1 Fattorizzazione di polinomi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "1 Fattorizzazione di polinomi"

Transcript

1 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente del termine di grado k (cioè il coefficiente do x k ). Esempio 1.1 p(x) = 3x 5 x + 1 è un polinomio di grado 5 il coefficiente del termine di grado è il coefficiente del termine di grado 1 è 0; q(x) = x + x 3 + 7x + 1 è un polinomio di grado 3; r(x) = 13 è un polinomio costante (di grado 0); s(x) = x + x + x + 1è un polinomio di primo grado. Radice: Una radice (uno zero) del polinomio p(x) è un numero reale x 0 tale che p(x 0 ) = 0, cioè tale che sostituito al posto dell incognita x fornisce come risultato 0. Dunque una radice del polinomio p(x) è una soluzione dell equazione p(x) = 0. Ad esempio una radice di p(x) = 3x 5 + x + 1 è x 0 = 1, infatti p( 1) = 3( 1) 5 + ( 1) + 1 = = 0. Fattorizzazione: Fattorizzare un polinomio p(x) significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso e non costanti p(x) = q 1 (x)q (x)... q m (x). Vedremo tre tecniche per trovare la fattorizzazione di un polinomio: Il raccoglimento del fattore in comune, il riconoscimento di un prodotto notevole, la scomposizione attraverso il teorema del resto. Raccoglimento del fattore in comune: occorre raccogliere in tutti i termini il fattore in comune. Esempio 1. Vediamo tre esempi di scomposizione mediante raccoglimento del fattore in comune 1) 6x 5 + x 4 x = x ( 3x 3 + x 1), ) (x + 5)(x 3 3x + ) 3(x + 5) = (x + 5)(x 3 3x + 3) = (x + 5)(x 3 3x 1), 3) (x + 1) (x 3) + (x + 1)( x 3 + x ) = (x + 1)[(x + 1)(x 3) + ( x 3 + x )] = (x + 1)[x 3 3x + x 3 x 3 + x ] = (x + 1)[ x + x 3]. Riconoscimento di un prodotto notevole: seguenti prodotti notevoli La fattorizzazione si ottiene utilizzando i differenza di due quadrati: a b = (a + b)(a b); somma o differenza di due cubi: a 3 ± b 3 = (a ± b)(a ab + b ). 1

2 Esempio 1.3 Vediamo tre esempi di scomposizione mediante riconoscimento di un prodotto notevole 1) 16x 81 = (4x + 9)(4x 9) ) x 3 7 = (x 3)(x + 3x + 9) 3) 7x = (3x + 1)(9x 3x + 1). Fattorizzazione mediante il Teorema del resto: Il teorema del resto afferma che le radici razionali di un polinomio p(x) vanno ricercate tra i divisori del termine noto presi con segno sia positivo che negativo, oppure tra i rapporti di tali divisori con i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. Ad esempio le radici di x 3 + 3x 11x 6 vanno ricercati tra: divisori di 6 divisori di 6 divisori di ±1, ±, ±3, ±6, ± 1, ± 3 Tra i candidati gli zeri risultano essere x 1 = 3, x = 1, x 3 =. Una volta individuata una radice x 1 del polinomio, la fattorizzazione è data dal prodotto di x x 1 e il quoziente ottenuto dividendo il polinomio di partenza per x x 1. Quindi nel caso dell esempio precedente, prendendo x 1 = 3 si ottiene: x 3 + 3x 11x 6 x + 3 p(x) d(x) x 3 6x x 3x 3x 11x 6 3x + 9x x 6 +x q(x) r(x) da cui si ha la seguente scomposizione x 3 + 3x 11x 6 = (x + 3)(x 3x ). In generale si ha p(x) = d(x)q(x) + r(x), quindi se r(x) = 0 si ha una fattorizzazione di p(x). Ad esempio si ha ( x 3 + 7x + 1) = ( x + x + 3)(x + ) 5. Equazioni Un equazione si può sempre scrive nella forma f(x) = 0, e risolvere un equazione significa trovare per quali valori della variabile indipendente x la funzione f(x) assume valore nullo. Nel risolvere un equazione occorre tener presente le seguenti regole:

3 Aggiungendo (o sottraendo) una stessa quantità ad ambo i membri, cioè a destra ed a sinistra dell uguale, l equazione non cambia, cioè non si modificano le sue soluzioni, dunque è possibile spostare un termine da un membro all altro cambiandolo di segno. Moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri per una stessa quantità non nulla c l equazione non cambia. Equazioni di grado minore o uguale a uno: dove a, b R. ax + b = 0 Se a 0 si ha un unica soluzione (o radice) x 1 = b a. Se a = b = 0 tutti i valori reali sono soluzione, e si dice che l equazione è indeterminata. Se a = 0 e b 0 non si ha alcuna soluzione, e si dice che l equazione è impossibile. A tali soluzioni si arriva facilmente utilizzando le regole sopra citate che portano a tre possibili casi: a) si ha un unica soluzione, b) si ottiene una identità, cioè un equazione sempre vera (ad esempio 0 = 0) e dunque l equazione è indeterminata, c) si ottiene una relazione falsa (ad esempio 1 = 0) e dunque l equazione è impossibile. Esempio.1 Vediamo tre esempi di risoluzione di equazioni di grado 1 x + 8 = 3, x = 3 8, x = 5 dunque l equazione ha come soluzione x = 5 ; 5x = 10x+4, (5x ) = 10x+4, 10x 4 = 10x + 4, 4 = 4, l equazione non ha soluzione e dunque è impossibile; x + 5 7x = 10x+10, (5 5x) = 10x+10, 10 10x = 10x + 10, 0 = 0, un qualunque numero reale è soluzione di tale equazione che quindi è indeterminata. Equazioni di secondo grado: Le equazioni di secondo grado sono del tipo ax + bx + c = 0 dove a, b, c R e a 0. Si definisce discriminante = b 4ac e si hanno i seguenti casi se < 0 non si hanno soluzioni reali; se = 0 si ha un unica soluzione (due soluzioni coincidenti) x 1 = b a ; se > 0 si hanno due soluzioni x 1, = b± a. Equazioni biquadratiche: Le equazioni biquadratiche sono del tipo ax 4 + bx + c = 0 dove a, b, c R e a 0. A tali equazioni, prima si applica la seguente sostituzione x = t (e quindi x 4 = t ), poi si risolve l equazione di secondo grado in t così ottenuta, ed infine al posto di t si sostituisce x e si risolvono al più due equazioni di secondo grado in x. 3

