13. Metodi Hilbertiani per la soluzione di problemi ai limiti

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1 13. Metodi Hilbertini per l soluzione di problemi i limiti Nell Sezione precedente bbimo sviluppto, nche se in form estremmente concis, lcuni spetti dell teori degli opertori lineri fr spzi normti, soffermndoci in prticolre sulle proprietà di bse degli opertori continui ed ggiunti. Voglimo or sviluppre lcuni spetti di quest teori nell ottic dell loro ppliczione i problemi i limiti per le equzioni differenzili. Ricordimo innnzi tutto l seguente Definizione 1. - Dto uno spzio H di Hilbert, un opertore A O(H) si dice hermitino o simmetrico se è ggiuntbile e A A. In prtic richiedimo che D (A) D (A) e che (Aϕ, ψ) = (ϕ, Aψ) ϕ, ψ D (A). Dicimo, poi, che un opertore hermitino è semidefinito positivo se (Aϕ, ϕ) 0 ϕ D (A) e definito positivo se (Aϕ, ϕ) > 0 ϕ D (A) \{0 H }. Definizione 2. - Si H uno spzio di Hilbert e A O(H). Dicimo che lo sclre λ C è un utovlore di A se esiste ϕ D (A) con ϕ 0 H t.c. Aϕ = λϕ. Tutti i vettori ϕ D (A) che soddisfno l relzione precedente si chimno utovettori corrispondenti ll utovlore λ. L collezione degli utovettori corrispondenti l medesimo utovlore λ, form insieme 0 H un vrietà linere in D (A) chimto utospzio ssocito λ. L dimensione vettorile dell utospzio è l molteplicità dell utovlore. Autovlori di molteplicità 1 si dicono semplici. Gli opertori hermitini hnno proprietà molto importnti e significtive dl nostro punto di vist. Teorem 1. - Si H uno spzio di Hilbert e A O(H). Se A è hermitino, llor vlgono le seguenti proprietà: ) tutti gli utovlori di A sono reli; b) utovettori corrispondenti d utovlori differenti sono ortogonli; c) se A è definito positivo (semidefinito positivo), llor gli utovlori sono positivi (nonnegtivi). Dimostrzione. - ) è bnle se H è vettorile su R. Assumimo, quindi, che H si vettorile su C. Preso ϕ D (A) utovettore corrispondente ll utovlore λ e nturlmente ϕ 0, bbimo λ(ϕ, ϕ) = (λϕ, ϕ) = (Aϕ, ϕ) = (ϕ, Aϕ) = (ϕ, λϕ) = λ(ϕ, ϕ). 13.1

2 Dunque λ = λ λ R. b) Considerimo, or, ϕ 1 D (A), ϕ 2 D (A), entrmbi nonnulli e tli che Abbimo Aϕ 1 = λ 1 ϕ 1, Aϕ 2 = λ 2 ϕ 2, λ 1 λ 2. λ 1 (ϕ 1, ϕ 2 ) = (λ 1 ϕ 1, ϕ 2 ) = (Aϕ 1, ϕ 2 ) = (ϕ 1, Aϕ 2 ) = (ϕ 1, λ 2 ϕ 2 ) = λ 2 (ϕ 1, ϕ 2 ). Quindi (λ 1 λ 2 )(ϕ 1, ϕ 2 ) = 0 e poichè λ 1 λ 2 concludimo che (ϕ 1, ϕ 2 ) = 0, cioè che sono fr loro ortogonli. c) Assumendo che A si definito positivo, preso ϕ D (A) utovettore corrispondente ll utovlore λ con ϕ 0, bbimo λ(ϕ, ϕ) = (λϕ, ϕ) = (Aϕ, ϕ) > 0. Dividendo per ϕ 2 > 0 (dl momento che ϕ è diverso d zero) ricvimo proprio λ = (Aϕ, ϕ) ϕ 2 > 0. Molto spesso (nche se non ci occuperemo qui di condizioni sufficienti perchè ciò ccd) gli utovlori di un opertore hermitino costituiscono un successione illimitt. In tl cso vle il seguente Teorem 2. - Si H uno spzio di Hilbert e A O(H). Se l successione degli utovlori è illimitt, ossi se λ n + qundo n +, l opertore è illimitto. Dimostrzione. - Per ipotesi {λ n } è un successione illimitt. Si {ϕ n } l corrispondente successione di utovettori. Abbimo Quindi (Aϕ n, Aϕ n ) = (λ n ϕ n, λ n ϕ n ) = λ 2 ϕ n 2. Aϕ n 2 ϕ n 2 = λ 2 n n + + e, dunque, non è possibile che esist m 0 t.c. ϕ D (A) risulti Aϕ m ϕ. Il teorem precedente ci dice che nell strgrnde mggiornz delle ppliczioni, gli opertori hermitini non sono continui. Fr le vrie conseguenze di questo ftto, di prticolre interesse è che ( ) A u n Au n con {u n } D (A). 13.2

