Prova scritta di Controlli Automatici

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1 Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA Settembre 2012 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere V e quali sono le affermazioni false F. 1. Si consideri un sistema lineare e tempo invariante caratterizzato da una funzione di trasferimento pari a: G(s) = 1 s(3s 2 + 6) Si consideri di chiudere in retroazione unitaria il sistema con il controllore C(s), come nella seguente figura: e di applicare un ingresso di riferimento a gradino, allora è possibile affermare che: V F Per annullare l errore a regime E(s) = R(s) Y (s) occorre inserire un integratore nel controllore C(s). V F L annullamento dell errore a regime E(s) = R(s) Y (s) è garantito dalla presenza del polo nell origine, e quindi non occorre inserire un polo nel controllore. V F L errore a regime è indipendente dal numero di poli nell origine. Commento: Il sistema ha un polo nell origine, per cui è già garantito l annullamento dell errore a regime con ingresso di riferimento a gradino, senza dover aggiungere un polo nel controllore. L unica risposta corretta è la seconda. 1

2 2. Si consideri il processo di linearizzazione di un modello matematico non lineare y(t) = f(u(t)) = sin(5u(t)) nell intorno del punto u 0 = 0; essendo u(t), l ingresso, y(t) l uscita. Il modello linearizzato vale: V F y(t) = 5u(t) V F y(t) = 5u(t) π V F y(t) = sin(5u(t)) Commento: La linearizzazione di una funzione non lineare sfrutta l approssimazione in polinomio di Taylor limitato al primo termine: y(t) = f(u 0 ) + df(u(t)) du(t) (u(t) u 0 ) u0 Applicado la precedente formula alla funzione proposta nel testo dell esercizio, otteniamo: f(u 0 ) = sin(5u 0 ) = sin(5 0) = 0; e quindi solo la risposta uno è corretta. df(t) du(t) = 5 cos(5u(t)) u0 = 5 cos(5 0) = 5 u0 3. Si consideri un sistema dinamico con un ingresso u(t) e uscita y(t) e si supponga che il suo comportamento sia descritto dalla seguente equazione differenziale ÿ(t) + 5y(t) = u(t) u(t) V F La funzione di trasferimento che descrive il sistema ha un solo polo, con moleplicità due ed uno zero. V F Il sistema non puó essere rappresentato da una funzione di trasferimento. V F Il sistema é instabile. Commento: Il sistema è descritto da una sistema differenziale lineare a coefficenti constanti del secondo ordine, e quindi è possibile applicare le trasformate di Laplace ottenendo che descrivibile con la funzione di trasferimento Y (s)(s 2 + 5) = U(s)(s 1) G(s) = s 1 s che ha due poli semplici sull asse immaginario pari a p 1, p 2 = ±j 5 e uno zero in z = +1. I due poli sono immaginari semplici, per cui il sistema é semplicemente stabile. Qundi tutte le risposte sone errate. 2

3 4. Si consideri il sistema descritto dalla seguente funzione di trasferimento: V F É instabile. G(s) = V F Il sistema é semplicemente stabile. s 1 (s 2 + 1)(s + 5) V F La parte reale dello zero non influenza la stabilità del sistema Commento: Il sistema ha tre poli, due poli semplici immaginari puri p 1, p 2 = ±j e un polo in p 3 = 5 e uno zero in z 1 = +1. Siccome lo zero non ha influenza sulla stabilità del sistema e tutti i poli sono semplici e situati sull asse immaginario, il sistema è semplicmenete stabile. Quindi la prima risposte è errata, mentre la seconda e la terza sono corrrette. 5. Sia G(s) la funzione di trasferimento di un sistema lineare, tempo invariante e asintoticamente stabile. Si ecciti inoltre il sistema con un ingresso u(t) = X sin(ωt) V F A regime, l uscita è sempre per qualunque sistema un segnale sinusoidale di ampiezza tendente a zero per ω che tende all inifinito. V F A regime, l ampiezza del segnale d uscita dipende dalla pulsazione ω del segnale di ingresso V F A regime, il segnale d uscita ha un ritardo di fase che dipende dalla pulsazione ω. Commento: In base al teorema della Risposta Armonica, la risposta di un sistema lineare ad un segnale di ingresso sinusoidale X sin(ωt) vale: y(t) = X F (ω) sin(ωt + arg(f (ω)) e quindi solo la seconda e la terza risposte sono corrette. L andamento asintotico per ω che tende all inifinito dipende dai poli e agli zeri della funzione di trasferimento, e quindi la prima risposta è errata. 6. Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento: H(s) = 1 s 2 + 3s + 2 Si calcoli la risposta all impulso h(t) di tale sistema e la si scriva nello spazio sottostante: h(t) = Commento: Per calcolare la risposta impulsiva occorre determinare la scomposizione in fratti semplici e quindi antitrasformare tali fratti semplici per determinare i modi del sistema: H(s) = 1 s 2 + 3s + 2 = 1 (s + 1)(s + 2) = c 1 s c 2 s + 2 3