4 Esempio. Diamo alcuni esempi di risoluzione di equazioni biquadratiche Trovare le soluzioni di x 4 13x + 36 = 0. Svolgimento: t = x, t 13t + 36 = 0, t = 13 ± = 13 ± 5, t = 4 t = 9 x = 4, x = ± x = 9, x = ±3. Le soluzioni sono x = 3 x = x = x = 3. Trovare le soluzioni di 9x 4 + 4x 5 = 0. Svolgimento: t = x, 9t + 4t 5 = 0, t = 4 ± = 4 ± 14, t = 1 t = x = 1, non ha soluzione; x = 5 9, x = ± 5 3. Le soluzioni sono x = 5 3 x = 5 3. Equazioni polinomiali di grado superiore al secondo: p(x) = 0. Si cerca di scomporre il polinomio in fattori p(x) = q 1 (x)q (x)... q m (x) di grado uno oppure due e quindi applicando la legge di annullamento del prodotto si ha che le soluzioni sono date dalle radici di ogni singolo fattore: q 1 (x) = 0 oppure q (x) = 0 oppure... q m (x) = 0. Esempio.3 Per risolvere x 3 + x + x = 0 prima si scompone il polinomio raccogliendo la x, quindi si risolvono le due equazioni ottenendo come soluzioni x 1 = 0 e x = 1. x 3 + x + x = x(x + x + 1) x = 0 x + x + 1 = 0 Equazioni binomie: x n = a, a R se n è dispari la soluzione è x 1 = n a; se n è pari si ha: 1. se a < 0 l equazione non ha soluzione;. se a = 0 l equazione ha un unica soluzione x 1 = 0; 3. se a > 0 l equazione ha due soluzioni x 1, = ± n a. 4

5 Questa è una conseguenza del fatto che la radice n-esima, con n pari, esiste solo di un numero positivo. Esempio.4 Diamo alcuni esempi di risoluzione di equazioni riconducibili a binomie 1. 3x 5 7 = 0, 3x 5 = 7, x 5 = 7 3, x = ;. x 4 3 = 0, x 4 = 3, x 4 = 16, x = ±4; 3. 5x = 0, 5x 8 = 7 impossibile, non ha soluzione. Equazioni trinomie: Le equazioni trinomie sono del tipo ax n + bx n + c = 0, con a 0. Per risolverle si agisce come per le biquadratiche sostituendo però x n = t. Esempio.5 Le soluzioni di x 6 + x 3 = 0 si ottengono nel seguente modo t = x 3, t + t = 0, t = 1 ± = 1 ± 3, t = t = 1, x 3 =, x = 3 ; x 3 = 1, x = 1. Le soluzioni sono x = 3 x = 1. 3 Disequazioni Una disequazione è un espressione della forma f(x) 0, e risolvere una disequazione significa trovare per quali valori della variabile indipendente x la funzione f(x) assume il segno desiderato. Nel risolvere una disequazione occorre tenere presenti le seguenti regole: Aggiungendo o sottraendo una stessa quantità ad ambo i membri la disequazione non cambia, dunque è possibile spostare un termine da un membro all altro cambiandolo di segno. Dividendo o moltiplicando entrambi i membri per una stessa quantità non nulla c il verso della disequazione rimane invariato o cambia se la quantità c è positiva o negativa rispettivamente. Disequazioni di grado 0: Le disequazioni di grado 0 sono del tipo b 0 dove b R, in questo caso la x non compare quindi le soluzioni sono per ogni x R o per nessun valore di x a seconda che la disequazione sia vera o falsa rispettivamente. Esempio 3.1 Diamo alcuni esempi che portano ad equazioni di grado 0 1. x + 7 > x 8, 7 > 8, disequazione sempre vera, dunque l equazione è indeterminata e ogni numero reale è soluzione.. x + 7 x + 17, 7 17 la disequazione è impossibile, dunque non ha soluzione. 5

