LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

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1 LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

2 L ANALISI DI REGRESSIONE La regressoe è volta alla rcerca d u modello atto a descrvere la relazoe esstete tra ua varable Dpedete e ua varable dpedete (regressoe semplce) o pù varabl (regressoe multpla) dpedet o esplcatve. La scelta dell ua o dell altra varable come dpedete o è arbtrara ma è legata alla atura del feomeo: s scegle come dpedete la varable che sa logcamete atecedete rspetto all altra. I u modello d regressoe, le varabl esplcatve spegao, prevedoo, smulao, cotrollao la varable dpedete.

3 LA RETTA DI REGRESSIONE X : Varable dpedete Y: Varable dpedete L espressoe aaltca della retta d regressoe è: ˆ b0 b x Valor teorc della Y b 0 Soo coeffcet d regressoe L tercetta, l puto cu la retta terseca l asse delle ordate b Coeffcete agolare, dca la pedeza della retta

4 LA RETTA DI REGRESSIONE Per buo adattameto della curva a dat s tede trovare tra le fte rette ˆ b b 0 x Quella che rede quato pù pccola resdu (al quadrato): e = - ŷ e = - ŷ ŷ Retta d regressoe b 0 x

5 Medate l metodo de mm quadrat, s trova la retta mglore co coeffcet: x x x x X DEV Y X COD b ) ( ), ( b 0 = - b x x x x x b OPPURE LA RETTA DI REGRESSIONE

6 LA RETTA DI REGRESSIONE La codevaza determa l sego del coeffcete d regressoe: ( ) > 0 Þ b > 0 ( ) < 0 Þ b < 0 ( ) = 0 Þ b = 0 Cod X,Y Cod X,Y Cod X,Y La retta d regressoe è crescete La retta d regressoe è decrescete La retta d regressoe è parallela all asse delle x

7 LA RETTA DI REGRESSIONE Propretà della retta de mm quadrat: È l uca retta che mmzza la somma de quadrat de resdu La retta passa per l puto (meda d x; meda d ) come cetro d gravtà La somma de resdu è uguale a 0 La somma de valor osservat è uguale alla somma de valor teorc, qud valor osservat e valor teorc presetao la stessa meda Il coeffcete agolare dca la varazoe d Y corrspodeza d ua varazoe utara d X

8 GRADO DI ADATTAMENTO Ua volta calcolata la retta d regressoe bsoga determare l grado d adattameto che esste tra valor osservat e valor teorc La devaza della varable Y: DevY Dev Y ˆ ˆ DEV (Y)= DEVIANZA DI RESIDUA + DEVIANZA DI REGRESSIONE

9 GRADO DI ADATTAMENTO La devaza d resdua: msura l grado d dspersoe de put osservat toro alla retta d regressoe; è ulla cu o v è dspersoe, coè se put osservat soo alleat sulla retta d regressoe e tutta la varabltà d Y è attrbuble alla dpedeza leare della X. La devaza d regressoe: è quella parte delle varabltà della Y che vee spegata dalla relazoe leare, è ulla se valor teorc cocdoo co la meda della Y

10 Il grado d adattameto è defto dal coeffcete d determazoe leare: Y Dev g Dev R ˆ ) ( ) (Re Msura quata parte della varabltà totale è spegata dalla regressoe R ˆ OPPURE GRADO DI ADATTAMENTO

11 GRADO DI ADATTAMENTO 0 R R 0 La devaza d regressoe è ulla, valor teorc soo tutt costat e par al valore medo della Y. R La devaza resdua è ulla, per cu la varabltà della Y è spegata totalmete dalla varable X, valor osservat cocdoo co valor teorc

12 ANALISI DELLA INTERDIPENDENZA Due varabl soo terdpedet quado o s può dvduare u carattere atecedete all altro che è coseguete La correlazoe msura l grado d cocordaza e dscordaza tra due varabl

13 ANALISI DELLA INTERDIPENDENZA Il coeffcete d correlazoe leare d Bravs-Pearso che force ua msura del grado d correlazoe leare recproca che esste tra le due varabl X e Y r = Cod ( X,Y) Dev ( X) Dev ( Y)

14 ANALISI DELLA INTERDIPENDENZA Il coeffcete d correlazoe è u umero puro, che vara tra - e ed ha l sego algebrco della codevaza (r = -) V è perfetta correlazoe leare, v è dscordaza le due rette d regressoe cocdoo (- < r < 0) V è dscordaza Correlazoe versa r=- Correlazoe dretta r=0 r= (r = 0) o v è correlazoe leare, le varabl soo correlate, o v è é cocordaza, é dscordaza (0 < r < ) V è cocordaza (r = ) V è perfetta correlazoe leare, v è cocordaza le due rette d regressoe cocdoo

15 ANALISI DELLA INTERDIPENDENZA S dmostra che l coeffcete d determazoe leare è equvalete al quadrato del coeffcete d correlazoe leare: R = r

16 ESEMPIO S calcol la retta d regressoe ed l grado d adattameto Prezzo (X) Q. Domadata (Y) 4,3 850, ,4 0 0, , 980 3,7 00

17 ESEMPIO b COD DEV ( X ) X-M Y-M 6, ,9 35 -, 95, , ,9 75 x x ( X, Y ) b = - b x 0 MEDIA (X) = 7,6 MEDIA(Y) = 05 x x (X-Meda)² (Y-Meda)² (X-Meda)(Y-Meda) 44, ,5 4, ,5, , ,5 05 -,5 5, ,5 93,

18 ESEMPIO b COD( X, Y) DEV ( X ) ,64 49,4874 b 05 ( 49,4874) 7,6 895,978 0 DEV.(X)= 93,64 DEV.(Y)= EQUAZIONE DELLA RETTA COD. ˆ 895,978 49, 4874x (X,Y)

19 ESEMPIO R Dev(Re g) Dev( Y) ˆ 934, ,799 ŷ ˆ 693,4344 = 895,978-49,4874*(4,3) 09935,7 67, ,55 084, , , ,8 000,56 6,507 8, ,33 934,6

20 q. domadata ESEMPIO = -49,487x R² = 0, prezzo

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