Esercizio 1. Costruire un esempio di variabili casuali X ed Y tali che Cov(x,y) = 0, ma X ed Y siano dipendenti.

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1 srcz d conomtra: sr srczo Costrur un smpo d varabl casual d tal ch Cov(,), ma d sano dpndnt. Soluzon Dobbamo vrcar l sgunt condzon: σ [ ] [ ] [ ] covaranza nulla ) ( ) ( ) dpndnza non lnar Prma cosa da ar è costrur una tablla cu valor atts sano par a zro. In qusto modo avrmo vrcato la prma condzon. - () ().5..5 Tablla : unzon d dnstà congunta margnal [] [] quando l modaltà sono dspar, qudstant, con valor cntral nullo l unzon margnal sono smmtrch. [] (.75) - (.75) - (.75) + (.75) qund è vrcata la prma condzon d covaranza nulla. Al n d vrcar ch du carattr sono dpndnt, è ncssaro ch: ) ( ) ( ), da cu sosttundo: (, ). 75 ( ) ( ) (.5)(.5). Qund anch la sconda condzon è vrcata. srczo S consdr l lanco d du ttradr rgolar (dado a quattro acc). Sa l valor pù basso d l valor pù alto. a. S trov la dnstà congunta d d b. S trov P( )

2 srcz d conomtra sr c. S calcol la mda la varanza d d d. S calcol la dstrbuzon d condzonata ad pr tutt valor d.. S trov la corrlazon tra d. Soluzon Pr dnr la unzon d dnstà congunta dlla varabl doppa (, ), è ncssaro dscrvr lo spazo camponaro calcolar valor dlla unzon d dnstà, (, ) pr ogn coppa d valor d. Lo spazo camponaro sarà ormato da 6 vnt, ossa. Inoltr, punt camponar sono tutt quprobabl, con probabltà par a // /6, dato ch pr ogn lanco la probabltà d un numro è / ogn lanco è ndpndnt dall altro. I rsultat dll sprmnto (spazo camponaro Ω) l copp d valor assunt da, numro pù basso d du usct, numro pù alto, sono: Ω {-, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -} { } { } a. la unzon d dnstà congunta d d è la sgunt: () /6 /6 /6 /6 7/6 /6 /6 /6 5/6 /6 /6 /6 /6 () /6 /6 /6 7/6 Tablla : unzon d dnstà congunta b. la probabltà ch sa ch sano maggor d è la sgunt: [ <, < ], ) [, ( ) ] P, < < c. la mda la varanza d d sono l sgunt: [] ( ) [] ( ). 5 6 Mntr momnt scond ( ) ( )

3 srcz d conomtra sr Prtanto l varanz sono: VAR() ( ) - [()].859 VAR() ( ) - [()].859 d. la dstrbuzon d condzonata ad pr tutt valor d è la sgunt, rcordando ch ( ), ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / /5 /7 / /5 /7 /5 /7 /7. la corrlazon tra d è data da: ρ ( ) ( ) ( ) Cov Tablla : unzon d dnstà condzonata. Calcolamo dapprma la covaranza, data da dalla sgunt ormula: Cov() [] ()(). 9 da cu s ottn: ρ ( ) ( ) ( ) Cov srczo Sa data la sgunt unzon d dnstà congunta dll varabl casual contnu d : ) ( + ) (, ); (, ) altrmnt S calcolno: a. P(>) b. P(<+<) c. P(<< )

