1 Fattorizzazione di polinomi

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1 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente del termine di grado k (cioè il coefficiente do x k ). Esempio 1.1 p(x) = 3x 5 x + 1 è un polinomio di grado 5 il coefficiente del termine di grado è il coefficiente del termine di grado 1 è 0; q(x) = x + x 3 + 7x + 1 è un polinomio di grado 3; r(x) = 13 è un polinomio costante (di grado 0); s(x) = x + x + x + 1è un polinomio di primo grado. Radice: Una radice (uno zero) del polinomio p(x) è un numero reale x 0 tale che p(x 0 ) = 0, cioè tale che sostituito al posto dell incognita x fornisce come risultato 0. Dunque una radice del polinomio p(x) è una soluzione dell equazione p(x) = 0. Ad esempio una radice di p(x) = 3x 5 + x + 1 è x 0 = 1, infatti p( 1) = 3( 1) 5 + ( 1) + 1 = = 0. Fattorizzazione: Fattorizzare un polinomio p(x) significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso e non costanti p(x) = q 1 (x)q (x)... q m (x). Vedremo tre tecniche per trovare la fattorizzazione di un polinomio: Il raccoglimento del fattore in comune, il riconoscimento di un prodotto notevole, la scomposizione attraverso il teorema del resto. Raccoglimento del fattore in comune: occorre raccogliere in tutti i termini il fattore in comune. Esempio 1. Vediamo tre esempi di scomposizione mediante raccoglimento del fattore in comune 1) 6x 5 + x 4 x = x ( 3x 3 + x 1), ) (x + 5)(x 3 3x + ) 3(x + 5) = (x + 5)(x 3 3x + 3) = (x + 5)(x 3 3x 1), 3) (x + 1) (x 3) + (x + 1)( x 3 + x ) = (x + 1)[(x + 1)(x 3) + ( x 3 + x )] = (x + 1)[x 3 3x + x 3 x 3 + x ] = (x + 1)[ x + x 3]. Riconoscimento di un prodotto notevole: seguenti prodotti notevoli La fattorizzazione si ottiene utilizzando i differenza di due quadrati: a b = (a + b)(a b); somma o differenza di due cubi: a 3 ± b 3 = (a ± b)(a ab + b ). 1

2 Esempio 1.3 Vediamo tre esempi di scomposizione mediante riconoscimento di un prodotto notevole 1) 16x 81 = (4x + 9)(4x 9) ) x 3 7 = (x 3)(x + 3x + 9) 3) 7x = (3x + 1)(9x 3x + 1). Fattorizzazione mediante il Teorema del resto: Il teorema del resto afferma che le radici razionali di un polinomio p(x) vanno ricercate tra i divisori del termine noto presi con segno sia positivo che negativo, oppure tra i rapporti di tali divisori con i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. Ad esempio le radici di x 3 + 3x 11x 6 vanno ricercati tra: divisori di 6 divisori di 6 divisori di ±1, ±, ±3, ±6, ± 1, ± 3 Tra i candidati gli zeri risultano essere x 1 = 3, x = 1, x 3 =. Una volta individuata una radice x 1 del polinomio, la fattorizzazione è data dal prodotto di x x 1 e il quoziente ottenuto dividendo il polinomio di partenza per x x 1. Quindi nel caso dell esempio precedente, prendendo x 1 = 3 si ottiene: x 3 + 3x 11x 6 x + 3 p(x) d(x) x 3 6x x 3x 3x 11x 6 3x + 9x x 6 +x q(x) r(x) da cui si ha la seguente scomposizione x 3 + 3x 11x 6 = (x + 3)(x 3x ). In generale si ha p(x) = d(x)q(x) + r(x), quindi se r(x) = 0 si ha una fattorizzazione di p(x). Ad esempio si ha ( x 3 + 7x + 1) = ( x + x + 3)(x + ) 5. Equazioni Un equazione si può sempre scrive nella forma f(x) = 0, e risolvere un equazione significa trovare per quali valori della variabile indipendente x la funzione f(x) assume valore nullo. Nel risolvere un equazione occorre tener presente le seguenti regole:

