CAPITOLO VI CENNI DI GEOMETRIA, CURVE NEL PIANO

Transcript

1 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - CAPITL VI CENNI DI GEMETRIA CURVE NEL PIAN. - Funzioni rzionli. Le funzioni rzionli o meglio le funzioni rzionli intere sono quelle he si ottengono on le sole operzioni di somm e prodotto di numeri reli. Tr di esse trovimo innnzitutto le potenze intere ioè le funzioni in ui l vriile indipendente ompre elevt d un esponente intero ome per esempio n on he risult ovvimente definit sull intero sse rele. n N Un immedit semplie generlizzzione si ottiene moltiplindo tle potenz on un numero rele qulsisi detto oeffiiente: n α on n N e α R on l eslusione dei soli si α in ui vremmo mentre α i riporteree l so preedente on n. In entrmi i si imo un espressione monomi di grdo n in. Con queste potenze formimo i polinomi he onsistono sempliemente nell somm di tnti monomi ognuno di grdo diverso in di norm ordinti per potenze deresenti o equivlentemente per potenze resenti. Un tipio polinomio potree essere per esempio α n n α n i n α i... α α... α on n N α i R i...n he indiheremo on P n ( ) (o on ltr letter miusol) evidenzindo on il pedie n il vlore dell mssim potenz ui ompre elevt l vriile indipendente dett grdo del polinomio. Un polinomio di grdo n è dunque rtterizzto intermente d n oeffiienti reli prte dei quli può nhe nnullrsi ftt eezione per quello dell potenz di grdo mssimo he se fosse nullo useree l ssmento del grdo del polinomio. Due polinomi del medesimo grdo sono identimente uguli se e solo se hnno i medesimi oeffiienti. Come detto i polinomi ostituisono le funzioni rzionli intere mentre le funzioni rzionli frtte sono rpporti di polinomi. Le funzioni rzionli intere sono definite sull intero sse rele quelle frtte nor sull intero sse rele ftt eezione per quei vlori dell vriile indipendente he nnullssero il polinomio posto denomintore (detti zeri o rdii per tle polinomio). Ci ouperemo in prtiolre dei soli polinomi di primo e di seondo grdo he sriveremo ri- spettivmente nell form più generle e. n i i i

2 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI -. Dipendenz linere Considerimo un prtiolre funzione nell qule l relzione tr vriile dipendente e vriile indipendente è l eguglinz: tle funzione si srive dunque ome ed è definit evidentemente sull intero sse rele. E immedito rionosere he il suo grfio è ostituito dll digonle del primo qudrnte he rppresent il luogo dei punti equidistnti di due ssi di riferimento (proprio in virtù dell definizione di isettrie): è dunque un rett he pss per l origine formndo un ngolo di π rdinti on l sse delle sisse e dunque nhe on l sse delle ordinte ome evidenzito dll figur. Considerimo or un rett nlog ll preedente in qunto pssnte su volt per l origine m formnte ngoli diversi on gli ssi e ne voglimo trovre l equzione ossi l funzione dell qule ess si il grfio. L rett in questione pss per l origine e si Q un suo generio punto di oordinte ( Q Q ) eventulmente lette direttmente sul grfio. Qule è llor l ondizione he devono soddisfre le oordinte ( ) di un generio punto P del pino ffinhé esso pprteng ll rett?. Considerndo i tringoli simili Q' Q e P' P si riv l proporzione Q dll qu- Q P Q Q P le Q. Posto llor Q m Q Q prmetro detto pendenz (o oeffiiente ngolre) perhé rppresent l pendenz dell rett l equzione dell generi rett per l origine si srive ome m. Q Non è neessrio imporre l ondizione ; inftti dl momento l rett pss per l origine punto nel qule l siss (oltre he l ordint) è null se fosse l rett vree due punti on siss ugule e sree dunque vertile. M un tle rett nell qule tutti i punti vreero siss ugule in prtiolre null non può essere grfio di un funzione se rppresenti l vriile indipendente perhé in orrispondenz ll unio vlore possiile per ess (il dominio sree ristretto ) rimrreero ssoiti infiniti vlori dell funzione os per noi inettile. Tutt l più si potree ssumere ome vriile indipendente l srivendo di onseguenz he l vriile dipendente l è sempre null: l equzione dell rett sree llor m il ruolo delle due vriili ne risulteree invertito. Q L equzione preedente m ostituise un esempio di equzione di fsio di rette nel

3 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 3 pino riordndo he ome fsio si intende l totlità delle rette del pino he pssno per un punto in questo so l origine. Inftti tutte queste rette si ottengono l vrire del prmetro m he ne indi l pendenz on l ovvi onsiderzione he tle pendenz può essere negtiv. In questo so le rette si trovereero sempre nel seondo e nel qurto qudrnte mentre per pendenze positive si trovno nel terzo e nel primo qudrnte. Come so prtiolre imo l rett di pendenz null per l qule m evidentemente oinidente on l sse delle sisse l ui equzione diviene : è quest un funzione ostnte nell qule d ogni selt del vlore dell vriile indipendente definit sull intero sse rele orrisponde sempre lo stesso vlore dell vriile indipendente in questo so lo zero. Quest situzione non è fftto inomptiile on l neessri monodromi delle funzioni he veniv invee violt dl so prtiolre già itto nel qule l pendenz diviene sempre mggiore fino rendere l rett vertile: quest inftti è l uni rett del fsio per l origine non rppresentt dll equzione preedente. L isettrie dll ui onsiderzione simo prtiti è l rett del fsio he si ottiene in orrispondenz ll selt del vlore m per il prmetro. Vedimo or os suede dell equzione dell generi rett per l origine qundo si mi l origine del riferimento trslndol in un ltr posizione senz per ltro mutre l direzione degli ssi: ome è filmente immginile si pss in generle d un rett non più pssnte per l origine ome mostr l figur nell qule l origine ' del primo riferimento { ' ' ' } è stt trslt nel punto he nel riferimento preedente vev oordinte ( ' ) '. Sppimo he il legme tr le due oppie di oordinte è sempliemente primo riferimento er ' ' ' ' d ui ' ' ' '. L equzione he nel ' m ' diviene ' m ( ' ) he risritt opportunmente dà m m ' ' m q dove si è posto q m ' '. Quell preedente rppresent l equzione dell più generi rett del pino nell qule m è nor l pendenz ovvimente oinidente nei due riferimenti e q