4 srcz d conomtra sr Soluzon a. la probabltà ch sa maggor dll untà è la sgunt: P(>) d d d[ ] [ ] b. rcordando ch pr una varabl casual Z assolutamnt contnua P[a < Z < b] P[Z < b] - P[Z < a] prtanto la probabltà rchsta s può scrvr anch: P[< + < ] P[+ < ] - P[+ < ] la probabltà ch la somma dll du varabl d sa comprsa tra è data gracamnt dal domno dll ntgrazon, coè: ) > - ) < - pr cu la probabltà P(+<) ha un domno par a D : < < <<-, mntr la probabltà P(+<) ha un domno par a D : < < <<-. pr cu: Pr dnzon s ha ch: P( << ; << ) ( )dd P(+< ) P(+< ) Prtanto d d d d P[< + < ] P[+ < ] - P[+ < ] c. Pr dnzon la probabltà condzonata è: P ( ) ) ( ). ( ) S l du varabl casual d sono ndpndnt, la probabltà condzonata è par alla probabltà margnal. aclmnt dmostrabl ch l du varabl sono ndpndnt. L unzon margnal sono l sgunt:

5 srcz d conomtra sr ( ) ) d d [ ] ( ) ) d d [ ] S d sono ndpndnt dv vrcars la sgunt rlazon: ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ) c.v.d. D consgunza val la sgunt rlazon: P ( ) ossa ) ( ) ( ) ( ) ( < < ) ( ) d d [ ] srczo Sa data la sgunt unzon d dnstà congunta dll varabl casual contnu d : ( ) ( ) ) (, ) [, ) (, ) [, ) a. Dtrmnar s (,) ttvamnt una unzon d dnstà. b. Calcolar () () c. Calcolar l valor attso condzonato ( ) pr > d. Calcolar la probabltà P( ). Calcolar la Corrlazon tra d. Trovar un altra unzon d dnstà con l mdsm unzon d dnstà margnal. Soluzon a. dmostramo ch ssa sa una unzon d dnstà, ossa vrchamo l du condzon: ) ) ) ) dd La prma proprtà è subto dmostrata: bastrà analzzar la condzon pr la prma sprsson pr cu pr smmtra ssa è vrcata anch pr l altra. - - ( - ) quando, ssndo - > smpr, - -, ossa quando. La sconda proprtà s vrca sparatamnt pr < < 5

6 srcz d conomtra sr ( ) dd d ( ) d d [ + ] ( + ) d da cu ntgrando pr part l prodotto ( - ) svluppando s ottn: ] + + d + ] Pr smmtra pr < < s ha ch Prtanto: ( ) dd ) dd + c.d.v. ( ) + b. rcordando la dnzon d unzon d dnstà margnal pr una varabl casual contnua ( ) ) d ( ) )d poché nl prmo ntrvallo < pr < la dstrbuzon margnal d pr < è: ( ) ( ) ( ) ( ), d d+ d pr smmtra sgu ch: ( ) ) d pr < +. c. Pr dnzon, [ ] ( ) ) ( ) d d prtanto tnndo conto ch < < pr < < < pr < s ha: [ ] ( ) ( ) ( ) d + d d+ ( ) d da cu ntgrando pr part sosttundo s ottn: [ ] +. d. al n d calcolar la probabltà rchsta, ossa ch rsult vsto ch < < 6

7 srcz d conomtra sr pr < < < pr < è ncssaro ch nl prmo ntrvallo < mntr nl scondo <, prtanto la probabltà rchsta è data da: P (, ) ( ) dd+ ( ) dd Data l vdnt smmtra tra du ntgral è possbl scrvr: P ( ) d ( ) d, + d ( + )d da cu ntgrando pr part s ottn: + P, + d ( ) +. pr trovar l cocnt d corrlazon tra d è ncssaro dnr alcun grandzz qual (), (), (), () (). S ha: () ( ) ( ) d d + d Qund () pr ovv ragon d smmtra sgu ch (). Pr calcolar () () ncssaro calcolar ( ) ( ): ( ) ( ) ( ) d d + d Qund ( ) 6;smpr pr smmtra s ha ch ( ) 6. Prtanto: [ ] 6 pr smmtra ( ) ( ) ( ) ( ) Sgu ch σ σ. ( ) ) dd ( ) dd+ ( ) dd d ( ) d+ d ( )d Inn, dalla smmtra d du ntgral dopp sgu ch: ( ) d( ) d d d d + d d d + + d + d + d d 7

