Tipologia delle funzioni studiate: 1. y= ax n + bx n y= e x 3. y= (ax + b)/ (cx + d) 4. y= (ax 2 + b) (cx + d)

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2 - ricerca dei punti di flesso - ricerca dell asintoto orizzontale - ricerca dell asintoto verticale - ricerca dell asintoto obliquo - ricerca dei punti di intersezione con gli assi Tipologia delle funzioni studiate: 1. y= ax n + bx n y= e x 3. y= (ax + b)/ (cx + d) 4. y= (ax 2 + b) (cx + d) MODULO N 4 STUDIO DI FUNZIONI Tipologia delle funzioni studiate: 1. y= (ax 2 + b) (cx 2 + d) 2. y= ln(ax) 3. y= (ax n + b) 4. y= 3 (ax 2 ) 5. y= 3 (ax 3 ) b ax + y= 6. ( d (ax + b)/ (cx + y= 7. MODULO N. 5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI - concetto di equazione differenziale - equazioni differenziali a variabili separate - equazioni differenziali a variabili separabili - equazioni differenziali di ordine superiore (di tipo semplice) - equazioni differenziali omogenee di ordine superiore ed a coefficienti costanti Gli esercizi possono essere svolti avendo come riferimento il libro di testo adottato: Zwirner Scaglianti Brusamolin Mantovano : Il mondo della matematica

3 REQUISITI MINIMI DERIVATE - concetto di rapporto incrementale Data una funzione f(x), si definisce rapporto incrementale il rapporto fra l incremento della variabile dipendente e l incremento della variabile indipendente: chiamata allora con f(x) la funzione, x la variabile indipendente, dx l incremento della variabile indipendente, f(x+dx) l incremento della variabile dipendente, sarà: f(x+dx) f(x) si dimostra che il limite del rapporto incrementale, se esiste, è la dx derivata della f(x) - Derivate fondamentali: y = senx y = cosx y = cosx y = - senx y = e x y = e x y= logx y = 1/x y = x n y = n x n-1 y = K y = 0 y = tg x y = 1/cos 2 x y = ctg x y = -1/sen 2 x - Derivazione di una somma algebrica di funzioni : y = f(x) + g(x) y = f (x) + g (x) - Derivazione di un prodotto di funzioni: y = f(x) * g(x) y = f (x) * g (x) + f (x) * g (x) - Derivazione di un quoziente di funzioni: y = f(x) / g(x) y = [(f (x) * g (x) - f (x) * g (x)]/ [g(x) 2 ] - Derivazione di una funzione composta: y = f(g(x)) y = f (g(x)) * g (x)

4 INTEGRALI Definiscesi integrale indefinito di una funzione y = f(x): f(x) dx = F(x) + c dove la funzione F(x) viene definita come funzione primitiva della f(x). Infatti deve risultare che: F (x) = f(x) Allo stesso modo delle derivate si può definire una tabella di integrali fondamentali; i più comuni e semplici sono i seguenti: sen x dx = - cos x + c cos x dx = sen x + c e x dx = e x + c 1/x dx = ln x + c x n dx = (x n+1 )/(n+1)+ c 1/cos 2 x dx = tg x + c 1/sen 2 x dx = -ctg x + c Regole di integrazione: Integrazione di una soma algebrica di funzioni: [f(x) + g(x)]dx = f(x) dx + g(x)dx Integrazione per sostituzione: Nell integrazione per sostituzione, si esegue la sostituzione della funzione integrando o parte di essa con una variabile e si modifica l intero integrale in funzione della nuova variabile. Con questa procedura si ottiene un integrale di tipo semplice che può essere risolto in modo agevole. Alla fine del procedimento si ricostituisce la posizione originale alla variabile usata per la sostituzione. Dato che la procedura è più che altro tecnica, si ritiene utile fornire un esempio che possono aiutare la comprensione della metodica.

5 (3x -4) 5 dx poniamo (3x-4) = t; dato che non possiamo eseguire l integrazione con due variabili, è necessario modificare anche dx. Pertanto si ha la seguente sequenza di operazioni da fare: 3x-4 = t x = t/3 + 4/3 dx = d(t/3 +4/3) dx= 1/3 dt Sostituendo quanto trovato nell integrale originale, avremo: t 5 1/3 dt questo integrale si risolve subito tenendo conto delle regole fondamentali dell integrazione: t 5 1/3 dt = t 6 /6 + c Ricostituendo il risultato nell integrale iniziale si ha infine: (3x -4) 5 dx = (3x -4) 6 /6 +c Integrazione per parti: F (x) * g(x) dx = F(x) * g(x) - F(x) * g (x) dx Integrazione definita: ricordiamo che l integrale definito fornisce il valore dell area sottesa dalla f(x), dall asse delle ascisse e dalle verticali condotte dai punti a e b fino ad intersecare la f(x). b f(x) dx = F(b) F(a) a