4 In base al teorema per il calcolo dei residui, otteniamo: c 1 = H(s)(s + 1) s= 1 = 1, c 2 = H(s)(s + 2) s= 2 = 1 da cui, applicando le regole di antitrasformazione: essendo step(t) la funzione a gradino unitario. 7. Il controllore PID: h(t) = step(t)(e t e 2t ) V F É dato dalla moltiplicazione dei tre termini corrispondenti alle tre azioni di controllo sull errore di regolazione. V F Le azioni di controllo del PID sono rispettivamente, proporzionali all errore, all integrale dell errore e alla derivata dell errore. V F Il PID nella sua forma standard, con tutte e tre i termini ha una rappresentazione come funzione di trasferimento con un polo e uno zero. Commento: Il modello matematico del controllore PID è descritto dalla somma dei tre termini: u(t) = K p (e(t) + 1 T i t Quindi la prima risposta è errata e la seconda è corretta. 0 e(τ)dτ + T d de(t) dt Andando a descrivere la funzione di trasferimento del PID, otteniamo: U(s) = K pt i s + K p + K p T i T d s 2 T i s e quindi un polo e due zeri (si noti che nella forma standard, il PID non è fisicamente realizzabile), e quindi la terza risposta è sbagliata. 8. Consideriamo il sistema dinamico descritto dalla equazione di stato: La sua evoluzione libera (free dynamics) è: V F x(t) = e At x(0) V F x(t) = e At x(t) V F x(t) = e Bt x(0) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) Commento: In base alla proprietà della risposta libera di un sistema dinamico descritto mediante variabili di stato, la risposta corretta à la prima. 9. I diagrammi di Bode 4

5 V F Sono una possibile rappresentazione della funzione di risposta armonica V F Sono in scala logaritmica V F Un diagramma di bode di sistemi può essere ottenuto come somma di diagrammi elementari, ciascuno dei quali corrispondenti a poli e zeri (reali o complessi). Commento: I diagrammi di Bode rappresentano il modulo, espresso in decibel, e l argomento, espresso in gradi o radianti, della funzione di risposta armonica rispetto al logaritmo in base dieci della pulsazione del segnale di ingresso. In base alle proprietà dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche, un diagramma di bode può essere costruito sommando diagrammi elementari. Quindi tutte le risposte sono corrette. 10. Si consideri un sistema lineare e tempo invariante caratterizzato da un ingresso u(t) e un uscita y(t) e descritto dalla seguente equazione differenziale 9 d2 y(t) dt 2 + 4y(t) = d2 u(t) dt 2 V F Il sistema è descritto dalla funzione di trasferimento G(s) = s2 9s V F Il sistema non è fisicamente realizzabile. V F La costante di posizione del sistema è 0. Commento: Applicando la trasformata di Laplace alla equazione sopra riportata, si ottiene: (9s 2 + 4)Y (s) = s 2 U(s) da cui si ricava esattamente l equazione riportata nella prima risposta, che è quindi corretta. La Funzione di Treasferimento è inoltre strettamente propria (grado del numeratore è strettamente minore al grado del denominatore) e quindi il sistema è fisicamente realizzabile, e quindi la seconda risposta è errata. La costante di posizione di un sistema dinamico è calcolata come: e quindi la terza risposta è corretta. K p = lim s 0 G(s) = I seguenti esempi di variabili fisiche sono di tipo through, cioè definiscono il valore uniforme che assume la proprietà fisica attraverso il componente da modellare: V F La tensione ai capi di una resistenza, la velocità di un componente fisico, la pressione di un fluido. V F La corrente che fluisce attraverso una resistenza, la forza che viene esercitata su un componente fisico, il flusso di un fluido. V F Nessuna delle variabili descritte nelle precedenti risposte. Commento: La variabile through definisce il valore di una grandezza fisica che rimane costante nell attraversamento di un componente, come ad esempio la corrente che fluisce attraverso una resistenza, la forza che viene esercitata su un corpo fisico, il flusso di un fluido. La prima risposta è corretta, la seconda e terza sono errate. 5