4 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - l ordint del punto nel qule l rett stess interse l sse (si noti l proposito he tle punto deve esistere dl momento he in so ontrrio l rett sree vertile e ripetimo nor un volt le rette vertili non possono essere interprette ome grfio di un funzione he i l siss ome vriile indipendente). Inftti il suo signifito è rionosiuto immeditmente ove si pensi he il punto di intersezione di due rette si trov mettendo sistem le reltive equzioni; nel nostro so il sistem è tr l generi rett di equzione equzione. Dunque m q he h per soluzione il punto di oordinte ( q) ome ffermto. m q e l sse delle ordinte di All form preedente dell equzione dell generi rett del pino si potev rrivre nhe prtire dll onosenz delle oordinte di due suoi punti qulsisi per esempio i punti R ( ) e Q ( ) dell figur suessiv. Se un ulteriore punto ( ) P del pino pprtiene ll rett ripetendo il rgionmento ftto in preedenz sull similitudine di tringoli srivimo l proporzione di grnde utilità dl momento he permette di srivere direttmente l equzione di un rett dell qule si onosono due punti prolem molto frequente. Anhe in questo so è doveroso esminre os suede qundo uno od entrmi i denomintori dell proporzione preedente si nnullno. Il so dei denomintori entrmi nulli port ll eguglinz di entrme le oordinte dei punti ssegnti dunque dei due punti e l rett non rimrree determint. Il so in ui si nnull il seondo denomintore mentre il primo rimne diverso d zero indi he i due punti hnno l medesim ordint llor l rett è prllel ll sse delle sisse e l su equzione è. Il so infine nel qule si nnull il solo primo denomintore port ll onsiderzione di rette vertili m di quest irostnz ormi non voglimo più prlre. Dll proporzione preedente possimo rivre l vriile dipendente srivendo In reltà si trtt dell uni rett he pss per i due punti lmeno se ontinuimo prestr fede d Eulide.

5 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 5 d ui on ovvie posizioni si rriv m q. Dunque noti due punti di un rett l pendenz di quest è m ome dovree pprire stnz nturle mentre l interett sull sse delle ordinte è q. L equzione preedente è dett equzione dell rett in form espliit in qunto l vriile dipendente ompre isolt sinistr del segno di uguglinz ed è immedito determinrne il vlore un volt he si stto selto quello per l vriile indipendente. Come visto quest form si dtt qulsisi rett del pino ftt eezione per quelle vertili. Per ovvire questo inonveniente si è introdott un divers form di equzione dett equzione dell rett in form impliit he mette ene in rislto l linerità dell equzione stess ossi il ftto he le due vriili ompiono elevte eslusivmente ll prim potenz e non moltiplite tr loro. L equzione impliit he indi l esistenz di un legme tr le vriili e senz però ssegnre un ruolo preferenzile nessun delle due si srive ome on R qulsisi on l ondizione > he eslude il ontemporneo zzerrsi di entrmi i oeffiienti delle vriili. In quest form sono rppresentili tutte le rette dl momento he quelle orizzontli sono rtterizzte dll vere per ui l loro equzione espliit diviene mentre per quelle vertili deve essere per ottenere un equzione in form espliit nell qule evidentemente il ruolo di vriile dipendente è ssunto dll. L ondizione indi l solito il pssggio per l origine del riferimento. Un ulteriore form dell equzione dell rett itt è ostituit dll osì dett equzione dell rett (nel pino) in form segmentri p dove i prmetri p e q rppresentno rispetti- q vmente l siss del punto di intersezione dell rett on l sse delle sisse e l ordint del punto di intersezione dell rett on l sse delle ordinte (è dunque il medesimo prmetro q he ompre nell equzione dell rett in form espliit). In quest form segmentri le rette orizzontli srnno rtterizzte dl resere indefinitmente del prmetro p (si us dire he p tende d infinito e dunque p tende zero) os he ridue l equzione q ossi q e quelle vertili sservimo fin d or he per erte funzioni quell impliit è l uni equzione possiile.