3 Aggiungendo (o sottraendo) una stessa quantità ad ambo i membri, cioè a destra ed a sinistra dell uguale, l equazione non cambia, cioè non si modificano le sue soluzioni, dunque è possibile spostare un termine da un membro all altro cambiandolo di segno. Moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri per una stessa quantità non nulla c l equazione non cambia. Equazioni di grado minore o uguale a uno: dove a, b R. ax + b = 0 Se a 0 si ha un unica soluzione (o radice) x 1 = b a. Se a = b = 0 tutti i valori reali sono soluzione, e si dice che l equazione è indeterminata. Se a = 0 e b 0 non si ha alcuna soluzione, e si dice che l equazione è impossibile. A tali soluzioni si arriva facilmente utilizzando le regole sopra citate che portano a tre possibili casi: a) si ha un unica soluzione, b) si ottiene una identità, cioè un equazione sempre vera (ad esempio 0 = 0) e dunque l equazione è indeterminata, c) si ottiene una relazione falsa (ad esempio 1 = 0) e dunque l equazione è impossibile. Esempio.1 Vediamo tre esempi di risoluzione di equazioni di grado 1 x + 8 = 3, x = 3 8, x = 5 dunque l equazione ha come soluzione x = 5 ; 5x = 10x+4, (5x ) = 10x+4, 10x 4 = 10x + 4, 4 = 4, l equazione non ha soluzione e dunque è impossibile; x + 5 7x = 10x+10, (5 5x) = 10x+10, 10 10x = 10x + 10, 0 = 0, un qualunque numero reale è soluzione di tale equazione che quindi è indeterminata. Equazioni di secondo grado: Le equazioni di secondo grado sono del tipo ax + bx + c = 0 dove a, b, c R e a 0. Si definisce discriminante = b 4ac e si hanno i seguenti casi se < 0 non si hanno soluzioni reali; se = 0 si ha un unica soluzione (due soluzioni coincidenti) x 1 = b a ; se > 0 si hanno due soluzioni x 1, = b± a. Equazioni biquadratiche: Le equazioni biquadratiche sono del tipo ax 4 + bx + c = 0 dove a, b, c R e a 0. A tali equazioni, prima si applica la seguente sostituzione x = t (e quindi x 4 = t ), poi si risolve l equazione di secondo grado in t così ottenuta, ed infine al posto di t si sostituisce x e si risolvono al più due equazioni di secondo grado in x. 3

4 Esempio. Diamo alcuni esempi di risoluzione di equazioni biquadratiche Trovare le soluzioni di x 4 13x + 36 = 0. Svolgimento: t = x, t 13t + 36 = 0, t = 13 ± = 13 ± 5, t = 4 t = 9 x = 4, x = ± x = 9, x = ±3. Le soluzioni sono x = 3 x = x = x = 3. Trovare le soluzioni di 9x 4 + 4x 5 = 0. Svolgimento: t = x, 9t + 4t 5 = 0, t = 4 ± = 4 ± 14, t = 1 t = x = 1, non ha soluzione; x = 5 9, x = ± 5 3. Le soluzioni sono x = 5 3 x = 5 3. Equazioni polinomiali di grado superiore al secondo: p(x) = 0. Si cerca di scomporre il polinomio in fattori p(x) = q 1 (x)q (x)... q m (x) di grado uno oppure due e quindi applicando la legge di annullamento del prodotto si ha che le soluzioni sono date dalle radici di ogni singolo fattore: q 1 (x) = 0 oppure q (x) = 0 oppure... q m (x) = 0. Esempio.3 Per risolvere x 3 + x + x = 0 prima si scompone il polinomio raccogliendo la x, quindi si risolvono le due equazioni ottenendo come soluzioni x 1 = 0 e x = 1. x 3 + x + x = x(x + x + 1) x = 0 x + x + 1 = 0 Equazioni binomie: x n = a, a R se n è dispari la soluzione è x 1 = n a; se n è pari si ha: 1. se a < 0 l equazione non ha soluzione;. se a = 0 l equazione ha un unica soluzione x 1 = 0; 3. se a > 0 l equazione ha due soluzioni x 1, = ± n a. 4

