Dr. Stefano Sarti Dipartimento di Fisica

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1 UNIVERSITÀ DI ROMA LA SAPIENZA FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio ESAME DI FISICA GENERALE II (DM 270) Data: 2/6/205. Un protone (m p = kg) viene lanciato con velocità iniziale v 0 verso una sfera isolante uniformemente carica (Q tot = µc) di raggio R = cm. Il punto di partenza del protone può essere considerato a distanza infinita dalla sfera. Determinare per quale valore di v 0 il protone arriva a toccare, da fermo, la sfera carica. Supponendo di fornire al protone la velocità v 0 accelerandolo all interno di un doppio strato, quale potenziale deve essere applicato al doppio strato per ottenere la velocità desiderata? Come cambiano i risultati se invece che sulla suddetta sfera il protone va ad incidere su un altro protone (si assuma che il raggio del protone sia r p = m)? 2. Due sbarre metalliche di peso m = kg, lunghezza L = 25 cm e resistenza R = 0.0 Ω vengono lasciate cadere da un altezza h = 0 m. La prima sbarra è libera di cadere, mentre la seconda viene mantenuta a contatto con due binari metallici uniti a loro volta alla base (v. figura) Sia inoltre presente un campo magnetico B = 0.5 T, diretto orizzontalmente. Determinare velocità e posizione della seconda sbarretta nell istante in cui la prima tocca il suolo. 3. Nel circuito in figura le due resistenze R 4 = 5 Ω e R 5 = 8 Ω dissipano rispettivamente W 4 = 7W e W 5 = 2 W. Sapendo che ε = 5 V e ε 2 = 0 V e che i due generatori erogano la stessa potenza, determinare i valori delle resistenze R, R 2 ed R Due telefonini ricevono i dati su segnali a frequenza.95 e 2.5 GHz, rispettivamente. Un un ambiente chiuso di lati w = 4 m e p = 5 m (v.figura) sono presenti due fenditure poste a distanza d = m l una dall altra. In quali punti della parete opposta a quella dove si trovano le due fenditure deve essere posizionato il primo telefonino per avere il massimo di segnale per la ricezione dati? Ed in quali punti va posizonato il secondo telefonino?

2 Soluzioni Esercizio n. Il potenziale elettrico generato da una sfera carica al suo esterno (distanza dal centro della sfera maggiore o uguale al raggio della sfera) è dato da V s (r) = Q 4πɛ 0 r Il protone, avvicinandosi alla sfera, verrà rallentato dall interazione repulsiva con quest ultima. Trattandosi di una forza conservativa, la conservazione dell energia meccanica si può scrivere come 2 m pv0 2 + U 0 = 2 m pvf 2 + U f dove v 0 è la velocità iniziale, U(0) 0 è l energia potenziale all istante iniziale (che si può assumere nulla, dato che il testo dice che la distanza iniziale fra protone e sfera si può considerare infinita), v f = 0 è la velocità finale (il testo chiede di risolvere il problema nel caso in cui il protone arriva fermo sulla superficie della sfera) e U f l energia potenziale finale. L energia potenziale di una particella carica in un campo elettrico vale U = qv, quindi la precedente relazione si può anche scrivere 2 m pv0 2 = q p V (R) = q pq 4πɛ 0 R dove q p = C è la carica del protone. Inserendo i valori dti dal problema e risolvendo per v 0 si ottiene infine 2qp V (R) v 0 = m/s m p Se questa velocità la si vuole ottenere accelerando il protoe con un campo elettrico, all interno di un doppio strato, la differenza di potenziale da applicare si può ottenere nuovamente dalla conservazione dell energia meccanica: all inizio il protone è fermo (v i = 0) mentre alla fine la sua velocità dovrà essere pari a v 0. D altra parte, il potenziale del protone diminuirà di una quantità q p V, dove V è la differenza di potenziale cercata. Quindi 2 mv2 0 = q p V V V Se il protone incidesse su un altro protone anzichè sulla sfera data, varrebbero le stesse considerazioni con la sola differenza che in questo caso il protone, quando urta l altro protone, si troverebbe a distanza 2r p dal centro di quest ultimo. L equazione che determina v 0 si scrive quindi 2 m pv 2 0 = q p V (R) = q2 p 8πɛ 0 r p da cui si ottiene v m/s. Ripetendo anche il ragionamente fatto per calcolare V si ottiene alla fine che, in questo secondo caso, V = V.