3 Tuttvi vle il seguente risultto, molto utile nelle ppliczioni, come vedremo più vnti: Teorem 3. - Sis H uno spzio di Hilbert e A O(H) con A hermitino. Supponimo che A bbi un successione infinit di utovettori {ϕ n }, n = 1..., che form un bse per H. Se ψ D (A), llor d segue che ψ = (ψ, ϕ n )ϕ n (sviluppo di Fourier di ψ rispetto ll bse di H) Aψ = (ψ, ϕ n )Aϕ n = λ n (ψ, ϕ n )ϕ n. Dimostrzione. - Poichè A O(H), per ogni ψ D (A) H possimo concludere che Aψ H e quindi Aψ = c n ϕ n con c n = (Aψ, ϕ n ), dl momento che {ϕ n } è un bse per H. Poichè A è hermitino e quindi gli utovlori sono reli, (Aψ, ϕ n ) = (ψ, Aϕ n ) = (ψ, λ n ϕ n ) = λ n (ψ, ϕ n ) = λ n (ψ, ϕ n ). Quindi c n = λ n (ψ, ϕ n ) e, dunque, Aψ = λ n (ψ, ϕ n )ϕ n. Osservzione 1. - Si noti che non pplichimo A d un elemento generico di H, bensì d un elemento del dominio dello stesso A, sviluppto rispetto ll bse costituit dgli utovettori. Osservzione 2. - Tutte le volte che possimo determinre un successione infinit di utovettori che costituiscono un bse per H, dicimo che bbimo digonlizzto l opertore A. Nel seguito voglimo pplicre questi risultti llo studio dei Problemi i limiti e, quindi, gli opertori che considereremo vrnno un crttere differenzile, mentre gli spzi srnno spzi di funzioni. Come l solito, il dominio dell opertore riveste un ruolo ssolutmente fondmentle nell teori. Senz insistere troppo, osservimo che nell determinzione del dominio intervengono in ugul misur questi due fttori ) l comptibilità delle funzioni con l opertore (in ltri termini, le operzioni richieste devono poter essere eseguite e il risultto deve( essere ) un funzione opportunmente 1 + x sommbile); d esempio l funzione f(x) = ln C 0 (] 1, 1[) L 2 ( 1, 1) è 1 x comptibile con l opertore Lf = ((1 x 2 )f ) dl momento che f (x) = 2 1 x 2 (1 x 2 )f = 2 ((1 x 2 )f ) = 0 L 2 ( 1, 1); 13.3