5 Questa è una conseguenza del fatto che la radice n-esima, con n pari, esiste solo di un numero positivo. Esempio.4 Diamo alcuni esempi di risoluzione di equazioni riconducibili a binomie 1. 3x 5 7 = 0, 3x 5 = 7, x 5 = 7 3, x = ;. x 4 3 = 0, x 4 = 3, x 4 = 16, x = ±4; 3. 5x = 0, 5x 8 = 7 impossibile, non ha soluzione. Equazioni trinomie: Le equazioni trinomie sono del tipo ax n + bx n + c = 0, con a 0. Per risolverle si agisce come per le biquadratiche sostituendo però x n = t. Esempio.5 Le soluzioni di x 6 + x 3 = 0 si ottengono nel seguente modo t = x 3, t + t = 0, t = 1 ± = 1 ± 3, t = t = 1, x 3 =, x = 3 ; x 3 = 1, x = 1. Le soluzioni sono x = 3 x = 1. 3 Disequazioni Una disequazione è un espressione della forma f(x) 0, e risolvere una disequazione significa trovare per quali valori della variabile indipendente x la funzione f(x) assume il segno desiderato. Nel risolvere una disequazione occorre tenere presenti le seguenti regole: Aggiungendo o sottraendo una stessa quantità ad ambo i membri la disequazione non cambia, dunque è possibile spostare un termine da un membro all altro cambiandolo di segno. Dividendo o moltiplicando entrambi i membri per una stessa quantità non nulla c il verso della disequazione rimane invariato o cambia se la quantità c è positiva o negativa rispettivamente. Disequazioni di grado 0: Le disequazioni di grado 0 sono del tipo b 0 dove b R, in questo caso la x non compare quindi le soluzioni sono per ogni x R o per nessun valore di x a seconda che la disequazione sia vera o falsa rispettivamente. Esempio 3.1 Diamo alcuni esempi che portano ad equazioni di grado 0 1. x + 7 > x 8, 7 > 8, disequazione sempre vera, dunque l equazione è indeterminata e ogni numero reale è soluzione.. x + 7 x + 17, 7 17 la disequazione è impossibile, dunque non ha soluzione. 5

6 Disequazioni di primo grado: Le disequazioni di primo grado sono del tipo ax + b 0 dove a, b R, a 0. Se a > 0 le soluzioni sono: x b. a Se a < 0 le soluzioni sono: x b (notare che in questo caso è cambiato il verso della a disequazione avendo diviso per un numero negativo). Disequazioni di secondo grado: Le disequazioni di secondo grado sono del tipo ax + bx + c 0 dove a, b, c R e a 0. Si noti che y = ax + bx + c è una parabola la cui concavità dipende dal segno di a, inoltre dato il discriminante = b 4ac, si hanno i seguenti casi se < 0 la parabola non interseca l asse delle x, la corrispondente equazione non ha soluzione; se = 0 la parabola interseca l asse delle x in un unico punto di ascissa x 1 = b a, la corrispondente equazione ha un unica soluzione x 1 ; se > 0 la parabola interseca l asse delle x in due punti di ascissa x 1, = b±, la a corrispondente equazione ha due soluzioni distinte x 1 x. Dunque le soluzioni dipendono dalla concavità della parabola (segno di a), dal numero di radici della corrispondente equazione (0, 1 o ) e dal verso della disuguaglianza, ricordando che ax + bx + c > 0 se il punto della parabola di ascissa x rimane sopra l asse delle ascisse, ax +bx+c = 0 se la parabola interseca l asse delle ascisse nel punto di ascissa x, ax +bx+c < 0 se il punto della parabola di ascissa x rimane sotto l asse delle ascisse. I CASO < 0 = 0 > 0 a > 0 nessuna radice una radice: x 1 due radici: x 1 < x ax + bx + c > 0 x R x R, x x 1 x < x 1 o x > x ax + bx + c 0 x R x R x x 1 o x x ax + bx + c 0 non ha soluzione x = x 1 x 1 x x ax + bx + c < 0 non ha soluzione non ha soluzione x 1 < x < x x 1 x x 1 6

