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1 1 Limiti Roberto Petroni, 2011 Possiamo introdurre intuitivamente il concetto di limite dicendo che quanto più la x si avvicina ad un dato valore x 0 tanto più la f(x) si avvicina ad un valore l detto limite della funzione. Notiamo che non è necessario che x 0 appartenga al dominio D della funzione ma, affinché la definizione funzioni (cioè ci si possa avvicinare indefinitamente a x 0 occorre che x 0 sia circondato da infiniti valori di x appartenenti a D; in altri termini, più rigorosi, si dirà che x 0 è un punto di accumulazione per x. Poiché le variabili non sono grandezze dinamiche, non si muovo e non vanno da nessuna parte, potremmo avvicinarsi ad una definizione più precisa, anche se non ancora rigorosa, dicendo che quando, in una funzione y = f(x), consideriamo valori di x indefinitamente vicini ad un valore x 0, anche i corrispondenti valori di f(x) sono indefinitamente vicini a l. La nostra definizione ora è praticamente costruita, basta attribuire al termine indefinitamente, alquanto impreciso, un corrispondente e rigoroso significato utilizzando il concetto di intorno. Possiamo dire, infatti, che dei valori di x sono indefinitamente vicini a x 0 se questi valori sono contenuti in un intorno completo di x 0 piccolo a piacere. Analogamente valori di f(x) sono indefinitamente vicini a l se questi valori sono contenuti in un intorno completo di l piccolo a piacere. Non resta quindi che definire i due intorni. Per definire l intorno di l consideriamo un numero ε > 0, comunque piccolo, che ci consente di definire gli estremi dell intorno stesso: quello inferiore l - ε e quello superiore l + ε (v. fig.1). Questo intorno sarà dunque ] l - ε; l + ε [. La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè: Se f(x) ] l - ε; l + ε [ vuol dire che: x I(x 0 ) f(x) ] l - ε; l + ε [. l - ε < f(x) < l + ε (1)

2 2 che può anche essere scritta come f(x) - l < ε (2) Se la soluzione della disequazione è un intorno di x 0, cioè se la disequazione è soddisfatta per valori di x I(x 0 ) allora il limite è verificato. Riassumendo, possiamo dare la seguente definizione di I) Limite finito per x che tende ad un valore finito La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a x 0, cioè Lim f(x) = l X X 0 se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno I(x 0) tale che, per ogni x I(x 0), si f(x) - l < ε Limite destro e limite sinistro Nel punto x 0, alcune funzioni, possono avere un salto, cioè passare bruscamente da un valore ad un altro non immediatamente vicino. In questo caso la funzione avvicinandosi al punto x 0 da sinistra, cioè assumendo valori sempre più vicini a x 0, ma comunque più piccoli, tenderà ad un valore l 1 diverso da quello l 2 a cui tenderà avvicinandosi a x 0 da destra, cioè assumendo valori sempre più vicini a x 0, ma comunque più grandi. In questo caso occorrerà, quindi, differenziare il limite sinistro dal limite destro. Indicando, nell intorno di x 0, con x 0 - i valori più piccoli di x 0 e con x 0 + i valori più grandi, possiamo introdurre le seguenti definizioni: Ia) Limite finito sinistro per x che tende ad un valore finito La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a x 0, cioè Lim f(x) = l X X 0- se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno sinistro I - (x 0) tale che, per ogni x I - (x 0), si f(x) - l < ε Ib) Limite finito destro per x che tende ad un valore finito La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a x 0, cioè Lim f(x) = l X X 0+ se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno destro I + (x 0) tale che, per ogni x I + (x 0), si f(x) - l < ε

3 3 Notiamo che il punto x 0 può appartenere al dominio o non appartenervi. Nel primo caso il valore della funzione potrà coincidere con quello di uno dei due limiti oppure assumere un valore diverso (v. figg. 1a e 1b); nel secondo caso non assumerà alcun valore in x 0 (v. fig. 1c). Il limite finito l per x che tende a x 0 non è l unico tipo di limite. Infatti, sia la x sia la f(x) possono tendere ad un valore finito o ad un valore infinito. Si possono determinare quindi quattro casi (con relativi sotto casi che analizzeremo successivamente): I) limite finito l per x che tende ad un valore finito x 0 (è il caso appena considerato). II) limite infinito per x che tende ad un valore finito x 0. III) limite finito l per x che tende ad un valore infinito. IV) limite infinito per x che tende ad un valore infinito. II) limite infinito per x che tende ad un valore finito x 0. Prendendo spunto dalla definizione precedente, possiamo dire che f(x) tende a un limite, quando x tende a un valore finito x 0, se ogni x appartenente ad un intorno I(x 0 ) ha un immagine in un opportuno intorno del limite, ma siccome ora il limite è, l intorno sarà un intorno di infinito, cioè tutti i valori di f(x) compresi in ] - ; - M [ U ] M; + [, essendo M > 0 e comunque grande. Possiamo quindi dire che La funzione f(x) ha un limite infinito, per x che tende a x 0, cioè Lim f(x) = X X 0 se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(x 0) tale che, per ogni x I(x 0), si f(x) > M