4 b) le condizioni l contorno (ossi le condizioni sull incognit e/o le sue derivte ssegnte negli estremi dell intervllo in esme). Venendo, llor, i problemi i limiti, bbimo innnzi tutto bisogno di un risultto reltivo lle equzioni differenzili ordinrie lineri del secondo ordine. Teorem 4. - Supponimo che A(x), B(x), C(x) sino funzioni nlitiche reli nell intervllo (finito o infinito) ], b[ e si A(x) > 0 per ogni x ], b[. Esistono llor tre funzioni p, q, r nlitiche reli nell intervllo ], b[ tli che si p si r sono positive in ], b[ e risult (1) Ay + By + Cy = 1 r (py ) q r y x ], b[, y C2 (], b[). Dimostrzione. - Eseguendo l derivzione del termine destro dell (1), bbimo Quindi Dlle prime due relzioni ottenimo Ay + By + Cy = p r y + p r y q r y. A = p r, B = p r, C = q r. p p = B A ln p K = B(x) A(x) dx. Scelto K = 1 (l costnte è completmente rbitrri), ottenimo ( ) B(x) p(x) = exp A(x) dx, r(x) = 1 ( ) B(x) A(x) exp A(x) dx, q(x) = C(x) A(x) exp ( B(x) A(x) dx Osservimo che dll positività di A e di vlori reli ssunti d A e B segue che p > 0 e r > 0. Inoltre p, q e r sono nlitiche perchè funzioni composte di funzioni nlitiche. L espressione che bbimo ricvto sopr h un nome prticolre. Dicimo, inftti, che un opertore linere L è un opertore di Sturm - Liouville se Ly = 1 r (py ) + q r y, con y comptibile con l opertore L e definito sull intervllo limitto [, b]. Come già richiesto sopr, bbimo che p, q e r sono nlitiche reli in [, b]. C è tuttvi un 13.4 ).

5 ggiunt rispetto ll situzione considert nel Teeorem 4; richiedimo, inftti, in tutto l intervllo chiuso (e non solo nel corrispettivo perto) che p > 0, r > 0 e che q 0 (in precedenz su q non c er vincolo). Se ponimo, poi, B 1 y = α 1 y() β 1 y (), B 2 y = α 2 y(b) + β 2 y (b) con l condizione α i 0, β i 0, α i + β i > 0, dicimo che Ly = λy λ R, x ], b[ B 1 y = 0 B 2 y = 0 è un problem di Sturm - Liouville regolre. Osservimo che se β 1 = β 2 = 0 (col che α i 0) ci riducimo lle condizioni di Dirichlet y() = y(b) = 0. Se α 1 = α 2 = 0 (col che β i 0) ci riducimo lle condizioni di Neumnn y () = y (b) = 0. Se, infine, α 1 = β 2 = 0 (oppure se α 2 = β 1 = 0) ottenimo le condizioni miste y () = y(b) = 0 (oppure y() = y (b) = 0). Se riesminimo qunto ftto nell Sezione 8 proposito del metodo di seprzione delle vribili, vedimo che ci simo sostnzilmente trovti che fre con problemi di Sturm- Liouville, slvo lcune prticolrità che preciseremo fr breve. Nell introduzione ftt sopr dell opertore di Sturm - Liouville, non bbimo precisto il suo dominio. Lo fccimo or. Definimo lo spzio L 2 r(, b) = {f : [, b] C t.c. f(x) 2 r(x) dx < + } che è di Hilbert dotto del prodotto interno (f, g) = e ponimo f(x)g(x)r(x) dx, D (L) = {f L 2 r(, b) comptibile con L e t.c. B 1 f = B 2 f = 0}. 13.5

6 Abbimo llor il seguente Teorem 5. - L opertore L : D (L) L 2 r L 2 r è hermitino e semidefinito positivo (quindi gli utovlori sono nonnegtivi). Gli utovlori formno, inoltre, un insieme numerbile {λ n } e λ n + per n + (quindi L è non limitto). Dimostrzione. - Per mostrre che L è hermitino, bst mostrre che u, v D (L) risult (Lu, v) = (u, Lv) (Lu, v) (u, Lv) = 0. Abbimo, quindi, cioè nche (Lu, v) (u, Lv) = (Lu, v) = = (u, Lv) = = ( 1r (pu ) + qr u ) vr dx = (pu ) v + qu v dx; u ( 1r (pv ) + qr ) v r dx = u(p v ) + qu v dx, ( (pu ) v + u(p v ) ) dx = ((pu v ) (pu v) ) dx = = [pu v pu v] b = p(b)u(b) v (b) p(b)u (b) v(b) p()u() v () + p()u () v() = = p(b)[u(b) v (b) u (b) v(b)] p()[u() v () u () v()]. Osservimo che se v D (L) nche v D (L) perchè le condizioni in e in b sono reli. Quindi B 1 u = B 1 v = 0 che implic { α1 u() β 1 u () = 0 α 1 v() β 1 v () = 0 che possimo riscrivere come [ ] [ ] u() u () α1 v() v = () β 1 [ ] 0. 0 Poichè lmeno uno dei due α 1, β 1 è diverso d zero, essendo soluzioni di un sistem omogeneo, è necessrio che l mtrice dei coefficienti si singolre. Quindi [ ] u() u det () v() v = 0 u() v () u () v() = 0. () 13.6

