Relazioni e funzioni. Relazioni

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1 Relzioni e unzioni Relzioni Deinizione: dti due insiemi A e B, si deinise un relzione R tr A e B un orrispondenz stilit d un proposizione tr un elemento A e B, in tl so si die he è in relzione on e si srive R. L deinizione di relzione si può dre nhe onsiderndo il prodotto rtesino: Deinizione: dti due insiemi non vuoti A e B deinimo relzione R di A in B un qulunque sottoinsieme del prodotto rtesino A B. L'insieme A prende il nome di dominio mentre l'insieme B prende il nome di odominio. In simoli si vrà: {(, ) ( ) A B} R, Proprietà delle relzioni Le relzioni deinite in un insieme A possono godere di lune proprietà: i) Un relzione si die rilessiv, se ogni elemento di A è in relzione on se stesso, in simoli A R ii) Un relzione si die simmetri, se per ogni oppi di elementi, A, tli he è in relzione on, si verii nhe he è in relzione on ; in simoli, A R R iii) Un relzione si die trnsitiv se dti tre elementi,,, z A, tli he è in relzione on e è in relzione on z, si h he è in relzione on z; in simoli,, z A R e Rz Rz

2 iv) Un relzione si die nti-simmetri, se per ogni oppi di elementi, A, tli he è in relzione on, si verii nhe he non è in relzione on ; in simoli, A R R Consider l relzione: è un rett perpendiolre, deinit nell insieme delle rette del pino. Di he proprietà gode l relzione osì deinit? Risoluzione Non è rilessiv: intti un rett non è perpendiolre sé stess. E simmetri, poihé se è perpendiolre, llor nhe è perpendiolre. Non è trnsitiv, poihé se è perpendiolre e è perpendiolre z, llor e z sono prllele. Deinizione: un relzione he è rilessiv, simmetri, trnsitiv viene dett relzione di equivlenz. Deinizione: un relzione he è rilessiv, nti-simmetri, trnsitiv viene dett relzione d ordine. Deinizione: si dt un relzione di equivlenz R deinit in un insieme A, si onsideri un elemento A. Si deinise lsse di equivlenz di il sottoinsieme di A osì determinto: [ ] { A R} Il simolo [ ] indi l lsse di equivlenz di, ioè l insieme degli elementi in relzione d trmite R. Osservzione: un lsse di equivlenz è individut d uno qulsisi dei suoi elementi, quindi isuno di questi elementi può essere selto ome rppresentnte dell lsse. Proprietà delle lssi di equivlenz: i) ogni lsse di equivlenz non è vuot ;

3 ii) ogni elemento A pprtiene d un sol lsse di equivlenz; iii) l'intersezione di due qulunque lssi di equivlenz d ome risultto l'insieme vuoto. (ioè se un elemento è in relzione on e, llor e pprtengono ll stess lsse di equivlenz quell di - non può essere he R, R, on, pprtenenti lssi di equivlenz diverse) Funzioni Deinizione: dti due insiemi A e B, si deinise unzione d A in B, e si indi : A B, un orrispondenz tr elementi di A ed elementi di B, tle he d ogni elemento A, ssoi uno ed un solo elemento B. Sriveremo : A B ( ) Deinizione: dt un unzione : A B, si deinise: i) A dominio dell unzione; ii) B odominio dell unzione; iii) ( A) { B A, ( ) } immgine di A trmite. ) è un unzione d A tutti gli elementi di A viene ssoito un unio elemento di B. ) è un unzione d

4 ) non è un unzione d A non viene ssoito lun elemento. ) non è un unzione A vengono ssoiti due elementi di B. Funzione iniettiv, suriettiv, iiettiv Deinizione: dti due insiemi A e B, un unzione : A B si deinise iniettiv se, A, on si h he ( ) ( ) oppure equivlentemente se, A tli he ( ) ( ) risulti Cioè d elementi diversi nel dominio orrispondono elementi diversi nell immgine. ) è un unzione iniettiv