4 4 Questa definizione mantiene una certa ambiguità poiché ci dice che nelle vicinanze di x 0 la f(x) cresce indefinitamente in valore assoluto, ma non ci dice se tende a - o a +. Studiamo, ad esempio la funzione y = 1/ (x -1), il cui grafico è rappresentato in fig. 2. Per x tendente a x 0, la f(x) effettivamente diventa sempre più grande in valore assoluto, ma se ci si avvicina da sinistra (x0-) la f(x) - ; viceversa, se ci si avvicina da destra (x0+) la f(x) + ; quindi, più correttamente dovremmo dire che, per x tendente a x 0, il limite sinistro di f(x) è - e il limite destro +. Per eliminare questa ambiguità é bene sdoppiare la definizione precedente. Avremo, pertanto, le seguenti due definizioni IIa) e IIb): IIa) limite + per x che tende ad un valore finito x 0. La funzione f(x) ha un limite +, per x che tende a x 0, cioè Lim f(x) = + X X 0 se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(x 0) tale che, per ogni x I(x 0), si f(x) > M (in questo modo mo solo un intorno ]M; + [ di +.) Anche in questo caso, se la soluzione della disequazione (f(x) > M ) è un intorno di x 0, cioè se la disequazione è soddisfatta per valori di x I(x 0 ) allora il limite è verificato. Ad es. la funzione y = 1/(x-1) 2, che è sempre positiva (v. fig. 3) nell intorno di 1 tende a valori sempre più grandi, sia da destra sia da sinistra. Per provare l esistenza del limite l = 1 basta risolvere la disequazione 1/(x-1) 2 > M

5 5 e verificare che si tratta un intorno di +. IIb) limite per x che tende ad un valore finito x 0. La funzione f(x) ha un limite, per x che tende a x 0, cioè Lim f(x) = X X 0 se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(x 0) tale che, per ogni x I(x 0), si f(x) < M (in questo modo mo solo un intorno ] ; M [ di.) Se la soluzione della disequazione (f(x) < M ) è un intorno di x 0, cioè se la disequazione è soddisfatta per valori di x I(x 0 ) allora il limite è verificato. Ad es. la funzione y = 1/(x 1) 2, che è sempre negativa (v. fig. 4), nell intorno di 1 tende a valori sempre più piccoli (grandi in valore assoluto, ma negativi), sia da destra sia da sinistra, come si può verificare risolvendo la disequazione 1/(x-1) 2 < M

6 6 Come si vede dalle figg. 3 e 4, man mano che la x si avvicina a x 0 il grafico della f(x) si avvicina sempre più alla retta x = x 0, cioè alla retta parallela all asse y e intersecante l asse x proprio in x 0, tale retta è detta asintoto verticale per la f(x). III) limite finito l per x che tende ad un valore infinito Anche in questo caso dovremo distinguere i due casi possibili: x e x +. La differenza dai limiti precedenti, è che ora l intorno individuato sull asse x, in corrispondenza ai valori di f(x) ] l - ε; l + ε [, non è un intorno limitato di un definito valore x 0, ma un intorno (illimitato) di - o di +. IIIa) limite finito l per x che tende a Nel primo caso, per x che assume valori sempre più piccoli in R (tende a - ) la funzione si avvicina indefinitamente ad un valore limite l senza mai raggiungerlo né tantomeno superarlo nell intorno di, mentre lontano da può superarlo, oscillargli intorno ecc.(v. fig.5). La definizione formale, quindi, ricalcherà quella data per il limite del I tipo, con l unica differenza, sopra evidenziata, che ora l intorno è un intervallo illimitato. La definizione formale, pertanto, sarà: La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a, cioè Lim f(x) = l X - se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno I( ) tale che, per ogni x I( ), si f(x) - l < ε

7 7 Come nel caso precedente, il grafico della f(x) tende ad avvicinare indefinitamente una retta, in questo caso la retta y = l, cioè la retta parallela all asse x e intersecante l asse y proprio in l, pertanto diremo che tale retta rappresenta un asintoto orizzontale per la f(x). Per verificare il limite occorre risolvere la disequazione f(x) l < ε e riscontrare che effettivamente la soluzione della disequazione è un intorno di. Ad es. la funzione y = 1/x (iperbole equilatera) si avvicina indefinitamente alla retta x = 0 (che coincide con l asse y) quando x (v. fig. 6); cioè: Lim 1/x = 0 x - Come si può facilmente verificare risolvendo la disequazione 1/x 0 < ε.