6 STUDIO DI FUNZIONI Data una funzione in forma analitica y=f(x), i passaggi e le operazioni da eseguire al fine di poter pervenire ad una rappresentazione grafica in un sistema di assi cartesiani, sono le seguenti: determinare il campo di esistenza: vuol dire stabilire per quali punti è possibile determinare il valore f(x) della funzione determinare il segno della funzione: vuol dire stabilire i valori dell asse x per i quali la f(x) si trova al di sopra o al di sotto dell asse x stesso determinare gli eventuali asintoti: si ricorda che un asintoto è definito come una retta a cui la funzione è tangente all infinito. o asintoto orizzontale; lim f(x) ; X o se il risultato è allora non c è asintoto orizzontale o se il risultato è 0 allora sarà Y=0 o se il risultato è k allora sarà Y=k o asintoto verticale; lim f(x) o o o x c se il risultato è 0 allora non c è asintoto orizzontale se il risultato è k allora non c è asintoto orizzontale se il risultato è allora sarà x= c o asintoto obliquo; è del tipo y = mx + n e dobbiamo cercare entrambi i coefficienti m = lim [f(x)/x]; - se il risultato è allora non c è asintoto obliquo X - se il risultato è k allora si cerca n - se il risultato è 0 allora si cerca n n = lim [f(x)- kx]; - se il risultato è allora non c è asintoto obliquo X - se il risultato è k allora esiste - se il risultato è 0 allora esiste eseguire lo studio della derivata prima per determinare eventuali massimi o minimi della funzione e studiarne la crescenza o decrescenza. o Se la y è >0 allora f(x) è crescente o Se la y è <0 allora f(x) è decrescente o Se la y = 0 allora il punto può essere massimo o minimo se fa anche parte del campo di esistenza della f(x) eseguire lo studio della derivata seconda per determinare eventuali flessi e per studiare il tipo di concavità o Se la y è >0 allora f(x) è convessa o Se la y è <0 allora f(x) è concava o Se la y = 0 allora il punto può essere flesso se fa anche parte del campo di esistenza della f(x)

7 determinare gli eventuali punti di intersezione della funzione con gli assi cartesiani o Si pone x = 0 (ammesso che x=0 sia un punto appartenente al campo di esistenza della f(x)), per determinare i punti di intersezione con l asse delle y o Si pone Y = 0 per determinare i punti di intersezione con l asse x

8 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Sono equazioni i cui termini possono essere anche derivate di una f(x). Equazioni differenziali a variabili separabili: Sia un equazione y = g(x) f(y) Scriviamo y =dy/dx Si ottiene pertanto dy/dx = g(x) f(y) Si separano le variabili e si ottiene dy/f(y) = g(x) dx si integra dy/f(y) = g(x) dx La risoluzione si ottiene risolvendo gli integrali. Equazioni differenziali di ordine superiore di tipo semplice: Sia un equazione y = f(x) Scriviamo y =dy /dx Si ottiene pertanto dy /dx = f(x) dy = f(x) dx eseguendo l integrazione si ottiene una funzione in y che si risolve con il metodo descritto nel punto precedente. Equazioni differenziali di secondo ordine, omogenee ed a coefficienti costanti: Data un equazione f (x) + f (x) + f(x) =0 si associa ad essa un polinomio detto polinomio caratteristico ottenuto ponendo una variabile al quadrato in funzione del termine f (x); una variabile a primo grado in funzione del termine f (x) ed un termine noto in funzione del termine f(x). Si risolve detto polinomio e le sue soluzioni sono gli esponenti del numero di Nepero della funzione risultante. 3 y + 5y -3 = 0 3a 2 +5a -3 = 0

9 Nel caso in cui le soluzioni del polinomio caratteristico sono reali, le chiameremo a1 e a2. La soluzione dell equazione differenziale allora sarà: dove c1 e c2 sono costanti arbitrarie. Y = c1 e a1x + c2 e a2x Nel caso in cui il polinomio caratteristico abbia radici immaginarie, allora le soluzioni saranno della forma a1 + i a2 ed a1- i a2 La soluzione dell equazione differenziale allora sarà: Y = c1 e a1x * sen (a2x) + c2 e a1x * cos (a2x)

10 Verifiche modulo n 1: Derivare le seguenti funzioni Y= 3x logx +cos x e x Y= senx cosx logx x 3 Y= x 1/2 senx logx Y= ( x 2 5x +cosx) / (- senx logx Y= (tangx cosx) ( x 4/5 8x + cotgx) Y= sen 3 x log 2 x + e 3x Y= - cos 2 x 3 log -2 x 7 Y= (senx logx) ( 3x cosx) Y= x x Y= arctg (4/3 x logx) Y= (x -2 e 3x ) / ( log logx sen cosx)

11 Verifiche modulo n 2 : eseguire gli integrali (cosx 1/x + e x ) dx cos3x dx e 4x 3 dx 1/ (4x + 5) dx ( 2x + 5) / (x 2 + 5x 1/3) dx cosx (-5x + 2) dx senx ( 3x - 8) dx senx ( x 2-6) dx 5 (x 3 + 6x 1/8) dx 2 7 1/ (3x - 8) dx 3

12 Verifiche modulo n 3 : Studiare le seguenti funzioni e disegnare il relativo grafico approssimato Y= x 3 3x 2 5x Y= - x 3 + 4x 2 3x Y= -2 x 3 + 5x 2 2x Y= 4x 3-2x 2 x Y= e 5x 8 Y= e -5x +2 Y= - e -3x +2 Y= (4x -3) / (3x +2) Y = 1/x Y= (-2x +1) / (2x -3) Y= (x 2-1) / (x + 3) Y= 1/ x 2 Y= (-x 2 +2) / (2x -1)

13 Verifiche modulo n 4 : Studiare le seguenti funzioni e disegnare il relativo grafico approssimato Y= (x 2 4) / (x 2 1) Y= log (3x) Y= -log (2x) Y= log (-4x+2) Y= ( 3x -1) ½ Y= (5x 2 ) 1/3 Y= (3x) 2/3 Y= 3x + 8 Y= 4x -2 / 5x + 4

14 Verifiche modulo n 5 : Risolvere le seguenti equazioni differenziali Y = 4x Y = 5x 2-4x Y = 1/x Y = y Y = xy Y = x Y = -3x 2 + 2x Y + 2y = 0 Y 5y + 2y = 0 2Y + 4y - 3y = 0-3Y 2y + 4y = 0 4Y 3y + 6y = 0 Y 5y +2y = 0