Logica combinatoria. La logica digitale

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1 Logica combinatoria La logica digitale La macchina è formata da porte logiche Ogni porta riceve in ingresso dei segnali binari (cioè segnali che possono essere o ) e calcola una semplice funzione (ND, OR, ecc) lcune porte, collegate opportunamente, possono formare una memoria di un bit (bistabile) Combinando N memorie di un bit si può formare un registro capace di memorizzare un numero binario (non più grande di 2 N -) Combinando le porte si realizzano i circuiti che formano i calcolatori 2

2 Porte logiche Segnali e informazioni Per elaborare informazioni, occorre rappresentarle (o codificarle) Per rappresentare (o codificare) le informazioni si usano segnali I segnali devono essere elaborati, nei modi opportuni, tramite dispositivi di elaborazione Segnale binario una grandezza che può assumere due valori distinti, convenzionalmente indicati con e s {, } Qualsiasi informazione è rappresentabile (o codificabile) tramite uno o più segnali binari (per esempio i caratteri del codice SCII) 4 2

3 Il segnale binario Rappresentazione fisica del segnale binario: si usano svariate grandezze fisiche tensione elettrica (la più usata!) corrente elettrica potenza ottica altre grandezze fisiche Elaborazione del segnale binario: si usano svariate classi di dispositivi di elaborazione porte logiche reti combinatorie reti sequenziali Sono tutti circuiti digitali (o numerici) 5 Porte logiche I circuiti digitali sono formati da componenti digitali elementari, chiamati porte logiche Le porte logiche sono i circuiti minimi per l elaborazione di segnali binari L elemento funzionale fondamentale per la costruzione di porte logiche è il transistor Classificazione Per modo di funzionamento: porta NOT, porta porta ND, porta OR (sono le porte logiche fondamentali) Per numero di ingressi: porte a ingresso, porte a 2 ingressi, porte 3 ingressi, e così via

4 La porta NOT (invertitore) Se l ingresso vale Volt, l uscita vale 5 Volt Se l ingresso vale 5 Volt, l uscita vale Volt Se ai valori di tensione e 5 Volt si associano convenzionalmente i valori binari e, rispettivamente, si ottiene la cosiddetta tabella delle verità della porta logica, che corrisponde alla tabella di commutazione 7 Porta NOT (invertitore, negatore) Simbolo funzionale (a ingresso) simbolo semplificato Tabella delle verità L uscita vale se e solo se l ingresso vale 8 4

5 Porta ND Simbolo funzionale (a 2 ingressi) L uscita vale se e solo se entrambi gli ingressi valgono Tabella delle verità 9 Porta OR Simbolo funzionale (a 2 ingressi) L uscita vale se e solo se almeno un ingresso vale Tabella delle verità 5

6 Generalizzazioni lcuni tipi di porte a 2 ingressi si possono generalizzare a 3, 4, ecc ingressi Le due porte a più ingressi maggiormente usate sono la porta ND e la porta OR Tipicamente si usano ND (o OR) a 2, 4 o 8 ingressi (raramente più di 8) L uscita della porta ND a 3 ingressi vale se e soltanto se tutti e tre gli ingressi, e C valgono L uscita della porta OR a 3 ingressi vale se e soltanto se almeno uno tra gli ingressi, e C vale Si generalizza a più ingressi nel modo ovvio... Porta ND a 3 ingressi C Simbolo funzionale L uscita vale se e solo se tutti e 3 gli ingressi valgono Tabella delle verità C 2 6

7 Porta OR a 3 ingressi Simbolo funzionale C L uscita vale se e solo se tutti e 3 gli ingressi valgono Tabella delle verità C 3 Realizzazione ad albero La porta ND a 3 ingressi si realizza spesso come albero di porte ND a 2 ingressi (ma non è l unico modo) C C Nota bene: non tutti i tipi di porte a più di 2 ingressi si possono realizzare come alberi di porte a 2 ingressi (funziona sempre con ND e OR) 4 7

8 lgebra di oole, funzioni e reti combinatorie lgebra di oole L algebra di oole (dal suo inventore G. oole) serve a descrivere matematicamente i circuiti digitali (o circuiti logici) Componenti dell algebra di oole: Operatori booleani Regole di trasformazione ed equivalenza tra operatori booleani 6 8

9 Operatori booleani Nome Operazione Porta associata Inversione =! Porta NOT Somma logica = + Porta OR Prodotto logico = Porta ND, e sono variabili booleane,, {, } Il prodotto ha precedenza sulla somma 7 Operatori booleani Somma Prodotto Inversione + = =! = + = =! = + = = + = = Sono le tabelle delle verità della porta logica OR, ND e NOT, rispettivamente 8 9