7 Ripetendo l nlogo rgionmento per B 2 u = B 2 v = 0, concludimo che u(b) v (b) u (b) v(b) = 0 e dunque (Lu, v) (u, Lv) = 0. Mostrimo, or, che L è semidefinito positivo. Occorre mostrre che u D (L) risult (Lu, u) 0. Abbimo (Lu, u) = ( 1r (pu ) + qr u ) ū r dx = pu ū b + = p(b)u (b)ū(b) + p()u ()ū() + (p u 2 + q u 2 ) dx = [ (pu ) ū + q u 2 ] dx = (p u 2 + q u 2 ) dx. Dlle condizioni B 1 u = B 2 u = 0 segue che u() e u () sono concordi, mentre u(b) e u (b) hnno segno opposto, qulor non sino direttmente nulli. In tutti i csi concludimo che l quntità (Lu, u) 0. Essendo L semidefinito positivo, dl Teorem 1 concludimo che gli utovlori sono tutti nonnegtivi. Osservimo, poi, che L 2 r è seprbile, ossi possiede un bse numerbile. Abbimo, dunque, un quntità numerbile di vettori mutulmente ortogonli. Poichè d utovlori differenti corrispondono utovettori ortogonli, questi sono l più un quntità numerbile e lo stesso deve vlere per gli utovlori. Trlscimo l dimostrzione che λ n +. Nell dimostrzione del Teorem 5 bbimo utilizzto il ftto che gli utovettori corrispondenti d utovlori diversi sono mutulmente ortogonli. In reltà possimo dire di più. Teorem 6. - Gli utovettori di un problem di Sturm - Liouville regolre costiuiscono un bse per L 2 r(, b). All luce di questi risultti, rivedimo i csi trttti nell Sezione 8 con il metodo di seprzione delle vribili. Cso 1 e Cso 2. - Riscritto con l notzione di quest sezione, bbimo risolto il problem i limiti (X ) = λx X(0) = 0 X(l) = 0. Qui è p = r = 1, q = 0, [, b] = [0, l], α 1 = α 2 = 1, β 1 = β 2 = 0. Inoltre Ly = (y ) e D (L) = {f L 2 (0, l) : f L 2 (0, l), f(0) = f(l) = 0}. Non stupisce, dunque, che bbimo trovto utovlori tutti positivi con i corrispondenti utovettori mutulmente ortogonli che costituiscono un bse per L 2 (0, l). 13.7

8 Cso 3. - Abbimo risolto (Θ ) = λθ Θ(0) = Θ(2π) Θ (0) = Θ (2π). Per qunto rigurd p, q, r e l struttur dell opertore L vlgono le condizioni già discusse sopr. Le condizioni l contorno sono condizioni di periodicità, che implicno D (L) = {f L 2 (0, 2π) : f L 2 (0, 2π), f(0) = f(2π), f (0) = f (2π)} m che non corrispondono qunto studito prim. Tuttvi, se ripetimo nel nuovo contesto l dimostrzione di simmetri effettut prim, sfruttndo le condizioni di periodicità, ottenimo (Lu, v) (u, Lv) = p(2π)[u(2π) v (2π) u (2π) v(2π)] p(0)[u(0) v (0) u (0) v(0)] = [p(2π) p(0)][u(0) v (0) u (0) v (0)]. Dunque bst che p(0) = p(2π) (come ccde in questo cso) per concludere che l opertore è comunque hermitino. Per qunto rigurd l condizione di opertore definito positivo, serve che p(b)u (b)ū(b) + p()u ()ū() 0 che nel nostro cso, sfruttndo nuovmente l periodicità, diviene p(0)u (0)ū(0) + p(0)u (0)ū(0) 0 e possimo perciò concludere. Sppimo, poi, per ltr vi che il sistem degli esponenzili immginri {e inθ } con n Z costituisce un bse per L 2 (0, 2π). Cso 4. - Anche se non è così evidente dl procedimento, bbimo risolto R 1 ρ R = λr, ρ ]0, 1[ lim R(ρ) esiste finito ρ 0 + R(1) = 0. Sfruttndo il Teorem 4, possimo riscrivere il problem precedente come 1 d ρ dρ (ρdr ) = λr, ρ ]0, 1[ dρ lim R(ρ) esiste finito ρ 0 + R(1) = 0 d cui ricvimo p = r = ρ, q = 0, ], b[=]0, 1[. Inoltre Lf = 1 ρ d df (ρ dρ dρ ), 13.8