8 8 IIIb) limite finito l per x che tende a + In questo caso, per x che assume valori sempre più grandi in R (tende a + ), la funzione si avvicina indefinitamente ad un valore limite l senza mai raggiungerlo. Analogamente al caso precedente, lontano da +, com è ovvio, la f(x) può raggiungere o oltrepassare il valore limite l. La definizione formale, pertanto, sarà: La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a -, cioè Lim f(x) = l X + se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno I(+ ) tale che, per ogni x I(+ ), si f(x) - l < ε Come nel caso precedente, il grafico della f(x) tende ad avvicinare indefinitamente la retta y = l, che, quindi, rappresenta un asintoto orizzontale per la f(x), ma questa volta, in corrispondenza di un intorno I(+ ). Come esempio possiamo considerare ancora la funzione y = 1/x, e verificare che l asse x è un asintoto anche per x +, cioè: Lim 1/x = 0 X + ma, questa volta, risolvendo sempre la disequazione 1/x - 0 < ε, verificare che si ottiene anche un intorno di +. IV) limite infinito per x che tende ad un valore infinito. Questa volta i casi possibili sono 4, in quanto sia la x sia la f(x) possono tendere entrambe a + e a. IVa) limite + per x che tende a +. Combinando l intorno della f(x) del caso IIa) con l intorno di x del IIIb) si costruisce facilmente la definizione seguente: La funzione f(x) ha un limite +, per x che tende a +, cioè Lim f(x) = + X + se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(+ ) tale che, per ogni x I(+ ), si f(x) > M

9 9 La retta f(x) = x è il più semplice esempio che si possa immaginare per illustrare questo limite, evidente già dal grafico (v. fig.7, I quadrante) e, comunque, facilmente verificabile dalla disequazione f(x) > M, che nel caso in esame diventa x > M che esprime già dal testo un I(+ ), senza bisogno di alcun passaggio (v. fig.7, I quadrante). IVb) limite per x che tende a +. In questo caso l intorno di x del IIIb) andrà accostato all intorno della f(x) del caso IIb) e, quindi, diremo: La funzione f(x) ha un limite, per x che tende a +, cioè Lim f(x) = X + se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(+ ) tale che, per ogni x I(+ ), si f(x) < M L esempio più semplice è la retta f(x) = x, che, già dal grafico (v. fig.8, III quadrante) palesa il limite cercato. E che, comunque, come nel caso precedente, è facilmente verificabile dalla disequazione f(x) > M, che ora diventa che esprime un I(+ ). x < M x > M

10 10 IVc) limite + per x che tende a. Combinando l intorno della f(x) del caso IIa) con l intorno di x del IIIa) si ottiene la definizione seguente: La funzione f(x) ha un limite +, per x che tende a, cioè Lim f(x) = + X - se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I( ) tale che, per ogni x I( ), si f(x) > M In questo caso l esempio più banale è costituito, nuovamente, dalla retta f(x) = x, come si nota già dal suo grafico (v. fig.8, II quadrante) e, dalla immediata risoluzione della disequazione f(x) > M, cioè: x > M x < M IVd) limite per x che tende a. In questo caso ritroveremo l intorno della f(x) del caso IIb) e l intorno di x del IIIa); si ottiene pertanto la seguente definizione:

11 11 La funzione f(x) ha un limite, per x che tende a, cioè Lim f(x) = X - se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I( ) tale che, per ogni x I( ), si f(x) < M Ritroveremo, in questo caso, come esempio banale la retta f(x) = x; anche qui, per verificare il limite è sufficiente analizzare il suo grafico (v. fig.7, III quadrante) o, in modo più formale, impostare la disequazione f(x) < M, che, senza bisogno di ulteriori passaggi fornisce l intorno cercato di x < M Nei precedenti quattro casi, in cui sia la x sia la f(x) tendono a ±, la funzione può (non deve) avere un asintoto obliquo; in altri termini, la f(x) procedendo verso + o, tende ad avvicinarsi sempre più (senza mai toccarla) ad una retta non parallela né all asse x né all asse y (v. fig. 9a). Altre funzioni, ad esempio la parabola (v. fig. 9b), non hanno asintoti.

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