Unità Didattica N 5. Impulso e quantità di moto

Transcript

1 Imnpulso e quanttà d moto - - Impulso e quanttà d moto ) Sstema solato : orze nterne ed esterne...pag. 2 2) Impulso e quanttà d moto...pag. 3 3) Teorema d conservazone della quanttà d moto...pag. 6 4) La terza legge della dnamca e la conservazone della quanttà d moto...pag. 8 5) Momento angolare o momento della quanttà d moto o momento cnetco...pag. 9 6) Teorema d conservazone del momento angolare...pag. - -

2 - 2 - Imnpulso e quanttà d moto Sstema solato : orze nterne ed esterne Denamo sstema d punt materal l'nseme S d due o pù punt materal, dstnt dal resto dell'unverso, d cu voglamo mettere n evdenza le propretà sche. Il sstema s dce meccanco, elettrco,...se voglamo studare le propretà meccanche, elettrche,..de suo costtuent. In generale a corp che costtuscono l sstema sono applcate delle orze che vengono classcate n orze nterne e orze esterne. Le orze nterne ( attve o vncolar ) sono quelle che s eserctano su corp del sstema e che provengono dall'azone d altr corp appartenent al sstema consderato. Le orze esterne ( attve o vncolar ) sono quelle che s eserctano su corp del sstema ma che provengono dall ' azone d corp che non anno parte dell ' unverso. Una orza nterna ( esterna ) sarà ndcata col smbolo F ( ) ( F ( e ) ). Denamo ambente esterno l ' nseme S de punt materal che non anno parte del sstema S. Il sstema S pù l'ambente esterno S costtusce l ' unverso. Spesso l tutto vene schematzzato come n gura. Ambente esterno S sstema + ambente = Sstema S = unverso contorno del sstema Unverso S densce sstema solato un sstema d punt materal soggett a sole orze nterne. In un sstema solato l rsultante ( coè la somma vettorale ) delle orze agent su tutt punt materal è nullo. E' evdente che un sstema per essere rgorosamente solato dovrebbe comprendere tutto l'unverso. Ogn altro sstema meccanco che s potrà consderare sarà sempre un sstema non solato. Tuttava, esso potrà essere consderato come solato con buona approssmazone quando le orze esterne saranno trascurabl rspetto alle orze nterne. Possamo concludere aermando che un sstema d punt materal è solato quando : ) è trascurable ogn orma d nterazone d S con punt materal che non anno parte del sstema 2) oppure è nullo l rsultante delle orze esterne agent su S 3) oppure non agscono orze esterne su S 4) le orze esterne agent su S sono trascurabl rspetto alle orze nterne

3 Imnpulso e quanttà d moto E S E M P I O Consderamo l stema terra-luna. La terra e la luna s attrano recprocamente n base alla legge d gravtazone unversale. In prma approssmazone possamo consderare l sstema terra-luna come un sstema solato, ma s tratterà d una approssmazone grossolana n quanto l sstema è soggetto anche all'attrazone del Sole e degl altr panet. S potrà allora consderare l sstema Terra-Luna come un sstema soggetto alla orza esterna dovuta al Sole, oppure consderare l sstema Terra-Luna-Sole come un sstema solato. Se po voglamo mglorare l grado d solamento del sstema dobbamo prendere n consderazone anche gl altr panet del sstema solare. In quest'ultmo caso l sstema solare può essere consderato come solato con un'approssmazone mglore d quelle precedent. Naturalmente l processo può estenders no a comprendere la galassa, l nostro ammasso galattco,...rsulta così charto l sgncato d sstema solato. E' mportante osservare che, pur d ngrandre sucentemente un sstema, esso può essere sempre consderato solato con quel grado d precsone che la questone trattata mpone. Ne consegue che possamo enuncare la terza legge della dnamca anche dcendo:<< In un sstema solato è nullo l rsultante d tutte le orze nterne >>. Impulso e quanttà d moto S densce quanttà d moto d un punto materale d massa m e veloctà v la grandezza vettorale : q = p = mv [ ] kg m [ q] = [ m v] = M L T ; { q} = { m} { v} = s Se una orza F, che per semplctà supponamo costante, agsce per un ntervallo d tempo Δ t = t2 t = t t su un punto materale d massa m, denamo mpulso della orza F relatvo all'ntervallo d tempo Δ t la grandezza vettorale : I = F t = F t t = F t t Δ 2 [ I] = [ F t] = [ M L T ] ( ) ( ), { I} = { F} { t} = N s Per la seconda legge della dnamca possamo scrvere : m ( v v) F = m a = ; F ( t t) = m v m v = q q = Δ q t t I = F Δt = q q = Δ q = teorema dell'mpulso - 3 -