10 Proprietà degli op. booleani lcune proprietà degli operatori booleani somigliano a quelle dell algebra numerica tradizionale ltre sono piuttosto diverse (per esempio la proprietà di assorbimento)! Le proprietà degli operatori booleani si possono usare per trasformare espressioni booleane 9 Proprietà degli op. booleani Legge Prodotto logico (ND) Somma logica (OR) Identità = + = Elemento nullo = + = Idempotenza = + = Inverso! = +! = Commutativa = + = + ssociativa ( ) C = ( C) ( + ) + C = + ( + C) Distributiva + C = ( + ) ( + C) ( + C) = + C ssorbimento ( + ) = + = De Morgan!( ) =! +!!( + ) =!! 2

11 Esempi F =!YZ +!Y!Z + Z F =!Y(Z +!Z) + Z F =!Y + Z F =!Y + Z F = +! +!C F = +!(+C) F = +! F = +! F = ( +!)( + ) F = ( + ) F = + 2 Esercizio F=Y(!(+Z)+(Y+Z)) =Y!(+Z)+Y(Y+Z) =Y!(+Z)+Y Distributiva ssorbimento =Y!!Z+Y =Y(!!Z+) DeMorgan Distributiva =Y 22

12 Esercizio - scrivere la funzione inversa e semplificare F=(!Y!Z+YZ) F=!((!Y!Z+YZ)) =!+!(!Y!Z+YZ) =!+!(!Y!Z)!(YZ) =!+(Y+Z)(!Y+!Z) =!+Y!Y+Y!Z+Z!Y+Z!Z Negazione DeMorgan DeMorgan DeMorgan Proprietà distributiva =!+Y!Z+Z!Y Inverso 23 Esercizio F=!Y!Z+Y!Z+YZ =(!Y!Z+Y!Z+YZ) =((!Y+Y)!Z+YZ)= =(!Z+YZ) =(!Z+Y!Z+YZ) =(!Z+Y(Z+!Z)) Distributiva Distributiva Inverso ssorbimento (!Z=!Z+Y!Z) Distributiva =(!Z+Y) Inverso 24 2

13 Tabella delle verità La tabella delle verità è un modo per rappresentare il comportamento di una funzione combinatoria La tabella delle verità ha due colonne: colonna degli ingressi, le cui righe contengono tutte le combinazioni di valori delle variabili della funzione colonna dell uscita, che riporta i corrispondenti valori assunti dalla funzione 25 n = 3 Esempio ingressi colonna ingressi 2 n = 2 3 = 8 righe # riga C + /C F + / + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 + / 6 + / 7 + / (per comodità nella colonna centrale è riportato anche il calcolo) colonna uscita 26 3

14 Rete combinatoria ogni funzione combinatoria, data come espressione booleana, si può sempre associare un unico circuito digitale, formato da porte logiche, che viene chiamato rete combinatoria Gli ingressi della rete combinatoria sono le variabili della funzione L uscita della rete combinatoria emette il valore assunto dalla funzione 27 Esempio F(,, C) = +!C rete combinatoria C /C F 28 4

15 Rete combinatoria Una rete combinatoria è un circuito digitale: dotato di n ingressi principali e di un uscita formato da porte logiche ND, OR e NOT e privo di retroazioni Eventualmente, una rete combinatoria può anche essere formata da porte logiche di altro tipo La tabella delle verità di una rete combinatoria può anche essere ricavata per simulazione del funzionamento circuitale della rete combinatoria stessa Per simulare il funzionamento circuitale di una rete combinatoria, si applicano dei valori agli ingressi, e li si propaga lungo la rete fino all uscita 29 Simulazione circuitale (corrisponde alla riga della tabella) C F Risultato della simulazione: F(,, ) = 3 5

16 Simulazione circuitale # riga C! +!C +! C F! +! +! (per comodità è riportato anche il calcolo)! +! +! 2! +! +! 3! +! +! 4! +! +! 5! +! +! 6! +! +! 7! +! +! 3 Sintesi di reti combinatorie La sintesi di una rete combinatoria espressa come tabella delle verità, consiste nel ricavare lo schema logico (il circuito digitale) che calcola la funzione combinatoria In generale, per una data tabella delle verità possono esistere più reti combinatorie (la soluzione al problema di sintesi non è dunque unica) Due funzioni diverse sono le stesse se e solo se hanno la stessa tabella delle verità 32 6