6 Disequazioni di primo grado: Le disequazioni di primo grado sono del tipo ax + b 0 dove a, b R, a 0. Se a > 0 le soluzioni sono: x b. a Se a < 0 le soluzioni sono: x b (notare che in questo caso è cambiato il verso della a disequazione avendo diviso per un numero negativo). Disequazioni di secondo grado: Le disequazioni di secondo grado sono del tipo ax + bx + c 0 dove a, b, c R e a 0. Si noti che y = ax + bx + c è una parabola la cui concavità dipende dal segno di a, inoltre dato il discriminante = b 4ac, si hanno i seguenti casi se < 0 la parabola non interseca l asse delle x, la corrispondente equazione non ha soluzione; se = 0 la parabola interseca l asse delle x in un unico punto di ascissa x 1 = b a, la corrispondente equazione ha un unica soluzione x 1 ; se > 0 la parabola interseca l asse delle x in due punti di ascissa x 1, = b±, la a corrispondente equazione ha due soluzioni distinte x 1 x. Dunque le soluzioni dipendono dalla concavità della parabola (segno di a), dal numero di radici della corrispondente equazione (0, 1 o ) e dal verso della disuguaglianza, ricordando che ax + bx + c > 0 se il punto della parabola di ascissa x rimane sopra l asse delle ascisse, ax +bx+c = 0 se la parabola interseca l asse delle ascisse nel punto di ascissa x, ax +bx+c < 0 se il punto della parabola di ascissa x rimane sotto l asse delle ascisse. I CASO < 0 = 0 > 0 a > 0 nessuna radice una radice: x 1 due radici: x 1 < x ax + bx + c > 0 x R x R, x x 1 x < x 1 o x > x ax + bx + c 0 x R x R x x 1 o x x ax + bx + c 0 non ha soluzione x = x 1 x 1 x x ax + bx + c < 0 non ha soluzione non ha soluzione x 1 < x < x x 1 x x 1 6

7 II CASO < 0 = 0 > 0 a < 0 nessuna radice una radice: x 1 due radici: x 1 < x ax + bx + c > 0 non ha soluzione non ha soluzione x 1 < x < x ax + bx + c 0 non ha soluzione x = x 1 x 1 x x ax + bx + c 0 x R x R x x 1 o x x ax + bx + c < 0 x R x R, x x 1 x < x 1 o x > x x 1 x 1 x Disequazioni biquadratiche: Le disequazioni biquadratiche sono del tipo ax 4 + bx + c 0 dove a, b, c R e a 0. Si applica la seguente sostituzione x = t, quindi si risolve la disequazione di secondo grado in t, infine al posto di t si sostituisce x e si risolvono al più due disequazioni di secondo grado in x. Disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo: p(x) 0. Si cerca di scomporre il polinomio in fattori p(x) = N 1 (x)n (x)... N m (x) di grado uno oppure due, quindi si studiano i segni di ogni singolo fattore: N 1 (x) 0, N (x) 0,..., N m (x) 0. Quindi si fa il prodotto dei segni per determinare il segno di p(x) e si determinano le soluzioni in base alla richiesta iniziale. Esempio 3. Per risolvere x 3 + x + x < 0 prima si scompone il polinomio raccogliendo la x x 3 + x + x = x(x + x + 1) quindi si studiano i segni dei due fattori: N 1 0, x 0; N 0, x + x + 1 0, (x + 1) 0 per ogni x R, si annulla in x 1 = 1. Quindi utilizzando il prodotto dei segni si ottiene 1 0 N 1, dunque le soluzioni di x 3 + x + x < 0 sono x < 0, x 1. N Si noti che nella rappresentazione grafica del segno di una funzione si utilizza una linea unita per indicare che la funzione è positiva, una linea tratteggiata per indicare che la funzione è negativa, un cerchio pieno per indicare che la funzione è nulla e un cerchio vuoto per indicare che la funzione non è definita. Disequazioni razionali: Le disequazioni razionali sono del tipo f(x) 0 con f(x) = N 1(x)N (x)... N n (x) D 1 (x)d (x)... D m (x). 7

8 Una volta scomposto il numeratore ed il denominatore in fattori di grado uno oppure due, si studiano i segni di ogni singolo fattore facendo attenzione ad escludere i punti che annullano il denominatore, dunque si risolvono: N 1 (x) 0, N (x) 0,..., N n (x) 0 e D 1 (x) > 0, D (x) > 0,..., D m (x) > 0. Quindi si fa il prodotto dei segni per determinare il segno complessivo di f(x) e si determinano le soluzioni in base alla richiesta iniziale. Disequazioni binomie: Le disequazioni binomie sono del tipo x n a, con a R se n è dispari le soluzioni sono x n a; se n è pari si hanno vari casi: a < 0 a = 0 a > 0 x n > a x R x R, x 0 x < n a o x > n a x n a x R x R x n a o x n a x n a non ha soluzione x = 0 n a x n a x n < a non ha soluzione non ha soluzione n a < x < n a x 0 y x n x 0 y x n x 0 y x n y a y 0 y a y 0 n a n a y 0 Esempio 3.3 Vediamo alcuni esempi di risoluzione di equazioni riconducibili a binomie 1. x , x 4 10, x 4 5 x R;. x 6 < 0, x 6 > 0 x R, x 0; 3. x 8 7 > 0, x 8 > 7 per x < 8 7 o x > 8 7; 4. 3x , 3x 5 9, x 5 3, x 5 3 = 5 3 Disequazioni trinomie: Le disequazioni trinomie sono del tipo ax n + bx n + c 0, con a 0 in questo caso si agisce come per le biquadratiche sostituendo x n = t. Sistemi di disequazioni: Un sistema di disequazioni è del tipo p 1 (x) 0 p (x) 0... p n (x) 0 per risolverlo si calcolano le soluzioni di ogni singola disequazione e quindi la soluzione finale è data dai valori della incognita x dove sono verificate contemporaneamente tutte le n disequazioni. 8