6 12. Si consideri il sistema rappresentato in figura V F Al variare di K, i poli di G(s) rimangono constanti, in altre parole non variano al variare di K. V F Il valore di K influenza la relazione tra R(s) e Y (s) V F Il luogo delle radici rappresenta il luogo tracciato dai poli di G tot (s) = Y (s) R(s) al variare di K da 0 a. Commento: Sia data la funzione di trasferimento G(s) di un sistema, il luogo delle radici corrisponde ai punti corrispondenti alle soluzioni della equazione: 1 + KG(s) = 0 essendo il polinomio 1 + KG(s) il numeratore della funzione di trasferimento G tot, e quindi la prima risposta è corretta. La seconda è corretta in quanto il guadagno K influenza direttamente il rapporto fra R(s) e Y (s), mentre l ultima è ancora corretta in quanto è la definizione del luogo delle radici. 13. La stabilità di un sistema lineare tempo-invariante descritto da una funzione di trasferimento G(s) V F Dipende dal carattere di convergenza dei modi del sistema. V F Dipende dalla parte immaginaria dei poli della funzione di trasferimento G(s). V F Può dipendere dalla molteplicità dei poli della funzione di trasferimento G(s). Commento: In base alla teoria sulla stabilità dei sistemi dinamici lineari, la prima risposta è corretta, mentre la seconda è errata, in quanto la stabilità dipende solo dal segno della parte reale dei poli (la parte immaginaria influisce sulla caratteristica di sovraelongazione della risposta). La terza risposta è corretta in quanto la molteplicità i poli nell origine influenza il carattere di stabilità, che può essere di semplice stabilità per poli semplici, e di instabilità per poli multipli. 14. Si consideri un sistema descritto da G(s) = 10 s+20 e lo si ecciti con un gradino di ampiezza unitaria V F Il segnale di uscita y(t) per t è pari a 0.5. V F Il tempo di assestamento è approssimativamente pari a t s V F La massima sovraelongazione percentuale è nulla. Commento: Il sistema è del primo ordine. Il valore del segnale di uscita a regime si pò calcolare con il teorema del valore finale, una volta che si sia applicato un gradino di ampiezza unitaria pari a U(s) = 1/s e vale: 6

7 lim y(t) = lim s G(s)1 t s 0 s = 0.5 e quindi la prima risposta è corretta. Il tempo di assestamento t s 3τ = 3 p = 3 20 essendo τ la costante di tempo e p = 20 il polo, e quindi la seconda risposta è errata, mentre la terza è corretta, in quanto un sistema del primo ordine non ha sovraelongazione della risposta. 15. Si consideri lo schema a blocchi riportato nella figura che segue, si scriva nello spazio sottostante l equazione di traserimento G tot (s) = Y (s) R (s) = Commento: In base alla analisi dello schema a blocchi è possibile scrivere: da cui: Y (s) = H(s)(G(s)R(s) M(s)Y (s)) e quindi: Y (s) = H(s)G(s)R(s) H(s)M(s)Y (s) G tot (s) = Y (s) R (s) = H(s)G(s) 1 + H(s)M(s) 7

8 Si svolgano i seguenti esercizi indicando chiaramente i passaggi seguiti per raggiungere la soluzione Esercizio 1 Si tracci il Diagramma di Bode delle Ampiezze e delle Fasi della funzione di trasferimento: G(s) = s2 + s + 1 s 2 (s + 10) Commento: Il tracciamento dei diagrammi di Bode passa necessita dei seguenti passaggi: 1. Riscrivere la Funzione di trasferimento nella forma con costanti di tempo: ω n + s2 ω 2 n G(s) = s2 + s + 1 s 2 (s + 10) = K 1 + 2ζ s s 2 (1 + τs) dove si calcolano gli zeri e i poli del sitema, ottenendo quindi: z 1, z 2 = 1 2 ± j = 0.5 ± j0.866 ω n = 1 ζ = 0.5 K = 0.1 p 1, p 2 = 0 p 3 = 10 τ = 0.1 da cui: F (ω) = s + s2 (1 ω 2 ) + jω s 2 (s ) = 0.1 s=jω ω 2 (1 + jω 0.1) 2. Consideriamo quindi i quattro termini elementari in cui si può pensare scomponibile la funzione di risposta armonica F (ω): (a) K = 0.1, che espresso in Decibel vale 20Log = 20 db. (b) (1 ω 2 ) + jω, il cui diagramma di bode nelle ampiezze ha il punto di rottura in corrispondenza di ω n = 1 = 10 0 (in scala logaritmica), mentre il diagrmma delle fasi ha i due punti ω a = ( ) 1 = 0.45 e ω b = ( ) = 2.2, per cui il diagramma di Bode è visualizzabile nella seguente figura: 8

9 1 1 (c) e ω 2 (1+τs), per cui si può tracciare il seguente diagramma di Bode, in cui il punto di rottura del polo in p = 10 è pari a ω n = Prima di tale punto si ha l effetto dei due poli nell orgine, che comportano una variazione nel diagramma delle ampiezze di 40 db/decade e un ritardo di fase di 180 o. L effetto del polo in p = 10 porta un diagramma delle fasi con ω a = 10/ e ω b 48. Dopo il punto di rottura, il diagramma continua con un incremento di variazione del diagramma delle ampiezze complessivo di 60 db/decade. 9