6 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - dl tendere di q d infinito os he ridue l equzione p ossi p. Queste onsiderzioni sreero meglio interprette qundo si fosse in possesso del onetto di limite possesso non grntito nel nostro so. sservimo he nell form espliit è file determinre l equzione del fsio di rette pssnti per un punto ssegnto di oordinte ( ). Inftti è suffiiente srivere ( ) m. L giustifizione di quest ffermzione risiede nel ftto he quell sritt è un relzione linere tr le vriili e rtteristi delle rette; inoltre è evidente he le oordinte del punto ssegnto soddisfno l equzione indipendentemente dl vlore del prmetro m il he signifi he l rett qulunque ess si pss per tle punto. Al vrire di m si ottengono osì tutte le rette per il punto preselto e dunque il fsio ftt eezione l solito per l rett vertile he si potree ottenere solmente ssegnndo ll pendenz un vlore infinitmente elevto. Crtteristi delle rette prllele nel pino è quell di vere tutte l medesim direzione e dunque di vere tutte l medesim pendenz. Le rette prllele espresse in form espliit si rionosono immeditmente dl ftto di vere il prmetro m ugule: le due rette di equzione m m q q' sono dunque prllele e si distinguono solmente per il diverso vlore dell ordint del punto nel qule esse interseno l sse delle ordinte. Rivimo or d un so prtiolre un proprietà he etteremo ome vlid in generle. Considerimo l rett isettrie del primo e terzo qudrnte he h ome noto equzione Considerimo quindi l isettrie degli ltri due qudrnti he h ome equzione. dl momento he l rtteristi dei suoi punti origine eslus è quell di vere oordinte uguli m di segno opposto. Rionosimo immeditmente he le due rette sono tr loro ortogonli e vedimo he il prodotto delle loro pendenze è. Dihirimo vlido in generle tle risultto ffermndo he ssegnte le equzioni in form espliit di due rette del pino quli m q m' q' se vle l relzione m m ' le due rette sono ortogonli..3 Dipendenz qudrti Considerimo or un nuovo prtiolre legme tr l vriile dipendente e quell indipendente

7 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 7 di un funzione e preismente l dipendenz qudrti dell prim dll seond. Immginimo ioè he l funzione si esprimiile ome. Si not immeditmente ome nhe in questo so l funzione si definit sull intero sse rele m i suoi vlori non possno mi divenire negtivi ed ess presenti uno zero (ossi si nnulli) solmente qundo ; dunque il grfio di quest funzione pss per l origine e ltrove rimne sempre l di sopr dell sse delle sisse nhe se queste fossero negtive. A prte l intervllo ( ) ll interno del qule il vlore dell funzione è minore del vlore dell vriile indipendente negli ltri si gli risult mggiore e l differenz srà tnto più signifitiv qunto mggiore risult il vlore di : inftti qundo m se. Dunque qundo l vriile indipendente divent molto grnde (si die he tende e si srive ) nhe l funzione e ioè l vriile dipendente divent molto grnde e lo f on veloità mggiore. Se l vriile indipendente divent molto piol (si die he tende e si srive e si di non redere he molto piolo signifihi molto prossimo llo zero!) il omportmento dell funzione rimne il medesimo ossi divent molto grnde grzie ll elevmento qudrto he mi il segno delle sisse negtive. D ltr prte l definizione stess dell funzione grntise l su prità. Come grfio l funzione propost h un prol pssnte per l origine pert verso l lto on l sse vertile oinidente on l sse delle ordinte. Tle ffermzione si può giustifire riordndo he l prol è il luogo dei punti equidistnti d un punto fisso F detto fuoo e d un rett r dett direttrie; ssumendo r ome orizzontle (prllel ll sse delle sisse) l di sotto di F e segliendo ome sse delle sisse del riferimento un rett equidistnte d r e d F e ome sse delle ordinte l vertile per F tle punto viene d vere oordinte ( d ) se indihimo on d l distnz tr l rett ed il punto. Le oordinte ( ) del generio punto P dell prol devono soddisfre ll ondizione ( ) ( ) d d e ioè d d d d d he differise dll equzione di prtenz unimente per l presenz del prmetro moltiplitivo : ove fosse d d l espressione sree proprio. Rendimo llor un po più generle l espressione dell funzione preedente srivendol ome λ d

8 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 8 essendo λ R diverso d zero per ltro ritrrio. Avremo nhe in questo so un ndmento prolio on l sol notevole possiilità he per λ < l funzione stess diviene negtiv e l prol viene rovesit l di sotto dell sse delle sisse. Inoltre l su pertur potrà venire entut o diminuit seond del vlore di λ. Per il resto ome detto l ndmento del grfio rimne sostnzilmente lo stesso. L rtteristi di pssre per l origine essendo ivi tngente ll sse delle sisse e on sse di simmetri oinidente on l sse delle ordinte non è un rtteristi dell urv m dipende dll prtiolre selt del sistem di riferimento. Se inftti dopo vere sritto in un sistem di riferimento { ' ' ' } λ il riferimento venisse trslto e portto in { } ( ' ) ' l equzione dell prol ome ' ' on l nuov origine in un punto he nel sistem originle vev oordinte tenendo onto delle relzioni he indino l trsformzione delle oordinte seguito di tle trslzione le note ' ' ' ' ' ' ' ' l equzione dell prol diviene ' ( ' ) λ λ ' λ λ λ ' ' λ ' ' λ λ he on ovvie posizioni possimo risrivere nell form on R e lmeno (in so ontrrio l espressione preedente non sree più di seondo grdo ed il suo grfio tutt l più sree un rett). Quell preedente è l equzione più generle di un prol on sse vertile. Tle urv present un minimo se è rivolt verso l lto o un mssimo se è rivolt verso il sso. Ad ogni modo possimo determinre l posizione di tli punti e osì il vlore di mssimo o minimo sfruttndo l simmetri dell urv rispetto l suo sse. Cominimo on l rier di eventuli zeri dell funzione ioè di eventuli vlori dell vriile indipendente nei quli l funzione stess si nnulli. Tli vlori sono le soluzioni dell equzione di seondo grdo he si ottiene imponendo o nhe dl momento he.

