae solo se calcolato spetto al po polo. La consevazone del oento angolae d un sstea d punt solato e conseguenza della sotopa della spazo (non esste una dezone pvlegata nello spazo).

16 Il sstea d feento del cento d assa Se sceglao coe ogne del sstea d feento utlzzato pe descvee l oto, l cento d assa del sstea n esae, l feento n geneale non e un feento nezale, a gode d potant popeta : c Dal teoea d coposzone delle velocta, n assenza d oto otatoo: v v v c Ma nel feento del cento d assa: M Rc 0 v M vc 0 P 0 La quantta d oto totale del sstea e sepe nulla se suata nel feento del cento d assa.