Regola dei trapezi. a, b punti fissi a priori. non fissi a priori (indeterminati) errore di integrazione. a, b

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1 INTEGRAZIONE NUMERICA (Quadratura di Gauss) Regola dei trapezi I ( b a) f ( a) + f ( b) f (x) errore di integrazione f (x) f (a) f (b) a b x a a ' b' b x a, b punti fissi a priori a, b non fissi a priori (indeterminati) ( ) I b a f ( a ') + f ( b')

2 Metodo dei coefficienti indeterminati b a b a I cf( ) + cf( ) La regola dei trapezi fornisce risultati esatti quando la funzione integranda è costante o lineare.. funzione costante y b a b a ( b a)/ cf ( ) + cf ( ) dx b a ( b a)/ b a 0 c b a x + c b a y. funzione lineare y x b a b a b a ( b a)/ cf ( ) + cf ( ) xdx 0 ( b a)/ 0 b a x b a b a c+ c 0 c c 0 b a b a b a b a c c I f( ) f( soluzione ) + y

3 Formula di Gauss-Legendre f() Si considera la funzione f() definita nell intervallo ]-,[ x x + I w f( ) + w f( ) non fissati all estremità Si considera allora il problema di determinare le 4 incognite w, w,, che meglio forniscano l approssimazione dell integrale da effettuare. E necessario scrivere 4 equazioni per determinare le 4 incognite. In particolare si intende integrare esattamente funzioni polinomiali fino ad un certo ordine del polinomio.

4 L ordine del polinomio integrato esattamente si determina in funzione del numero delle incognite (e quindi delle equazioni da scrivere). a equazione: integrazione funzione costante wf( ) + wf( ) d a equazione: integrazione funzione lineare a equazione: integrazione funzione quadratica wf ( ) + wf ( ) d 4 a equazione: integrazione funzione cubica wf( ) + wf( ) d 0 ( ) + ( ) 0 wf wf d Si intende integrare esattamente la funzione costante Si intende integrare esattamente la funzione lineare Si intende integrare esattamente la funzione quadratica Si intende integrare esattamente la funzione cubica

5 Si ottiene il seguente sistema di equazioni f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) w+ w w + w 0 w + w w + w 0 Risoluzione del sistema di equazioni Si considerano inizialmente le prime due equazioni.. w w+ w + w 0 Sostituendo il risultato nella terza, si ottiene:. ed infine 0 4., ± 9 w + + w

6 Soluzione w w I f + f w e w sono chiamati pesi per l integrazione numerica di Gauss-Legendre e sono chiamati punti per l integrazione numerica di Gauss-Legendre Attraverso il procedimento esposto si integrano esattamente funzioni polinomiali con potenza fino al terzo ordine. Qualora la funzione da integrare non sia una cubica, la formula proposta fornisce un integrale approssimato. Naturalmente la procedura può essere utilizzata per integrare funzioni definite nell intervallo generico ]a, b[.

7 Formule su più punti Si considera ora la formula per la valutazione dell integrale in un intervallo ottenuta sommando non solo termini, ma n termini: I w f( ) + w f( ) w f( ) n n w w... wn pesi di Gauss... n punti di Gauss

8 Si esplicita il caso n. La formula per l integrazione diventa: I w f w f w f ( ) + ( ) + ( ) w Si devono scrivere 6 equazioni: i wf( ) i polinomio 5 grado i w w pesi di Gauss punti di Gauss 6 incognite Risolvendo si determinano le 6 incognite w w w

9 Nota Con punti di Gauss integro esattamente un polinomio di 5 grado Con punti di Gauss integro esattamente un polinomio di grado punti di Gauss grado polinomio integrato esattamente Un polinomio di grado m è integrato esattamente da m + punti di Gauss.

10 Perché utilizzare l integrazione numerica? è complesso o impossibile l integrazione analitica per la complicata forma dell integranda, l integranda dipende da quantità note solo in punti discreti (problemi non lineari), si desidera calcolare l integrale in modo approssimato (metodi penalty), -----

11 Idea di base Determinare una funzione P(x) che sia: una buona approssimazione della funzione integranda F(x), semplice da integrare. Scelta Si considerano funzioni polinomiali P n di grado n che interpolano l integranda in n+ punti nell intervallo ]a, b[ F(x) P 4 ( x) F(x) x

12 In definitiva b a Fxdx () Fˆ() d wfˆ( ) n i i i dalle coordinate fisiche a quelle naturali integrazione di Gauss Fˆ ( ) F( x( ) J( ) wi i pesi di Gauss punti di Gauss dx J d Jacobiano della trasformazione