9 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 9 L soluzione di quest equzione di seondo grdo pss inevitilmente ttrverso l estrzione di un rdie qudrt on onseguente introduzione di un doppio segno di modo he possimo prevedere he le soluzioni srnno (potrnno essere) due. L estrzione dell rdie è effie solmente se suo trmite si ottiene un espressione linere in e dunque solo se l stess ompre ll interno di un inomio di primo grdo elevto l qudrto he diviene linere qundo sottoposto ll estrzione di rdie. Doimo dunque rionosere nel memro sinistro dell equzione preedente un termine del tipo ( ) α ossi α α. Dl onfronto on il memro sinistro dell equzione si vede he il primo ddendo si present già ome lo vorremmo m il seondo he possimo srivere ome sree il doppio prodotto dello sviluppo del inomio se il seondo ddendo di questo indito prim generimente on α fosse ; dunque per ompletre lo sviluppo è suffiiente ggiungere e nturlmente togliere il termine mnnte preismente L equzione diviene osì. dll qule. L possiilità di estrrre l rdie qudrt di mo i memri dipende dl omportmento del memro destro in prtiolre dl segno del numertore di questo. Inftti se tle termine fosse negtivo l equzione propost non mmetteree soluzioni (per lo meno soluzioni reli le unihe delle quli i preoupimo) ed il grfio dell funzione non ttrverseree né risulteree tngente ll sse delle sisse. L prol dunque sree sempre l di sopr di tle sse per > e sempre l di sotto nel so ontrrio. Se vessimo otterremmo un sol soluzione (o se si preferise due soluzioni oinidenti) e l prol non ttrverseree l sse delle sisse m gli sree tngente (ovvimente in questo unio punto detto tlvolt punto doppio). Se infine fosse possiile estrrre l rdie qudrt vremmo le due soluzioni reli distinte ±.

10 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - Dl momento he le due rdii i punti di ttrversmento dell sse delle sisse d prte dell prol sono in posizione simmetri rispetto ll sse di quest l sse stesso interseherà l sse delle sisse in un punto di siss ottenut ome medi ritmeti delle sisse dei due zeri ossi in ; l sse h dunque equzione ( ). Not l siss del punto di minimo (o di mssimo) dell prol il reltivo vlore si ottiene sostituendol nell funzione. Prim di onludere il prgrfo riordimo he tutto qunto detto si riferise eslusivmente prole he ino l sse vertile ossi prllelo ll sse delle ordinte. vvimente queste non sono le sole prole dl momento he l ondizione indit ostituise un so prtiolre. L sse dell prol potree inftti vere un direzione qulsisi del pino ominire d quell orizzontle. Di queste ltre prole però noi non i ouperemo dl momento he esse non potreero venire interprette ome grfio di un funzione he i l vriile ome vriile indipendente dl momento he verree negt l neessri monodromi dell funzione.. Proporzionlità invers Dll dipendenz qudrti imo rivto ome grfio quello di un delle sezioni onihe e preismente l prol intersezione del ono on un pino prllelo ll genertrie dello stesso. Considerimo or un proporzionlità invers he ome vedremo i porterà d un ltr sezione oni e preismente ll iperole intersezione del ono on un pino prllelo l suo sse non pssnte per questo. Per proporzionlità invers intenderemo un relzione impliit tr le vriili indipendente e dipendente he si sriv ome λ essendo λ R diverso d zero per ltro ritrrio. E evidente he l relzione propost eslude l possiilità he o e dunque die he il grfio dell funzione he esprime espliitmente il legme tr le due vriili non può mi ttrversre gli ssi del sistem di riferimento. Inoltre le due vriili devono vere sem-

11 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - pre il medesimo segno se il prmetro λ è positivo e segno opposto nel so ontrrio. Dunque nel primo so l urv srà ontenut nel primo e terzo qudrnte nel seondo dovrà pprtenere l seondo e qurto qudrnte. Ad ogni modo l form espliit dell dipendenz funzionle è filmente rggiunt: riordndo he deve essere sempre imo λ. Per dre un ide dell ndmento del grfio reltivo osservimo he qundo divent molto grnde o molto piolo il vlore dell funzione divent prossimo llo zero dl momento he è ottenuto ome rpporto di un quntità ostnte on un quntità he in vlore ssoluto divent vi vi mggiore. Il grfio tende dunque sovrpporsi ll sse delle sisse he diviene osì un sintoto per esso 3. Vievers qundo l siss si vviin sempre più ll origine e dunque il suo vlore ssoluto tende zero l funzione ssume vlori vi vi mggiori sempre in vlore ssoluto ottenuti ome rpporto tr un ostnte ed un denomintore sempre più prossimo llo zero. Si die llor he nell origine l funzione diverge positivmente se ssume vlori sempre più grndi negtivmente se ssume vlori sempre più pioli. Ad ogni modo si noti he il suo omportmento srà opposto vllo dell origine; se inftti il prmetro λ fosse positivo l funzione divergeree positivmente ll destr dell origine e negtivmente ll sinistr; tutto il ontrrio se fosse λ <. In ogni so l sse delle ordinte rppresent un sintoto ovvimente vertile per il grfio dell funzione propost he è rtterizzto proprio dll esistenz di due sintoti nel nostro so ortogonli tr loro e oinidenti on gli ssi. L ndmento di tle grfio detto iperole equilter è rppresentto nell figur preedente nel so di un prmetro λ > ; nel so ontrrio ndree rovesito ttorno ll sse delle sisse. Il ftto he l iperole equilter in qunto i suoi ssi sono ortogonli tr loro ssum l form propost è dovuto ll selt del tutto nturle dei suoi sintoti ome ssi del sistem di riferimento. Un selt differente del riferimento porteree d un form meno semplie dell equzione. Inftti proedendo l modo ormi onsueto e ioè trslndo il riferimento { ' ' ' } originrimente oinidente on gli sintoti dell iperole in un posizione generi { } vremmo in luogo dell equzione λ ' ' ' λ ' λ λ λ 3 Per sintoto di un urv non neessrimente pin e grfio di un funzione si intende un rett l ui distnz dll urv stess diventi sempre più piol fino pensre ll sovrpposizione delle due.

