Lo studio della relazione lineare tra due variabili

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1 Lo studio della relazioe lieare tra due variabili X e caratteri etrambi quatitativi X variabile idipedete variabile dipedete * f ( ) f(): espressioe fuzioale che descrive la legge di dipedeza di da X 1

2 Diagramma di dispersioe. {, ; 1,,..., } X Modello di dipedeza lieare * b 0 + b X b 0 ordiata all origie (o termie oto) b X coefficiete agolare della retta

3 Quale retta si adatta meglio alla ube di puti? X Quale retta si adatta meglio alla ube di puti? X 3

4 Quale retta si adatta meglio alla ube di puti? X Criterio di accostameto: metodo dei miimi quadrati ordiata empirica di ascissa * 0 b + b X ordiata teorica di ascissa * ( ) 1 ( b0 bx ) mi 1 4

5 Diagramma di dispersioe e retta di regressioe dei miimi quadrati. *b 0 + b X * b 0 X b 0 b X b X 1 1 Codev Dev ( X, ) ( X ) Cov V ( )( ) 1 ( ) 1 ( X, ) ( X ) 5

6 Codev (X,) > 0 prevalgoo i prodotti tra scarti di sego uguale: ( + ) ( + ) ( ) ( ) cocordaza Codev (X,) < 0 prevalgoo i prodotti tra scarti di sego opposto: ( + ) ( ) ( ) ( + ) discordaza b X coefficiete di regressioe Idica di quato varia i media la variabile dipedete per ogi variazioe uitaria positiva di X Ha il sego algebrico della codeviaza b X > 0 b X < 0 b X 0 retta ascedete retta discedete retta parallela all asse delle ascisse Se è liearmete idipedete da X, la retta dei miimi quadrati è 6

7 b X > 0 retta ascedete b X < 0 retta discedete 7

8 b X 0 retta parallela all asse delle ascisse * X 8

9 Scomposizioe della deviaza di ( ) tot Dev( ) disp Dev( ) regr Dev + * * ( ) ( ) + ( ) R : idice di determiazioe lieare R Dev Dev ( ) ( ) regr tot 1 Dev Dev ( ) ( ) tot disp 0 R 1 R : idica la frazioe della variabilità di attribuibile alla dipedeza lieare da X 9

10 R : idice di determiazioe lieare R 0 se Dev ( ) 0 regr R 1 se Dev ( ) 0 disp (tutta la variabilità di è dovuta alla dipedeza lieare da X e la deviaza di dispersioe è ulla) Reddito familiare auo * R 0, Numero compoeti 10

11 Equazioe della retta di regressioe * X Per ogi icremeto uitario del umero di compoeti, il reddito familiare aumeta i media di 1089 euro. R 0,3347 Il 33,47% della variabilità totale del reddito familiare auo () è spiegata dalla sua relazioe lieare co il umero di compoeti (X). Qual è il reddito che i media ci si attede per ua famiglia di 3 compoeti? * Le famiglie co 3 compoeti preseti el collettivo hao i segueti redditi aui:

12 X: variabile dipedete : variabile idipedete b ' 0 b X b X 1 1 Codev Dev ( X, ) ( ) 1 ( )( ) Covar V ( ) 1 ( X, ) ( ) b e b I due coefficieti agolari hao lo stesso sego algebrico, dato dalla codeviaza, e differiscoo per effetto della diversa variabilità dei due caratteri. Se b 0 si ha ache b 0 Se è liearmete idipedete da X, ache X è quidi liearmete idipedete da (vale ache il viceversa) 1

13 Grafico delle rette * b ' 0 + b X * b 0 + b X X Coefficiete di correlazioe lieare r E u idicatore simmetrico della relazioe lieare tra e X rispetto al quale i ruoli di variabile idipedete e variabile dipedete perdoo di sigificato r ( X, ) ( X ) Dev ( ) ( X, ) ( X ) V ( ) Codev Dev Covar V 1 r +1 13

14 Coefficiete di correlazioe lieare r L idice r è il rapporto tra la codeviaza e il massimo valore che essa può assumere Ha il sego algebrico della codeviaza Risulta ioltre: r b X b X Nel modello di regressioe lieare semplice vale la relazioe R r Coefficiete di correlazioe lieare r r +1 perfetta correlazioe lieare positiva tra X e ; puti empirici tutti allieati su ua sola retta ascedete r -1 perfetta correlazioe lieare egativa; puti empirici tutti allieati su ua sola retta discedete r 0 asseza di correlazioe lieare; rette di regressioe ortogoali tra loro, co coefficieti agolari etrambi uguali a 0: caratteri liearmete idipedeti 14

15 r +1 perfetta correlazioe lieare positiva tra X e ; puti empirici tutti allieati su ua sola retta ascedete r -1 perfetta correlazioe lieare egativa; puti empirici tutti allieati su ua sola retta discedete 15

16 r 0 asseza di correlazioe lieare rette di regressioe ortogoali tra loro, co coefficieti agolari etrambi uguali a 0 Caratteri liearmete idipedeti 0 < r < +1+ tedeziale correlazioe positiva tra X e ; rette di regressioe etrambe ascedeti; coefficieti di regressioe positivi (quato più essi si riducoo, tato più le rette si aproo a forbice, espressioe dell'atteuarsi della relazioe lieare tra le variabili) -1 < r < 0 tedeziale correlazioe egativa tra X e ; rette di regressioe etrambe discedeti: coefficieti di regressioe egativi (l'agolo racchiuso dalle due rette è tato miore quato più si accetua la correlazioe egativa) 16

17 Esempio La correlazioe tra il reddito familiare e il umero di compoeti è r 0.58 Ifatti r Problema Siao X e due caratteri quatitativi. I u isieme di uità, la retta di regressioe di su X è risultata: 3+ Quale delle segueti rette può esprimere la relazioe tra X e? 1 ( a) 3 ( b) + 3 ( c) 1. 3 ( d)