9 Esempio 3.4 x + 10 > 0 x 3x 10 0 x x > 0, x > 10 x 5 x < 0 o x > 1, graficamente si ha dove una linea o un cerchio pieno indicano che la corrispondente disequazione è soddisfatta, mentre la mancanza della linea o il cerchio vuoto indicano che la corrispondente disequazione non è soddisfatta. Dunque le soluzioni sono x < 0 o 1 < x 5. Disequazioni irrazionali: Consideriamo disequazioni del tipo n p(x) q(x). Per risolvere tali disequazioni occorre distinguere due casi: Se n è dispari allora basta risolvere p(x) q(x) n Se n è pari dipende dal verso della disequazione. In particolare per equazioni del tipo n p(x) c con c una costante, vale il seguente schema. n p(x) > c n n p(x) c n p(x) < c p(x) c c < 0 p(x) 0 p(x) 0 non { ha soluzione non { ha soluzione p(x) 0 p(x) 0 c 0 p(x) > c n p(x) c n p(x) < c n p(x) c n In generale si ha { n p(x) 0 p(x) > q(x) q(x) < 0 o { p(x) > q(x) n q(x) 0 n p(x) < q(x) p(x) 0 q(x) > 0 p(x) < q(x) n se a sinistra si ha l uguale anche a destra va messo l uguale dove manca. 9

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari Secondo modulo: Algebra Obiettivi 1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari 2. risolvere equazioni intere e frazionarie di primo grado, secondo grado, grado superiore

Dettagli

3 Equazioni e disequazioni.

3 Equazioni e disequazioni. 3 Equazioni e disequazioni. 3. Equazioni. Una equazione algebrica è un uguaglianza tra espressioni letterali soddisfatta per alcuni valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Tali valori sono detti

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: Dicesi

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni

Dettagli

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere

Dettagli

Espressioni algebriche: espressioni razionali

Espressioni algebriche: espressioni razionali Espressioni algebriche: espressioni razionali definizione: Il rapporto fra due polinomi si dice espressione razionale. Le espressioni razionali in una sola variabile si scrivono nella forma generale esempio:

Dettagli

Matematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni. Francesco Lagona

Matematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni. Francesco Lagona Matematica per le scienze sociali Equazioni e disequazioni Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 1 / 19 Outline 1 Equazioni algebriche 2 Equazioni di primo grado

Dettagli

Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi.

Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. 1 I polinomi 1.1 Terminologia sui polinomi Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi nel polinomio. Il termine

Dettagli

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme

Dettagli

Un monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di

Un monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di DEFINIZIONE Espressione algebrica costituita dal prodotto tra una parte numerica (coefficiente) e una o più variabili e/o costanti (parte letterale). Variabili e costanti possono comparire elevate a potenza

Dettagli

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA A.S EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA A.S EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA A.S. 00-05 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 1. EQUAZIONI RISOLVIBILI MEDIANTE SCOMPOSIZIONE. EQUAZIONI BINOMIE. EQUAZIONI TRINOMIE. EQUAZIONI RECIPROCHE 1. EQUAZIONI RISOLVIBILI

Dettagli

Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi

Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi Dati due numeri disuguali a e b risulta a>b oppure ao oppure a-b

Dettagli

MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO

MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO MATEMATICA EQUAZIONI FRATTE, DI SECONDO GRADO O SUPERIORE GSCATULLO Equazioni fratte, di secondo grado o superiore Le equazioni di secondo grado Un equazione è di secondo grado se si può scrivere nella

Dettagli

CONTENUTI. Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti. I grado II grado

CONTENUTI. Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti. I grado II grado CONTENUTI Ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti EQUAZIONI I grado II grado intere fratte intere fratte EQUAZIONI ALGEBRICHE generalità Dicesi

Dettagli

Equazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Equazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Equazioni e disequazioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler A(x)=0 x si chiama incognita dell equazione. Se oltre all incognita non compaiono altre lettere l equazione si dice numerica, altrimenti letterale.

Dettagli

Equazioni di grado superiore al secondo

Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni di grado superiore al secondo 5 51 L equazione di terzo grado, un po di storia Trovare un numero il cui cubo, insieme con due suoi quadrati e dieci volte il numero stesso, dia come somma 0 Il

Dettagli

Equazioni di Primo grado

Equazioni di Primo grado Equazioni di Primo grado Definizioni Si dice equazione di primo grado un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per un determinato valore della variabile x, detta incognita. Si chiama

Dettagli

B5. Equazioni di primo grado

B5. Equazioni di primo grado B5. Equazioni di primo grado Risolvere una equazione significa trovare il valore da mettere al posto dell incognita (di solito si utilizza la lettera x) in modo che l uguaglianza risulti verificata. Ciò

Dettagli

Monomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione.

Monomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. Monomi e Polinomi Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. ) Sono monomi: 5 a 3 b 2 z; 2 3 a2 c 9 ; +7; 8a b 3 a 2. Non sono monomi: a + 2; xyz

Dettagli

( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =

( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) = 1 Scomposizione in fattori di un polinomio Scomporre in fattori un polinomio significa trasformare il polinomio, che è una somma algebrica di monomi, nel prodotto di fattori con il grado più basso possibile.