12 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - in se ll qule possimo rionosere nell d l espressione più generle dell equzione di un iperole equilter on d R e. In questo so l equzione dell sintoto vertile si rionose immeditmente imponendo l ondizione he in orrispondenz si nnulli il denomintore: dunque è d. Un po più lorios è l determinzione dell sintoto orizzontle he or proponimo ome esempio di un rgionmento molto usto in svrite irostnze. Modifihimo l espressione dell iperole rogliendo numertore e denomintore l vriile ottenendo ( ) ( d ) d. d In quest nuov espressione l vriile indipendente ompre sempre denomintore di un rpporto on numertore ostnte e dunque qundo in vlore ssoluto ess diviene molto grnde il rpporto stesso diviene molto prossimo llo zero e dunque trsurile. ttenimo llor se ±. d sservimo he in qunto preede imo portto l denomintore senz preoupri del ftto he stess potree nnullrsi. Inftti il nostro rgionmento viene svolto per indgre il omportmento dell funzione qundo l vriile diviene molto grnde o molto piol ome evidenzito dll srittur se ± (si prl in questo so di omportmento sintotio) e dunque non sussiste l preoupzione di vere. Come so prtiolre potremmo vere dunque l sintoto orizzontle sree nor oinidente on l sse delle sisse. Infine di iperoli non equiltere ossi on sintoti non ortogonli non i preoupimo per lo meno in quest sede si per evitre ulteriori prolemi si in qunto potreero non essere interpretili ome grfio di un funzione per l solit insussistenz del requisito di monodromi perdut nel so in ui nessun sintoto risultsse vertile (ortogonle ll sse delle sisse). e.5 L ironferenz e l ellisse Dopo vere visto due sezioni onihe e preismente l prol (on sse vertile) e l ellisse equilter esminimone un ulteriore l uni limitt tr queste ovvero l uni non essere definit sull intero sse rele l più privto di un punto ome er per i si preedenti. Questo terzo tipo è ostituito dlle ellissi he inizimo studire prendendo in esme dpprim un so prtio-

13 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 3 lre per ltro en noto ostituito dlle ironferenze. Vedimo ome si poss dre l equzione dell ironferenz riordndo he l ironferenz è per su definizione il luogo dei punti del pino venti l medesim distnz dett rggio d un punto fisso detto entro. Ci è llor file determinre l ondizione di pprtenenz del generio punto tle luogo: inftti ssegnto il entro C dell ironferenz he lmeno inizilmente onsidereremo oinidente on l origine C e dunque di oordinte ( ) ed il rggio r > (non i si inventino rggi negtivi!) il generio punto P di oordinte ( ) del pino pprtiene ll ironferenz se le sue oordinte soddisfno l ondizione r he grntise he l distnz l qudrto dei due punti P ed si pri l qudrto del rggio. Quell propost rppresent un legme impliito qudrtio tr le oordinte del punto he stilise he selto (qusi) so il vlore di un delle due il vlore dell ltr rimne (qusi) ompletmente determinto. L espressione preedente è quindi l equzione impliit dell ironferenz dll qule vorremmo poter rivre il legme espliito tr ed. Vedimo però suito he le ose presentno notevoli differenze on i si preedenti l prim delle quli onsiste nel ftto he se rppresent ome l solito l vriile indipendente i suoi vlori devono essere selti in un en determinto intervllo dell sse rele; inftti nel nostro so nel qule il entro si trov nell origine deve pprtenere ll intervllo r. L seond differenz st nel ftto he essendo l ironferenz un urv hius non potrà mi essere ssunt ome grfio di un funzione monodrom ome l figur dovree evidenzire. Inftti nhe nell intervllo di vlori ettili per l l selt di uno di questi non individu un preiso vlore dell vriile dipendente m ne indi l ontrrio due entrmi reltivi ll stess siss. Se inftti P indi il punto di siss in orrispondenz d esso vengono determinti si il punto R di ordint positiv he quello Q di ordint negtiv simmetrio del preedente rispetto ll sse delle sisse. Non srà dunque possiile pssre dll form impliit ll form espliit senz stilire qule dei due punti ssoire ll selt del punto P ossi dell siss di questo. D ltr prte dll relzione preedente imo r dll qule ± r ; l momento dell estrzione dell rdie he omport l introduzione del doppio segno doimo

14 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - indire qule si l nostr selt se per il segno positivo e dunque per il punto R o per il segno negtivo e dunque per il punto Q. Nel primo so ottenimo l equzione espliit dell semiironferenz superiore r ; nel seondo so on l selt del segno negtivo l equzione espliit dell semiironferenz inferiore r. In nessun so srà possiile dre l equzione espliit dell inter ironferenz. Quello or trttto è il so prtiolre di un ironferenz on il entro nell origine del riferimento; ove questo non vvenisse ed il entro si trovsse nel punto C di oordinte ( ) equzioni preedenti diverreero per l form impliit e ( ) ( ) r r ( ) e r ( ) per le forme espliite dei due rmi dell urv. Riprendendo in esme l equzione impliit l risrivimo ome ( ) ( ) r r o o o o nhe on ovvio signifito dei termini. L rtteristi di tle equzione è quell di essere di seondo grdo (ome le equzioni di tutte le sezioni onihe) nell qule però gli unii termini di grdo mssimo sono e le dotti del medesimo oeffiiente (non neessrimente ome nei si esposti) in qunto mn il termine di seondo grdo he si vree on il prodotto. Inoltre se il oeffiiente dei termini di seondo grdo è le oordinte del entro si ottengono direttmente di oeffiienti del termine in mito di segno e diviso per per l siss e dl oeffiiente del termine in su volt mito di segno e diviso per per l ordint. A titolo di esempio l equzione rppresent un ironferenz he h entro nel punto ; per qunto rigurd il rg- o o