4 - 4 - Imnpulso e quanttà d moto << La varazone della quanttà d moto Δ q = q q d un punto materale soggetto all'azone d una orza F nell'ntervallo d tempo Δ t = t t è uguale all'mpulso corrspondente. >> Il teorema dell ' mpulso contnua a valere anche quando la orza F è varable nel tempo. Un sstema d punt materal P, P 2, P 3,... rspettvamente d masse m, m 2, m 3,... e veloctà vettoral v, v 2, v 3,.. ha, per denzone, la quanttà d moto : Q = mv + mv + mv + = q + q + q + = quanttà d moto totale del sstema O S S E R V A Z I O N I Per la quanttà d moto s usa anche l seguente smbolo : p = m v Spesso l vettore q è detto momento lneare per dstnguerlo dal momento angolare che è l momento della quanttà d moto. Essendo q v, la quanttà d moto d una massa m dpende dal sstema d rermento che deve essere sempre precsato. Vettoralmente, ad un dato stante, q ha la stessa drezone e lo stesso verso d v, mentre I ha la stessa drezone e lo stesso verso d F coè d a. Impulso e quanttà d moto, avendo le stesse dmenson,hanno la stessa untà d msura, coè : kg m = N s s Δ F = m a = m v = Δ t Δ q Δ t oppure F dq = se la orza F non è costante. dt << l rapporto tra la varazone della quanttà d moto ed l tempo n cu essa s verca è uguale alla orza ( o al rsultante delle orze ) che agsce ( agscono ) su m. >> Le relazon q F = m a ed F = Δ per ogn sngola partcella sono completamente equvalent Δ t n meccanca classca. E' da notare che Newton ha ntrodotto la seconda legge della dnamca nella q orma F = Δ. Questa orma è pù generale della F = m a perchè quest'ultma espressone Δ t presuppone m costante, mentre l'altra non rchede che la massa debba restare costante durante l moto

5 Imnpulso e quanttà d moto Se F = F() t allora : I t = F dt dove : di = F dt è l ' mpulso elementare. t Sa V C la veloctà del centro d massa d un sstema d n partcelle soggetto all'azone d orze esterne, ottenamo : Q = m V C << la quanttà d moto totale d un sstema d partcelle è uguale al prodotto della massa totale del sstema per la veloctà del suo centro d massa. >> F m a m dv = = ; F dt = m dv = dmv = dq dt L'mpulso della orza F relatvo all'ntervallo d tempo Δ t = t2 t c vene dato da : t2 v2 q2 I = F dt = dmv = dq = q q = Δ q t v 2 q se F è l rsultante d tutte le orze esterne applcate al punto P d massa m abbamo : dq F = = ma dt Teorema d conservazone della quanttà d moto Abbamo detto che un sstema d punt materal è solato quando su d esso non agsce alcuna orza esterna, coè provenente da punt materal estrane al sstema consderato. Il teorema della conservazone della quanttà d moto d un sstema solato aerma quanto segue : << n un sstema solato s mantene costante la quanttà d moto totale Q >>. Questo sgnca che l vettore Q è una grandezza vettorale che s conserva nel tempo. Dmostramo questo teorema per un sstema ormato da due sol punt materal m ed m 2. Supponamo che all ' stante nzale t le masse abbano veloctà v e v 2, mentre all 'stante t le masse abbano veloctà v, v 2. Q = Q( t) = q + q2 = mv + v2 = quanttà d moto del sstema all ' stante t Hp : Q = Q( t ) = q + q2 = mv + v2 = quanttà d moto del sstema all ' stante t Th : { Qt ( ) = Qt ( ) coè Q = Q Per la terza legge della dnamca possamo scrvere : F = F 2 2 Consderamo l'azone delle orze F 2 ed F 2 ( che per semplctà consderamo costant ) per un ntervallo d tempo Δ t = t t