10 Il Diagramma complessivo è il seguente: 10

11 Esercizio 2 Si consideri il sistema riportato in figura dove G(s) = (s 2 + 2s + 17) (s 3)(s + 5)(s + 20) Si tracci il luogo delle radici del sistema chiuso in retroazione al variare di K da 0 a. IMPORTANTE: si elenchino e descrivino le regole applicate per il tracciamento del luogo delle radici. Commento: Applichiamo le regole di tracciamento: 1. Il luogo delle radici inizia sui poli e termina sugli zeri o all infinito. Identifichiamo quindi i poli e gli zeri del sistema. 11

12 Il sistema ha tre poli in p 1 = 3, p 2 = 5 e p 3 = 20, e due zeri complessi coniugati in z 1, z 2 = 1 ± j4. Il luogo delle radici avrà quindi un asintoto verso infinito (eccedenza di poli rispetto agli zeri). 2. I punti dell asse reale che lasciano alla propria destra un numero dispari di zeri o poli fanno parte del luogo delle radici. Sull asse reale vi sono tre poli, per cui: la parte di asse reale a sinistra del polo p 3 la parte di asse reale compreso tra i poli p 1 e p 2. appartengono al luogo delle radici. 3. Per quanto affermato prima, l asintoto appartiene coincide con l asse reale negativo con punto iniziale in p Le due radici p 1 e p 2 si muovono incontrandosi sull asse reale (in quanto la porzione di asse reale tra p 1 e p 2 è luogo delle radici), abbandonano quindi l asse reale per andare sugli zeri, per K che tende all infinito. 5. Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all asse immaginario, in quanto per ogni radice complessa vi deve essere necessariamente il suo valore coniugato. Il luogo delle radici é quindi rappresentato nelle figura seguente 12

13 Esercizio 3 Dato il modello di un sistema dinamico: ẋ 1 = x 2 (t) + u(t) ẋ 2 = x 1 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) + x 2 (t) 1. Descrivere il sistema dinamico mediante un modello nello spazio degli stati. 2. Scrivere le matrici A, B, C che descrivono il sistema secondo il modello nello spazio degli stati. 3. si retroazioni quindi il sistema mediante retroazione dello stato e si scriva le equazioni del modello che descrive il sistema con retroazione dello stato u = K x. 4. si progetti quindi il vettore di retroazione K, tale che le seguenti specifiche siano rispettate: Tempo di assestamento minore a t a < 0.6 secondi. Massimo sorpasso percentuale inferiore al S % < 16% (si utilizzi il seguente grafico che definisce la relazione tra sorpasso percentuale e coefficiente di smorzamento). Commento: 1. Il modello nello spazio degli stati vale: 2. Le matrici A, B e C sono: A = [ ẋ1 ẋ 2 = [ [ [ x1 x 2 y(t) = [ 1 1 [ x 1 x 2 [ 0, B = 0.5 [ u, C = [

14 3. il controllo con retroazione dello stato vale: u = [ k 1 k 2 [ x 1 x 2 per cui si ottiene: [ ẋ1 ẋ 2 = [ [ x1 x 2 [ [ k1 k 2 [ x 1 x 2 e quindi: [ ẋ1 ẋ 2 = ([ [ [ k1 k 2 ) [ x 1 x 2 ottenendo che: [ ẋ1 ẋ 2 [ = k 1 k k 1 1 k 2 [ x1 x 2 = A x 4. In relazione al terzo quesito, identifichiamo una coppia di poli che soddisfi le specifiche fornite per il massimo sorpasso percentuale e il tempo di assestamento. In particolare, per soddisfare la specifica sul massimo sorpasso percentuale S % < 16%, in base al grafico identifichiamo il valore ζ < 0.5. Per soddisfare la specifica sul tempo di assestamento, fissiamo: per cui: t a 3 ζω n < 0.6 ζω n > In particolare, assegnamo un massimo sorpasso percentuale nullo, a cui corrispondono due poli reali, e, tra le scelte possibili, li consideriamo coincidenti, con parte reale scelta in modo da soddisfare la specifica sul tempo di assestamento, scegliendo, quindi, come esempio, il valore ζω n = 6 e quindi ζ = 1 e ω n = 6. Quindi il polinomio caratteristico desiderato per il sistema chiuso in retroazione vale: p(λ) = (λ + 6)(λ + 6) = λ λ + 36 Il polinomio caratteristico del sistema in retroazione vale: ([ det(λi A k1 + λ 1 k ) = det 2 1 k 1 k 2 + λ ) = λ 2 + λ( k 1 k 2 ) + 1 k 1 + k 2 Uguagliando il coefficiente del polinomio caratteristico desiderato con quello ottenuto nella formula precedente, otteniamo i valori per i coefficienti di retroazione k 1 = 47 2 e k 2 =

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