8 srcz d conomtra sr Sosttundo t, pr cu t d dt/, s ottn: ( ) d + t t dt + t t dt d d + t t dt + + t t Prtanto: cov ñ σ σ dt d 5 (, ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) σ σ. La pù smplc unzon d dnstà d probabltà congunta avnt l stss margnal è qulla ch s ottn consdrando d ndpndnt prcsamnt: ( + ) ) ( ) ( ) pr < <.. srczo 5 Il rddto annual n mlon d Lr d dc copp è rsultato l sgunt Nom dlla Coppa Rddto dl marto Rddto dlla mogl Ross 5 Banch 5 Vrd 5 Nr 5 Gall 5 Arancon 5 Azzurr 5 Vola 5 Marron 5 Amaranto 5 Una coppa è stratta a caso pr rapprsntar l ntro collttvo. Sano d l du varabl alator rlatv rspttvamnt al rddto dl marto dlla mogl stratt. a. Trovar la dstrbuzon d probabltà bvarata d d. b. Trovar l dstrbuzon margnal dlla dlla, l loro valor mdo la loro varanza. c. Trovar la covaranza la corrlazon tra d. d. Trovar la mda la varanza dl rddto amlar total.. Supponamo ch l alquota contrbutva dl marto sa dl % qulla dlla mogl dl %. Calcolar la mda la varanza dl rddto amglar dopo la tassazon.. Pr msurar l lvllo d dscrmnazon contro l donn un socologo calcola l ndc D -. Qual è la mda la varanza d tal ndc? 8

9 srcz d conomtra sr Soluzon a. L dtrmnazon assunt dalla varabl alatora rddto dl marto sono l sgunt: {,, } mntr pr la varabl rddto dlla mogl s ha { 5, 5, 5} Lo spazo camponaro Ω è dato dall nsm dll copp, scondo l pots dll srczo, cascuna coppa ha la stssa probabltà d ssr stratta P. La dstrbuzon d probabltà congunta ) P(, ) è data dalla tablla a doppa ntrata qu d sguto rportata: () 5 / / / 5 / / / 6/ 5 / / / () / / / Tablla : unzon d probabltà congunta margnal b. dov l unzon margnal sono dat dall ultma rga colonna, prcsamnt: ( ) ) ( ) (, ). I valor atts d d sono: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 mntr l varanz: ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( [ ] ) [ ] ( ) ( ) c. la covaranza tra d è dnta nl sgunt modo Cov [, ] [, ] [ ] [ ] dov : Il cocnt d corrlazon tra d è nvc dnto qual: 9

10 srcz d conomtra sr ρ [, ] [ ] [ ] Cov 6.8 d. Il rddto amlar global è dnto com Z+ dov la dstrbuzon d probabltà, l valor attso la varanza dlla nuova varabl alatora Z sono sgunt: [ Z] z ( z ) [ Z ] z ( z ) [ Z] [ Z ] [ Z] Z Z 55 ( ) Z P(Z) 5 / 5 / 55 / 65 / 75 / Tablla 6: dstrbuzon d probabltà d Z 65. La dstrbuzon d probabltà congunta dll d qulla d Z, dopo la tassazon, sono dat da: 8 () / / / / / / 6/ 8 / / / () / / / Tablla 7: dstrbuzon d probabltà congunta Z P(Z) / / / 8 / / 6 / 7 / Tablla 8: dstrbuzon d Z dopo la tassazon

11 srcz d conomtra sr [ Z] z ( z ) [ ] z ( z ) Z [ Z] [ Z ] [ Z] Z Z 758. ( ) 58.. La dstrbuzon d probabltà dll ndc d dscrmnazon dll mogl rsptto a mart dnto com D è la sgunt: [ D] [ ] D [ D] 85 8 D P(D) 5 7/ 5 / / Tablla 9: dstrbuzon d probabltà dll ndc D 8 85