6 - 6 - Imnpulso e quanttà d moto Abbamo : m v v m v v = 2 t t t t 2 2 mv mv = mv + mv ; mv + mv = mv + mv ( ) ( ) ( ) q + q Qt = q + q = Qt = Qt = costan te Questo teorema contnua a sussstere tanto se le orze F 2 e F 2 sono varabl ( n questo caso la dmostrazone avvene medante l calcolo derenzale ), quanto se punt materal del sstema sono pù d due. << La varazone della quanttà d moto d un sstema solato è zero >> Qt ( ) Qt ( ) t t q q q 2 q 2 m m 2 m m 2 v v 2 v v 2 Dmostrazone col calcolo derenzale Consderamo un sstema solato costtuto da due sol corp rspettvamente d massa m ed m 2. La terza legge della dnamca s scrve : F2 + F2 = o, m dv m dv = o dt dt Se l'azone e la reazone agscono per un ntervallo d tempo Δ t = t2 t abbamo : t 2 t2 v v2 F dt + F dt = o + = ; mdv mdv 2 2 o t 2 2 t mv mv + mv mv = o, mv + mv = mv + mv = costan te v v Qt = Qt = Qt = costan te ( ) ( ) ( ) << Il terzo prncpo della dnamca assersce che, n seguto all ' nterazone d m ed m 2 restano costant sa la quanttà d moto del sstema solato costtuto da corp m ed m 2, sa l momento L d tale quanttà d moto ( momento angolare ) rspetto ad un punto qualsas O. >> - 6 -

7 Imnpulso e quanttà d moto La terza legge della dnamca e la conservazone della quanttà d moto Il prncpo d azone e reazone ed l prncpo d conservazone della quanttà d moto sono ra loro equvalent. Questo sgnca che, ammessa la vertà d uno de due prncp, s può dmostrare la vertà dell'altro. Nel paragrao precedente, dal prncpo d azone e reazone abbamo dedotto l teorema d conservazone della quanttà d moto d un sstema solato. Adesso, supposta vera la conservazone della quanttà d moto d un sstema solato, dmostreremo la vertà del prncpo d azone e reazone che n questo caso assume l rango d teorema. Qt = Qt = Qt = costan te Th : { Hp : { ( ) ( ) ( ) F = F 2 2 Reramoc ad un sstema solato ormato da due sol punt materal m ed m 2. Per potes sappamo che : mv + mv = mv + mv Se punt materal m ed m 2 subscono, nel tempo Δ t = t t, una varazone d veloctà vuole dre che sono sottoposte all'azone d orze che per semplctà supponamo costant. Analzzando l enomeno per n tempo Δ t t t m v v = m v v = abbamo : ( ) 2( 2 2) ( v ) m ( v v ) m v Δt = Δt, ma = ma, 2 2 F = F 2 2 oppure : mv mv ( mv 2 2 mv 2 2) =, q q = q q 2 2 F Δt = F Δ t, 2 2 F = F

8 - 8 - Imnpulso e quanttà d moto - 8 -

9 Imnpulso e quanttà d moto