Soluzioni per il problema delle piastre

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1 Corso di Progetto di Strutture POTENZA, Souzioni per i proem dee pistre Dott. Mrco VONA DiSGG, Università di Bsiict mrco.von@unis.it

2 LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI Un pistr si consider indefinitmente ppoggit se h un dimensione ongitudine, ne direzione pre gi ppoggi, tnto mggiore de direzione trsverse d poter essere considert di unghezz indefinit L Soggett d un crico esterno ortogone pino de pistr è evidente che deformt srà contenut sotnto ne pino (, z) ovvero srà un deformzione di tipo ciindrico ed indipendente d

3 LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI p 0 Possimo considerre nogi con un trve ppoggit L In t cso deformt dipende sotnto d coordint ongitudine (come per e trvi) Per un trve ppoggit gi estremi, di tezz h e rghezz unitri, e soggett d un crico uniformemente riprtito p 0 deformt è dt d: p0 w 0 + EJ ( 3 3 L L ) J 3 h

4 LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI Anogi Trve Pistr L deformt ciindric corrisponde crico p 0 uniforme con: M Pri momento di un trve ppoggit e crict con p 0 M Pri νm L deformzione è ugue que de trve ppoggit motipict per ( ν ) ( ) w w0 ν Ti risutti si spiegno considerndo i comportmento di un strisci isot, di rghezz unitri, di un pistr generic σ +ε L -ε

5 LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI L deformzione trsverse dovut effetto Poisson h vore: ε ν ε σ ν E Ne pistr indefinit, invece, deformzione trsverse è nu ε 0 ε ( ) 0 σ νσ E Le tensioni e soecitzioni vgono quindi σ ν σ M ν M Infine deformzione ve: ε ν E E ( σ ) νσ σ L

6 LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI Per nogi con trve risut evidente che considerndo dee singoe strisce di rghezz unitri ciscun di queste potrà essere trttt come trve ppen descritt. L deformt ciindric (funzione soo di ) ve: p w + D ( 3 3 L ) ( ) 0 L L Si ricv inotre: w p0 D ( L) w w 0

7 LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI Le soecitzioni tginti vgono: L Q p0 Q 0 p p 0 I momenti fettenti p0 M ( L) M 0 L M ν M

8 METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE D qunto finor visto risut evidente che risouzione de proem dee pistre consiste ne determinzione de deformt w not que è possiie trmite e equzioni di equiirio e di coegmento determinre tutte e crtteristiche de soecitzione Noti ssmenti w Equzioni di equiirio e coegmento Soecitzioni L risouzione de proem in coordinte rettngori equive risouzione de equzione di Lgrnge portndo in conto e condizioni contorno

9 METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE: ESEMPI I metodi di risouzione de proem dee pistre sono motissimi second dei vri csi prticori cui ci si riferisce Tr i più comuni e che di seguito sono trttti ricordimo Metodo di risouzione di NAVIER per pistr rettngore ppoggit Metodo di risouzione e DIFFERENZE FINITE Metodo di risouzione gi ELEMENTI FINITE

10 LA SOLUZIONE DI NAVIER L souzione di Nvier per pistr di form rettngore ppoggit su contorno deriv d teori di Kirchhoff È necessrio innnzi tutto ricordre o sviuppo in serie di Fourier dei seni Dt un generic funzione f() de vriie definit in un intervo 0 si definisce sviuppo di Fourier in serie di seni de funzione f() in un intervo 0 convergente in ogni punto de intervo d f() seguente espressione: f ( ) n n sin nπ 0

11 LA SOLUZIONE DI NAVIER Sviuppo in serie di Fourier dei seni I coefficienti,,., n si chimno coefficienti di Fourier de funzione f() ne intervo 0 Per determinre i coefficienti di Fourier procede ne seguente modo di un dt funzione si Motipicndo entrmi i memri per sin( rπ ) f rπ ( ) sin n n nπ rπ sin sin Essendo r un qusisi intero positivo

12 LA SOLUZIONE DI NAVIER Integrndo in tr 0 ed 0 f rπ ( ) sin d n n 0 sin nπ sin rπ d Com è noto per un sistem di funzioni ORTOGONALI si h: 0 nπ sin rπ sin d 0 Per cui sommtori si riduce soo termine n r r r n n 0 f ( ) sin rπ d r n nπ f 0 ( ) sin d

13 LA SOLUZIONE DI NAVIER Considerimo somm przie: S q q n n r sin π Ovvero serie di Fourier interrott suo termine q-esimo Si può dimostrre che S q pprossim medi di f() ne intervo 0. L pprossimzione migior con umento de numero di termini (q) considerti In sostnz per q L errore tende d nnursi

14 LA SOLUZIONE DI NAVIER Considerimo somm przie: S q q n n r sin π

15 LA SOLUZIONE DI NAVIER Sotto ipotesi genermente verificte o sviuppo in serie di seni converge f() in ogni punto eccettuti eventumente gi estremi Per un funzione simmetric sono nui tutti i termini di Fourier di ordine PARI mentre per un funzione ntisimmetric sono nui i termini di ordine DISPARI Sviuppo in doppi serie di seni per un funzione di due vriii f (, ) m n mn mπ nπ sin sin mn mπ n f (, ) sin sin π dd 0 0