17 Sintesi di reti combinatorie Esistono svariate procedure di sintesi di reti combinatorie, che differiscono per: Complessità della procedura di sintesi Ottimalità della rete combinatoria risultante, per dimensioni e velocità Una tecnica di sintesi semplice e universale, benché non sempre ottimale, è la sintesi in a forma canonica, o come somma di prodotti (mintermini) Si considerano le righe della tabella delle verità il cui valore è 2a forma canonica: la funzione può essere espressa come il prodotto logico dei termini somma (maxtermini) Si considerano le righe della tabella delle verità il cui valore è 33 Sintesi in a forma canonica (o sintesi come somma di prodotti) Scrivere la tabella delle verità, a n ingressi, della funzione da sintetizzare Introdurre n invertitori per generare la negazione di ogni segnale di ingresso principale Introdurre una porta ND a n ingressi per ogni presente nella colonna dell uscita della tabella delle verità Collegare gli ingressi delle porte ND così introdotte agli ingressi principali, in forma diretta o negata, in modo appropriato Inviare l uscita di tutte le porte ND a un unica porta OR, dotata di tanti ingressi quante sono le porte ND così introdotte Vale il duale per la seconda forma canonica Si complementano le variabili il cui valore è 34 7

18 Funzione maggioranza Si chiede di sintetizzare (in a forma canonica) una funzione combinatoria dotata di 3 ingressi, e C, e di un uscita F, funzionante come segue: Se la maggioranza degli ingressi vale, l uscita vale Se la maggioranza degli ingressi vale, l uscita vale La tabella delle verità della funzione maggioranza è mostrata a lato L uscita vale se e solo se 2 o tutti e 3 gli ingressi valgono (cioè se e solo se il valore è in maggioranza) #riga C F Rete combinatoria schema logico C / / /C / C / C F C /C C 36 8

19 Espressione booleana Dallo schema logico della rete combinatoria così sintetizzata, si può ricavare la funzione combinatoria data come espressione booleana F(,, C) =! C +! C +!C + C Nota bene: è una somma di prodotti 37 Reti combinatorie equivalenti Una funzione combinatoria, data come tabella delle verità, può ammettere più reti combinatorie differenti che la sintetizzano Reti combinatorie che realizzano la medesima funzione combinatoria si dicono equivalenti Esse hanno tutte la stessa funzione, ma struttura (e costo) differente 38 9

20 Due reti equivalenti C C +C (+C ) F F F = + C F2 = ( + C) Trasformazione: F = + C = = ( + C) = = F2 (prop. distributiva) C +C 39 Costo e velocità Il costo di una rete combinatoria si valuta in vari modi (criteri di costo): Numero di porte, per tipo di porta e per quantità di ingressi della porta Numero di porte universali (NND o NOR) e altri ancora... La velocità di una rete combinatoria è misurata dal tempo che una variazione di ingresso impiega per modificare l uscita della rete (o ritardo di propagazione) Per calcolare la velocità di una rete combinatoria, occorre conoscere i ritardi di propagazione delle porte logiche componenti la rete, e poi analizzare i percorsi ingressi-uscita 4 2

21 Velocità 2 ns 2 ns C ns ns 3 ns = 5 ns F Ritardo totale = 5 ns = 5-9 sec Freq. di commutazione = / 5 ns = 2 MHz 4 Operatori funzionalmente completi Gli operatori NND e NOR sono funzionalmente completi Significa che con soli NND (NOR) è possibile realizzare qualsiasi funzione logica Combinando opportunamente porte NND è possibile ottenere le funzioni ND, OR e NOT NND NOR Y!(Y) Y!( + Y) 42 2

22 ltri operatori OR OR esclusivo L uscita vale uno solo quando uno dei due ingressi vale uno F = Y =!Y +!Y NOR La negazione del precedente L uscita vale uno solo quando gli ingressi hanno il medesimo valore F = Y =!!Y + Y Y ( Y) Y ( Y) 43 Mappe di Karnaugh Due mintermini o maxtermini sono logicamente adiacenti se differiscono per un unico letterale Mappe di karnaugh Per realizzare reti combinatorie su due livelli Utili per funzioni booleane con non più di 5/6 variabili Contengono la stessa informazione delle tabelle delle verità CD 44 22