15 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 5 gio riordimo he il termine noto nel nostro so si ottiene ome o o r e dunque srivimo ( ) r d ui r e r (senz miguità di segno). Pssimo or l so più generle di quest sezione oni rppresentto dll ellisse. Come noto quest è un urv pin hius rtterizzt dl ftto he per tutti i suoi punti risult ostnte l somm delle distnze d due punti fissi detti fuohi. L ellisse risult simmetri rispetto due ssi ortogonli tr loro dei quli uno pss per i fuohi e l ltro è l sse di simmetri di questi. L ortogonlità di tli ssi viene sfruttt per ssumerli ome ssi di un riferimento rtesino on origine nel loro punto di inontro detto entro dell ellisse. Ciò ftto si preferise prlre delle metà degli ssi i semissi piuttosto he degli ssi stessi; le lunghezze di questi sono trdizionlmente indite on le lettere e in qunto rppresentno siss o ordint dei punti di intersezione dell ellisse on gli ssi del riferimento. Uno dei due semissi detto per questo il mggiore ongiunge l origine del riferimento dett nhe entro on il punto dell ellisse mggiore distnz nell figur A (o A ); l ltro il minore ongiunge l origine on il punto dell ellisse più viino B (o B ). Qundo si onsideri ome generio punto dell ellisse il punto A si vede ome l distnz di questo dl fuoo più viino F si ugule per rgioni di simmetri quell del punto A simmetrio di A rispetto ll origine dl fuoo F : dunque l distnz AF si può pensre ome differenz dell distnz AA' on A ' F AF. Quest onsiderzione i permette di onludere he l somm delle distnze di A di fuohi oinide on l distnz di A d A ed è dunque. Qundo ome generio punto dell ellisse si onsideri il punto B le solite rgioni di simmetri i onsentono di rionosere he le distnze di questo di due fuohi sono uguli pri dunque d (si riordi he imo ppen determinto he l somm delle distnze di un qulsisi punto dell ellisse dunque nhe del punto B di due fuohi deve essere ). Esminndo llor il tringolo BF rettngolo in di ipotenus e di teti rispettivmente e (se l distnz dei fuo- hi dl entro) in se l teorem di Pitgor imo l relzione o nhe dell qule i serviremo nel seguito immedito. Srivimo l ondizione sotto l qule il generio punto P di oordinte ( ) del pino pprtiene ll ellisse: l somm delle sue distnze di fuohi deve essere. In se qunto detto B F F A A B

16 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - sopr le oordinte dei fuohi sono ( ) per F e ( ) per F. L ondizione diviene llor ( ) ( ). Elevndo qudrto mo i memri dell equzione preedente imo ( )( ) d ui ( ) ( ) o nhe ( ) ( ). Elevimo nuovmente qudrto mo i memri dell equzione preedente e ottenimo or ( ) ( ) ( ) d ui semplifindo e riordinndo ( ) ( ) ; dunque ( ) ( ). Riordndo he imo e dl momento he non può essere onludimo. Aimo osì determinto l equzione dell ellisse on entro nell origine ed ssi oinidenti on gli ssi oordinti:. Si vede ome nel so in ui i prmetri e oinidessero l ellisse si ridurree ll ironferenz on entro nell origine (nell qule oinidono i fuohi) e rggio r. Posto inftti r l equzione preedente diviene l en not r r r.

17 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 7 Nel so in ui il entro dell ellisse non fosse nell origine m in un punto C di oordinte ( ) (o equivlentemente nel so di un semplie trslzione del riferimento seguito dell qule l origine si port nel punto di oordinte ( ) ) l equzione dell ellisse diverree ( ) ( ). Come si vede l differenz più mrt st nell omprs di termini di primo grdo mentre quelli di seondo rimngono invriti (in prtiolre mnherà sempre il termine ontenente il prodotto ). Quest ffermzione die sempliemente he ome ovvio lo spostmento rigido dell ellisse (o l trslzione del riferimento) non h mito i semissi dell ellisse.. Sistemi di urve nel pino. In questo prgrfo proponimo luni esempi di ome si deno trttre prolemi di geometri pin he oinvolgno più di un urv: si prl in tl so di sistemi di urve (o delle rispettive equzioni). Il prolem onsiste nel determinre ome si pongno tli urve tr loro ossi se e in quli punti si inontrino se in tli punti sino o meno tngenti tr loro. Nei si di nostro interesse si trtterà di rette o sezioni onihe (prole iperoli ellissi) delle quli en onosimo le equzioni. In ogni so srà neessrio srivere queste equzioni e metterle sistem il he signifi rierre quegli eventuli vlori delle oordinte ( ) he rendono soddisftte ontempornemente tutte le equzioni. Come ertmente si riorderà le equzioni delle rette in qulsisi form si voglino mettere sono di primo di grdo mentre quelle delle sezioni onihe sono sempre del seondo. Dunque il sistem di più rette srà nor un sistem di primo grdo (riordimo senz offendere luno he il grdo di un sistem di equzioni si ottiene ome prodotto del grdo delle singole equzioni he lo ompongono) il sistem di più onihe srà di grdo tnto più elevto qunto mggiore è il numero di urve he lo ompongono. Riordimo nor he un sistem di equzioni di grdo n potrà vere l più n soluzioni eventulmente in tutto o in prte oinidenti. sservimo nor he nel so le soluzioni fossero in numero inferiore il numero di quelle non esistenti deve essere pri: per esempio se il grdo del sistem fosse n 5 potremmo vere inque soluzioni (eventulmente nhe in prte o in toto oinidenti); se però e ne fossero di meno dovreero mnrne due o quttro di modo d verne tre od un. Se ne onlude he un sistem di grdo dispri deve mmettere sempre lmeno un soluzione l ontrrio di un sistem di grdo pri he potree non verne lun. Dunque per rimnere i