16 LA SOLUZIONE DI NAVIER Considerndo un pistr rettngore Per qunto visto in rezione o sviuppo in serie di Fourier si può ffermre che o sviuppo in doppi serie di seni si nnu su contorno insieme con e sue derivte seconde, ovvero: ;

17 LA SOLUZIONE DI NAVIER Considerimo un pistr rettngore ppoggit crict sinusoidmente. Supponimo che si sinusoide nche deformt ovvero che rispond d un egge de tipo: w mn mπ nπ sin sin Appicndo qunto visto in precedenz suo sviuppo in serie di Fourier si h: Su contorno e condizioni sono: w w w 0 0; 0 Appicndo opertore di Lpce egge de deformt m n mπ nπ m n w π + mn sin sin π + w

18 LA SOLUZIONE DI NAVIER n m n m w mn π π π sin sin + Quindi: Sostituendo ne equzione di Lgrnge e risovendo rispetto crico esterno si h: n m mn z π π sin sin D w z + n m D mn mn π crico esterno si h: Inversmente dto un crico esterno si può determinre deformt w e risut

19 LA SOLUZIONE DI NAVIER Considerimo un pistr rettngore ppoggit comunque crict Bst sviuppre i crico esterno in serie di seni (Fourier) ponendo: z mπ nπ sin sin, mn m n (, ) Noti quindi i coefficienti mn si può determinre deformt (, ) w m n mn mπ nπ sin sin I crico e quindi deformt vengono decomposti in onde sinusoidi

20 LA SOLUZIONE DI NAVIER Questo procedimento che consiste ne decomporre i crico e deformt in onde sinusoidi prende i nome di Souzione di NAVIER È importnte ricordre che utiizzo di te procedimento di scomposizione i serie di seni per risouzione de proem de pistr dipendono d verificrsi dee seguenti condizioni: L funzione incognit si finit in tutto i suo cmpo di definizione Si nnui insieme e sue derivte su contorno de dominio rettngore Ne equzione compino soo derivt di ordine pri rispetto vriii

21 LA SOLUZIONE DI NAVIER Appiczione e grdi di pprossimzione de metodo di Souzione di NAVIER Nee ppiczioni prtiche non è possiie considerre gi infinti termini dee doppie serie retive i crichi e deformt Si pone quindi: z q q (, ) m n mn sin mπ sin nπ q q (, ) w m n mn sin mπ sin nπ Si prendono in considerzione sotnto i primi q termini de serie

22 LA SOLUZIONE DI NAVIER ESEMPIO: Pistr rettngore crict uniformemente D espressione: f (, ) mn mπ n sin sin π dd 0 0 Si ottiene: 6 mn Per n ed m dispri mn z Si possono quindi ricvre i coefficienti di Fourier per Considerndo soo i I termine si ottiene : wm z D M 0 ν m.000 ( ) + z w w ;

23 LA SOLUZIONE DI NAVIER ESEMPIO: Pistr rettngore crict uniformemente I vori estti sono invece: wm z D M m ( ) + 0 ν z L errore percentue che si compie su deformt è pri.5%. L convergenz è prticmente immedit Per i momento M errore è pri circ i 0%. L convergenz è più ent Per ottenere più rpidità di convergenz ci sono uteriori procedimenti vriii in funzione degi specifici csi cui ci si riferisce

24 METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF I metodo sempificto di Grshof per souzione de proem de pistr rettngore ppoggit su contorno z Si immgin che pistr si costituit d strisce ffincte nee due direzioni e. Le strisce ne direzione portno quot prte de crico esterno z, quee in direzione quot prte de crico esterno z, con: z z, + z,

25 METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF L congruenz è impost in corrispondenz de centro de pistr. Si intuisce che e due strisce centri, nee direzioni ortogoni e, hnno o stesso ssmento Poiché gi ssmenti sono proporzioni crico ed e dimensioni de pistr secondo espressione: p p Per strisci pre Per strisci pre Deve risutre: p p D cui: p p p p + +

26 METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF I corrispondenti momenti vgono 8 8 p p M p p M + È d notre che ne direzione de to minore si ottiene È d notre che ne direzione de to minore si ottiene soecitzione mggiore: M M Come d tronde si può intuire considerndo che, prità di ssmento in mezzeri, strisci più cort deve vere un curvtur mggiore quindi un momento mggiore

27 METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF Ne consegue che per pistre di form ungt coorzione tr e strisce di unghezz mggiore divent irrievnte M M z

28 METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF Ne retà funzionmento grticcio considerto d metodo di Grshof si sovrppone interzione torsione tr strisce pree P Q S ϕ S P Q T ϕ T Considerimo due strisce dicenti individute rispettivmente di punti PSP e QTQ. Le rotzioni dee strisce in S (ϕ S ) ed in T (ϕ T ) considerte indipendenti sono diverse i che impic che e strisce ortogoni sono soggette torsione.

29 METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF I metodo di Grshof condurree invece i seguenti risutti P Q S ϕ S P Q T p p z ϕ T 5 z wm z + 60% 38 D D z Mm z + 70% 8