Dettagli

Richiami di Matematica - Esercizi 21/98

Richiami di Matematica - Esercizi 21/98 Richiami di Matematica - Esercizi 1/98 ESERCIZI. Principi di equivalenza: 1) A(x) > B(x) A(x) + C(x) > B(x) + C(x) ) Se k > 0 allora A(x) > B(x) ka(x) > kb(x) 3) Se k < 0 allora A(x) > B(x) ka(x) < kb(x)

Dettagli

Equazioni di secondo grado

Equazioni di secondo grado Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado può sempre essere ridotta nella forma: a + bx + c 0 forma normale con a 0. Le lettere a, b, c sono rappresentano i coefficienti. Solo b e c possono

Dettagli

1 Disquazioni di primo grado

1 Disquazioni di primo grado 1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni

Dettagli

Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni

Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni ARITMETICA 1. Scomporre in fattori primi 2500 e 5600. Soluzione: Osserviamo che entrambi i numeri sono multipli di 100 = 2 2 5

Dettagli

Definizione 1.6 (di grado di una equazione) Si dice grado di una equazione intera ridotta in forma normale il massimo esponente dell incognita.

Definizione 1.6 (di grado di una equazione) Si dice grado di una equazione intera ridotta in forma normale il massimo esponente dell incognita. 1 Le equazioni Consideriamo espressioni algebriche contenenti una sola incognita, che indicheremo con x, le quali verranno indicate con i simboli f(x), g(x), h(x),.... Il valore assunto dall espressione

Dettagli

Polinomi. Corso di accompagnamento in matematica. Lezione 1

Polinomi. Corso di accompagnamento in matematica. Lezione 1 Polinomi Corso di accompagnamento in matematica Lezione 1 Sommario 1 Insiemi numerici 2 Definizione di polinomio 3 Operazioni tra polinomi 4 Fattorizzazione Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1

Dettagli

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h. LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente

Dettagli

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente

Dettagli

raggruppiamo il quadrato di binomio dividiamo per 0 effettuiamo i calcoli a secondo membro Distinguiamo i tre casi: 2 ± 2 ; 2 = 0 ; + si ottiene, =

raggruppiamo il quadrato di binomio dividiamo per 0 effettuiamo i calcoli a secondo membro Distinguiamo i tre casi: 2 ± 2 ; 2 = 0 ; + si ottiene, = Equazioni di II grado Equazione di II grado completa Un equazione di II grado è un equazione che, ridotta a forma normale, è del tipo ++=0 con 0. Per risolverla occorre calcolare il discriminante dell

Dettagli

Le equazioni di I grado

Le equazioni di I grado Le equazioni di I grado ITIS Feltrinelli anno scolastico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Le equazioni abbiamo una uguaglianza tra due quantità (espressioni algebriche, perché nei due termini ci possono essere

Dettagli

3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x.

3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x. 1 Soluzioni esercizi 1.1 Equazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado: 1) 3x 5x = 1 x. Abbiamo: 3x + x 5x = 1 + x = 1 + 4 x = 5. ) x + 3 x = + 3x. Facciamo il m.c.m. : 4x + 6 x = 4

Dettagli

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado. Disequazioni Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione

Dettagli

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc

Dettagli

5) 1 2 essendo x1 e x2 due

5) 1 2 essendo x1 e x2 due SCOMPOSIZIONE IN FATTORI 1) Raccoglimento a fattore comune ( Applicabile ad un polinomio di un numero qualunque di termini purchè i termini presentino almeno una lettera o un numero che si ripete in tutti)

Dettagli

Equazioni intere...1 Equazioni fratte...3 Equazioni irrazionali...4 Equazioni in valore assoluto...5

Equazioni intere...1 Equazioni fratte...3 Equazioni irrazionali...4 Equazioni in valore assoluto...5 Equazioni Indice Equazioni intere...1 Equazioni fratte...3 Equazioni irrazionali...4 Equazioni in valore assoluto...5 Equazioni. Equazioni intere Un'equazione algebrica (o polinomiale) ha sempre la forma,

Dettagli

Prontuario degli argomenti di Algebra

Prontuario degli argomenti di Algebra Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.

Dettagli

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1 Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < 4. 4 9 5. 9 > 6. > 7. < 8. 5 4 9. > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi

Dettagli

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0;

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0; La parabola è una particolare conica definita come è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano; è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della

Dettagli

Breve formulario di matematica

Breve formulario di matematica Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; 2 + 2 = r 2 ; e

Dettagli

Anno 2. Equazioni di secondo grado

Anno 2. Equazioni di secondo grado Anno Equazioni di secondo grado 1 Introduzione In questa lezione impareremo a utilizzare le equazioni di secondo grado. Al termine di questa lezione sarai in grado di: descrivere le equazioni di secondo

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x

Dettagli

1 Prodotti e potenze notevoli 1. 2 Divisione tra polinomi 2 2.1 Regola di Ruffini... 4. 3 Fattorizzazione di un polinomio 5. 4 Teorema di Ruffini 8

1 Prodotti e potenze notevoli 1. 2 Divisione tra polinomi 2 2.1 Regola di Ruffini... 4. 3 Fattorizzazione di un polinomio 5. 4 Teorema di Ruffini 8 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Polinomi Indice 1 Prodotti e potenze notevoli 1 2 Divisione tra polinomi 2 2.1 Regola di Ruffini................................................