18 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 8 si di nostro interesse nei quli il grdo del sistem non srà troppo elevto un sistem di primo grdo vrà sempre un soluzione; un sistem di seondo grdo potrà verne due eventulmente oinidenti o nessun; un sistem di terzo grdo ne vrà un o tre eventulmente tutte o prte oinidenti; un sistem di qurto grdo ne vrà nessun due o quttro e osì di seguito... Sistemi di rette Cominimo ol trttre il so più semplie nel qule il sistem è ostituito d due rette dunque d due equzioni di primo grdo he onsidereremo sempre nell form espliit. Come evidente due rette nel pino si inontrno sempre in un unio punto slvo il so he sino prllele nel qule tle punto di inontro non esiste. L form espliit delle rette i permette di rionosere immeditmente tle so dl momento he rette prllele hnno l medesim pendenz dunque hnno ugule il oeffiiente dell vriile indipendente: se le due rette hnno equzioni rispettive m q e m q l ondizione di prllelismo impone l uguglinz m m. Negli ltri si il sistem d srivere e risolvere è m m q q m q m q ( m m ) q q q m q m ; un volt trovto il vlore dell siss il vlore dell ordint si troverà inserendolo in un qulsisi delle due equzioni del sistem. Non vree senso prlre di sistemi di più di due rette nel pino. Inftti se le rette fossero tre dovremmo studire seprtmente il omportmento di tutte le tre possiili loro oppie ognun delle quli dovree determinre un punto di intersezione. Dunque supponendo he nell tern non i sino rette prllele dovremmo trovre tre punti distinti in ognuno dei quli si inontrno due rette o ome so prtiolre un unio punto il he stree signifire he le tre rette pprtengono d un medesimo fsio; dovree essere ovvio he non potremmo vere l oinidenz di due soli dei tre punti itti... Sistemi di un rett ed un oni Considerimo or il so di un sistem formto d un rett e d un sezione oni nel medesimo pino per vedere ome si omportino tr loro; nel seguito omunque trtteremo ome sezioni onihe le sole prole e ironferenze so prtiolre di ellissi. Il sistem lgerio d srivere è un sistem di seondo grdo he può dunque mmettere due soluzioni distinte nel qul so l rett interse l oni in due differenti punti oppure due solu- Tluni preferisono dire he le rette prllele si inontrno ll infinito: ose d non redere!

19 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 9 zioni oinidenti nel qul so rett e oni sono tngenti o infine potree non mmettere soluzioni nel qul so rett e oni non si interseno né sono tngenti. Come sezione oni onsiderimo dpprim l prol on sse prllelo ll sse delle ordinte he h equzione on. Doimo dunque mettere sistem quest on l equzione dell rett m q ; eliminndo nlmente l ottenimo un equzione di seondo grdo nell sol dell qule possimo trovre filmente le soluzioni on l en not formul. Come sppimo possimo trovre due soluzioni distinte il he signifi he l rett interse l prol o due soluzioni oinidenti qundo l rett e l prol sono tngenti o infine nessun soluzione se l rett non inontr mi l prol. Considerimo ome semplie esempio il sistem dell rett di equzione on l pr- ol di equzione 5. Doimo srivere il sistem ± 9 8 d ui he sono le sisse dei punti di intersezione. Per trovre le rispettive ordinte doimo inserire tli vlori nell equzione di un qulsisi delle due urve m sperimo si evidente per tutti di preferenz in quell dell rett. Inftti d trovimo immeditmente (ovvimente usndo l equzione dell prol vremmo 5 ) e d imo ( ).. Dunque rett e prol si interseno nei punti di oordinte ( ) e Se in luogo dell rett preedente onsiderssimo l rett l equzione di seondo grdo in ± he ne riveremmo sree soluzioni. Dunque tle rett non inontr mi l prol. 8 hirmente priv di Un prolem he spesso viene posto onsiste nel determinre ssegnt un prol ed un punto le rette tngenti ll prol pssnti per tle punto. Si trtt di srivere l equzione del fsio di rette per il punto d mettere sistem on l equzione dell prol. Eliminndo d questo l ordint si ottiene un equzione di seondo grdo nell ontenente nhe il prmetro m pendenz dell generi rett del fsio. A questo punto oorre imporre l ondizione he l soluzione di tle equzione si uni rppresentndo l siss del punto di tngenz. L uniità dell soluzione si ottiene nnullndo il disriminnte dell equzione ed è quest un ondizione di seondo