3 Da notare che nel caso di urto fra i due protoni si sono deliberatamente trascurati alcuni aspetti che rendono il problema molto piu complicato di quanto lo si sia trattato. In primo luogo, un protone non e una particella sferica uniformemente carica, e se a distanze relativamente grandi lo si puo approssimare come tale, la stessa cosa non si puo dire quando si va a considerare un secondo protone che lo urta. In secondo luogo, anche il protone che arriva con velocita diversa da zero ha una sua struttura interna, e quindi non si puo considerare semplicemente che l energia potenziale del protone e pari a q p V, specialmente in regioni dello spazio dove il gradiente del campo elettrico e molto elevato. La soluzione proposta non tiene conto di questi fattori. Esercizio n.2 La prima sbarretta cade seguendo un moto uniformemente accelerato con accelerazione pari a g. La distanza percorsa in funzione del tempo vale y(t) = 2 gt2 e quindi tocca il suolo dopo un tempo t = 2h/g.43 s. La sbarretta collegata ai binari, d altra parte, è soggetta sia alla forza peso che la spinge verso il basso sia alla forza magnetica ilb = vbl R LB che ne rallenta il moto. L equazione del moto della seconda sbarretta si scrive allora La soluzione di questa equazione è m dv (BL)2 = mg dt R v dv dt = g (BL)2 mr v v(t) = v ( e t/τ ) dove τ = mr/(bl) 2 = 0.64 s e v = τg = 6.27 m/s. Al tempo t in cui la prima sbarra tocca il suolo, la seconda avrà quindi una velocità v( t) 5.6 m/s, come si può verificare sostituendo i valori dati nell espressione di v(t). Per conoscere lo spazio percorso nello stesso intervallo di tempo, si può integrare in funzione del tempo l espressione di v(t): y( t) = t 0 v(t)dt = v t v τe t/τ La seconda sbarra si torverà quindi, al tempo t ad una altezza dal suola pari a h y( t) =.47 m. Esercizio n.3 Assumendo che in tutte le maglie le correnti scorrano in senso orario, ed indicando con i g la corrente che scorre nel generatore ε (e quindi anche in R ), con i g2 la corrente che scorre nel

4 generatore ε 2 e con i k la corrente che scorre nella generica resistenza R k (quindi i = i g ), le equazioni dei nodi e delle maglie si possono scrivere: nodi: i g + i g2 i 2 = 0 (nodo in alto) i 2 i 4 i 5 = 0 (nodo a destra: si è considerato che essendo le due resistenze R 3 ed R 5 in serie i 5 = i 3 ) maglie: (maglia a sinistra) (maglia in alto a destra) (maglia in basso a destra) ε ε 2 i R = 0 ε 2 i 2 R 2 i 4 R 4 = 0 i 4 R 4 i 5 R 3 i 5 R 5 = 0 (complessivamente, i rami del circuito sono 5, i nodi 3 e quindi servono 5 equazioni (una per ogni ramo) di cui 3-=2 equazioni dei nodi). A questo punto vengono utili le informazioni date nel testo: la potenza dissipata sulla resistenza R 4 vale per definizione i 2 4 R 4 e quindi i 4 = W 4 /R 4 =.8 A. Anoalogamente, i 5 = W 5 /R 5 = 0.5 A. Sostituendo nella seconda equazione dei nodi, si ottiene immediatamente i 2 = i 4 + i 5 =.68 A e, dalla seocnda equazione delle maglie, R 2 = (ε 2 i 4 R 4 )/i 2 = 2.43 Ω. Inoltre, dalla terza equazione delle maglie si ottiene facilmente R 3 = (i 4 R 4 i 5 R 5 )/i 5 = 3.83 Ω. Rimane da calcolare R, per la quale serve l ultimo dato del problema. Infatti, dalla prima equazione die nodi sappiamo che i +i g2 = i 2. Dal momento che i due generatori erogano la stessa potenza, sappiamo però anche che ε i = ε 2 i g2 i g2 /i = ε /ε 2. La prima eqauzione die nodi possiamo quindi anche scriverla come i = i ( + i g2 /i ) = i ( + ε /ε 2 ) i = A noto i, R si ottiene dalla prima equazione delle maglie: R = ε ε 2 = 7.43 Ω i

5 Esercizio n.4 Il massimo di efficienza del dispositivo si avrà quando il segnale ricevuto o trasmesso sarà massimo. Questo accade quando ci si trova in condizioni di interferenza costruttiva. I massimi di interferenza di un dispositivo di Young si verificano quando sin(θ) = mλ/d, con m=0,,2,... quindi per conoscere i punti in cui il segnale è massimo serve solo sapere quanto vale la lunghezza d onda λ nei due casi. Per far questo, si usa la relazioe fra ν e λ: λ = ct = c/ν dove c = m/s è la velocità della luce. Ne risulta che le due lunghezze d onda valgono rispettivamente λ = 5.38 cm e λ 2 = 3.95 cm. In base alla relazione scritta in precedenza, i massimi si troveranno quindi nelle seguenti posizioni sulla parete opposta a quella dove sono le due fenditure (si è presa l origine degli assi al centro della parete): m=0: x = 0 (per entrambe le lunghezze d onda) m=: x = ±p tan(arcsin(λ/d)) Usando i valori di λ trovati ed i valori di d e p dati nel testo, si ottiene x = ±0.778 per la prima radiazione e x ± per la seconda m=2: x = ±p tan(arcsin(2λ/d)) Usando i valori di λ trovati ed i valori di d e p dati nel testo, si ottiene x = ±.62 per la prima radiazione e x ±.45 per la seconda Per valori di m maggiori di 3 la posizione del massimo per entrambe le radiazioni dista dal punto centrale più di w/2 e quindi gli ulteriori massimi non si trovano sulla parete considerata. Essendo w/2 =.5 m, per avere un massimo di segnale il primo telefonino dovà essere posiizonato o al centro della parete, o a distanza x = ±0.778 dal centro della parete o a x ±.62 m dal centro della parete. Per quanto riguarda il secondo telefonino, potrà anch esso essere collocato al centro della parte, oppure a distanza x = ±0.705 dal centro della parete o ancora a distanza x = ±.45 dal centro della parete.