7 II CASO < 0 = 0 > 0 a < 0 nessuna radice una radice: x 1 due radici: x 1 < x ax + bx + c > 0 non ha soluzione non ha soluzione x 1 < x < x ax + bx + c 0 non ha soluzione x = x 1 x 1 x x ax + bx + c 0 x R x R x x 1 o x x ax + bx + c < 0 x R x R, x x 1 x < x 1 o x > x x 1 x 1 x Disequazioni biquadratiche: Le disequazioni biquadratiche sono del tipo ax 4 + bx + c 0 dove a, b, c R e a 0. Si applica la seguente sostituzione x = t, quindi si risolve la disequazione di secondo grado in t, infine al posto di t si sostituisce x e si risolvono al più due disequazioni di secondo grado in x. Disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo: p(x) 0. Si cerca di scomporre il polinomio in fattori p(x) = N 1 (x)n (x)... N m (x) di grado uno oppure due, quindi si studiano i segni di ogni singolo fattore: N 1 (x) 0, N (x) 0,..., N m (x) 0. Quindi si fa il prodotto dei segni per determinare il segno di p(x) e si determinano le soluzioni in base alla richiesta iniziale. Esempio 3. Per risolvere x 3 + x + x < 0 prima si scompone il polinomio raccogliendo la x x 3 + x + x = x(x + x + 1) quindi si studiano i segni dei due fattori: N 1 0, x 0; N 0, x + x + 1 0, (x + 1) 0 per ogni x R, si annulla in x 1 = 1. Quindi utilizzando il prodotto dei segni si ottiene 1 0 N 1, dunque le soluzioni di x 3 + x + x < 0 sono x < 0, x 1. N Si noti che nella rappresentazione grafica del segno di una funzione si utilizza una linea unita per indicare che la funzione è positiva, una linea tratteggiata per indicare che la funzione è negativa, un cerchio pieno per indicare che la funzione è nulla e un cerchio vuoto per indicare che la funzione non è definita. Disequazioni razionali: Le disequazioni razionali sono del tipo f(x) 0 con f(x) = N 1(x)N (x)... N n (x) D 1 (x)d (x)... D m (x). 7

8 Una volta scomposto il numeratore ed il denominatore in fattori di grado uno oppure due, si studiano i segni di ogni singolo fattore facendo attenzione ad escludere i punti che annullano il denominatore, dunque si risolvono: N 1 (x) 0, N (x) 0,..., N n (x) 0 e D 1 (x) > 0, D (x) > 0,..., D m (x) > 0. Quindi si fa il prodotto dei segni per determinare il segno complessivo di f(x) e si determinano le soluzioni in base alla richiesta iniziale. Disequazioni binomie: Le disequazioni binomie sono del tipo x n a, con a R se n è dispari le soluzioni sono x n a; se n è pari si hanno vari casi: a < 0 a = 0 a > 0 x n > a x R x R, x 0 x < n a o x > n a x n a x R x R x n a o x n a x n a non ha soluzione x = 0 n a x n a x n < a non ha soluzione non ha soluzione n a < x < n a x 0 y x n x 0 y x n x 0 y x n y a y 0 y a y 0 n a n a y 0 Esempio 3.3 Vediamo alcuni esempi di risoluzione di equazioni riconducibili a binomie 1. x , x 4 10, x 4 5 x R;. x 6 < 0, x 6 > 0 x R, x 0; 3. x 8 7 > 0, x 8 > 7 per x < 8 7 o x > 8 7; 4. 3x , 3x 5 9, x 5 3, x 5 3 = 5 3 Disequazioni trinomie: Le disequazioni trinomie sono del tipo ax n + bx n + c 0, con a 0 in questo caso si agisce come per le biquadratiche sostituendo x n = t. Sistemi di disequazioni: Un sistema di disequazioni è del tipo p 1 (x) 0 p (x) 0... p n (x) 0 per risolverlo si calcolano le soluzioni di ogni singola disequazione e quindi la soluzione finale è data dai valori della incognita x dove sono verificate contemporaneamente tutte le n disequazioni. 8

9 Esempio 3.4 x + 10 > 0 x 3x 10 0 x x > 0, x > 10 x 5 x < 0 o x > 1, graficamente si ha dove una linea o un cerchio pieno indicano che la corrispondente disequazione è soddisfatta, mentre la mancanza della linea o il cerchio vuoto indicano che la corrispondente disequazione non è soddisfatta. Dunque le soluzioni sono x < 0 o 1 < x 5. Disequazioni irrazionali: Consideriamo disequazioni del tipo n p(x) q(x). Per risolvere tali disequazioni occorre distinguere due casi: Se n è dispari allora basta risolvere p(x) q(x) n Se n è pari dipende dal verso della disequazione. In particolare per equazioni del tipo n p(x) c con c una costante, vale il seguente schema. n p(x) > c n n p(x) c n p(x) < c p(x) c c < 0 p(x) 0 p(x) 0 non { ha soluzione non { ha soluzione p(x) 0 p(x) 0 c 0 p(x) > c n p(x) c n p(x) < c n p(x) c n In generale si ha { n p(x) 0 p(x) > q(x) q(x) < 0 o { p(x) > q(x) n q(x) 0 n p(x) < q(x) p(x) 0 q(x) > 0 p(x) < q(x) n se a sinistra si ha l uguale anche a destra va messo l uguale dove manca. 9