5 ) non è un unzione iniettiv d Intti d m ( ) ( d ). Osservzione: è omunque un unzione Deinizione: dti due insiemi A e B, un unzione B A tle he ( ). : A B si deinise suriettiv se ) è un unzione suriettiv d

6 ) non è un unzione suriettiv Intti At.. ( ). Osservzione: è omunque un unzione Deinizione: dti due insiemi A e B, un unzione : A B si deinise iiettiv se B! A tle he ( ), he si può esprimere nhe ermndo he d ogni elemento di NB:! signii esiste unio. A orrisponde uno ed un solo elemento B e vievers. Osservzione: un unzione si iniettiv si suriettiv è iiettiv. ) è un unzione iiettiv d Funzione ompost, unzione identità, unzione invers Deinizione: dti tre insiemi non vuoti A, B, C, D, : A B g : C D B C sino e g due unzioni tli he: si deinise unzione ompost di e g e si indi o g l unzione A B C D ( go )( ) g( ( ) ) g

7 Osservzione: per lolre ( g o )( ) g( ( ) ), prim si lol il vlore di ( ), poi tle vlore è rgomento per lolre g, ioè si lol prim il vlore dell unzione più intern, tle vlore ostituise poi l rgomento per l unzione più estern. : N N ( ) g : N N g( ) Se ( go )( ) g ( ) ( ) g( ) ( 9) 9 0 g Osservzione: ( go )( ) ( o g)( ) L omposizione di unzioni non è ommuttiv. Considerndo le unzioni e g dell esempio preedente: ( o g)( ) ( g( ) ) ( ) ( ) 6 0 ( go )( ). Deinizione: dto un insieme A non vuoto, si deinise unzione identità (o identi) e l si indi Ι quell unzione tle he d ogni elemento ssoi se stesso: Ι : A A ( ) Ι Deinizione: dt un unzione : A B, si deinise unzione invers di e l si indi, quell unzione tle he : B A o o e ( )( ) ( )( ) Ι Teorem: un unzione mmette invers se e solo se è iiettiv. Teorem: se un unzione è invertiile, l su invers è uni.

8 Osservzione Dt un unzione se è l su invers, si può ermre he dt l su invers è. Cioè ( ). Osservzione (nlisi dei grii di unzioni) Dl grio di un unzione è possiile pire se un unzione si iniettiv, intti dti i seguenti grii, trimo delle linee orizzontli: Nel primo so l line orizzontle interse il grio dell unzione in due punti distinti, l rett rppresent pertnto un vlore per l, esistono quindi due punti distinti per l he nno ssumere ll unzione lo stesso vlore sull sse delle, in simoli: L unzione pertnto non è iniettiv. ( ) ( ) Nel seondo so invee, l line orizzontle interse l unzione in un solo punto, pertnto presi due punti distinti,, si h he le rette he permettono di identiire i due punti e si rierisono vlori distinti e per l sse delle ordinte, quindi L unzione pertnto è iniettiv. ( ) ( ) Criterio per stilire grimente se un unzione si iniettiv: Un unzione è iniettiv se ogni rett prllel ll sse delle he interse il grio dell unzione lo interse in uno ed un solo punto.

9 Osservzione Intti un unzione può essere iniettiv m non ssumere tutti i vlori lungo l sse delle. L rett superiore non interse il grio, quindi non è interesst dll deinizione di iniettività he rigurd soltnto i vlori ssunti dll unzione. L rett ineriore interse il grio dell unzione in un solo punto, ome tutte le rette orizzontli inidenti, pertnto l unzione è iniettiv. Dl grio di un unzione è possiile pire se un unzione si suriettiv, intti dti i seguenti grii, trimo delle linee orizzontli:

10 Nel primo so l line orizzontle non interse il grio dell unzione, l rett rppresent quindi un vlore per l tle he non esiste lun punto he i ssumere ll unzione il vlore rppresentto dll onsidert, in simoli: L unzione pertnto non è suriettiv.. tle he ( ) t. A Nel seondo so invee, l line orizzontle interse l unzione in un punto, pertnto preso un qulunque vlore sull sse delle ordinte, esiste un vlore he ssumere ll unzione quel determinto vlore dell, quindi B A tle he ( ) L unzione pertnto è suriettiv. Criterio per stilire grimente se un unzione si suriettiv: Un unzione è suriettiv se ogni rett prllel ll sse delle interse il grio dell unzione lmeno in un punto. Deinizione: dti due insiemi A e B, un unzione : A B si deinise iiettiv se B! A tle he ( ), he si può esprimere nhe ermndo he d ogni elemento di NB:! signii esiste unio. A orrisponde uno ed un solo elemento B e vievers. Dlle ondizioni preedenti Un unzione è iniettiv se ogni rett prllel ll sse delle he interse il grio dell unzione lo interse in uno ed un solo punto. Un unzione è suriettiv se ogni rett prllel ll sse delle interse il grio dell unzione lmeno in un solo punto. Si può dedurre l ondizione gri per l iiettività: Un unzione è iiettiv se ogni rett prllel ll sse delle interse il grio dell unzione in uno ed un solo punto.

11 Dto il grio di un unzione è possiile stilire quindi se ess si iniettiv o suriettiv. Osservzione : R R (prol) L prol non è un unzione iniettiv. L prol non è un unzione suriettiv. : R R (prol on dominio e odominio i numeri reli positivi) L prol è un unzione iniettiv. L prol è un unzione suriettiv. In questo so l prole è un unzione iiettiv e quindi invertiile. Come è possiile desso lolre l invers dell unzione? Bst onsiderre l unzione ssegnt in ui (vriile dipendente) è espress in unzione dell (vriile indipendente):

12 Ed invertire i ruoli delle inognite, ioè esprimere l (vriile dipendente) in unzione dell (he divent or vriile indipendente), ioè: he rppresent. Osservzione Un rett è sempre un unzione invertiile, intti d ( ) : m q È sempre possiile rivrsi l in unzione dell : m q m q q he rppresent m. Quest ultim espressione l possimo rppresentre ome segue: : q m Cioè imo invertito le due vriili nell srittur di rimne invrit. m l relzione he esse rppresentno Per ssiurri or he si eettivmente l unzione invers dell rett dt possimo utilizzre il tto he essendo uni, deve risultre: Quindi: ( o )( ) Ι m q q m ( o )( ) ( ( ) ) ( m q) Ciò mi ssiur he ( o )( ) Ι Clolre l invers dell seguenti unzioni. m m, è pertnto ogni rett è un unzione invertiile..

13 . Soluzione he rppresent he possimo srivere nhe Clolimo ( )( ) o ( )( ) ( ) ( ) ( ) o Ciò dimostr he l unzione ssegnt è invertiile è he l unzione ne è l invers.. Soluzione C.E. ( ) ( ) ( ) ( ) he rppresent he possimo srivere nhe Clolimo ( )( ) o ( )( ) ( ) ( ) o Ciò dimostr he l unzione ssegnt è invertiile è he l unzione ne è l invers.

14 Osservzione Il vlore esluso nel mpo di esistenz per e poi il vlore esluso nel mpo di esistenz di rppresentno i vlori he non possono essere messi in orrispondenz tr loro. Il grio seguente rppresent l unzione. D esso si dedue he l unzione è invertiile su tutto R e l su invers è: he rppresent. Dimostrre he l seguente unzione : R R non è iniettiv: Per dimostrrlo st trovre un vlore he veng ssunto dll unzione per vlori distinti dell. Provimo on Sostituendo si ottiene ± Ciò mi ssiur he non è iniettiv in qunto: ( ) ( ).

15 Dimostrre he l seguente unzione : R R non è suriettiv: Per dimostrrlo st trovre un vlore he veng ssunto dll unzione per vlori distinti dell. Provimo on Sostituendo si ottiene impossiile. Ciò mi ssiur he non è suriettiv in qunto non esiste lun vlore per l tle he ( )