20 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - grdo sul prmetro m : i due vlori he se ne ottengono rppresentno l pendenz delle due rette tngenti. Cerhimo di hirire il disorso preedente on un esempio. Si ssegnt l prol di equ- zione e si voglino trovre le rette tngenti d ess pssnti per il punto di oordinte ( ). Srivimo ome indito sopr l equzione del fsio di rette per tle punto notorimente m( ) m m d mettere sistem on l equzione dell prol ottenendone m m. Eliminndo l ordint ottenimo l equzione di seondo grdo nell sol ( m) m m m le ui due soluzioni rppresentno le sisse dei due punti nei quli un generi rett interse l prol; nel nostro so hiedimo l tngenz e dunque hiedimo he i due punti di intersezione sino oinidenti: questo si ottiene imponendo he il disriminnte dell equzione preedente si nnulli ossi he vlg ( ) ( m) m m m m 8m m he h ome soluzioni m ed m 8. Ne onludimo he le due rette tngenti hnno equzione rispettivmente sse delle sisse e 8 8. A questo punto è file determinre le oordinte dei due punti di tngenz; inftti doimo mettere sistem l equzione dell prol un prim volt on l tngente ottenendo ( ) e dunque il punto ( ) ed un seond volt on l tngente 8 8 ottenendo or ( 3) e quindi il punto ( 3). Per qunto rigurd l determinzione delle rette tngenti per un punto ssegnto d un ironferenz l proedur d seguire è l medesim solmente omplit dl ftto he in tle so l eliminzione di un vriile dl sistem non è osì immedit ome nel so preedente. Inftti quest volt l ordint ompre nell equzione dell ironferenz su volt elevt l qudr-

21 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - to e non è detto he seond dei si non si più onveniente eliminre d quest l siss. Per il resto ome prim messe sistem le equzioni del fsio di rette per il punto ssegnto e dell ironferenz elimint un delle due vriili se ne ottiene un equzione di seondo grdo nell ltr ontenente nor il prmetro m presente nell equzione del fsio. L ondizione di tngenz ossi dell uniità del punto di intersezione impone l nnullmento del disriminnte e port osì ll determinzione di tle prmetro... Sistemi di due onihe Vedimo or ome si possno trovre le intersezioni di due onihe in prtiolre di due prole di un prol ed un ironferenz o di due ironferenze. Si trtt in ogni so di mettere sistem le equzioni delle due urve entrme si seondo grdo: ottenimo dunque un sistem di qurto grdo he in line di prinipio potree fornire quttro soluzioni più o meno distinte. vvimente le diffioltà di lolo sono notevolmente umentte rispetto i si preedenti e doimo solo sperre he le equzioni delle due urve godno di proprietà he ne semplifihino l trttzione. Fermimo l nostr ttenzione sull ultimo so itto reltivo l sistem di due ironferenze. E ovvio o per lo meno dovree essere ovvio he due ironferenze non possono inontrrsi in quttro punti distinti: inftti dl momento he già per tre punti pss un ed un sol ironferenz se i fossero ddirittur quttro punti di intersezione le due ironferenze dovreero oinidere. I punti d erre sono invee due sempre he esistno dl momento he due ironferenze potreero trnquillmente non intersersi fftto ome vverree per esempio se l distnz dei loro entri fosse superiore ll somm dei rggi. Il sistem di qurto grdo he i permette di determinre gli eventuli punti di intersezione può filmente venire ridotto d un sistem di seondo grdo. Inftti dto per sontto he nelle ironferenze i oeffiienti dei termini di seondo grdo sino entrmi pri d uno (ove osì non fosse sree suffiiente dividere tutti i termini dell equzione per il loro oeffiiente he ome si riorderà deve essere il medesimo per entrmi e non può ovvimente essere nullo) di modo he le equzioni stesse ino entrme l form il sistem è nel qule sono ovvimente noti tutti i prmetri. L sottrzione memro memro delle i i i due equzioni port d un equzione linere del tipo ( ) ( ) ( ) he rp-

22 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - present un rett. Tle rett deve pssre per i punti omuni lle due ironferenze ove questi esistno. Dunque in luogo del sistem di qurto grdo preedente possimo srivere il sistem di seondo grdo ( ) ( ) ( ) (llo stesso modo vremmo potuto riorrere ll equzione dell seond ironferenz). Se tle sistem mmette soluzioni questi sono i punti di intersezione delle due ironferenze. A titolo di esempi onlusivi onsiderimo dpprim il sistem dunque 3 3 ± ± : i due punti di intersezione sono ( ) e ( ) 3 3. Se onsiderssimo invee il sistem delle ironferenze ossi ( ) 9 3 he omport ± : essendo improponiile l estrzione dell rdie qudrt di un numero negtivo doimo onludere he le due ironferenze in esme non si interseno. L rett di equzione 3 ottenut ome differenz delle equzioni delle due ironferenze non rppresent in questo so l rett sull qule deno dere le intersezioni di queste per il semplie motivo he tli intersezioni non esistono. Considerimo infine il sistem di queste due nuove ironferenze: 3 3 d ui il nuovo sistem ( ) ( ) dl qule si vede ome l soluzioni si uni (o se si preferise ome le due soluzioni oinidno). Ne deduimo he le due ironferenze proposte sono tr loro tngenti in prtiolre nel punto di siss e quindi di ordint he si ottiene si dll equzione dell rett

23 TE_geo -fb- 5//7 5//7 VI - 3 si seene on minore immeditezz dll equzione delle due ironferenze. Inftti se si volesse seguire quest seond strd dll equzione dell prim vremmo on le due soluzioni ed ; dll equzione dell seond ironferenz vremmo invee 3 ossi 5 ± 5 ioè e 8. Si 3 vede dunque he l soluzione è nuovmente m si vede nhe qunto fosse più opportuno il riorso ll equzione dell rett. 3