Dettagli

DIVISIONE TRA POLINOMI IN UNA VARIABILE

DIVISIONE TRA POLINOMI IN UNA VARIABILE DIVISIONE TRA POLINOMI E SCOMPOSIZIONE Prof. Erasmo Modica healthinsurance@tin.it DIVISIONE TRA POLINOMI IN UNA VARIABILE L algoritmo della divisione tra polinomi è analogo a quello della divisione ordinaria

Dettagli

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni Disequazioni in una incognita Una disequazione in una incognita è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile (detta incognita) verificata solo per particolari valori attribuirti alla

Dettagli

Equazioni di 2 grado

Equazioni di 2 grado Equazioni di grado Tipi di equazioni: Un equazione (ad una incognita) è di grado se può essere scritta nella forma generale (o forma tipica o ancora forma canonica): a b c con a, b e c numeri reali (però

Dettagli

FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO

FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO Così come avviene con i numeri ( 0 = 5), la fattorizzazione di un polinomio è la scomposizione di un polinomio in un prodotto di due o più polinomi. Esempio: = + + Un polinomio

Dettagli

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I Risolvere le seguenti disequazioni: 1 1) { x < x + 1 4x + 4 x ) { x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) x 1 x + 1 x + 1 0 ) x > x 0 7) x > 4x + 1; 8) 4 5 x 1 < 1 x

Dettagli

quindi, applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene l insieme delle soluzioni: x x da cui:

quindi, applicando la legge di annullamento del prodotto, si ottiene l insieme delle soluzioni: x x da cui: ) Risolvi le seguenti equazioni e scrivi le soluzioni reali in ordine crescente, indicando se sono multiple e quante sono le eventuali soluzioni non reali: ( ) ( ) per risolvere questa equazione si applica

Dettagli

Scomposizione in fattori

Scomposizione in fattori Corso di Laurea: Biologia Tutor: Marta Floris, Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA 1 Introduzione Scomposizione in fattori La scomposizione in fattori dei polinomi assume un importanza speciale quando si

Dettagli

Riepilogo scomposizione polinomi

Riepilogo scomposizione polinomi Riepilogo scomposizione polinomi. Ci sono fattori comuni? Se sì, fai un raccoglimento totale. Esempio: ax ay a=a x y 2. Quanti sono i termini del polinomio? Due Somma di quadrati: non si scompone. Esempio:

Dettagli

Esercizi sulle Disequazioni

Esercizi sulle Disequazioni Esercizi sulle Disequazioni Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni:.).).).) ).) ) ).).7) 8.8).) Esercizio Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni tratte dal secondo parziale

Dettagli

Le eguaglianze algebriche: Identità ed Equazioni

Le eguaglianze algebriche: Identità ed Equazioni Le eguaglianze algebriche: Identità ed Equazioni Le eguaglianze algebriche possono essere di due tipi 1 - Identità - Equazioni L eguaglianza è verificata da qualsiasi valore attribuito alle lettere L eguaglianza

Dettagli

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n 4. La divisione (x 3 3x 2 + 5x 2) : (x 2) ha Q(x) = x 2 x + 3 e R = 4 Dalla divisione tra i polinomi risulta (x

Dettagli

Strutture algebriche. Leggi di composizione. Leggi di composizione. Gruppi Insiemi di numeri Polinomi

Strutture algebriche. Leggi di composizione. Leggi di composizione. Gruppi Insiemi di numeri Polinomi Introduzione S S S S Le strutture algebriche sono date da insiemi con leggi di composizione binarie (operazioni) ed assiomi (proprietà) Una legge di composizione binaria è una funzione : I J K, una legge

Dettagli

matematica per le quarte

matematica per le quarte lorenzo pantieri matematica per le quarte degli istituti professionali www.ipscesena.it Questo lavoro, scrit- to per gli alunni dell Istituto Versari-Macrelli di Cesena, spiega il programma di matematica

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE Enrico Fermi Anno Scolastico 2008/09. Scomposizioni in fattori dei polinomi. Frazioni algebriche

LICEO SCIENTIFICO STATALE Enrico Fermi Anno Scolastico 2008/09. Scomposizioni in fattori dei polinomi. Frazioni algebriche LICEO SCIENTIFICO STATALE Enrico Fermi Anno Scolastico 2008/09 Classe II E - corso Tecnologico Scomposizioni in fattori dei polinomi Scomposizione di un polinomio in fattori Concetto di scomposizione Raccoglimento

Dettagli

3. Segni della funzione (positività e negatività)

3. Segni della funzione (positività e negatività) . Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della

Dettagli

EQUAZIONI E SISTEMI DI 2 GRADO

EQUAZIONI E SISTEMI DI 2 GRADO EQUAZIONI E SISTEMI DI GRADO Prof. Domenico RUGGIERO In questa breve trattazione vengono esposti la formula risolutiva di equazioni di secondo grado ed il procedimento risolutivo, per sotituzione, di sistemi

Dettagli

Equazioni di I e II grado

Equazioni di I e II grado Corso di Laurea: Biologia Tutor: Marta Floris, Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA Equazioni di I e II grado 1 Introduzione ai polinomi Un incognita è un simbolo letterale che sta a simboleggiare un valore