9 D (L) = {f L 2 ρ(0, 1) : 1 d df (ρ ρ dρ dρ ) L2 ρ(0, 1), f(0) finito, f(1) = 0}. L opertore è ncor del tipo di Sturm - Liouville, m rispetto ll teori generle sviluppt prim ci sono due differenze importnti: ) p e r si nnullno in un estremo dell intervllo in cui è definit l vribile dipendente; b) le condizioni l contorno non sono quelle previste. Sembrerebbe, quindi, che non si poss pplicre qunto visto in precedenz. Tuttvi, lvorndo su questo cso specifico è comunque possibile verificre che si trtt di un opertore hermitino e definito positivo, i cui utovettori costituiscono un bse per il corrispondente spzio di Hilbert. Cso 5. - Nell ultimo cso bbimo risolto l equzione H 2yH + (λ 1)H = 0, y R, richiedendo che l soluzione H fosse un polinomio, determinndo così opportuni vlori per λ. In reltà possimo porre l equzione nell form H + 2yH = µh d cui, ncor un volt grzie l Teorem 4, ricvimo p = e y2, r = e y2, q = 0 che ci permette di riscrivere l opertore nell form di Sturm Liouville come ( d e y2 2 dh dy e y dy ) = µh. Purtroppo nche in questo cso le condizioni l contorno (che ci sono, m non sono espresse esplicitmente) e l ntur dell intervllo (illimitto!) non ci permettono di pplicre l teori generle vist prim. Tuttvi, sviluppndo metodi d hoc come nel cso 4, è possibile verificre che l opertore, su un opportuno dominio, è hermitino, semidefinito positivo, h un insieme numerbile e superiormente non limitto di utovlori, i cui corrispondenti utovettori (i polinomi di Hermite) costituiscono un bse per lo spzio L 2 e y2 (R). Tutto questo giustific qunto ftto un po rtificiosmente nell Sezione 8 proposito dell oscilltore rmonico quntistico e in prte nche per gli ltri problemi. Simo inoltre in grdo di dire di più. I tre opertori L 2 = 1 x L 1 = d dx, ( d x d ), dx dx 13.9

10 L 3 = e d ( x2 e d ) x2 dx dx con L i : D (Li ) L 2 r i L 2 r i sono hermitini e i rispettivi utovettori costituiscono un bse per L 2 r i. Possimo perciò pplicre il Teorem 3 e concludere che (2) y D (Li ) L i y = λ n (y, ϕ n )ϕ n che ovvimente semplific di molto l ricerc dell soluzione dell equzione complet qulor si operi nell mbito degli spzi di Hilbert. Dovendo, inftti, risolvere L i y = h con L 2 r i, sviluppndo h rispetto ll bse degli utovettori e sfruttndo l (2), bbimo λ n (y, ϕ n )ϕ n = e quindi ricvimo direttmente (h, ϕ n )ϕ n (y, ϕ n ) = (h, ϕ n) λ n, ossi i coefficienti dello sviluppo di Fourier dell soluzione y. Può ccdere che, per i singoli opertori, lcuni coefficienti sino nulli o indeterminti e/o h debb soddisfre qulche condizione di comptibilità. Quest ultimo è un spetto peculire dell teori delle equzioni differenzilli negli spzi di Hilbert ed è un evidente differenz rispetto qunto ccde con l pproccio clssico negli spzi C k, dove ogni termine noto regolre grntisce l esistenz di un integrle prticolre