23 Sintesi con mappe di Karnaugh C D N CD N =!!C +!CD +!!D + D 45 Esercizio Y Z F Y Z F=!Z+Y 46 23

24 Esempio di tema d esame Una funzione combinatoria F è dotata di un ingresso a 4 bit (a, b, c, d) che rappresenta un numero intero naturale I: F vale se il valore in ingresso è I 2 oppure I ; F vale negli altri casi. Tracciare la tabella delle verità di F e identificarne la prima forma canonica. Semplificare la funzione F mediante il metodo delle mappe di Karnaugh e ricavarne l equazione minima in termini di somma di prodotti. Disegnare una rete combinatoria che realizza la funzione minima di F espressa al punto precedente utilizzando solamente porte ND e OR a due ingressi (oltre alle porte NOT); se applicabile, utilizzare la stessa porta due volte invece di replicarla. Calcolare il costo della rete disegnata al punto precedente supponendo che ogni porta a due ingressi (ND oppure OR) abbia costo pari a 3, mentre una porta NOT ha costo pari a. Calcolare il ritardo della rete disegnata al punto (c) considerando i seguenti valori di ritardo: ND (2 ingressi): 8 ns; OR (2 ingressi): ns; NOT: 2 ns. 47 Rappresentazioni e aritmetica binaria 24

25 Rappresentazione in modulo e segno Dato un numero intero N, codificato su n bit, il bit più significativo rappresenta il segno ( significa positivo e negativo) I restanti n- bit rappresentano il valore assoluto del numero N = 6 3 bit + per il segno N = -6 Problemi con le operazioni aritmetiche elementari nalisi del segno Confronto dei valori assoluti 49 Somma tra due numeri NO segno = segno NO > SI RIS = + RIS = - RIS = - segno RIS = segno segno RIS = segno segno RIS = segno 5 25

26 Rappresentazione in complemento a Codifica diversa per semplificare l algoritmo di calcolo Non si distingue più il segno dal modulo Dato un numero N, il suo opposto si calcola complementando ad uno ad uno tutti i bit che compongono il numero N = -N = Somma e sottrazione richiedono solo sommatori e negatori (per il calcolo dell opposto) Il risultato è corretto a meno di un nel caso in cui si verifichi un riporto nella somma stessa Quindi si usa sempre una seconda somma per sommare il riporto generato (fosse zero la somma sarebbe inutile) 5 Esempio N = (+25) e M = (+3) N + M = + = (+28) K = (-3) N + K = + = () + = (+22) I due numeri devono essere rappresentati con lo stesso numero di cifre Sempre due somme Non è la soluzione ottima, ma è la meno costosa 52 26

27 Rappresentazione in complemento a 2 Ulteriore miglioramento, ma rappresentazione sempre più complicata Somme algebriche con una sola addizione Notazione non simmetrica (-2 n- N 2 n- -) Una sola codifica per il numero zero Numeri positivi stessa codifica Numeri negativi -N è quel numero che sommato a N produce una configurazione di tutti zero e un bit di riporto che si trascura Operativamente Complemento a e poi si somma uno Si scorre il numero da destra a sinistra, lasciando inalterate le cifre fino al primo uno (compreso) e complementando le altre 53 Esempio N = (+25) -N = + = oppure -N = Salvo solo il primo uno e complemento tutto il resto N = (+25) e M = (+3) K = (-3) N + K = + = () = (+22) M N = + = (-22) +22 ttenzione a leggere i numeri negativi 54 27

28 Confronto Codifica Modulo e segno Complemento a Complemento a Memorandum Dati n bit in base dieci cosa succede? In NN (solo interi) rappresento (2^n)- numeri Con modulo e segno rappresento i numeri da (-2^(n-)+) a (2^(n- )-) In complemento a rappresento i numeri da (-2^(n-)+) a (2^(n- )-) In complemento a 2 rappresento i numeri da -2^(n-) a (2^(n-)- )senza avere ridondanza 56 28

29 Esercizio 57 ltri esercizi Rappresentare con un numero opportuno di bit ciascun elemento e quindi calcolare le seguenti operazioni 5+(-6) = -; -+(-7)=-8; 4+7+(-9) = 2 Quanti bit servono per rappresentare in C2-2? Quanti bit servono per rappresentare in C2 28? 6 bit 9 bit Quanti bit servono per rappresentare in C2 63? 7 bit 58 29

30 Tema d esame Dati i due valori numerici seguenti (in base ): = 3 e =+2 Indicare il numero N di bit necessario per rappresentarli entrambi in complemento a 2; Codificare e in complemento a 2 usando N bit. Eseguire in complemento a 2, con N bit, le operazioni + e -, mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Ripetere l operazione utilizzando N + bit. 59 3

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