Dettagli

Equazioni Polinomiali II Parabola

Equazioni Polinomiali II Parabola Equazioni Polinomiali II Parabola - 0 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente:

Dettagli

Le disequazioni di primo grado

Le disequazioni di primo grado Le disequazioni di primo grado Cos è una disequazione? Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche (una delle quali deve contenere un incognita) che può essere vera o falsa a seconda

Dettagli

Argomento 2 IIparte Funzioni elementari e disequazioni

Argomento 2 IIparte Funzioni elementari e disequazioni Argomento IIparte Funzioni elementari e disequazioni Applicazioni alla risoluzione di disequazioni Disequazioni di I grado Per la risoluzione delle disequazioni di primo grado per via algebrica, si veda

Dettagli

Equazioni di 2 grado

Equazioni di 2 grado Equazioni di grado Antonino Leonardis Introduzione Solitamente per trovare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado si utilizza il completamento del quadrato Adesso vedremo un modo leggermente

Dettagli

Se la base è 10, il risultato della potenza è una potenza di 10 con tanti zeri quante sono le unità dell esponente:

Se la base è 10, il risultato della potenza è una potenza di 10 con tanti zeri quante sono le unità dell esponente: Definizione di potenza Si definisce potenza ennesima di A, con n intero maggiore di 1, il prodotto di A per se stesso eseguito n volte A n =(AxAxAx A) n volte 2 5 = 2 2 2 2 2=32 Se la base è 10, il risultato

Dettagli

Esempio B2.1: dire il grado del monomio seguente rispetto ad ogni lettera e il suo grado complessivo:

Esempio B2.1: dire il grado del monomio seguente rispetto ad ogni lettera e il suo grado complessivo: B. Polinomi B.1 Cos è un polinomio Un POLINOMIO è la somma di due o più monomi. Se ha due termini, come a+b è detto binomio Se ha tre termini, come a-3b+cx è detto trinomio, eccetera GRADO DI UN POLINOMIO

Dettagli

CONTENUTI della I parte

CONTENUTI della I parte CONTENUTI della I parte In questa prima parte ci proponiamo un ripasso di argomenti sicuramente svolti nelle scuole superiori e quindi noti a tutti DISEQUAZIONI I grado II grado intere fratte intere fratte

Dettagli

DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DISEQUAZIONI ALGEBICHE Classe II a.s. 00/0 prof.ssa ita Schettino INTEVALLI DI Impariamo cosa sono gli intervalli di numeri reali Sono sottoinsiemi continui di numeri reali e possono essere limitati o

Dettagli

3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO www.matematicamente.it Matematica C3 Algebra 3. Equazioni di grado superiore al secondo MATEMATICA C 3 -ALGEBRA 3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Alvaro Tapia, Skateboard http://www.flickr.com/photos/foto_saiker/308790/

Dettagli

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Vale la [1] perché per le proprietà delle potenze risulta a m a

Dettagli

3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO MATEMATICA C 3 -ALGEBRA 3. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Alvaro Tapia, Skateboard http://www.flickr.com/photos/foto_saiker/30879011/ 1. Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori....

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti Classe: 1 M Docente: Antonio M. Povelato CAPITOLO 1 - Insiemi e numeri naturali Concetti primitivi di insieme e di elemento. Relazioni di appartenenza, inclusione e eguaglianza tra insiemi. Rappresentazione

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ CALCOLO LETTERALE \ MONOMI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ CALCOLO LETTERALE \ MONOMI (1) LGEBR \ CLCOLO LETTERLE \ MONOMI (1) Un monomio è un prodotto di numeri e lettere; gli (eventuali) esponenti delle lettere sono numeri naturali (0 incluso). Ogni numero (reale) può essere considerato come

Dettagli

~ 1 ~ CALCOLO DEI LIMITI

~ 1 ~ CALCOLO DEI LIMITI ~ ~ CALCOLO DEI LIMITI ) Limiti che si presentano nella forma l. Pur non essendo forme indeterminate (il risultato è indicato convenzionalmente con i, nel senso che la funzione tende, in valore assoluto,

Dettagli

Scomposizione di polinomi. Scomporre un polinomio significa riscriverlo nel PRODOTTO di due o più polinomi di grado inferiore

Scomposizione di polinomi. Scomporre un polinomio significa riscriverlo nel PRODOTTO di due o più polinomi di grado inferiore Scomposizione di polinomi Scomporre un polinomio significa riscriverlo nel PRODOTTO di due o più polinomi di grado inferiore Raccoglimento a fattor comune Il raccoglimento a fattor comune consiste nel

Dettagli

( x) Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( x) l insieme dei valori

( x) Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( x) l insieme dei valori Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( ) l insieme dei valori che la variabile può assumere affinché la funzione f ( ) abbia significato. Vediamo di individuare alcune

Dettagli

U. C. Utilizzare le tecniche e procedure di calcolo aritmetico e algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica

U. C. Utilizzare le tecniche e procedure di calcolo aritmetico e algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica U. C. Utilizzare le tecniche e procedure di calcolo aritmetico e algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica U. d. A. Disequazioni algebriche isultato atteso Il soggetto deve essere in grado

Dettagli

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico Classe 1 A AFM anno scolastico 2014-2015 I numeri naturali rappresentazione dei numeri naturali, le quattro operazioni, multipli e divisori di un numero. Criteri di divisibilità, le potenze, le espressioni

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni MONOMI E POLINOMI Prof. Erasmo Modica

CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni MONOMI E POLINOMI Prof. Erasmo Modica CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni MONOMI E POLINOMI Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it MONOMI In una formula si dicono variabili le lettere alle quali può essere

Dettagli

Esercitazioni di Matematica

Esercitazioni di Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +

Dettagli

B3. Scomposizione di polinomi

B3. Scomposizione di polinomi B3. Scomposizione di polinomi Quando si calcola una espressione contenente solo prodotti di polinomi si ottiene un polinomio, che è il risultato dell espressione. La scomposizione in fattori di polinomi

Dettagli

Diseguaglianze e disequazioni. definizioni proprietà tecniche risolutive

Diseguaglianze e disequazioni. definizioni proprietà tecniche risolutive Diseguaglianze e disequazioni definizioni proprietà tecniche risolutive Che cosa è una diseguaglianza? Una diseguaglianza è una relazione di ordine che intercorre fra numeri. Le possibili relazioni sono:

Dettagli

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati

Dettagli

Premessa. retta orientata diseguaglianze diverso intervallo di estremi a e b 1) a < x < b aperto N.B.: 2) a x b chiuso N.B.: 3) a x < b semichiuso

Premessa. retta orientata diseguaglianze diverso intervallo di estremi a e b 1) a < x < b aperto N.B.: 2) a x b chiuso N.B.: 3) a x < b semichiuso Premessa. Ci sono problemi, alcuni appartenenti anche alla vita quotidiana, che possono essere risolti attraverso una disequazione, ossia un espressione algebrica formata da due membri, contenenti un incognita,

Dettagli

FUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI

FUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI FUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI (al massimo di secondo grado in x) Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4 B) September 9, 003 1. FUNZIONI

Dettagli

PRETEST STUDENTI PER 2014

PRETEST STUDENTI PER 2014 PRETEST STUDENTI PER 2014 1 INSIEMI NUMERICI E ALGEBRA INSIEME N E l insieme dei numeri naturali (N*: insieme dei numeri naturali escluso lo 0). È INFINITO Ogni numero naturale ha un successivo Ogni numero

Dettagli

Programma di Matematica. Classe 1 B odont / d anno scolastico 2009/10 Insegnante: Maria Teresa DI PRIZIO IL CALCOLO NUMERICO IL CALCOLO LETTERALE

Programma di Matematica. Classe 1 B odont / d anno scolastico 2009/10 Insegnante: Maria Teresa DI PRIZIO IL CALCOLO NUMERICO IL CALCOLO LETTERALE Programma di Matematica Classe 1 B odont / d anno scolastico 2009/10 Insegnante: Maria Teresa DI PRIZIO IL CALCOLO NUMERICO I numeri naturali e numeri razionali Definizione di numero naturale e le quattro

Dettagli

EQUAZIONI. 2 x 1. = 1; x 2

EQUAZIONI. 2 x 1. = 1; x 2 EQUAZIONI. PRINCIPI DELLA TEORIA DELLE EQUAZIONI IDENTITÀ ED EQUAZIONI In precedenza avevamo dato la seguente definizione: Due espressioni algebriche che assumono lo stesso valore per ogni sistema di valori

Dettagli

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1 RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI Angela Donatiello 1 Una funzione del tipo f() = m + q, con m e q numeri reali, è una FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL ORIGINE,

Dettagli

MODULO 3 TITOLO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO FINALITA OBIETTIVI

MODULO 3 TITOLO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO FINALITA OBIETTIVI MODULO TITOLO FINALITA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DI PRIMO GRADO Risoluzione delle equazioni e delle disequazioni algebriche di primo grado con una o più incognite e loro applicazioni PREREQUISITI

Dettagli

Risolvere una disequazione significa determinare tutti i valori della x per cui una certa proposizione è verificata.

Risolvere una disequazione significa determinare tutti i valori della x per cui una certa proposizione è verificata. B.0 Disequazioni B0. Introduzione Le disequazioni sono il prerequisito essenziale per lo studio dell analisi matematica. Nella risoluzione dei problemi di analisi si fa largo uso di disequazioni dando

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia

Dettagli

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 1 Analisi Matematica a edizione Svolgimento degli esercizi del Capitolo a) Si ha perciò si distinguono due casi: I) se x < 7,siha x 7 se x 7 x 7 7 x se x < 7, x 7 7 x x x 5 x 5, e poiché 5 > 7 la disequazione

Dettagli

La domanda che ci si deve porre innanzitutto per iniziare a risolvere questa disequazione è la seguente:

La domanda che ci si deve porre innanzitutto per iniziare a risolvere questa disequazione è la seguente: Disequazioni: caso generale Consideriamo ora la risoluzione di disequazioni che presentino al suo interno valori assoluti e radici. Cercheremo di stabilire con degli esempio delle linee guida per la risoluzione

Dettagli

Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)

Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler) Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler) La funzione esponenziale f con base a é definita da f(x) = a x dove a > 0, a 1, e x é un numero reale. Ad esempio, f(x) = 3 x e g(x) = 0.5

Dettagli

Giovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore

Giovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore MCD in N e Polinomi Giovanna Carnovale October 18, 2011 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore

Dettagli

3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore

3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore MCD in N e Polinomi 3/10/2013 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore di due numeri naturali

Dettagli